114 hsg 14 thanh oai phuong hoang

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG THANH OAI - NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (6,0 điểm)  x   x 3 x 2 x 2  M      :   x    x   x x  x    a) Cho Rút gọn M Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên b) Tính giá trị biểu thức P P=3 x 2013 +5 x 2011 +2006 với x   2    18   Câu 2: (4,0 điểm) Giải phương trình: a) b)  x  3  x    x  5  x   24 x  x  2 x  x  Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho hai số dương x, y thoả mãn x  y 1    M  x    y   y  x   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1   6 b) Cho x, y , z số dương thoả mãn x  y y  z z  x 1    Chứng minh rằng: 3x  y  z 3x  y  3z x  y  3z Câu 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn  O; R  hai đường kính AB CD cho tiếp O; R  tuyến A đường tròn  cắt đường thẳng BC BD hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA Gọi α số đo góc BFE Hai đường kính AB CD thoả 6 mãn điều kiện biểu thức P sin   cos  đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ BE CE  3 Chứng minh hệ thức sau: CE.DF EF CD BF DF Câu 5: (1,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com * Tìm n   cho: n  n  số phương .……………….HẾT…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG THANH OAI NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (4,0 điểm)  x   x 3 x 2 x 2  M      :   x    x   x x  x    a) Cho Rút gọn M Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên b) Tính giá trị biểu thức P P=3 x 2013 +5 x 2011 +2006 với x   2    18   Lời giải x≥0 ; x≠4 ; x≠9 (*) 1) Rút gọn M : Với x≥0 ; x≠4 ; x≠9 ĐKXĐ:  x 1  x   x  M   : x    x    x 2 x 2   x  ( x  2)( x  3)    ( x  3)( x  3)  ( x  2)( x  2)  ( x  2)  :  x 1  ( x  2)( x  3)   x   ( x  4)  x  : x 1 ( x  2)( x  3)  x x 1 x−2 √ x+1 M= √ Vậy 2) (với x≥0 ; x≠4 ; x≠9 ) (*) x−2 √ x+1−3 √ x +1 3 = = − =1− √ x+1 √ x+1 √ x +1 √ x +1 √ x+1 M= √ Biểu thức M có giá trị nguyên khi: 3 x   Ư(3) ¿ {±1;±3 } Vì x 0  Nên x  1  1;3 x 0  x  1 U(3) x  1 Xảy trường hợp sau: √ x+1=1⇔ √ x=0 ⇔ x=0 (TMĐK (*) ) √ x+1=3⇔ √ x=2 ⇔ x=4 (khơng TMĐK (*) loại ) Vậy x 0 M nhận giá trị nguyên b) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x   2    18   18−8 2= ( 4− 2) =|4− √2|=4− √2 √ √ √ √ Có √ √2+2 √ 3+4− √2= √2 √ 3+4= √( √3+1)2=|√3+1| x   2  3 1   2  3  62 4  x= 6+2 √( √ 3−1)2− √3=√ 6+2 √3−1−√ 3= √ 4+2 √ 3− √3 √ x=√( √ 3+1)2−√ 3=|√3+1|−√ 3=√3+1−√ 3=1 Với x 1 Ta có P=3 12013 +5 12011 +2006=3+5+2006=2014 Vậy với x 1 P 2014 Câu 2: (1,0 điểm) a) b)  x  3  x    x  5  x   24 x  x  2 x  x  Lời giải a)  x  3  x    x    x  5 24 Đặt x +9 x+19= y   x  x  18   x  x  20  24 (1) phương trình (1) trở thành :  y 1  y  1  24 0  y  25 0   y    y   0   x  x  24   x  x  14  0   x    x    x  x  24  0   x    x    x  x  24  0 x +9 x+ 24>0 Chứng tỏ Vậy nghiệm phương trình : x  2; x  b) Ta có 2 2 x −x −1=−( x −2 x +1)=−( x−1 )