Cận sai số cho bất đẳng thức lồi

    ĐẠI  HỌC THÁI NGUYÊN   TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM           NGUYỄN ĐÌNH LONG CẬN SAI SỐ CHO BẤT ĐẲNG THỨC LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC             Thái Nguyên, năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1   ĐẠI  HỌC THÁI NGUYÊN   TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM           NGUYỄN ĐÌNH LONG CẬN SAI SỐ CHO BẤT ĐẲNG THỨC LỒI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ             Thái Nguyên, năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 i   MỤC LỤC Trang  MỤC LỤC i  BẢNG KÝ HIỆU ii LỜI NÓI ĐẦU .iii Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Tập lồi 1  1.2. Hàm lồi 4  1.3. Dưới vi phân 7  Chương 2: CẬN SAI SỐ ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC LỒI CÓ RÀNG BUỘC VÀ KHƠNG CĨ RÀNG BUỘC 11 2.1. Khái niệm cận sai số 11  2.2. Cận sai số đối với bất đẳng thức lồi khơng có ràng buộc 14  2.3. Cận sai số đối với bất đẳng thức lồi có ràng buộc 21  Chương 3: CẬN SAI SỐ VỚI MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT 33 3.1. Tập thử compact (Compact test sets) 33  3.2. Nón hình kem (The ice-cream cone) 34  3.3. Bất đẳng thức khả vi lồi (Convex differentiable inequalities) 36  KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41      Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 ii    BẢNG KÝ HIỆU x  S                  phần tử  x  thuộc tập  S   y  S                  phần tử  y  không thuộc tập  S                            tập rỗng  C  S                 C  là một tập con của  S   C  S                 giao của hai tập  C  và  S   C  S                 hợp của hai tập  C  và  S   C \ S                  hiệu của hai tập  C  và  S   L                        phần bù trực giao của  L  trong khơng gian véc tơ  C  S                  tích đề các của hai tập  C  và  S   C  S                  tổng của hai tập  C  và  S  trong không gian véc tơ  C  S                 tổng trực tiếp của hai tập  C  và  S  trong không gian véc tơ  C                      vị tự tập  C  theo tỉ số      trong không gian véc tơ  x                      với mọi  x   x                       tồn tại  x   sup f (x )              supremum của tập   f ( x) : x  K    x K inf f (x )               infimum của tập   f ( x) : x  K    x K coA                     bao lồi của tập  A   coA                     bao lồi đóng của tập  A   clA                      bao đóng của tập  A   intA                    phần trong của tập  A   x                       chuẩn của  x  trong không gian định chuẩn  X                            tập số thực   n                       khơng gian Euclide  n -chiều  B                        quả cầu đơn vị trong   n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4                             điểm gốc trong không gian tuyến tinh  X   x , y                   tích vơ hướng trong khơng gian Hilbert  N (x ; A)                nón pháp tuyến của  A  tại  x   T (x ; A)                nón tiếp xúc với  A  tại  x   dom(f )                miền hữu hiệu của  f   epi(f )                  tập trên đồ thị của  f   dist(x , y )              khoảng cách giữa hai điểm  x  và  y   dist(x , S )             khoảng cách từ điểm  x  tới tập  S   dist(C , D )            khoảng cách giữa hai tập  C  và  D   aff(A)                  bao afin của tập  A   riA                       tập hợp các điểm trong tương đối của  A    L ( f )                   tập mức dưới của hàm  f   C  (f )                   tập mức trên của hàm  f   f (x ; d )                 đạo hàm theo phương  d  của hàm  f  tại  x   f (x )                   dưới vi phân của hàm  f  tại  x   f *                         hàm liên hợp với hàm  f   X                         không gian lồi địa phương  X *                       không gian liên hợp (tô pô) của không gian  X   S                         nón lùi xa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 iii    LỜI NÓI ĐẦU     Cho  f : n      là  một hàm  nửa  liên tục dưới.  