Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG THANH OAI - NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (6,0 điểm) x x 3 x 2 x 2 M : x x x x x a) Cho Rút gọn M Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên b) Tính giá trị biểu thức P P=3 x 2013 +5 x 2011 +2006 với x 2 18 Câu 2: (4,0 điểm) Giải phương trình: a) b) x 3 x x 5 x 24 x x 2 x x Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho hai số dương x, y thoả mãn x y 1 M x y y x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 6 b) Cho x, y , z số dương thoả mãn x y y z z x 1 Chứng minh rằng: 3x y z 3x y 3z x y 3z Câu 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn O; R hai đường kính AB CD cho tiếp O; R tuyến A đường tròn cắt đường thẳng BC BD hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA Gọi α số đo góc BFE Hai đường kính AB CD thoả 6 mãn điều kiện biểu thức P sin cos đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ BE CE 3 Chứng minh hệ thức sau: CE.DF EF CD BF DF Câu 5: (1,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com * Tìm n cho: n n số phương .……………….HẾT…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG THANH OAI NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (4,0 điểm) x x 3 x 2 x 2 M : x x x x x a) Cho Rút gọn M Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên b) Tính giá trị biểu thức P P=3 x 2013 +5 x 2011 +2006 với x 2 18 Lời giải x≥0 ; x≠4 ; x≠9 (*) 1) Rút gọn M : Với x≥0 ; x≠4 ; x≠9 ĐKXĐ: x 1 x x M : x x x 2 x 2 x ( x 2)( x 3) ( x 3)( x 3) ( x 2)( x 2) ( x 2) : x 1 ( x 2)( x 3) x ( x 4) x : x 1 ( x 2)( x 3) x x 1 x−2 √ x+1 M= √ Vậy 2) (với x≥0 ; x≠4 ; x≠9 ) (*) x−2 √ x+1−3 √ x +1 3 = = − =1− √ x+1 √ x+1 √ x +1 √ x +1 √ x+1 M= √ Biểu thức M có giá trị nguyên khi: 3 x Ư(3) ¿ {±1;±3 } Vì x 0 Nên x 1 1;3 x 0 x 1 U(3) x 1 Xảy trường hợp sau: √ x+1=1⇔ √ x=0 ⇔ x=0 (TMĐK (*) ) √ x+1=3⇔ √ x=2 ⇔ x=4 (khơng TMĐK (*) loại ) Vậy x 0 M nhận giá trị nguyên b) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x 2 18 18−8 2= ( 4− 2) =|4− √2|=4− √2 √ √ √ √ Có √ √2+2 √ 3+4− √2= √2 √ 3+4= √( √3+1)2=|√3+1| x 2 3 1 2 3 62 4 x= 6+2 √( √ 3−1)2− √3=√ 6+2 √3−1−√ 3= √ 4+2 √ 3− √3 √ x=√( √ 3+1)2−√ 3=|√3+1|−√ 3=√3+1−√ 3=1 Với x 1 Ta có P=3 12013 +5 12011 +2006=3+5+2006=2014 Vậy với x 1 P 2014 Câu 2: (1,0 điểm) a) b) x 3 x x 5 x 24 x x 2 x x Lời giải a) x 3 x x x 5 24 Đặt x +9 x+19= y x x 18 x x 20 24 (1) phương trình (1) trở thành : y 1 y 1 24 0 y 25 0 y y 0 x x 24 x x 14 0 x x x x 24 0 x x x x 24 0 x +9 x+ 24>0 Chứng tỏ Vậy nghiệm phương trình : x 2; x b) Ta có 2 2 x −x −1=−( x −2 x +1)=−( x−1 )