Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG THANH OAI - NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (6,0 điểm) x x 3 x 2 x 2 M : x 1 x 3 x x 5 x a) Cho Rút gọn M Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên b) Tính giá trị biểu thức P với x 2 18 Câu 2: (4,0 điểm) Giải phương trình: a) b) x 3 x x x 24 2x x2 1 2x x2 Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho hai số dương x, y thoả mãn x y M x y y x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 6 b) Cho x, y , z số dương thoả mãn x y y z z x 1 Chứng minh rằng: 3x y z 3x y z x y z Câu 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn O; R hai đường kính AB CD cho tiếp O; R tuyến A đường tròn cắt đường thẳng BC BD hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA Gọi α số đo góc BFE Hai đường kính AB CD thoả 6 mãn điều kiện biểu thức P sin cos đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ BE CE 3 Chứng minh hệ thức sau: CE.DF EF CD BF DF Câu 5: (1,0 điểm) * Tìm n ¥ cho: n n số phương Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG THANH OAI NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (4,0 điểm) x x 3 x 2 x 2 M : x 1 x 3 x x 5 x a) Cho Rút gọn M Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên b) Tính giá trị biểu thức P với x 2 18 Lời giải ĐKXĐ: (*) 1) Rút gọn M : Với x 1 x x x 2 x 2 M : x 1 x ( x 2)( x 3) x 2 ( x 3)( x 3) ( x 2)( x 2) ( x 2) : x 1 ( x 2)( x 3) x ( x 4) x : x 1 ( x 2)( x 3) x 2 x 1 Vậy (với ) (*) 2) Biểu thức M có giá trị nguyên khi: 3M x x 1 U(3) Ư(3) Vì x x x Nên x 1;3 Xảy trường hợp sau: (TMĐK (*) ) (không TMĐK (*) loại ) Vậy x M nhận giá trị nguyên b) x 2 18 Có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x 2 2 Với x Ta có Vậy với x P 2014 Câu 2: (1,0 điểm) a) b) x 3 x x x 24 2x x2 1 2x x2 1 Lời giải x 3 x x x 24 a) x x 18 x x 20 24 (1) phương trình (1) trở thành : Đặt y 1 y 1 24 y 25 y y 5 x x 24 x x 14 x 2 x x x 24 x x x x 24 Chứng tỏ Vậy nghiệm phương trình : x 2; x 7 b) Ta có Phương trình trở thành : x Vậy nghiệm phương trình : x Câu 3: (2,0 điểm) a) Cho hai số dương thỏa mãn: x y Tìm GTNN biểu thức: M x y y x 1 6 x y y z z x b) Cho x, y số dương thỏa mãn: 1 x y z x y z x y z Chứng minh rằng: Lời giải a) (1,0 điểm) x4 y x2 y M x y x y 2 y x x y x2 y x Liên hệ tài 039.373.2038 y2 x2 y2 liệu 2 x2 y2 xy xy xy word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com xy Ta có: * Ta có: 15 xy xy 16 xy 16 xy xy 1 1 xy 16 xy 16 xy (1) x y xy 15 15 xy xy 16 xy 16 16 xy (2) 2 * 15 15 17 xy xy xy 16 xy 16 xy 4 Từ (1) (2) 2 17 289 M xy xy 16 Vậy xy xy 16 xy 4x y x y x y Dấu “=” xảy MinM (Vì x, y ) 289 x y 16 Vậy b) (1,0 điểm) 11 1 1 ab 4 a b Áp dụng BĐT a b a b (với a, b ) 1 1 1 3x y z x y z x y z x y z x y z Ta có: 1 1 1 1 x y x z x y y z x y x z x y y z 1 1 16 x y x z y z 1 1 Tương tự: x y z 16 x z x y y z 1 1 x y z 16 y z x y x z Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4 x y z 3x y 3z x y 3z 16 x y x z y z 4 1 16 x y x z y z Câu 4: ( 5,0 điểm) Cho đường tròn O; R hai đường kính AB CD cho tiếp O; R tuyến A đường tròn cắt đường thẳng BC BD Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF 1) Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA 2) Gọi α số đo góc BFE Hai đường kính AB CD thoả 6 mãn điều kiện biểu thức P sin cos đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ BE CE 3) Chứng minh hệ thức sau: CE.DF EF CD BF DF Lời giải B D I O C H E P F Q A 1) BA đường cao tam giác BPQ suy H thuộc BA Nối OE , BEF vuông B ; BA EF nên AB AE AF AE AB AE AB AE AB 1 AB AF OA AQ AB AF 2 · µ · · Vậy AEO ABQ (c.g.c) Suy ABQ AEO mà ABQ P1 (góc có · µ cạnh tương ứng vng góc) nên AEO P1 , mà hai góc đồng vị Trong AEO có PE PA (giả thiết); PH //OE suy H trung điểm OA 2) Ta có: P sin cos sin co s 3 P sin cos sin sin cos cos P sin cos 3sin cos 3sin cos Ta có: sin cos 4sin cos 4sin cos sin cos Suy ra: Liên hệ tài 039.373.2038 P 3sin cos liệu word mơn tốn: 4 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Do đó: Pmin khi: sin cos sin cos (vì góc sin tg 45 cos nhọn) Khi CD vng góc với AB O 3) Ta có ACB ADB nội tiếp đường trịn có AB đường · · kính nên ACB ADB 90 ADBC hình chữ nhật 2 Ta có: CD AB AE AF CD AB AE AF EC.EB DF BF EC.DF EB.BF EC.DF AB.EF AB CE.DF EF Vậy CD CE.DF EF BE EA.EF AE BE AE CE.BE BE CE FA.EF AF BF AF DF BF BF DF Ta có: BF Câu 5: (1,0 điểm) * Tìm n ¥ cho: n n số phương Lời giải n n3 n n Giả sử n n số phương n n3 n k 2 n 2kn k (k ¥ * ) n3 2kn k n n 2k k 2 2 Mà k 1Mn k n k Nếu Thử lại ( thỏa mãn) 2 Khi k k k n k n k k n2 n n 2 n 2k mâu thuẫn với điều kiện n n 2k k Vậy n …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG THANH OAI NĂM HỌC 2013-2 014 Câu 1: (4,0 điểm) x x 3 x 2 x 2 M : x 1 ... HỌC Website:tailieumontoan.com x 2 2 Với x Ta có Vậy với x P 2 014 Câu 2: (1,0 điểm) a) b) x 3 x x x 24 2x x2 1 2x x2 1 Lời giải... thành : Đặt y 1 y 1 24 y 25 y y 5 x x 24 x x 14 x 2 x x x 24 x x x x 24 Chứng tỏ Vậy nghiệm