Bài tốn  xác  định  cận sai số tồn cục của hàm  f  là đi tìm điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của  hằng số     sao cho                                  dist(x , S )   f (x )  với mọi  x  n ,                              (1)    trong  đó  S : x  n : f (x )    là  một  tập  lồi  đóng,  khác  rỗng  trong  n ,  “ dist ”  là  khoảng  cách  từ  một  điểm  x   bất  kỳ  tới  một  tập  cố  định  (chuẩn  Euclid), và  f (x )  max (f (x ), 0)        Quá trình nghiên cứu cận sai số trong những năm gần đây nhận được nhiều  sự chú ý. Năm 1975 Robinson  16  đã thiết lập cận sai số tồn cục của  một  tập lồi, đóng bất kỳ trong khơng gian định chuẩn với giả thiết  S  bị chặn và có  phần  trong  khác  rỗng.  Tiếp  đó  Mangasarian  14   nghiên  cứu  tập  lồi,  đóng  S  n  xác định bởi  hệ hữu hạn bất đẳng thức lồi khả vi và thiết lập cận sai  số  toàn  cục  với  giả  thiết  Slater  và  tiêu  chuẩn  hạn  chế  tiệm  cận.  Sau  đó  Auslender và Crouzeix   4  mở rộng kết quả của Mangasarian cho những hàm  không  khả vi. Năm 1994  Luo  và  Luo  12  nghiên cứu  hệ bất đẳng thức bậc  hai, lồi và thiết lập cận sai số tồn cục chỉ với giả thiết Slater ( khơng có điều  kiện ràng buộc nào nữa). Tiếp đó Klatte  10  nghiên cứu liên hệ giữa tính liên  tục Haussdorff của nghiệm với hệ bất đẳng thức có “nhiễu” và cận sai số tồn  cục của hệ khơng nhiễu. Li  13  nhận được một số tính chất thú vị của cận sai  số  trên  tập  compact  cho  những  bất  đẳng  thức  lồi  khả  vi  theo  khía  cạnh  tiêu  chuẩn hạn chế.    Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6          Gần đây, Deng  6,7  xây dựng cận sai số của tập lồi đóng xác định bởi  những  hàm  lồi  thực  sự  đóng  trong  khơng  gian  Banach,  với  điều  kiện  Slater  trên những hàm lùi xa tương ứng. Deng và Hu  8  nhận được những kết quả  cận sai số cho quy hoạch nửa xác định.        Khái niệm cận sai số có vai trị quan trọng trong giải tích biến phân và lý  thuyết tối ưu. Nó liên hệ chặt chẽ các bài tốn về điều kiện tối ưu, điều khiển  tối ưu, cực tiểu   - xấp xỉ…        Gần  đây,  các  tác  giả  của  bài  báo  11   bằng  cách  đặc  biệt  hóa  một  cách  thích  hợp  đã  thống  nhất  và  mở  rộng  nhiều  kết  quả  đã  biết  đến  nay  cho  hệ  thống bất đẳng thức lồi.        Trong luận văn này, tác giả sẽ trình bày bài tốn cận sai số tồn cục cho  bất đẳng thức lồi trong hai trường hợp, bất đẳng thức lồi khơng có ràng buộc  và bất đẳng thức lồi có ràng buộc. Bài tốn được cho như sau:  Cho  f :  n      là một hàm nửa liên tục dưới.  1  Cho   S : x  n : f (x )  0   là một  tập lồi  đóng,  khác rỗng trong    n ,   tìm dều kiện tồn tại số     sao cho   dist(x , S )   f (x )  , với mọi  x  n        Cho C  n  là một tập lồi đóng, khác rỗng và  S  C  f 1(, 0] , tìm  điều kiện tồn tại số     sao cho                                       dist(x , S )   max ( f (x ), dist(x ,C )) , với mọi  x  n         Luận văn gồm ba chương  Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở của giải tích lồi về tập afin, tập lồi,  nón lồi, hàm lồi, cực trị của hàm lồi, đạo hàm theo phương, dưới vi phân.  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7   Chương 2: Trình bày một số điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của cận sai số đối  với bất đẳng thức lồi khơng có ràng buộc và bất đẳng thức lồi có ràng buộc.  