Bất đẳng thức đại số trong tam giác

Bất đẳng thức đại số trong tam giác

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC PhÔm Cæng ¿nh B‡T NG THÙC „I SÈ TRONG TAM GIC LUN VN THC Sò TON HC Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M số: 60.46.0113 Ngữới hữợng dăn khoa håc GS TSKH NGUY™N V‹N MŠU THI NGUY–N - N‹M 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Lới cÊm ỡn Luên vôn BĐt ng thực Ôi số tam giĂc ữủc tĂc giÊ hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn v ch bÊo tên tẳnh cừa GS TSKH Nguyạn Vôn Mêu  hon thnh ữủc luên vôn ny tĂc giÊ  nhên ữủc rĐt nhiÃu sỹ ởng viản, giúp ù cừa nhiÃu cĂ nhƠn v têp th Trữợc hát, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án GS TSKH Nguyạn Vôn Mêu ngữới thƯy  hữợng dăn tổi thỹc hiằn luên vôn cừa mẳnh Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi cĂc thƯy cổ giĂo  giÊng dÔy chúng tổi lợp cao håc hai n«m håc vøa qua Tỉi xin gûi lới cĂm ỡn chƠn thnh tợi cĂc thƯy cổ Ban GiĂm hiằu, Phỏng o tÔo Khoa hồc v Quan h» quèc t¸, Ban Chõ nhi»m khoa To¡n - Tin cừa trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản v trữớng THPT Chu Vôn An - ThĂi Nguyản  tÔo nhỳng iÃu kiằn tốt nhĐt cho tổi quĂ trẳnh hồc têp Cuối tổi xin gỷi lới cĂm ỡn án gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới  luổn tổi, ởng viản v khuyán khẵch tổi quĂ trẳnh thỹc hiằn luên vôn cừa mẳnh TĂc giÊ PhÔm Cổng nh Soỏ hoựa bụỷi trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mửc lửc M Ưu Mởt số kỵ hiằu dũng luên vôn CĂc ng thực Ôi số liản quan án tam giĂc 1.1 CĂc nh lỵ cỡ bÊn và tam giĂc 1.2 Hằ thực Ôi số cừa cĂc yáu tố tam giĂc 10 BĐt ng thực liản quan án số o ë d i tam gi¡c 21 2.1 X¥y düng cĂc bĐt ng thực liản quan án số o ở d i tam gi¡c 2.2 21 CĂc dÔng hằ quÊ cừa bĐt ng thực AM-GM Ăp dửng cho cĂc yáu tố Ôi sè cõa tam gi¡c 2.2.1 Mët sè b§t ¯ng thùc cì b£n 29 2.2.2 Sû dưng b§t ¯ng thùc 30 2.2.3 Sû dưng b§t ¯ng thùc 30 2.2.4 Sû döng b§t ¯ng thùc 31 2.2.5 2.3 29 Sû dưng mët sè b§t ¯ng thùc so sĂnh vợi biu thực 31 Mởt số bi têp ¡p döng 32 Mët sè ùng döng v o b i toĂn cỹc tr v nhên dÔng tam giĂc 41 3.1 Nhên dÔng tam giĂc vuổng 41 3.2 Nhên dÔng tam giĂc cƠn 45 3.3 Nhên dÔng tam giĂc Ãu 49 55 56 57 Phử lửc Kát luên Ti liằu tham kh£o Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ M Ưu BĐt ng thực tam giĂc l mởt phƯn quan trồng cừa toĂn sỡ cĐp BĐt ng thực Ôi số tam giĂc l mởt phƯn chiám v trẵ quan trồng cĂc bi toĂn và bĐt ng thực tam giĂc Cõ rĐt nhiÃu cĂc dÔng toĂn loÔi khõ liản quan án chuyản à ny Trong c¡c k¼ thi håc sinh giäi quèc gia, thi Olympic toĂn quốc tá, cĂc bi toĂn liản quan án bĐt ng thực Ôi số tam giĂc cụng hay ữủc à cêp v thữớng thuởc loÔi khõ CĂc bi toĂn v· chùng minh b§t ¯ng thùc, cüc trà tam giĂc hay cĂc bi toĂn và nhên dÔng tam giĂc  ữủc à cêp cĂc ti liằu bỗi dữùng giĂo viản v hồc sinh chuyản toĂn bêc trung hồc phờ thổng CĂc kát quÊ nghiản cựu và nởi dung ny tữỡng ối Ưy ừ v hon thiằn Chẵnh vẳ vêy  thu ữủc kát quÊ mợi cõ ỵ nghắa và nởi dung ny l rĐt khõ Tuy vêy cho án nhỳng nôm gƯn Ơy mởt số nh toĂn hồc văn thu ữủc mởt số kát quÊ mợi cõ ỵ nghắa và nởi dung ny Luên vôn BĐt ng thực Ôi số tam giĂc nhơm cung cĐp mởt số kián thực cỡ bÊn và cĂc hằ thực Ôi số cừa cĂc yáu tố tam giĂc, bĐt ng thực liản quan án số o ở di tam giĂc ỗng thới cụng ữa ữủc mởt số cĂch xƠy dỹng cĂc bĐt ng thực Ôi số mợi tam giĂc Trong quĂ trẳnh hon thnh luên vôn, tĂc giÊ  khổng ngứng nộ lỹc  hồc họi, tẳm tỏi v sữu tƯm cĂc bi toĂn và bĐt ng thực Ôi số tam giĂc Luên vôn gỗm phƯn m Ưu v ba chữỡng Chữỡng CĂc ng thực Ôi số liản quan án tam giĂc Nởi dung cừa chữỡng ny nhơm trẳnh by cĂc nh lẵ cỡ bÊn và tam giĂc ỗng thới trẳnh by cĂc hằ thực Ôi số cừa cĂc yáu tố tam giĂc Chữỡng BĐt ng thực liản quan án số o ë d i tam gi¡c Số hóa trung tâm hoùc lieọu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chữỡng ny nhơm giợi thiằu mởt số bĐt ng thực Ôi số tam giĂc ữủc xƠy dỹng ữủc tứ cĂc hằ thực Ôi số chữỡng ỗng thới ữa mởt số dÔng hằ qu£ quen thuëc cõa b§t ¯ng thùc AM-GM º chùng minh mởt số dÔng bĐt ng thực Ôi số tam gi¡c Ch÷ìng n y cơng ÷a mët sè b i thi håc sinh giäi quèc gia v  quèc t¸ câ liản quan án bĐt ng thực Ôi số tam gi¡c Ch÷ìng Mët sè ùng dưng v o b i to¡n cỹc tr v nhên dÔng tam giĂc Chữỡng ny ữa cĂc bi toĂn và nhên dÔng cĂc loÔi tam gi¡c: Tam gi¡c vng, tam gi¡c c¥n, tam gi¡c ·u Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mët số kỵ hiằu dũng luên vôn ã MO ã IMO • APMO • AM - GM - • - International Mathematical Olympiad - sym • National Mathematical Olympiad cyc Asian Pacific Mathematical Olympiad - - - Têng èi xùng, Têng ho¡n và, • ma ; mb ; mc ph¡t tø c¡c ¿nh - •r: •R: - - • ; rb ; rc sym cyc l  vi¸t t­t cõa l viát tưt cừa symmetric cyclic lƯn lữủt l ở di cĂc ữớng trung tuyán xuĐt A, B, C ã la ; lb ; lc tø c¡c ¿nh A, B, C • ; hb ; hc ¿nh A, B, C Arithmetic mean - Geometric mean - lƯn lữủt l ở di cĂc ữớng phƠn giĂc xuĐt phĂt lƯn lữủt l ở di cĂc ữớng cao xuĐt phĂt tứ cĂc l bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp l bĂn kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp - l bĂn kẵnh ữớng trỏn b ng ti¸p Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ •p - l  nûa chu vi cõa tam gi¡c •S - l  di»n t½ch cõa tam gi¡c Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Ch÷ìng C¡c ng thực Ôi số liản quan án tam giĂc 1.1 CĂc nh lỵ cỡ bÊn và tam giĂc Trong luên vôn ny, ta s sỷ dửng mởt số kỵ hiằu thống nhĐt tam giĂc nhữ sau Cho tam giĂc nh lỵ 1.1 giĂc ABC ABC ta kẵ hiằu AB = c; AC = b; BC = a (nh lỵ h m sè sin tam gi¡c, xem [4],[6]) Trong tam luổn cõ ng thực sau nh lỵ 1.2 giĂc ABC , a b c = = = 2R sin A sin B sin C (nh lỵ hm số cosin tam gi¡c xem [4],[6]) Trong tam luæn câ ¯ng thùc sau a2 = b2 + c2 − 2bc cos A; b2 = a2 + c2 − 2ac cos B; c2 = a2 + b2 − 2ab cos C nh lỵ 1.3 giĂc ABC (nh lỵ hm số tang tam gi¡c, xem [4],[6]) Trong tam luæn câ ¯ng thùc sau A−B a−b A−B C = = tan tan ; A+B a+b 2 tan tan Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ B−C b−c B−C A = = tan tan ; B+C b+c 2 tan C −A tan c−a C −A B = = tan tan C +A c+a 2 tan tan nh lỵ 1.4 (Cổng thực tẵnh ở di ữớng cao tam giĂc, xem [4],[6]) = 2S p(p − a)(p − b)(p − c) = ; a a 2S p(p − a)(p − b)(p − c) = ; b b 2S p(p − a)(p − b)(p − c) hc = = c c hb = nh lỵ 1.5 (Cổng thực tẵnh ở di ữớng trung tuyán tam gi¡c, xem [4],[6]) b2 + c2 a2 = − ; 2 a +c b2 mb = − ; a2 + b2 c2 m2 = c m2 a nh lỵ 1.6 (Cổng thực tẵnh ở di ữớng phƠn giĂc tam gi¡c, xem [4],[6]) 2bc A cos ; b+c 2ac B lb = cos ; a+c 2ab C lc = cos a+b la = ành lỵ 1.7 (Cổng thực tẵnh ở di bĂn kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp, xem [4],[6]) R= a b c abc abc = = = = sin A sin B sin C 4S p(p − a)(p − b)(p − c) Số hóa trung tâm hoùc lieọu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ nh lỵ 1.8 (Cổng thực tẵnh ở di bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp, xem [4],[6]) r = (pa) tan nh lỵ 1.9 A B C S = (p−b) tan = (p−c) tan = = 2 p (p − a)(p − b)(p − c) p (Cỉng thùc t½nh ë d i b¡n kẵnh ữớng trỏn bng tiáp, xem [4],[6]) = p tan p(p − b)(p − c) ; p−a rb = p tan B S = = p−b p(p − c)(p − a) ; p−b rc = p tan ành lỵ 1.10 A S = = pa C S = = p−c p(p − a)(p − b) p−c (Cỉng thùc t½nh di»n t½ch tam gi¡c, xem [4],[6]) 1 S = aha = bhb = chc 2 1 = bc sin A = casinB = ab sin C 2 = pr = p(p − a)(p − b)(p − c) = = abc = (p − a)ra = (p − b)rb = (p − c)rc 4R √ rra rb rc = p2 tan = nh lỵ 1.11 A B C tan tan = 2R2 sin A sin B sin C 2 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) − (a4 + b4 + c4 ) (Cổng thực hẳnh chiáu, xem [4],[6]) B C + cot ); 2 C A b = c cos A + a cos C = r(cot + cot ); 2 a = b cos C + c cos B = r(cot Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 43 Líi gi£i Ta câ S = (p − b)(p − c) ⇔ S = (p − b)2 (p − c)2 ⇔ p(p − a)(p − b)(p − c) = (p − b)2 (p − c)2 ⇔ p(p − a) = (p − b)(p − c) ⇔ p2 − pa = p2 − (b + c)p + bc ⇔ (b + c − a)p = bc ⇔ (b + c − a)(b + c + a) = 2bc ⇔ (b + c)2 − a2 = 2bc ⇔ (b2 + c2 + 2bc) − a2 = 2bc ⇔ b2 + c2 = a2 Vêy ABC vuổng tÔi A B i to¡n 3.4 ABC Cho tho£ m¢n = r + rb + rc Chùng minh r¬ng ABC vng Líi gi£i = r + rb + rc ⇔ S S S S = + + p−a p p−b p−c ⇔ 1 1 1 1 = + + ⇔ − = + p−a p p−b p−c p−a p p−b p−c ⇔ p − (p − a) (p − c) + (p − b) a a = ⇔ = (p − a)p (p − b)(p − c) (p − a)p (p − b)(p − c) ⇔ (p − a)p = (p − b)(p − c) ⇔ (b + c − a)p = bc ⇔ (b + c)2 − a2 = 2bc ⇔ b2 + c2 = a2 Vêy ABC vuổng tÔi A Bi toĂn 3.5 Cho ABC câ r + + rb + rc = a + b + c Chùng minh r¬ng ABC vng Líi gi£i Ta câ r = 4R sin Số hóa trung tâm học liệu A B C sin sin 2 http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 44 p döng a + b + c = 2R [sin A + sin B + sin C] = 8R cos A B C cos cos 2 = ptg A a+b+c A A B C = tg = 4R sin cos cos 2 2 2 rb = ptg B a+b+c B B C A = tg = 4R sin cos cos 2 2 2 rc = ptg C a+b+c C C A B = tg = 4R sin cos cos 2 2 2 Khi â, ¯ng thùc r + + rb + rc = a + b + c ⇔ 4R sin A B C A B C sin sin + sin cos cos 2 2 2 + sin = 8R cos A B C A B C A B C cos cos ⇔ sin sin sin + sin cos cos 2 2 2 2 + sin ⇔ sin B C A C A B A B C cos cos + sin cos cos = cos cos cos 2 2 2 2 A B C B C A B C C B sin sin + cos cos + cos sin cos + sin cos 2 2 2 2 2 = cos ⇔ sin B C A C A B cos cos + sin cos cos 2 2 2 A B C cos cos 2 A B C cos − 2 + cos Soá hóa trung tâm học liệu A B C sin + 2 = cos A B C cos cos 2 http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 45 ⇔ sin A B−C cos 2 + cos A B+C sin 2 = cos ⇔ sin A B+C B−C cos + cos 2 A B−C A A A A A B−C cos + cos cos − cos sin − cos cos =0 2 2 2 2 ⇔ sin A A B−C A A A − cos cos − cos sin − cos =0 2 2 2 ⇔ sin A A − cos 2 cos B−C A − cos =0 2   A A A sin = cos  2   tg = ⇔ ⇔ B−C =A ⇔  B−C A C −B =A cos = cos 2 Vªy ∆ABC A = π/2 B = /2 C = /2 vuổng 3.2 Nhên dÔng tam giĂc c¥n B i to¡n 3.6 Cho ABC câ a3 (b2 − c2 ) + b3 (c2 − a2 ) + c3 (a2 − b2 ) = Chùng minh r¬ng ABC c¥n Líi gi£i = a3 (b2 − c2 ) + b3 (c2 − a2 ) + c3 (a2 − b2 ) = a3 (b2 − c2 ) − a2 (b3 − c3 ) + b2 c2 (b − c) = (b − c) a3 (b + c) − a2 (b2 + bc + c2 ) + b2 c2 = (b − c)(a − b)(a − c)(ab + bc + ca) a−b=0 a=b ⇔ b−c=0 ⇔ b=c c−a=0 c=a ⇔ ABC c¥n Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 46 B i to¡n 3.7 ABC Cho câ hb hc hb hc + + = + + hb hc ha hb hc ABC Chựng minh rơng cƠn Líi gi£i Bi¸n êi ¯ng thùc hb hc hb hc + + = + + hb hc ha hb hc ⇔ b c a a b c + + = + + a b c b c a ⇔ b2 c + c2 a + a2 b = a2 c + b2 a + c2 b ⇔ b2 (c − a) + ca(c − a) − b(c2 − a2 ) = ⇔ (c − a)(b − c)(b − a) = ⇔ ⇔ B i to¡n 3.8 a−b=0 b−c=0 ⇔ c−a=0 ABC Cho ABC c¥n câ sin Chùng minh r¬ng ABC a=b b=c c=a A a = √ 2 bc c¥n Líi gi£i Ta câ − cos A b2 + c2 − a2 a2 − (b − c)2 sin = = 1− = 2 2bc 4bc 2A Do â, ¯ng thùc Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 47 sin A a = √ 2 bc a2 a2 − (b − c)2 a2 ⇔ sin = ⇔ = 4bc 4bc 4bc 2A ⇔ a2 − (b − c)2 = a2 ⇔ b = c ⇔ B i to¡n 3.9 ABC ABC Cho c¥n câ 4rrc = c2 Chùng minh r¬ng Líi gi£i 4rrc = S S pp−c =4 p(p − a)(p − b)(p − c) = 4(p − a)(p − b) p(p − c) =4 b + c − ac + a − b = c2 − (a − b)2 2 Do â 4rrc = c2 ⇔ c2 − (a − b)2 = c2 ⇔ a = b Vêy ABC cƠn Bi toĂn 3.10 Cho ABC câ + cos B 2a + c =√ sin B 4a2 − c2 Chùng minh r¬ng ABC c¥n Líi gi£i Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ABC c¥n 48 + cos B 2a + c (1 + cos B)2 (2a + c)2 =√ ⇔ = sin B 4a2 − c2 sin2 B 4a2 − c2 (1 + cos B)2 (2a + c)2 ⇔ = − cos2 B (2a + c)(2a − c) ⇔ + cos B 2a + c = − cos B 2a − c ⇔ + cos B 2R [2 sin A + sin C] = − cos B 2R [2 sin A − sin C] ⇔ + cos B sin A + sin C = (1 + cos B) + (1 − cos B) (2 sin A + sin C) + (2 sin A − sin C) ⇔ + cos B sin A + sin C = ⇔ sin A [1 + cos B] = sin A + sin C sin A ⇔ sin(A + B) + sin(A − B) = sin C ⇔ sin(A − B) = A = B Vêy ABC cƠn Bi to¡n 3.11 Cho ABC câ (p − a) cot Chùng minh r¬ng ABC B A = ptg 2 c¥n Líi gi£i (p − a) cot B A p−a A B = ptg ⇔ = tg tg 2 p 2 Ta câ p−a b + c − a 2R [sin B + sin C − sin A] = = p b + c + a 2R [sin B + sin C + sin A] B+C B−C A A cos − sin cos 2 2 = B+C B−C A A sin cos + sin cos 2 2 sin Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 49 A B−C B+C cos − cos 2 = A B−C B+C cos cos + cos 2 2 cos B C sin 2 = tg B tg C = B C 2 cos cos 2 sin Do â, ¯ng thùc p−a A B B C A B C A = tg tg ⇔ tg tg = tg tg ⇔ tg = tg ⇔ C = A p 2 2 2 2 Vêy ABC cƠn 3.3 Nhên dÔng tam giĂc ·u B i to¡n 3.12 ABC Cho ABC câ = 3r v  ma = 3r Chùng minh r¬ng ·u Líi gi£i Do  r = ptg A  a r = (p − a)tg A  Tø n¶n = 3r ⇔ p = 3(p − a) ⇔ b + c = 2a ma = 3r ⇔ m2 = 9r2 a 9S 9p(p − a)(p − b)(p − c) ⇔ m2 = = a p p2 2b2 + 2c2 − a2 9(p − a)(p − b)(p − c) ⇔ = p 9(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) = 4(a + b + c) 9(2a − a) a2 − (b − c)2 ⇔ 2b2 + 2c2 − a2 = a + 2a 2 2 ⇔ 2b + 2c − a = a − (b − c)2 ⇔ 5b2 + 5c2 − 6bc = 4a2 = (b + c)2 ⇔ 4(b − c)2 = ⇔ b = c (2) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (1) 50 Tø (1) v  (2) suy B i to¡n 3.13 Cho a = b = c ABC ·u ABC câ  sin B sin C =  3  a −b −c a = abc ABC Chựng minh rơng Vêy Ãu Lới giÊi a3 − b3 − c3 a = ⇔ a2 [a − b − c] = a3 − b3 − c3 a−b−c ⇔ a2 (b + c) = b3 + c3 ⇔ a2 (b + c) = (b + c) b2 + c2 − bc ⇔ a2 = b2 + c2 − bc ⇔ bc = b2 + c2 − a2 bc b2 + c2 − a2 ⇔ = 2bc 2bc ⇔ sin B sin C = = cos A ⇔ A = π/3 ⇔ [cos(B − C) − cos(B + C)] = ⇔ cos(B − C) + cos A = ⇔ cos(B − C) = ⇔ B = C Tø (1) v  (2) suy B i to¡n 3.14 a = b = c Cho ABC Vªy ABC ·u câ 2(p2 − r2 − 4Rr) = ab + bc + ca Chùng minh r¬ng (1) ABC ·u Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (2) 51 Líi gi£i S2 abc S 2(p − r − 4Rr) = 2p − 2 − p 4S p 2p(p − a)(p − b)(p − c) 2abc = 2p2 − − p2 p (p − a)(p − b)(p − c) + abc = 2p2 − p p3 − (a + b + c)p2 + (ab + bc + ca)p − abc + abc = 2p2 − p = 2(a + b + c)p − 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2 2 Do õ ng thực  cho tữỡng ữỡng vợi a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ⇔ a2 + b2 + c2 − (ab + bc + ca) = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = ⇔ a = b = c Vªy ABC ·u B i to¡n 3.15 Cho ABC câ b+c= Chùng minh r¬ng Líi gi£i ABC √ a + ·u Ta câ √ √ a a + ⇔ b + c = + (b sin C) 2 √ ⇔ 2R [sin B + sin C] = R sin A + 2R sin B sin C √ √ 1 ⇔ sin B + sin C = sin A + sin B sin C = sin(B + C) + sin B sin C 2 √ ⇔ sin B + sin C = [sin B cosC + sin C cos B] + sin B sin C √ √ 3 ⇔ sin B − cosC − + sin C + sin C − cosB − + sin B = 2 2 b+c= ⇔ sin B − cos π −C   cos π − C =   ⇔ ⇔   cos π − B =  Số hóa trung tâm học liệu + sin C − cos π −B =0 C = π/3 B = π/3 http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 52 ABC Vªy ·u B i to¡n 3.16 Cho ABC câ (a + b)(b + c)(c + a) R = 4abc r Chùng minh r¬ng ABC ·u Líi gi£i Ta câ r = 4R sin n¶n R = r A B C sin sin 2 A B C sin sin sin 2 p döng (a + b)(b + c)(c + a) 8R3 (sin A + sin B)(sin B + sin C)(sin C + sin A) = 4abc 4.8R3 sin A sin B sin C sin = cos = A+B A−B B+C B−C C +A C −A cos sin cos sin cos 2 2 2 A A B B C C sin cos sin cos sin cos 2 2 2 A−B B−C C −A cos cos 2 A B C sin sin sin 2 Tứ õ, suy ng thực  cho tữỡng ữỡng vỵi cos A−B B−C C −A cos cos =1 2 ⇔ cos A−B B−C C −A = cos = cos =1 2 ⇔ A = B = C Vªy ABC ·u Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 53 B i to¡n 3.17 ABC Cho câ √ (a + b2 + c2 ) 12 S= ABC Chùng minh r¬ng ·u Líi gi£i S= p(p − a)(p − b)(p − c) (p − a) + (p − b) + (p − c) p √ p p2 p = √ = (a + b + c)2 36 3 ≤ = √ 36 (1 ≤ + 12 + 12 )(a2 + b2 + c2 ) √ = D§u "=" x£y B i to¡n 3.18 (a + b2 + c2 ) 12 v  ch¿ ABC Cho ABC câ ·u √ 3 S = Rr Chùng minh r¬ng ·u Líi gi£i √ √ 3 3 S= Rr ⇔ pr = Rr 2 √ ⇔ a + b + c = 3R √ ⇔ 2R [sin A + sin B + sin C] = 3R √ 3 ⇔ sin A + sin B + sin C = Ta câ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ABC 54 sin A + sin B + sin C √ √ √ sin A 3 sin B = √ sin A + sin B + √ cos B + √ cos A 2 3 ≤√ sin2 A + + sin2 B + √ + 3 sin2 A + cos2 B + sin2 B + cos2 A √ 3 = D§u "=" x£y ⇔A=B=C⇔ Số hóa trung tâm học liệu ABC Ãu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 55 Phử lửc ã BĐt ng thực AM - GM Cho a1 , a2 , , an l  c¡c sè thüc khỉng ¥m , â ta câ a1 + a2 + + an √ ≥ n a1 a2 an n DĐu = xÊy ã ⇔ a1 = a2 = = an B§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz a1 , a2 , , an v  b1 , b2 , , bn , ta ln câ b§t ¯ng an )(b2 + b2 + + b2 ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 n Vợi hai dÂy số thỹc tũy ỵ thực (a1 + a2 + + D§u = x£y v  ch¿ (a1 , a2 , , an ) v  (b1 , b2 , , bn ) l  hai bở t lằ ã BĐt ng thực Schur Vợi a, b, c ≥ v  k l  sè thüc bĐt kẳ ta luổn cõ ak (a b)(a c) + bk (b − a)(b − c) + ck (c − a)(c − b) ≥ D§u = x£y ⇔a=b=c Số hóa trung tâm học liệu ho°c a = b, c = v  c¡c ho¡n http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 56 Kát luên Luên vôn BĐt ng thực Ôi số tam giĂc trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn và cĂc hằ thực Ôi số cừa cĂc yáu tố tam giĂc, cĂc ng thực v bĐt ng thực liản quan án số o ở di tam gi¡c â câ nhi·u h» thùc l  cĂc kát quÊ mợi cõ ỵ nghắa mợi thu ữủc nhỳng nôm gƯn Ơy Tiáp theo, ữa mởt số cĂch xƠy dỹng cĂc bĐt ng thực Ôi số mỵi tam gi¡c X²t mët sè ùng dưng v o bi toĂn cỹc tr v nhên dÔng tam giĂc Soỏ hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 57 T i li»u tham khÊo BĐt ng thực hẳnh hồc, NXB GiĂo dửc, 2006 [2] Nguyạn Vụ Lữỡng (chừ biản), Mởt số bi giÊng và cĂc bi toĂn tam giĂc, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi, 2007 [3] Nguyạn Vôn Mêu, BĐt ng thực - nh lẵ v Ăp dửng, NXB GiĂo Dửc, [1] Vụ ẳnh Hỏa, 2006 [4] Nguyạn Vôn Mêu (Chừ biản), dửng, Chuyản à chồn lồc lữủng giĂc v  ¡p NXB Gi¡o Döc, 2009 B i gi£ng mët sè ùng dưng v nh a thùc - chi lơy thøa h¼nh thực vo nghiản cựu toĂn sỡ cĐp, 2012 [6] TÔ Duy Phữủng, Phữỡng trẳnh bêc ba v cĂc hằ thực tam gi¡c, [5]  m V«n Nh¿, NXB Gi¡o Dưc, 2006 [7] TrƯn Phữỡng (chừ biản), toĂn hồc, V àp bĐt ng thực cĂc kẳ thi Olympic NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi, 2010 [8] TrƯn Phữỡng, Hằ thùc l÷đng gi¡c, Số hóa trung tâm học liệu NXB H  Nëi, 2002 http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ... thực Ôi số tam gi¡c Ch÷ìng Mët sè ùng dưng v o b i toĂn cỹc tr v nhên dÔng tam giĂc Chữỡng ny ữa cĂc bi toĂn và nhên dÔng cĂc loÔi tam gi¡c: Tam gi¡c vng, tam gi¡c c¥n, tam gi¡c ·u Số hóa trung... Ôi số cừa cĂc yáu tố tam giĂc Chữỡng BĐt ng thực liản quan án số o ë d i tam gi¡c Số hóa trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chữỡng ny nhơm giợi thiằu mởt số bĐt ng thực Ôi số. .. mởt số nh toĂn hồc văn thu ữủc mởt số kát quÊ mợi cõ ỵ nghắa và nởi dung ny Luên vôn BĐt ng thực Ôi số tam giĂc nhơm cung cĐp mởt số kián thực cỡ bÊn và cĂc hằ thực Ôi số cừa cĂc yáu tố tam