Cận sai số cho bất đẳng thức lồi

Cận sai số cho bất đẳng thức lồi

  ĐẠIHỌCTHÁINGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM      NGUYỄN ĐÌNH LONG CẬN SAI SỐ CHO BẤT ĐẲNG THỨC LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC       Thái Nguyên, năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1  ĐẠIHỌCTHÁINGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM      NGUYỄN ĐÌNH LONG CẬN SAI SỐ CHO BẤT ĐẲNG THỨC LỒI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ       Thái Nguyên, năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 i  MỤC LỤC Trang MỤCLỤC i  BẢNGKÝHIỆU ii LỜI NÓI ĐẦU iii Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 1.1.Tậplồi 1  1.2.Hàmlồi 4  1.3.Dướiviphân 7  Chương 2: CẬN SAI SỐ ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC LỒI CÓ RÀNG BUỘC VÀ KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC 11 2.1.Kháiniệmcậnsaisố 11  2.2.Cậnsaisốđốivớibấtđẳngthứclồikhôngcóràngbuộc 14  2.3.Cậnsaisốđốivớibấtđẳngthứclồicóràngbuộc 21  Chương 3: CẬN SAI SỐ VỚI MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT 33 3.1.Tậpthửcompact(Compacttestsets) 33  3.2.Nónhìnhkem(Theice-creamcone) 34  3.3.Bấtđẳngthứckhảvilồi(Convexdifferentiableinequalities) 36  KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 ii   BẢNG KÝ HIỆU  x S phầntử x thuộctập S   y S phầntử y khôngthuộctập S    tậprỗng  C S  C làmộttậpconcủa S   C S giaocủahaitập C và S   C S hợpcủahaitập C và S  \ C S hiệucủahaitập C và S   L phầnbùtrựcgiaocủa L trongkhônggianvéctơ  C S tíchđềcáccủahaitập C và S   C S tổngcủahaitập C và S trongkhônggianvéctơ  C S tổngtrựctiếpcủahaitập C và S trongkhônggianvéctơ  C vịtựtập C theotỉsố    trongkhônggianvéctơ  x vớimọi x   x tồntại x   sup ( ) x K f x supremumcủatập   ( ): f x x K    inf ( ) x K f x infimumcủatập   ( ): f x x K   co A baolồicủatập A  co A baolồiđóngcủatập A  cl A baođóngcủatập A  int A phầntrongcủatập A  x chuẩncủa x trongkhônggianđịnhchuẩn X   tậpsốthực n  khônggianEuclide n -chiều B quảcầuđơnvịtrong n  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4   0 điểmgốctrongkhônggiantuyếntinh X  , x y tíchvôhướngtrongkhônggianHilbert ( ; ) N x A nónpháptuyếncủa A tại x  ( ; ) T x A nóntiếpxúcvới A tại x  dom( ) f miềnhữuhiệucủa f  epi( ) f tậptrênđồthịcủa f  dist( , ) x y khoảngcáchgiữahaiđiểm x và y  dist( , ) x S khoảngcáchtừđiểm x tớitập S  dist( , ) C D khoảngcáchgiữahaitập C và D  aff( ) A baoafincủatập A  ri A tậphợpcácđiểmtrongtươngđốicủa A   ( ) L f tậpmứcdướicủahàm f   ( ) C f tậpmứctrêncủahàm f   ( ; ) f x d đạohàmtheophương d củahàm f tại x   ( ) f x dướiviphâncủahàm f tại x  * f hàmliênhợpvớihàm f  X khônggianlồiđịaphương * X khônggianliênhợp(tôpô)củakhônggian X   S nónlùixa Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 iii  LỜI NÓI ĐẦU  Cho       : n f làmộthàmnửaliêntụcdưới.Bàitoánxácđịnh cậnsaisốtoàncụccủahàm f làđitìmđiềukiệncầnvàđủchosựtồntạicủa hằngsố   0 saocho     dist( , ) ( ) x S f x vớimọi   n x ,(1) trongđó       : : ( ) 0 n S x f x là mộttập lồiđóng,khácrỗngtrong  n , “ dist ” là khoảng cách từ một điểm x  bất kỳ tới một tập cố định (chuẩn Euclid),và   ( ) ma ( ( ),0) f x x f x . Quátrìnhnghiêncứucậnsaisốtrongnhữngnămgầnđâynhậnđượcnhiều sựchúý.Năm1975Robinson   16 đãthiếtlậpcậnsaisốtoàncụccủamột tậplồi,đóngbấtkỳtrongkhônggianđịnhchuẩnvớigiảthiết