Chương 3: Trình bày một số điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của cận sai số  đối với tập compact, nón kem, bất đẳng thức khả vi lồi.        Để hồn thành luận văn này, tác giả đã nhận được sự giúp đỡ hướng dẫn  tận tình của PGS. TS. Trương Xn Đức Hà. Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn  sâu sắc tới cơ giáo của mình.        Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các thầy cơ trong Viện Tốn Học,   Trường Đại học Sư phạm Thái Ngun đã giảng dạy  và tạo điều kiện thuận  lợi trong q trình học tập và nghiên cứu.        Bản luận văn chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy  rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ giáo và các bạn học  viên để luận văn được hồn chỉnh.    Thái Ngun, tháng 7, năm 2012                                                                                            Học viên                                                                                                                                                                        Nguyễn Đình Long.              Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8   1  Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ       Trong chương này chúng tơi trình bày khái qt những kiến thức giải tích  lồi  về  tập  afin,  tập  lồi,  nón  lồi,  hàm  lồi,  cực  trị  của  hàm  lồi,  đạo  hàm  theo  phương, dưới vi phân. Các kết quả chủ yếu được trích dẫn trong  1 ,   2 ,  3   Sau đây, ta luôn giả thiết  A   n  là một tập con khác rỗng.  1.1 Tập lồi 1.1.1 Tập afin         Tập  A  là tập afin nếu  a, b  A ,      thì  a    b  A   Giao của tất cả các tập afin chứa tập  A  được gọi là bao afin của tập  A , và ký  hiệu là  aff(A)  Dễ thấy rằng  aff(A)  là tập afin nhỏ nhất chứa tập  A   Tập  L  n  là không gian con nếu  a, b  L,  ,     thì  a  b  L   Một tập afin  (n  1)  chiều trong  n được gọi là siêu phẳng.    1.1.2 Mệnh đề Tập L  n không gian L tập afin chứa 1.1.3 Tập lồi       Tập  A  là một tập lồi nếu  a, b  A,    0,1  thì  a  (1   )b  A   Bao lồi của một tập  A  n  là giao của tất cả các tập lồi chứa  A  Ký hiệu là  coA  Dễ thấy rằng đây là tập lồi nhỏ nhất chứa  A   Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa  A  được gọi là bao lồi đóng của tập  A ,  và ký hiệu là  coA  Dễ thấy rằng  coA  là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa  A   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9   2  Một điểm  a  của tập lồi  A  gọi là điểm trong tương đối nếu với mọi  x  A  đều  có một số     sao cho     (x  a )  A    Tập hợp các điểm trong tương đối của  A  ký hiệu là  riA   Nhận xét:  riA  là tập lồi, mọi tập lồi  A  đều có  riA     Một điểm biên của tập lồi  A  là một điểm của bao đóng của  A  mà khơng phải  là điểm trong tương đối của  A     1.1.4 Ví dụ Các tập cho sau đây là các tập lồi thường gặp 1  Trong mặt phẳng hay trong khơng gian 3 chiều,  mọi hình quen biết như   đoạn thẳng, hình tam giác, hình chữ nhật, khối lập phương, hình trịn, hình  cầu… đều là những tập lồi.            Mọi tập afin.   3  Hình cầu   B(a, r )  x  n :    Hình ellipsoit  E   a  x  r     x  n : x  a T   M (x  a )  r  (M  là ma trận  xác  định dương).  5  Các nửa khơng gian đóng   x   n     : a, x   ;  x  n : a, x   ,        hay các nửa không gian mở  x   n : a, x   ;  x  n : a, x   ,        trong đó  a  n ,  a  0,         1.1.5 Mệnh đề Cho A tập lồi Khi i  intA , clA lồi;  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10   30  Từ điều trên suy  ra tập  f (C  f 1(0))  là bị chặn.  