114 HSG 14 THANH OAI PHUONG HOANG

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG THANH OAI - NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (6,0 điểm)  x   x 3 x 2 x 2  M    :        x 1     x  3 x x 5 x   a) Cho Rút gọn M Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên b) Tính giá trị biểu thức P với x   2    18   Câu 2: (4,0 điểm) Giải phương trình: a) b)  x  3  x    x    x    24 2x  x2 1  2x  x2  Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho hai số dương x, y thoả mãn x  y     M   x   y   y  x   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1   6 b) Cho x, y , z số dương thoả mãn x  y y  z z  x 1    Chứng minh rằng: 3x  y  z 3x  y  z x  y  z Câu 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn  O; R  hai đường kính AB CD cho tiếp O; R  tuyến A đường tròn  cắt đường thẳng BC BD hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA Gọi α số đo góc BFE Hai đường kính AB CD thoả 6 mãn điều kiện biểu thức P  sin   cos  đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ BE CE  3 Chứng minh hệ thức sau: CE.DF EF  CD BF DF Câu 5: (1,0 điểm) * Tìm n  ¥ cho: n  n  số phương Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG THANH OAI NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (4,0 điểm)  x   x 3 x 2 x 2  M    :        x 1    x  3 x x 5 x   a) Cho Rút gọn M Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên b) Tính giá trị biểu thức P với x   2    18   Lời giải ĐKXĐ: (*) 1) Rút gọn M : Với  x 1 x   x   x 2 x 2 M   :      x 1  x  ( x  2)( x  3)     x 2   ( x  3)( x  3)  ( x  2)( x  2)  ( x  2)  :  x 1  ( x  2)( x  3)   x   ( x  4)  x  : x 1 ( x  2)( x  3)  x 2 x 1 Vậy (với ) (*) 2) Biểu thức M có giá trị nguyên khi: 3M x   x  1 U(3) Ư(3) Vì x   x   x   Nên x    1;3 Xảy trường hợp sau: (TMĐK (*) ) (không TMĐK (*) loại ) Vậy x  M nhận giá trị nguyên b) x   2    18   Có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x   2      2       Với x  Ta có Vậy với x  P  2014 Câu 2: (1,0 điểm) a) b)  x  3  x    x    x    24 2x  x2 1  2x  x2 1 Lời giải x  3  x    x    x    24 a)      x  x  18 x  x  20  24 (1) phương trình (1) trở thành : Đặt  y  1  y  1  24   y  25    y    y  5    x  x  24   x  x  14      x  2  x    x   x  24     x    x   x  x  24  Chứng tỏ Vậy nghiệm phương trình : x  2; x  7 b) Ta có Phương trình trở thành :  x  Vậy nghiệm phương trình : x  Câu 3: (2,0 điểm) a) Cho hai số dương thỏa mãn: x  y  Tìm GTNN biểu thức:    M   x   y   y  x   1   6 x  y y  z z  x b) Cho x, y số dương thỏa mãn: 1    x  y  z x  y  z x  y  z Chứng minh rằng: Lời giải a) (1,0 điểm)    x4 y  x2 y  M   x   y    x y    2  y  x  x y x2 y  x  Liên hệ tài 039.373.2038  y2  x2 y2 liệu 2  x2 y2         xy   xy   xy   word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com xy  Ta có: * Ta có:   15   xy   xy  16 xy  16 xy xy  1 1  xy   16 xy 16 xy (1) x  y  xy        15  15 xy   xy 16 xy 16 16 xy (2) 2 *     15 15 17   xy     xy      xy   16 xy  16 xy 4  Từ (1) (2) 2    17  289 M   xy       xy    16  Vậy   xy   xy  16 xy    4x y  x y  x  y  Dấu “=” xảy MinM  (Vì x, y  ) 289 x y 16 Vậy b) (1,0 điểm) 11 1 1        ab 4 a b  Áp dụng BĐT a b a  b (với a, b  )  1 1 1      3x  y  z  x  y  z    x  y  z   x  y  z x  y  z  Ta có:   1  1 1 1             x  y    x  z   x  y    y  z     x  y x  z x  y y  z    1 1      16  x  y x  z y  z  1 1       Tương tự: x  y  z 16  x  z x  y y  z  1 1       x  y  z 16  y  z x  y x  z  Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4         x  y  z 3x  y  3z x  y  3z 16  x  y x  z y  z  4 1         16  x  y x  z y  z  Câu 4: ( 5,0 điểm) Cho đường tròn  O; R  hai đường kính AB CD cho tiếp O; R  tuyến A đường tròn  cắt đường thẳng BC BD Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF 1) Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA 2) Gọi α số đo góc BFE Hai đường kính AB CD thoả 6 mãn điều kiện biểu thức P  sin   cos  đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ BE CE  3) Chứng minh hệ thức sau: CE.DF EF  CD BF DF Lời giải B D I O C H E P F Q A 1) BA đường cao tam giác BPQ suy H thuộc BA Nối OE , BEF vuông B ; BA  EF nên AB  AE AF  AE AB AE AB AE AB      1 AB AF OA AQ AB AF 2 · µ · · Vậy AEO  ABQ (c.g.c) Suy ABQ  AEO mà ABQ  P1 (góc có · µ cạnh tương ứng vng góc) nên AEO  P1 , mà hai góc đồng vị Trong AEO có PE  PA (giả thiết); PH //OE suy H trung điểm OA 2) Ta có: P  sin   cos    sin     co s   3 P   sin   cos   sin   sin  cos   cos   P   sin   cos    3sin  cos    3sin  cos  Ta có:  sin   cos    4sin  cos    4sin  cos   sin  cos   Suy ra: Liên hệ tài 039.373.2038 P   3sin  cos    liệu word mơn tốn:  4 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Do đó: Pmin   khi: sin   cos   sin   cos  (vì  góc sin    tg     45 cos  nhọn) Khi CD vng góc với AB O 3) Ta có ACB ADB nội tiếp đường trịn   có AB đường · · kính nên ACB  ADB  90  ADBC hình chữ nhật 2 Ta có: CD  AB  AE AF  CD  AB  AE AF   EC.EB   DF BF    EC.DF   EB.BF   EC.DF AB.EF  AB  CE.DF EF Vậy CD  CE.DF EF BE EA.EF AE BE AE CE.BE BE CE        FA.EF AF BF AF DF BF BF DF Ta có: BF Câu 5: (1,0 điểm) * Tìm n  ¥ cho: n  n  số phương Lời giải   n  n3   n  n Giả sử n  n  số phương   n  n3   n  k  2  n  2kn  k (k  ¥ * )  n3  2kn  k   n  n  2k   k   2 2 Mà k  1Mn  k  n  k    Nếu Thử lại ( thỏa mãn) 2 Khi k   k  k   n  k  n k   k   n2 n    n  2  n  2k  mâu thuẫn với điều kiện n  n  2k   k   Vậy n  …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG THANH OAI NĂM HỌC 2013-2 014 Câu 1: (4,0 điểm)  x   x 3 x 2 x 2  M    :        x 1  ... HỌC Website:tailieumontoan.com x   2      2       Với x  Ta có Vậy với x  P  2 014 Câu 2: (1,0 điểm) a) b)  x  3  x    x    x    24 2x  x2 1  2x  x2 1 Lời giải... thành : Đặt  y  1  y  1  24   y  25    y    y  5    x  x  24   x  x  14      x  2  x    x   x  24     x    x   x  x  24  Chứng tỏ Vậy nghiệm