S bịchặnvàcó phần trong khác rỗng. Tiếp đó Mangasarian   14  nghiên cứutập lồi, đóng   n S xácđịnhbởihệhữuhạnbấtđẳngthứclồikhảvivàthiếtlậpcậnsai số toàn cục với giả thiết Slater và tiêu chuẩn hạn chế tiệm cận. Sau đó AuslendervàCrouzeix   4 mởrộngkếtquảcủaMangasarianchonhữnghàm khôngkhảvi.Năm1994LuovàLuo   12 nghiêncứuhệbấtđẳngthứcbậc hai,lồivàthiếtlậpcậnsaisốtoàncụcchỉvớigiảthiếtSlater(khôngcóđiều kiệnràngbuộcnàonữa).TiếpđóKlatte   10 nghiêncứuliênhệgiữatínhliên tụcHaussdorffcủanghiệmvớihệbấtđẳngthứccó“nhiễu”vàcậnsaisốtoàn cụccủahệkhôngnhiễu.Li   13 nhậnđượcmộtsốtínhchấtthúvịcủacậnsai sốtrêntậpcompactchonhữngbấtđẳngthứclồikhảvitheokhíacạnhtiêu chuẩnhạnchế.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6  Gầnđây,Deng   6,7 xâydựngcậnsaisốcủatậplồiđóngxácđịnhbởi nhữnghàmlồi thựcsựđóngtrongkhônggianBanach, vớiđiềukiệnSlater trênnhữnghàmlùixatươngứng.DengvàHu   8 nhậnđượcnhữngkếtquả cậnsaisốchoquyhoạchnửaxácđịnh. Kháiniệmcậnsaisốcóvaitròquantrọngtronggiảitíchbiếnphânvàlý thuyếttốiưu.Nóliênhệchặtchẽcácbàitoánvềđiềukiệntốiưu,điềukhiển tốiưu,cựctiểu  -xấpxỉ… Gầnđây,cáctácgiảcủabàibáo   11 bằngcáchđặc biệthóamộtcách thích hợp đã thống nhất và mở rộng nhiềukếtquảđãbiết đến naycho hệ thốngbấtđẳngthứclồi. Trongluậnvănnày,tácgiảsẽtrìnhbàybàitoáncậnsaisốtoàncụccho bấtđẳngthứclồitronghaitrườnghợp,bấtđẳngthứclồikhôngcóràngbuộc vàbấtđẳngthứclồicóràngbuộc.Bàitoánđượcchonhưsau: Cho   : n f      làmộthàmnửaliêntụcdưới.   1 Cho       : : ( ) 0 n S x f x làmộttậplồiđóng,khácrỗngtrong n  , tìmdềukiệntồntạisố 0   saocho    dist( , ) ( ) x S f x ,vớimọi   n x .    2 Cho   n C làmộttậplồiđóng,khácrỗngvà     1 ( , 0] S C f ,tìm điềukiệntồntạisố   0 saocho     dist( , ) ma ( ( ) , dist( , )) x S x f x x C ,vớimọi   n x . Luậnvăngồmbachương Chương1:Trìnhbàycáckiếnthứccơsởcủagiảitíchlồivềtậpafin,tậplồi, nónlồi,hàmlồi,cựctrịcủahàmlồi,đạohàmtheophương,dướiviphân. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7  Chương2:Trìnhbàymộtsốđiềukiệncầnvàđủchosựtồntạicủacậnsaisốđối vớibấtđẳngthứclồikhôngcóràngbuộcvàbấtđẳngthứclồicóràngbuộc. Chương3:Trìnhbàymộtsốđiềukiệncầnvàđủchosựtồntạicủacậnsaisố đốivớitậpcompact,nónkem,bấtđẳngthứckhảvilồi. Đểhoànthànhluậnvănnày,tácgiảđãnhậnđượcsựgiúpđỡhướngdẫn tậntìnhcủaPGS.TS.TrươngXuânĐứcHà.Tácgiảxinbàytỏlòngbiếtơn sâusắctớicôgiáocủamình. TácgiảcũngxinchânthànhcảmơntớicácthầycôtrongViệnToánHọc, TrườngĐạihọcSưphạmTháiNguyênđãgiảngdạyvàtạođiềukiệnthuận lợitrongquátrìnhhọctậpvànghiêncứu. Bảnluậnvănchắcchắnsẽkhôngtránhkhỏinhữngkhiếmkhuyếtvìvậy rấtmongnhậnđượcsựđónggópýkiếncủacácthầycôgiáovàcácbạnhọc viênđểluậnvănđượchoànchỉnh.  TháiNguyên,tháng7,năm2012 Họcviên    NguyễnĐìnhLong.       Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8  1  Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trongchươngnàychúngtôitrìnhbàykháiquátnhữngkiếnthứcgiảitích lồivềtập afin, tậplồi, nón lồi, hàm lồi, cựctrịcủa hàm lồi,đạo hàmtheo phương,dướiviphân.Cáckếtquảchủyếuđượctríchdẫntrong   1 ,   2 ,   3 . Sauđây,taluôngiảthiết n A   làmộttậpconkhácrỗng. 1.1. Tập lồi 1.1.1. Tập afin Tập A làtậpafinnếu   , a b A ,     thì        1 a b A . Giaocủatấtcảcáctậpafinchứatập A đượcgọilàbaoafincủatập A ,vàký hiệulà aff( ) A .Dễthấyrằng aff( ) A làtậpafinnhỏnhấtchứatập A . Tập   n L làkhônggianconnếu        , ,  , a b L thì     a b L . Mộttậpafin  ( 1) n chiềutrong  n đượcgọilàsiêuphẳng.  