Tiếp theo, chúng ta chứng  minh 13  đúng bằng phương pháp phản chứng. Giả sử ngược lại (13) sai, tức là    inf dist(N (x ;C ), f (x )) : x  C  f 1(0)    Khi đó tồn tại dãy véc tơ   xk   C  f 1(0)    và  uk , vk   với  uk , vk   N (xk ;C )  f (xk )  sao cho  uk  vk    Mặt khác, chúng ta có                                                 dT (uk  vk )  f (d ),  với mọi  d  .        Từ bất đẳng thức này kết hợp với điều nhận được ở trên chúng ta có tích trong  bên  trái  tiến  dần  về  0  trong  khi  bên  phải  là  hằng  số  âm.  Đây  là  một  điều  mâu  thuẫn. Vậy (13) đúng. Từ đó chúng ta có điều phải chứng minh.                                    2.3.4 Mệnh đề Cho f : n     hàm lồi đóng,   thường cho C tập lồi n Cho S  C  f 1(, 0] Cho x  C  f 1(0) giả sử x  dom(f ) Nếu quy metric x ,   ta có N (x ; S )  cl(N (x ;C )    f (x ))    (14) Nếu thêm điều kiện x  int(dom( f )) ta bỏ bao đóng tập bên phải (14) Chứng minh Xét  trường  hợp  C  n   Trong  trường  hợp  này,  chúng  ta  chỉ  cần chứng minh  N (x ; S )  cl(  f (x ))  Điều này là rõ ràng, nếu tồn tại một  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn38   31  điểm thỏa mãn điều kiện Slater thì áp dụng Mệnh đề 1.3.9 (Định lí 23.7 trong  17 ) ta có ngay bao hàm trên. Giả sử ngược lại khơng  tồn tại một điểm nào  như thế, tức  f (x )   với  mọi  x  dom(f ) Suy  ra  f (x )  f (x )  với  mọi  x  n  . Cho    là hằng số nhân ứng với cận sai số địa phương tại  x , khi đó dist(x , S )   f (x )  với mọi  x  đủ gần  x       Chọn  y  N (x , S )  Do  x là cực tiểu tồn cục có ràng buộc của hàm tuyến  tính  yT x   trên  x  S  Theo những kết quả về hàm phạt trong  5 , tồn tại số  c   sao cho  x  là cực tiểu tồn cục khơng ràng buộc của hàm  x  yT x  cdist(x , S )   Đặc biệt, với mọi  x  đủ gần   x   yT x  yT x  cdist(x , S )  yT x  c f (x ) ;  điều này kéo theo, do tính lồi của  f , với mọi  x  n   ta có  f (x )  (c )1yT (x  x )   Mặt khác, do  f (x )   và  y  (c )1 f (x )  nên ta có bao hàm  N (x ; S )    f (x )  cl(  f (x ))   Cho C   là tập con thực sự của  n , khi đó hàm  f  được xác định  f(x ) : max(dist(x ,C ), f (x )) ,     x  n   Theo trường hợp trước, ta có  N (x ; S )  cl(  f(x )) .  Mặt khác, do  f(x )  co(f (x )  B ) , với  B  là hình cầu đơn vị trong  n  nên  chúng ta có                                            f(x )  N (x ;C )    f (x )   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn39   32  Kết hợp hai đẳng thức ở trên ta thu được đẳng thức cần thiết (14).   Cuối cùng, những lý do ở trên chỉ ra rằng ta có thể bỏ qua bao đóng trong tập bên  phải của (14) nếu  x  int(dom(f ))                                                                            Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn40   33  Chương CẬN SAI SỐ VỚI MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT       Trong chương này chúng tơi sẽ trình bày về cận sai số của một số trường  hợp  đặc  biệt. Đó  là điều kiện đủ để có cận sai số  đối với  tập compact,  nón  hình kem, bất đẳng thức khả vi lồi. Nội dung trong chương này chủ yếu được  trích dẫn trong  11     3.1 Tập thử compact (Compact test sets) Áp dụng đầu tiên của Hệ quả 2.3.3 trong chương này vào tập thử compact .  Chúng tơi trình bày trường hợp này một cách rõ ràng trong kết quả sau    3.1.1 Mệnh đề Cho f : n     hàm lồi đóng thường C   tập lồi đóng n Cho S  C  f 1(, 0] Giả sử C  f 1(0)  int(dom(f )) tồn véc tơ xˆ  C thỏa mãn f (xˆ)  Khi tập compact T  n với f (Tˆ  f 1(0)) bị chặn Tˆ ( dom(f ))  dom(f ) , Tˆ bao lồi xˆ  C (T ) , tồn số   cho dist(x , S )   max(dist(x ,C ), f (x ) ) ,   với mọi x  T        (15)  Chứng minh Do Tˆ  là bao lồi của  xˆ  C (T )  nên Tˆ  là tập compact và lồi.   Theo  chứng  minh  (d )  (c)   của  Hệ  quả  2.3.3,  chúng  ta  chứng  minh  (13)  đúng  với  C   thay  bởi  Tˆ Thật  vậy,  áp  dụng  hệ  quả  này  nên    tồn  tại  một  số     sao cho  với mọi  x  n  ta có   dist(x , Sˆ)   max( f (x ) , dist(x ,Tˆ)) ,  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn41   34  trong đó  Sˆ : Tˆ  f 1(, 0]  Do  Sˆ  là tập con của S  nên chúng ta có   dist(x , S )  dist(x , Sˆ)   Hơn nữa, nếu x  T  thì  C (x )  C (T ) ; do đó  dist(x ,Tˆ)  dist(x ,C )   Do đó chúng ta có với mọi  x  T ,                              dist(x , S )   max(dist(x ,C ), f (x ) )                                  3.2 Nón hình kem (The ice-cream cone) Áp dụng thứ hai của cận sai số trong chương này liên quan đến một hàm  f   rất đặc  biệt  mà tập  mức dưới của  hàm  này  là  một  nón  lồi được biết đến  với  tên gọi nón hình kem (The ice-cream cone).        Cho hàm  f : n      được xác định    n 1                                     f (x ) :  xi2  xn ,    x  n                                 (16)  i 1 Tập  f 1(, 0]  là thuần nhất dương, là nón lồi  và được gọi là nón hình kem,  ký hiệu là  Sice    Dễ thấy  f 1(0)  bd(Sice )  và    f ( f 1(0))  Bn 1  1 ,    trong đó  Bn 1  là hình cầu đơn vị Ơclit trong  n 1  Do đó   f ( f 1(0))  là bị  chặn. Chúng ta chú ý rằng   f (x ) , x  Sice                              dist(x , Sice )    f (x )  x  , f (x )  , x  Sice     Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn42   35  Suy ra                                          f (x )  dist(x , Sice )  f (x )       với mọi  x  n    Do đó  f (x )  tương đương với hàm khoảng cách tới  Sice     3.2.2. Mệnh đề Cho Sice nón hình kem n C  n tập lồi đóng Giả sử C  int(Sice )   Khi với tập compact T  n , tồn số   cho với x  T , ta có n 1 dist(x ,C  Sice )   max(dist(x ,C ),(  xi2  xn ) ) i 1 Nếu thêm điều kiện dist(  x C bd (S ice )  N (x ;C ),(Bn 1  ))   ,                (17) cận sai số với T  n Chứng minh Giả sử hàm  f  được xác định bởi (16) Xét tập  S  được xác định  như sau S : C  f 1(, 0]  C  Sice   Áp dụng Mệnh đề 3.1.1 với tập S  như trên, ta có  dist(x , S )   max(dist(x ,C ), f (x ) )   Do đó khẳng định đầu tiên của Mệnh đề được chứng minh. Tiếp theo, nếu bổ  sung điều kiện (17) ta có Hệ quả 2.3.3(c). Ngay khi điều này được thiết lập,  áp dụng  Hệ quả  2.3.3 chúng  ta sẽ có được ngay cận sai số  tồn cục (4)  với  T  n  Chúng ta chú ý rằng,  f ( f 1(0))  và  f (C  f 1(0))  là bị chặn. Do  đó cận sai số tồn cục (4) đúng nếu (13) đúng. Lấy bất kỳ  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn43   36  (u, v )  N (x ;C )  f (x ) , với   x  C  f 1(0)  là bất kỳ, chúng ta có    v  Bn 1  , và    u  v  dist(  x C bd (S ice )  N (x ;C ),(Bn 1  ))   Suy ra (13) đúng. Từ đó chúng ta có điều phải chứng minh       Một ứng dụng nữa của cận sai số đối với một số trường hợp đặc biệt,  là  liên quan đến một hệ thống bất đẳng thức xác định bởi hữu hạn các hàm khả  vi lồi.     3.3 Bất đẳng thức khả vi lồi (Convex differentiable inequalities) 3.3.1 Khái niệm       Cho  gi : n     là  một  hàm  lồi,  khả  vi  liên  tục,  với  mỗi  i  1, , m ,  trong đó  m  là số nguyên dương.  Định nghĩa  m S :  gi1(, 0]   i 1 Chúng ta giả sử S  là  tập khác rỗng. Khi đó,  với tập này cho                                       f (x ) : max gi (x ) ,   x  n                                     (18)  1i m Ta  có  f   là  hàm  lồi  trên  n ,  có  giá  trị  hữu  hạn  và  f 1(, 0]  S   Khi  đó  chúng ta có thể áp dụng Định lí 2.2.1. Với mỗi  x  n , đặt    I (x ) :  i : gi (x )  f (x ) ,  Đây  là  tập  các  chỉ  số  tích  cực  tại  x  n   Khi  đó  người  ta  đã  chứng  minh  được  f (x )  bằng bao lồi của các gradient  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn44   37  gi (x ) : i  I (x )   Cho  A(x )  là ký hiệu ma trận cấp  n  I (x )  với các gradient là các cột của nó.  Với mỗi  x  S , chúng ta có                           N (x , S )    i gi (x ) : i  0, i  I (x )                       (19)  iI (x )  Hơn nữa, với mọi véc tơ  d  n   f (x ;d )  max gi (x )T d   iI (x )       Nếu có dấu bằng trong (19), tức là có điều kiện chính quy Abadie, chúng  ta sẽ thu được kết quả sau trực tiếp từ định lí 2.2.1. Từ phần thảo luận ở trên  ta thấy khơng phải chứng minh cho kết quả này. Chú ý rằng ở đây khơng địi  hỏi điều kiện Slater.    3.3.2 Mệnh đề Với mỗi   i  1, , m ; cho  gi : n    là hàm khả vi liên  tục lồi. Cho                                S  x  n : gi (x )  0; i  1, , m (20) Giả sử S   đẳng thức (19) với với x  S thỏa mãn gi (x )  giá trị i Khi với số   , có dist(x , S )   max(gi (x )) ,với x  n 1i m (21) inf 1  I (x ) max gi (x )T A(x ) :     x f (0) i I (x ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên , A(x )     1 http://www.lrc-tnu.edu.vn45   38  Mệnh đề tiếp sau đây là kết quả cuối trong luận văn này, chúng tơi đưa ra  một điều kiện đủ để tập  S  cho ở  trên có cận sai số  tồn cục thỏa  mãn dưới  một  điều  kiện  ràng  buộc  “Slater  mạnh”  được  giới  thiệu  gần  đây  bởi  Mangasarian  15   Kết  quả  này  khơng  địi  hỏi  hàm  gi   là  khả  vi;  nó  được  chứng  minh  đầu  tiên  bởi  cách  tiếp  cận  sử  dụng  các  nhân  tử.  Mục  đích  của  việc  đưa ra kết quả  này  là  minh  họa  một  ứng dụng của  Hệ quả 2.2.3  có thể  chứng minh một mệnh đề khác.    3.3.3 Mệnh đề Cho S  được xác định bởi (20) với mỗi  gi  là hàm lồi hữu hạn. Giả sử    int(S )  x  n : gi (x )  0, i  1, , m  khác rỗng tồn số   cho x  S , z  int(S ) : x z min(gi (z ))  (22) 1i m Khi đó, tồn số   cho (21) Chứng minh Cho  hàm  f  được xác  định  bởi (18) Chúng  ta sẽ chứng  minh  nếu có giả thiết (21) thì   cl(f ( f 1(0)))  và do đó áp dụng Hệ quả 2.2.3 sẽ  có được cận sai số mong muốn.        Giả sử ngược lại, ta có giả thiết (22)  nhưng    cl(f ( f 1(0)))   Khi đó,      tồn tại dãy  x k  và  ak   sao cho  lim ak  ,  k   và với mỗi  k , chúng ta có  f (x k )   và  ak  f (x k )  .  Theo giả thiết (21), lấy  zk  int(S )  chúng ta có  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn46   39  x k  z k    gi (zk ) ,  1i m Điều này tương đương với                              f (zk )   1 x k  z k                                          (23)  Mặt khác, do  ak  f (x k ) nên chúng ta có               f (zk )  f (zk )  f (x k )  (ak )T (z k  x k )   ak zk  x k               (24)  Từ (23) và (24) chúng ta có  ak   1  với mọi k , đây là một điều mâu thuẫn với    tính chất của dãy  ak  Từ đó ta có điều phải chứng minh.                                                                                              Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn47   40  KẾT LUẬN       Luận văn này nghiên cứu về cận sai số cho bất đẳng thức lồi. những nội  dung chính được trình bày trong bản ln văn bao gồm:        Các kiến thức cơ sở của giải tích lồi về tập afin, tập lồi, nón lồi, hàm lồi,  đạo hàm theo phương và dưới vi phân.        Khái niệm cơ bản về cận sai số và một số điều kiện cần và đủ để một hàm  lồi có ràng buộc hoặc khơng có ràng buộc có cận sai số.        Chỉ ra sự tồn tại của cận sai số đối với tập compact (Compact test sets) ,  nón kem (The ice-cream cone), bất đẳng thức khả vi lồi (Convex differentiable  inequalities ).                    Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn48   41  TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1  Đỗ Văn Lưu,  Phan Huy Khải (2000), “Giải tích lồi”, Nxb Giáo Dục, Hà  Nội, 12-156.     [2]    Nguyễn  Xuân  Tấn,  Nguyễn  Bá  Minh  (2007),  “Lý thuyết tối ưu khơng trơn”, 1-50 [3]  Hồng Tụy (2003), “Lý thuyết tối ưu”, Viện Tốn Học, Hà Nội, 4- 27 Tiếng Anh [4]  A.  Auslender  and  J.P.  Crouzeix  (1988),  “Global regularity theorems”, Mathematics of Opertions Research 13, 243-253.    [5]  F.H.  Clarke  (1983),  “Optimization and Nonsmooth Analysis”,  John  Wiley,  New York.  [6] S. Deng, “Computable error bounds for convex inequality systems in reflexive Banach Spaces”, SIAM Journal on Optimization.  [7] S. Deng (1995), “Perturbation analysis of a condition number for convex”                University, DeKalp.  [8] S.  Deng  and  H.  Hu,  “Computable error bounds for semidefinite programming”,  manuscript,  Department  of  Mathematics,  Northern  Illinois University   DeKalp [9]  J.P.  Hiriart-Urruty  and  C. Lemaréchal   (1993),  “Convex Analysis and Minimization Algorithms”, I & II, Springer-Verlag, Berlin [10] D. Klatte. (1995), “Lipschitz stability and Hoffman ,s error bounds for convex inequality systems”,  manuscript,  Institut  for  Operations   Research,  University Zurich.      [11]  A.S.  Lewis  and J.S. Pang  (1996), “Error bounds for convex inequality systems”, in  J.P.Crouzeix,ed.,  Proc  5th  Symp.  On  Generalized  Convexity,  Luminy- Marseille.  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn49   42  [12] X.D.  Luo and  Z.Q.  Luo (1994), “Extensions of Hoffman ,s error bound to polynomial systems”, SIAM Journal on Optimization 4, 383-392 [13] W. Li (1995), “ Abadie,s constraint qualification, metric regularity, and error bounds for differentiable convex inequalities”,  manuscript,  Department  of  Mathematics  and  Statistics,  Old  Dominon  University,  Norfolk.  [14] O.L. Mangasarian (1985), “A condition number for differentiable convex inequalities”, Mathematics of  Operations Research 10, 175-179 [15]  O.L.  Mangasarian  (1996),    “Error bounds for nondifferentiable convex inequalities under a strong Slater constraint qualification”, Mathematical  Programming  Technical Report 96-04, Computer Sciences  Department,  University of Wisconsin, Madison, Wisconsin.  [16]  S.M. Robinson  (1975), “An application of error bounds for convex pro gramming in a linear space”, SIAM Journal on Control 13, 271-273.  [17] R.T. Rockafellar (1970), “Convex Analysis”, Princeton University Press,  Princenton.                   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn50     Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn51   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên   http://www.lrc-tnu.edu.vn52 ... 2.1. Khái niệm? ?cận? ?sai? ?số 11  2.2.? ?Cận? ?sai? ?số? ?đối với? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?lồi? ?khơng có ràng buộc 14  2.3.? ?Cận? ?sai? ?số? ?đối với? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?lồi? ?có ràng buộc 21  Chương 3: CẬN SAI SỐ VỚI MỘT SỐ TRƯỜNG... Vì vậy khơng thể có? ?cận? ?sai? ?số? ?đối với hàm này.          Tiếp theo, chúng ta đi tìm? ?cận? ?sai? ?số? ?tồn cục? ?cho? ? một? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?lồi? ? khơng có ràng buộc.  2.2 Cận sai số bất đẳng thức lồi khơng có ràng... biết  đến  nay  cho? ? hệ  thống? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?lồi.         Trong luận văn này, tác giả sẽ trình bày bài tốn? ?cận? ?sai? ?số? ?tồn cục? ?cho? ? bất? ?đẳng? ?thức? ?lồi? ?trong hai trường hợp,? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?lồi? ?khơng có ràng buộc