Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG CAM LỘ - NĂM HỌC 2008-2009 Câu 1: (1,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Câu 2: x + 2009 x + 2008 x + 2009 (2,0 điểm) x + 2 x + 45 x + x + 69 + = + 13 15 37 Giải phương trình sau: Câu 3: (1,0 điểm) a) Chứng minh b) Cho hai số dương 1 P= + a b Câu 4: a + b4 ≥ ab3 + a 3b − a 2b a, b a = 5−b Tìm giá trị nhỏ tổng (2,0 điểm) a) Cho a b hai số thực dương thỏa mãn điều kiện : a 2006 + b 2006 = a 2007 + b 2007 = a 2008 + b 2008 S = a 2009 + b2009 Hãy tính tổng: A= Câu 5: + − 13 + 48 6+ b) Chứng minh : (1,0 điểm) số nguyên Tìm số nguyên dương x,y thỏa mãn phương trình sau: xy − x − y + = Câu 6: (3,0 điểm) AH ( H ∈ BC ) ABC AC > AB A Cho tam giác vng có cạnh , đường cao HC BC D HD = HA Trên tia lấy điểm cho Đường vng góc với với AC D E cắt a) Chứng minh hai tam giác b) Chứng minh tam giác Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn BEC ABE tốn: ADC đồng dạng cân TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Gọi M trung điểm GB HD = BC AH + HC rằng: BE vẽ tia AM cắt BC G Chứng minh ……………….HẾT…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG CAM LỘ - HÀ TĨNH NĂM HỌC 2008-2009 Câu 1: (1,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : ( x + 2009 x + 2008 x + 2009 Lời giải ) ( ) x + 2009 x + 2008 x + 2009 = x + x + + 2008 x + x + ( )( ( )( ) ( ) = x + x + x − x + + 2008 x + x + ) = x + x + x − x + 2009 Câu 2: (2,0 điểm) x + 2 x + 45 x + x + 69 + = + 13 15 37 Giải phương trình sau: Lời giải x + 2 x + 45 x + x + 69 + = + 13 15 37 x + x + 45 x + x + 69 ⇔ + ÷+ − 1÷ = + ÷+ − 1÷ 13 15 37 ⇔ x + 15 2( x + 15) 3( x + 15) 4( x + 15) + = + 13 15 37 4 ⇔ ( x + 15 ) + − − ÷ = 13 15 37 ⇔ x = −15 Câu 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh b) Cho hai số dương 1 P= + a b a4 + b4 ≥ ab3 + a3b − a 2b2 a, b a = 5−b Tìm giá trị nhỏ tổng Lời giải a)(1,0 điểm) a4 + b4 ≥ ab + a 3b − a 2b ⇔ a + b ≥ 2ab3 + 2a 3b − 2a 2b 2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇔ a + b − 2ab3 − 2a 3b + 2a 2b ≥ ⇔ (a − 2a 3b + a 2b ) + (b − 2ab3 + a 2b ) ⇔ ( a − ab) + (b − ab) ≥ b)(1,0 điểm) P= 1 a + b ⇒ P = 20 ≥ 20 = + = = 4ab (a + b)2 a b ab ab Vậy giá trị nhỏ P Câu 4: a =b= (3,0 điểm) a) Cho a b hai số thực dương thỏa mãn điều kiện : a 2006 + b 2006 = a 2007 + b 2007 = a 2008 + b 2008 S = a 2009 + b2009 Hãy tính tổng: A= + − 13 + 48 6+ b) Chứng minh : số nguyên Lời giải a) (1,0 điểm) ( a 2008 + b 2008 = a 2007 + b 2007 Ta có: ) ( a + b ) − ab ( a 2006 + b 2006 ) ⇔ = a + b − ab ⇔ (1 − a)(1 − b) = ⇒ a = 1, b = S = + = 2 Vậy b) (1,0 điểm) A= + − 13 + 48 6+ 2 2+ A= 6+ Câu 5: = + − (2 + 1) ( + 2) = 6+ 6+ = + ( − 1) 6+ = 1∈ ¢ (3,0 điểm) Tìm số nguyên dương x,y thỏa mãn phương trình sau: xy − x − y + = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải xy − x − y + = ⇔ xy − y = x − ⇔ y ( x − 3) = x − 1 x=3 Ta thấy khơng thỏa mãn, với Để y ngun Suy ra: Câu 6: ( x, y ) = x −3 x≠3 phải ước ( 4, ) ; ( 8,3) y = 2+ x −3 ; ; (3,0 điểm) ABC A Cho tam giác vuông có AH ( H ∈ BC ) AC > AB HC D cạnh , đường cao Trên tia lấy điểm cho BC AC HD = HA D E Đường vng góc với với cắt a) Chứng minh hai tam giác b) Chứng minh tam giác BEC ABE c) Gọi M trung điểm GB HD = BC AH + HC rằng: BE ∆ADC CD CA = CE CB µ C ∆BEC ( ADC đồng dạng cân vẽ tia AM cắt BC G Chứng minh Lời giải a) (1 điểm) Xét ∆CDE có: ∆CAB ) chung Suy ra: Liên hệ tài 039.373.2038 ∆ADC liệu ∆BEC word (c-g-c) mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b)(1 điểm) · BEC = ·ADC Theo câu ta suy ra: ·ADC = EDC · · + ·ADE = 135° ⇒ BEC = 135° Ta có: Suy ra: ·AEB = 45° ∆ABE Do đó: cân (tam giác vng có góc 45° ) c) (1 điểm) ∆ABE cân Suy ra: Mà nên GB AB = GC AC ED AH = DC HC Do đó: E AM , mà (do cịn phân giác AB ED = AC DC ED //AH (do · BAC ∆ABC ∆DEC ); Mặt khác : ) AH HD = HC HC GB HD GB HD GB HD ⇒ = ⇒ = = GB + GC HD + HC BC AH + HC GC HC …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG CAM LỘ - HÀ TĨNH NĂM HỌC 2008-2 009 Câu 1: (1,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : ( x + 2 009 x + 2008 x + 2 009 Lời giải ) ( ) x + 2 009 x + 2008 x + 2 009 = x + x + +... thực dương thỏa mãn điều kiện : a 2006 + b 2006 = a 2007 + b 2007 = a 2008 + b 2008 S = a 2 009 + b2 009 Hãy tính tổng: A= + − 13 + 48 6+ b) Chứng minh : số nguyên Lời giải a) (1,0 điểm) ( a 2008... = x + x + + 2008 x + x + ( )( ( )( ) ( ) = x + x + x − x + + 2008 x + x + ) = x + x + x − x + 2 009 Câu 2: (2,0 điểm) x + 2 x + 45 x + x + 69 + = + 13 15 37 Giải phương trình sau: Lời giải x