1.1.2. Mệnh đề. Tập   n L là không gian con nếu và chỉ nếu L là tập afin chứa 0 . 1.1.3. Tập lồi Tập A làmộttậplồinếu          , ,  0,1 a b A thì      (1 ) a b A . Baolồicủamộttập   n A làgiaocủatấtcảcáctậplồichứa A .Kýhiệulà co A .Dễthấyrằngđâylàtậplồinhỏnhấtchứa A . Giaocủatấtcảcáctậplồiđóngchứa A đượcgọilàbaolồiđóngcủatập A , vàkýhiệulà co A .Dễthấyrằng co A làtậplồiđóngnhỏnhấtchứa A . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9  2  Mộtđiểm a củatậplồi A gọilàđiểmtrongtươngđốinếuvớimọi  x A đều cómộtsố   0 saocho      ( ) x a A . Tậphợpcácđiểmtrongtươngđốicủa A kýhiệulà ri A . Nhậnxét: ri A làtậplồi,mọitậplồi A đềucó   ri A . Mộtđiểmbiêncủatậplồi A làmộtđiểmcủabaođóngcủa A màkhôngphải làđiểmtrongtươngđốicủa A .  1.1.4. Ví dụ . Cáctậpchosauđâylàcáctậplồithườnggặp.   1 Trongmặtphẳnghaytrongkhônggian3chiều,mọihìnhquenbiếtnhư đoạnthẳng,hìnhtamgiác,hìnhchữnhật,khốilậpphương,hìnhtròn,hình cầu…đềulànhữngtậplồi.   2 Mọitậpafin.   3 Hìnhcầu       ( , ) : n B a r x a x r .   4 Hìnhellipsoit          2 : ( ) T n E x x a M x a r ( M làmatrậnxác địnhdương).   5 Cácnửakhônggianđóng      : , n x a x ;      : , n x a x , haycácnửakhônggianmở      : , n x a x ;      : , n x a x , trongđó       ,  0,  n a a .  1.1.5. Mệnh đề . Cho A là tập lồi. Khi đó   i int A , cl A là lồi; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10 [...]...     Vì vậy không thể có cận sai số đối với hàm này.          Tiếp theo, chúng ta đi tìm cận sai số toàn cục cho một bất đẳng thức lồi không có ràng buộc.  2.2 Cận sai số đối với bất đẳng thức lồi không có ràng buộc       Trong mục này chúng ta làm việc với tập S  xác định bởi (1). Kết quả sau  đây đưa ra điều kiện cần và đủ cho cận sai số toàn cục (2) được thỏa mãn.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu...       Bài toán xác định cận sai số toàn cục của một hàm số có liên hệ chặt chẽ  với các bài toán khác: bài toán tối ưu hóa, bài toán bất đẳng thức biến phân,…  Vì lý do đó mà bài toán cận sai số được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên  cứu. Trong chương này chúng tôi nhắc lại các khái niệm cơ bản về cận sai số,   và  trình  bày  bài  toán  cận sai số toàn  cục  cho bất đẳng thức lồi trong  hai  trường hợp, không có ràng buộc và có ràng buộc. Các công cụ được sử dụng ... dom( f ) sao cho f (x ) không là cực tiểu của f Một véc tơ x *   là véc tơ pháp tuyến của C  z : f (z )  f (x ) tại điểm x nếu và chỉ nếu tồn tại một số  không âm sao cho x *  f (x ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn18   11  Chương 2 CẬN SAI SỐ ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC LỒI CÓ RÀNG BUỘC VÀ KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC       Bài toán xác định cận sai số toàn cục của một hàm số có liên hệ chặt chẽ ... http://www.lrc-tnu.edu.vn26   19  Từ đó ta có điều phải chứng minh       Hệ quả sau cho ta một điều kiện đủ để tập S  có cận sai số toàn cục.    2.2.3 Hệ quả Cho f : n     là một hàm lồi đóng, chính thường     và cho S  x  n : f (x )  0 Giả sử f 1(0)  ri(dom( f )) Xét các phát biểu sau: (a ) (Cận sai số toàn cục) Cận sai số toàn cục (2) thỏa mãn với số   0 ; (b )  ( Slater mạnh) 0  cl(f ( f 1(0))) ; (c)... Từ đó chúng ta có điều phải chứng minh.                                                                2.3 Cận sai số đối với bất đẳng thức lồi có ràng buộc        Trong mục này, chúng tôi trình bày mở rộng Định lí 2.2.1 cho một tập lồi dạng (3) với  C  là tập lồi con thực sự của   n     2.3.1 Định lí Cho f : n     là một hàm lồi đóng, chính thường   và C là một tập lồi con của n thỏa mãn điều kiện phép chiếu , C (dom(f ))  dom(f... chúng ta tìm cách đánh giá khoảng cách từ một điểm bất kỳ trong  n  tới tập  S  thông qua một hằng số nhân với một hàm có thể tính được đo lường sự vi  phạm của ràng buộc  f (x )  0  Nói cách khác, chúng ta tìm điều kiện cần và  đủ cho sự tồn tại của hằng số   0  để có bất đẳng thức sau                                         dist(x , S )   f (x ) , với mọi x  n                         (2)  Một  bất đẳng thức (2)  được  gọi  là  cận sai. .. đúng đắn của cận sai số toàn cục  bằng phương pháp phản  chứng. Giả sử ngược lại rằng dưới giả thiết  (b )  không có cận sai số toàn cục   4    Khi  đó  tồn  tại  dãy  xk   C  f 1(0)   và  dk    sao  cho với  mỗi  k ,  0  dk  N (x k ; S )  và                                       max dist(dk ,T (x k ;C ), f (x k ; dk )  dk k        d  Cho dk : k  và cho wk  T (x k ,C )  sao cho   dk... 9 ) chúng ta có đẳng thức:   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn30   23   d  C (x ; d )  dist(d,T (x ;C ))   Cho hàm lồi f(x ) : max( f (x ), g(x )),   x  n   Khi đó tập lồi S  đã cho bởi công thức sẽ viết dưới dạng sau    S   x  n : f(x )  0 ;  hơn nữa   f(x )  max(f (x ) , dist(x ,C ))   Từ nhận xét   9   ở trên, với bất kỳ véc tơ   x... kiện phép chiếu ( 6 ) hoặc điều kiện phần trong ( 7 ) Cho S  C  f 1(, 0] Giả sử C  f 1(0)  int(dom(f )) và S   Xét các phát biểu sau: a (Cận sai số toàn cục) Tồn tại một số   0 sao cho dist(x , S )   max(dist(x ,C ), f (x ) ), với mọi x  n b  (Slater mạnh) Tồn tại một hằng số k  0 sao cho với mọi véc tơ x  C  f 1(0) , một số   0 và cặp (u, v )  N (x ;C )  f (x ) thỏa mãn... lí Cho f : n     là một hàm lồi đóng, chính thường     và S  x  n : f (x )  0 Với số   0 , các phát biểu sau là tương đương (a ) Cận sai số toàn cục (2) thỏa mãn, (b )  Với mọi x  f 1(0) và d  N (x ; S ) , f (x ;d )   1 d                  (5) (c)  Với mọi x  f 1(0)  và d  T (x ;dom(f ))  N (x ; S )   thì (5) đúng Chứng minh (a )  (b) :  Giả  sử  rằng  có  cận sai số . nhiềukếtquảđãbiết đến nay cho hệ thống bất đẳng thức lồi.  Trongluậnvănnày,tácgiảsẽtrìnhbàybàitoán cận sai số toàncục cho bất đẳng thức lồi tronghaitrườnghợp, bất đẳng thức lồi khôngcóràngbuộc và bất đẳng thức lồi córàngbuộc.Bàitoánđược cho nhưsau: Cho   : n f . 1.1.Tập lồi 1  1.2.Hàm lồi 4  1.3.Dướiviphân 7  Chương 2: CẬN SAI SỐ ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC LỒI CÓ RÀNG BUỘC VÀ KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC 11 2.1.Kháiniệm cận sai số 11  2.2. Cận sai số đốivới bất đẳng thức lồi khôngcóràngbuộc. đó AuslendervàCrouzeix   4 mởrộngkếtquảcủaMangasarian cho nhữnghàm khôngkhảvi.Năm1994LuovàLuo   12 nghiêncứuhệ bất đẳng thức bậc hai, lồi vàthiếtlập cận sai số toàncụcchỉvớigiảthiếtSlater(khôngcóđiều kiệnràngbuộcnàonữa).TiếpđóKlatte   10 nghiêncứuliênhệgiữatínhliên tụcHaussdorffcủanghiệmvớihệ bất đẳng thức có“nhiễu”và cận sai số toàn cụccủahệkhôngnhiễu.Li   13 nhậnđượcmột số tínhchấtthúvịcủa cận sai số trêntậpcompact cho những bất đẳng thức lồi khảvitheokhíacạnhtiêu chuẩnhạnchế.  Số