70 hsg 18 hau giang phuong hoang

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (2,5 điểm) A Tính giá trị biểu thức x x  9  y2  y  2  x  x   y  1 biết x  16 y  xy xy  x  Câu 2: (5,0 điểm) 1   x y a) Tìm nghiệm nguyên phương trình b) Tìm số tự nhiên n cho A n  2n  số phương Câu 3: (4,5 điểm) a2 b2 c2   a  b  c a) Cho a, b, c  Chứng minh b c a  x  y 2(1  xy )  b) Giải hệ phương trình  xy  x  y  0 Câu 4: (5,5 điểm) Cho tam giác nội tiếp đường tròn  O; R  a) Tính theo R chiều dài cạnh chiều cao tam giác ABC M  B; C  b) Gọi M điểm di động cung nhỏ BC  Trên tia đối tia MB lấy MD MB Chứng minh MCD c) Xác định vị trí điểm M cho tổng S MA  MB  MC lớn Tính giá trị lớn S theo R Câu 5: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi Ký hiệu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức a 9b 16   b c  a c  a  b a b  c ……………….HẾT…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… S LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (2,5 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  x  9  y  y  2 A  x  x  x   y 1 Tính giá trị biểu thức 2 biết x  16 y  xy xy  x  Lời giải ĐKXĐ: y  1; x 0; x 3 A Ta có  x  3  x  3  y  1  y     x  3  y   x( x  3) x  x  3  y  1 Từ giả thiết x  16 y  xy xy  x    x  y   x  0  x  0  x 4    x  y 0  y 1 A  Do Câu 2: (5,0 điểm) 1   x y a) Tìm nghiệm nguyên phương trình b) Tìm số tự nhiên n cho A n  2n  số phương Lời giải 1   x , y  x y a) Với ta có x y   xy  x  y  xy 0  x  y    2( y  2) 4  ( x  2)( y  2) 4 Lập bảng xét ước ta có nghiệm :  x; y      2;1 ;  1;   ;  3;6  ;  4;  ;  6;3   2   a  n  1  a  n  1 7 b) Đặt n  2n  a với a nguyên dương  a  n  7  a 4    n 2 Vì a  n   a  n  nên  a  n  1 Câu 3: (4,5 điểm) a2 b2 c2   a  b  c a) Cho a, b, c  Chứng minh b c a  x  y 2(1  xy )  b) Giải hệ phương trình  xy  x  y  0 Lời giải a2  b 2a a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b2 c2  c 2b;  a 2c a Tương tự ta có: c  a2 b2 c2 a b2 c  b   c   a 2a  2b  2c    a  b  c b c a b c a Dấu “ =” xảy a b c b) Từ phương trình xy  x  y  0   xy x  y  Thay vào phương trình thứ ta được: x  y 2( x  y  3)  x  y 2 x  y  0  x 3 y  Thay vào phương trình thứ hai ta y  y  0   y    y   0 Với y 2  x 0 y   x  Với Vậy hệ có nghiệm  x; y   0;  ;   4;  2  3 Câu 4: (5,5 điểm) Cho tam giác nội tiếp đường tròn  O; R  a) Tính theo R chiều dài cạnh chiều cao tam giác ABC M  B; C  b) Gọi M điểm di động cung nhỏ BC  Trên tia đối tia MB lấy MD MC Chứng minh MCD c) Xác định vị trí điểm M cho tổng S MA  MB  MC lớn Tính giá trị lớn S theo R Lời giải A O B C H M D Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 3R AH AO 3R AB   R AH   sin B sin 60 2 ; a) Kẻ đường cao AH Ta có   b) Tứ giác ABMC nội tiếp nên CMD BAC 60  MCD CMD 60 CMD cân có nên tam giác c) Ta có MCD nên MC MD CD    Xét AMC BDC có AC BC ; MC CD ; ACM BCD 60  BCM Nên AMC BDC (c.g c)  MA BD Do đó: S MA  MB  MC MA  MB  MD MA  BD 2MA O Vậy S lớn MA đường kính đường trịn   hay M điểm cung nhỏ BC Câu 5: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi Ký hiệu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức S a 9b 16   b c  a c  a  b a b  c Lời giải b  c  a  x  2a  y  z   c  a  b  y  2b z  x a  b  c z  2c  z  y  Đặt  Ta có : S y  z 9( z  x) 16( x  y )  y x z 16 x z 16 y            2 x y x z y z  2x 2y 2z   2.3  2.4  2.3.4  19 Giá trị nhỏ S 19 Đạt a  ;b  ;c  8 …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC