một số phương pháp proximal điểm trong cho bài toán cực điểm lồi và cho bất đẳng thức biến thân, chương 2

tài liệu tham khảo một số phương pháp proximal điểm trong cho bài toán cực điểm lồi và cho bất đẳng thức biến thân, chương 2

Do m < 1, ta thu du'ejc tli ba"t d~ng thuc nay rang f(xk) :s; f(y*) Dieu nay dfin

dSn

f(xk) + Akd<p(xk,xk) = f(xk) :s; f(y*) :s; f(y*) + Ak d<p(Y*,xk).

VI y* Ia nghi~m duy nha"t nen xk = y* va do B6 de 2.6.2 ta suy ra xk Ia cvc tieu

cua f tren JR!.~.

(ii) Ta ky hi~u i(k) la ChI s61~p ung voi xk du'ejc c~p nh~t, nghla la yi(k} = xk+l.

Ta dinh nghla "yk- ,i(k} E 8'ljJi(k}(xk+l) Ta bitt rang

,k =- :k <p/(xk,xk+l).

Tli nhung ky hi~u tren ta chung minh cac kh~ng dinh sau:

a {f(xk)} kh6ng tang VI

f(xk) - f(xk+1) ~ m[J(xk) - 'ljJi(k}(xk+1)] (2.62)

nen theo Chti y 2.6, f(xk) - 'ljJi(k} (xk+l) la ham kh6ng am, do do {f(xk)} cling

kh6ng tang Do do ta co the gia sa {f(xk)} bi ch~n du'oi (nSu kh6ng thl f(xk) ~

-00 va chung minh xong )

b ,k E 8Ekf(xk) Voi

Ek= f(xk) - 'ljJi(k}(xk+l) + :k «p'(xk, xk+1),xk - xk+l).

Tli dinh nghla cua ,k, ta thffy ngay du'ejcrang

Ek= f(xk) - 'ljJi(k}(xk+l) - (,k,xk - xk+l).

M~t khac do f ~ 'ljJi(k} va ,k E 8'ljJi(k}(xk+l) nen

Vy, f(y) ~ 'ljJi(k}(y) ~ 'ljJi(k}(xk+l) + (,k,y - xk+l). (2.63 )

Trang tru'ong hejp d~c bi~t, voi y = xk thl Ek~ O TIT (2.63) ta co

Vy, f(y) ~ f(xk) + 'ljJi(k} (xk+l)- f(xk) + (rk,y - xk) + (,k,xk - xk+l),

Day {f(xk)} khong tang, hQi tl;l de'n f. Gia su phan chung ding! > 1* :=

inf f(x), nghla la t6n t<;liy E IRPva 8> 0 thoa f(y) + 8 < f(xk), Vk dli IOn.

M~t khac tu ph~n b va ryk= -lk <I>'(xk, xk+l) E OEkf(xk) ta du<;5c

-t(y - xk, <I>I (xk, xk+l)) = ~k (ryk,Y - xk)

Liy t6ng bit ding thue tren voi mQi k > ko ta du'Qe

k-l (y

0 ::; Ilxk - yl12 ::; Ilxko - yl12 - 2() L Ak'

Ilxk+l - x112::;Ilxk- xl12+ ~k[Ek- :k «1>'(xk,xk+l),xk - xk+l)].

Vi {Ak} bi eh~n ( do gia thie't ), ap d1;1ngph~n e ta co

L ()k[Ek- :\«1>'(xk,xk+l),xk - xk+l)] < +00.

Dung B6 d€ 2.1 ta suy ra {llxk- xllhhQit1;1.V~y {xk} bi eh~n.

f MQi di€m gioi h<;lnx* eua {xk} Ia eve ti€u eua f tren IR~ va xk t x*

Cho xnk t x*. VI f lien t1;1enen f(xnk) t f(x*) Ap d1;1ngph~n d, f(xk) t J =

inf f(x) Do do f(x*) = j VI x* E IR~nen x* la eve ti€u eua ham f tren IR~.

xER~

Tli (2.70) thay x bdi x* ta du'Qe

Ilxk+l - x*112::;Ilxk- x*112+(yk,

2.7 Ktt qua tinh toan 86.

f)~ thu~t gi<li dti d~Hdu'Qc, ta cin gi<li bai toan con sail

Ta tha'y dng ne'u (yi, vi) la nghi~m cua bai toan tren thl

Vi= max{f(yj) + (s(yj),y- yj)}.

Vi r.p(t) = ~(t - 1)2 + p,(t -logt - 1) nen ham ml,lc tieu cua bai toan (SPk,i) "cvc ky" phi tuye'n va vi~c Hm nghi~m cua bai toan (SPk,i) co th~ ra't kho khan Tuy

nhien, ne'u

P d<p(y,xk) = L(x~)2r.p(Y;),x

thl ham ml,lc tieu la tach du'QCva cach gi<libai toan tren Ia ta gi<libai toan d6i

ng~u cua no V(ji mQi m, ta d~t Zm= ;7: va Z = (zm) thl bai toan (SPk,i) co th~ Tn

vie't l(,li nhu' sail