Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (2,5 điểm) A Tính giá trị biểu thức x x 9 y2 y 2 x x y 1 biết x 16 y xy xy x Câu 2: (5,0 điểm) 1 x y a) Tìm nghiệm nguyên phương trình b) Tìm số tự nhiên n cho A n 2n số phương Câu 3: (4,5 điểm) a2 b2 c2 a b c a) Cho a, b, c Chứng minh b c a x y 2(1 xy ) b) Giải hệ phương trình xy x y 0 Câu 4: (5,5 điểm) Cho tam giác nội tiếp đường tròn O; R a) Tính theo R chiều dài cạnh chiều cao tam giác ABC M B; C b) Gọi M điểm di động cung nhỏ BC Trên tia đối tia MB lấy MD MB Chứng minh MCD c) Xác định vị trí điểm M cho tổng S MA MB MC lớn Tính giá trị lớn S theo R Câu 5: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi Ký hiệu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức a 9b 16 b c a c a b a b c ……………….HẾT…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… S LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (2,5 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x 9 y y 2 A x x x y 1 Tính giá trị biểu thức 2 biết x 16 y xy xy x Lời giải ĐKXĐ: y 1; x 0; x 3 A Ta có x 3 x 3 y 1 y x 3 y x( x 3) x x 3 y 1 Từ giả thiết x 16 y xy xy x x y x 0 x 0 x 4 x y 0 y 1 A Do Câu 2: (5,0 điểm) 1 x y a) Tìm nghiệm nguyên phương trình b) Tìm số tự nhiên n cho A n 2n số phương Lời giải 1 x , y x y a) Với ta có x y xy x y xy 0 x y 2( y 2) 4 ( x 2)( y 2) 4 Lập bảng xét ước ta có nghiệm : x; y 2;1 ; 1; ; 3;6 ; 4; ; 6;3 2 a n 1 a n 1 7 b) Đặt n 2n a với a nguyên dương a n 7 a 4 n 2 Vì a n a n nên a n 1 Câu 3: (4,5 điểm) a2 b2 c2 a b c a) Cho a, b, c Chứng minh b c a x y 2(1 xy ) b) Giải hệ phương trình xy x y 0 Lời giải a2 b 2a a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b2 c2 c 2b; a 2c a Tương tự ta có: c a2 b2 c2 a b2 c b c a 2a 2b 2c a b c b c a b c a Dấu “ =” xảy a b c b) Từ phương trình xy x y 0 xy x y Thay vào phương trình thứ ta được: x y 2( x y 3) x y 2 x y 0 x 3 y Thay vào phương trình thứ hai ta y y 0 y y 0 Với y 2 x 0 y x Với Vậy hệ có nghiệm x; y 0; ; 4; 2 3 Câu 4: (5,5 điểm) Cho tam giác nội tiếp đường tròn O; R a) Tính theo R chiều dài cạnh chiều cao tam giác ABC M B; C b) Gọi M điểm di động cung nhỏ BC Trên tia đối tia MB lấy MD MC Chứng minh MCD c) Xác định vị trí điểm M cho tổng S MA MB MC lớn Tính giá trị lớn S theo R Lời giải A O B C H M D Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 3R AH AO 3R AB R AH sin B sin 60 2 ; a) Kẻ đường cao AH Ta có b) Tứ giác ABMC nội tiếp nên CMD BAC 60 MCD CMD 60 CMD cân có nên tam giác c) Ta có MCD nên MC MD CD Xét AMC BDC có AC BC ; MC CD ; ACM BCD 60 BCM Nên AMC BDC (c.g c) MA BD Do đó: S MA MB MC MA MB MD MA BD 2MA O Vậy S lớn MA đường kính đường trịn hay M điểm cung nhỏ BC Câu 5: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi Ký hiệu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức S a 9b 16 b c a c a b a b c Lời giải b c a x 2a y z c a b y 2b z x a b c z 2c z y Đặt Ta có : S y z 9( z x) 16( x y ) y x z 16 x z 16 y 2 x y x z y z 2x 2y 2z 2.3 2.4 2.3.4 19 Giá trị nhỏ S 19 Đạt a ;b ;c 8 …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC