Rèn luyện năng lực tự giải toán cho 2 học sinh thpt thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải toán

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu khóa luận trung thực chƣa đƣợc cơng bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Dung LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp trƣớc hết em dành lời cảm ơn trân trọng đến giáo mơn Sƣ Phạm Tốn Trƣờng Đại học Hồng Đức tận tình dạy bảo, truyền đạt cho em kiến thức quý báu giúp đỡ em trình học tập trƣờng Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới giảng viên Trịnh Thị Lê Mai ngƣời dành nhiều thời gian tâm huyết hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng nhƣng tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận đƣợc đóng góp thầy giáo Em xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, tháng năm 2020 Tác giả Nguyễn Thị Dung MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU III GIẢ THUYẾT KHOA HỌC IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU V PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VI ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI VII CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI CHƢƠNG I: NGHIÊN CỨU VỀ CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 1.1 Sơ lƣợc vài nét chƣơng trình hình học khơng gian lớp 11 1.1.1 Nội dung 1.1.2 Mức độ yêu cầu 1.2 Tình hình thực tế qua điều tra: 1.2.1 Điều tra qua giáo viên: 1.2.2 Điều tra từ học sinh: 1.2.3 Những kết luận rút từ điều tra: 1.3 Một số sai lầm phổ biến học sinh trung học phổ thơng giải tốn hình học khơng gian lớp 11 1.3.1 Sai lầm không nắm vững khái niệm hình học khơng gian: 1.3.2 Sai lầm khơng nắm vững định lý hình học không gian: 20 1.3.3 Một số sai lầm phổ biến khác giải tốn hình học khơng gian 33 CHƢƠNG II: PHÂN TÍCH NGUYÊN NHÂN DẪN TỚI CÁC SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 – CÁC BIỆN PHÁP DẠY HỌC NHẰM HẠN CHẾ VÀ SỬA CHỮA CÁC SAI LẦM ĐÓ .64 2.1 Cơ sở lý luận 64 2.1.1 Lý luận phƣơng pháp dạy học 64 2.1.2 Những vấn đề tâm lý học dạy học 65 2.2 Phân tích nguyên nhân dẫn tới sai lầm học sinh trung học phổ thơng giải tốn hình học khơng gian lớp 11 66 2.2.1 Ngun nhân 1: Hiểu khơng đầy đủ xác thuộc tính khái niệm tốn học 66 2.2.2 Nguyên nhân 2: Không nắm vững cấu trúc định lý 69 2.2.3 Nguyên nhân 3: Thiếu kiến thức logic 72 2.2.4 Nguyên nhân 4: Học sinh không nắm vững phƣơng pháp giải toán bản……… 75 2.3 Các biện pháp dạy học nhằm phát hiện, hạn chế sửa chữa sai lầm cho học sinh giải tốn hình học không gian lớp 11 75 2.3.1 Biện pháp 1: Truyền thụ đầy đủ xác khái niệm hình học khơng gian Dự đốn phịng tránh sai lầm xảy học sinh vận dụng để giải toán 75 2.3.2 Biện pháp 2: Truyền thụ đầy đủ xác định lý hình học khơng gian Dự đốn phịng tránh sai lầm xảy học sinh vận dụng để giải toán……… 80 2.3.3 Biện pháp: Rèn luyện cho học sinh tránh ngộ nhận trực quan giải tốn hình học khơng gian 84 2.3.4 Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh sử dụng quy tắc suy luận, tránh ngộ nhận giải tốn hình học khơng gian 89 CHƢƠNG III: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 93 3.1 Mục đích thực nghiệm 93 3.2 Nội dung thực nghiệm 93 3.3 Tổ chức thực nghiệm 93 3.4 Kết thực nghiệm 94 3.5 Kết luận thực nghiệm 95 KẾT LUẬN 96 TÀI LIỆU THAM KHẢO VÀ TRÍCH DẪN 97 MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI “Trong mơn khoa học kỹ thuật, Tốn học giữ vị trí bật, cịn mơn thể thao trí tuệ, giúp cho nhiều việc rèn luyện phƣơng pháp suy nghĩ, phƣơng pháp suy luận, phƣơng pháp học tập, phƣơng pháp giải vấn đề, giúp rèn luyện trí thơng minh sáng tạo Nó cịn giúp rèn luyện nhiều đức tính quý báu khác nhƣ: Cần cù nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vƣợt khó, u thích xác, ham chuộng chân lý, [17, tr.3] Dạy học toán dạy hoạt động toán học học sinh, nói rằng: Giải tốn hình thức chủ yếu quan trọng hoạt động toán học; Giải toán phƣơng pháp hữu hiệu giúp học sinh nắm vững khắc sâu kiến thức toán học, phát triển tƣ duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo nhằm ứng dụng toán học vào thực tế sống Nó điều kiện tốt giúp học sinh phát huy tích cực, tự giác, chủ động, tƣ sáng tạo, bồi dƣỡng chức tự học, lòng say mê, học tập ý chí vƣơn lên Qua khảo sát thực tiễn dạy học toán trƣờng phổ thơng cho thấy, học sinh cịn phạm nhiều sai lầm, thiếu sót việc giải tốn hình học khơng gian, mà nguyên nhân kể đến là: Không hiểu khái niệm, không hiểu cấu trúc định lý dẫn đến việc biểu thị khái niệm hình học không gian sai vận dụng khái niệm, định lý vào việc giải tốn gặp nhiều khó khăn, sai lầm Một nguyên nhân không phần quan trọng việc khơng trọng phát hiện, uốn nắn sữa chữa sai lầm thiếu sót cho học sinh học số giáo viên Có thể nói nguyên nhân dẫn tới “Sai lầm nối tiếp sai lầm” học sinh Vấn đề này, A.A Stolia nhấn mạnh: “không tiếc thời gian để phân tích học sai lầm học sinh” Ở nƣớc ta có số cơng trình nghiên cứu vấn đề này, chẳng hạn luận án TS Lê Thống Nhất với đề tài: “Rèn luyện lực tự giải Toán cho học sinh THPT thơng qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải tốn” (Phân mơn đại số giải tích) Phát sữa chữa sai lầm học sinh giải tốn để từ hƣớng dẫn học sinh tự nhận sai lầm, tự sửa chữa, tự hạn có chế biện pháp thích hợp góp phần nâng cao hiệu dạy học học mơn Tốn trƣờng phổ thơng Ý thức đƣợc vấn đề chúng tơi chọn đề tài: “Phát sửa chữa sai lầm cho học sinh trung học phổ thơng giải tốn hình học khơng gian lớp 11” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tiến hành điều tra, tìm hiểu phân tích sai lầm phổ biến học sinh trung học phổ thơng giải tốn hình học khơng gian lớp 11 Tiến hành thực nghiệm đề xuất số biện pháp thích hợp nhằm sửa chữa ngăn ngừa sai lầm cho học sinh lớp 11 giải tốn, thơng qua dạy học hình học không gian III GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu giáo viên thƣờng xuyên quan tâm phát hiện, phân tích sữa chữa sai lầm cho học sinh giải tốn em hiểu xác sâu sắc kiến thức tốn học, từ góp phần nâng cao hiệu dạy học toán trƣờng phổ thông IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 1) Điều tra, tìm hiểu sai lầm phổ biến học sinh lớp 11 trung học phổ thơng giải tốn hình học khơng gian 2) Phân tích ngun nhân dẫn đến sai lầm học sinh giải toán 3) Đề xuất số biện pháp thích hợp để sửa chữa ngăn ngừa sai lầm học sinh giải toán 4) Thực nghiệm sƣ phạm để xem xét tính khả thi biện pháp đề xuất V PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1) Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học mơn tốn, tài liệu, cơng trình nghiên cứu khoa học giáo dục liên quan đến đề tài 2) Điều tra tìm hiểu: + Tìm hiểu qua giáo viên để nắm đƣợc sai lầm phổ biến học sinh giải tốn hình học không gian lớp 11 + Thống kê sai lầm học sinh thông qua kiểm tra trực tiếp số lớp 11 trƣờng THPT Đông Sơn 3) Thực nghiệm sƣ phạm: Trực tiếp giảng dạy thực nghiệm số lớp 11 trƣờng THPT Đơng Sơn để xem xét tính khả thi đề tài VI ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI 1) Về mặt lý luận: Nêu lên sai lầm phổ biến học sinh giải tốn hình học khơng gian có tính hệ thống Đề xuất số biện pháp thích hợp dạy học nhằm sửa chữa ngăn ngừa sai lầm đó, có tính hệ thống khả thi 2) Về mặt thực tiễn: Cung cấp tài liệu tham khảo có tính bổ ích cho giáo viên THPT sinh viên nghành tốn, nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học toán trƣờng THPT VII CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI Phần mở đầu Phần nội dung Chƣơng I: Nghiên cứu sai lầm phổ biến học sinh trung học phổ thông giải tốn hình học khơng gian lớp 11 Chƣơng II: Các biện pháp dạy học để han chế sửa chữa sai lầm học sinh trung học phổ thơng giải tốn hình học khơng gian lớp 11 Chƣơng III: Thực nghiệm sƣ phạm Phần kết luận: (*) Tài liệu trích dẫn tham khảo CHƢƠNG I: NGHIÊN CỨU VỀ CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 1.1 Sơ lƣợc vài nét chƣơng trình hình học khơng gian lớp 11 1.1.1 Nội dung Trong chƣơng trình hình học trƣờng trung học phổ thơng, phân mơn hình học bao gồm tồn hình học khơng gian xây dựng phƣơng pháp tổng hợp, với nội dung cụ thể nhƣ sau: Đại cƣơng đƣờng thẳng mặt phẳng Quan hệ song song Quan hệ vng góc Mặt cầu mặt trịn xoay Diện tích thể tích Ngồi khái niệm “điểm”, “đƣờng thẳng” (hình học phẳng), “mặt phẳng” (Hình học khơng gian) sách giáo khoa giới thiệu hệ tiên đề hình học khơng gian gồm tiên đề sau: Tiên đề 1: Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước Tiên đề 2: Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng Tiên đề 3: Nếu hai mặt phẳng có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác Tiên đề 4: Có bốn điểm không thuộc mặt phẳng Cấu trúc sách giáo khoa gồm chƣơng, giới thiệu 40 định nghĩa, 40 định lý hệ 1.1.2 Mức độ yêu cầu a) Về mặt lý thuyết: Nếu trƣớc học sinh xét mối quan hệ điểm điểm, điểm đƣờng thẳng, hai đƣờng thẳng với nhau, cịn có thêm mối quan hệ đối tƣợng mặt phẳng Nhƣ mối quan hệ trở nên phức tạp nhiều Các hình vẽ hình phẳng khơng thể phản ánh trung thành mối quan hệ nhƣ quan hệ hai đoạn thẳng hay hai góc, quan hệ vng góc hai đƣờng thẳng, v.v Nói cách khác tƣ trực quan giảm bớt vai trò quan trọng, nhƣờng chỗ cho tƣ logic trừu tƣợng kết hợp với trí tƣởng tƣợng khơng gian Bên cạnh hình học không gian lớp 11 đƣợc xây dựng theo tinh thần phƣơng pháp tiên đề, sở kế thừa tri thức hình học phẳng, việc lĩnh hội phƣơng pháp tiền đề khó khăn học sinh tính trừu tƣợng cao Trong thân nhiều em học sinh nắm kiến thức hình học phẳng cịn chƣa “Tuy nhiên việc thay tƣ trực quan tƣ logic trừu tƣợng lại đƣờng phải để đạt đến đích nâng cao lực trí tuệ khả tƣởng tƣợng không gian học sinh” [7, tr.43] Vì học hình học khơng gian học sinh lớp 11 cần nắm đƣợc kiến thức sau đây: + Hệ tiên đề hình học khơng gian Các cách xác định mặt phẳng Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng, đƣờng thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng + Định nghĩa tính chất hai đƣờng thẳng song song, hai đƣờng thẳng chéo nhau, đƣờng thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song + Định nghĩa tính chất hai đƣờng thẳng vng góc, đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc + Tính chất phép chiếu song song phép chiếu vng góc + Các loại khoảng cách: khoảng cách điểm đƣờng thẳng, hai đƣờng thẳng chéo nhau, điểm mặt phẳng, hai mặt phẳng, đƣờng thẳng mặt phẳng + Các loại góc: Góc hai đƣờng thẳng, đƣờng thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng + Định nghĩa tích chất hình chóp, hình lăng trụ, hình đa diện, hình nón, hình trụ, hình trịn xoay +Vẽ đúng, vẽ tốt hình biểu diễn hình khơng gian mặt phẳng theo phép chiếu song song, phép chiếu vng góc b) Về tập: “Hệ thống tập sách giáo khoa hình học 11 đƣợc lựa chọn nhằm mục đích củng cố kiến thức bản, rèn luyện khả tƣởng tƣợng không gian, tƣ logic, khả trừu tƣợng hóa bổ sung số kiến thức không đƣợc đề cập sách giáo khoa” [7, tr.81] Cần ý đến vấn đề “đồng tâm” hệ thống tập, chẳng hạn khái niệm tứ diện đƣợc đƣa sớm đƣợc nhắc lại nhiều lần chƣơng Rèn luyện cho học sinh đạt đƣợc khả sau đây: - Biết lập luận có cứ, trình bày lời giải mạch lạc - Biết vận dụng cơng thức để tính góc, khoảng cách, diện tích, thể tích Cần ý đến yêu cầu quan trọng việc dạy học hình học không gian thông qua việc cung cấp kiến thức rèn kuyện kỹ nói trên, ý phát triển lực trí tuệ, trí tƣởng tƣợng không gian, tƣ logic ngôn ngữ xác, tƣ thuật tốn kỹ tính toán Đồng thời rèn luyện phẩm chất tƣ linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tự kiểm tra đánh giá 1.2 Tình hình thực tế qua điều tra: 1.2.1 Điều tra qua giáo viên: Để tìm hiểu nghiên cứu khả mắc sai lầm, thiếu sót học sinh lớp 11 giải tốn hình học khơng gian, gửi phiếu điều tra trƣờng: Trƣờng THPT Đông Sơn Thời gian nhận phiếu tháng 2/2020 Đối tƣợng ghi phiếu giáo viên dạy tốn trƣờng phổ thơng nói Qua kết thu đƣợc từ phiếu điều tra nhận thấy tất giáo viên đƣợc hỏi trả lời đầy đủ, nhiệt tình trí khả mắc sai lầm học sinh giải tốn hình học khơng gian cao Khơng em có lực trung bình mắc sai lầm, thiếu sót giải tốn mà em có học lực khá, giỏi mắc sai lầm đáng tiếc Việc rèn luyện, uốn nắn sửa chữa cho học sinh vẽ hình phải đƣợc giáo viên quan tâm thƣờng xuyên suốt năm học, từ dạy lý thuyết dạy giải tập, từ hình vẽ đơn giản đến hình vẽ phức tạp Sớm cho học sinh làm quen với hình khơng gian thƣờng gặp q trình giải tốn sau Chẳng hạn số hình sau đây: 85 S S A C D C H H A B Hình chóp tam giác B Hình chóp tứ giác S S C B C A A B Hình chóp có hai mặt Hình chóp có mặt bên kề (SAC) bên (SBC) vng vóc với mặt đáy(SAB) vng góc với đáy Cạnh SA đƣờng cao hình chóp Từ đó, giúp học sinh ngày vẽ vẽ tốt hình biểu diễn hình học khơng gian Vẽ hình phải vẽ phù hợp với quy tắc đƣợc học, tuân thủ nghiêm ngặt tính chất phép chiếu song song Vẽ hình tốt trƣớc hết phải vẽ đúng, sau dễ hình dung hình thật, vẽ tốt vẽ khơng 86 máy móc cách cố định mà phải linh hoạt tùy theo nội dung xem xét, để tìm hình vẽ có tính trực quan hơn, dễ tƣởng tƣợng Chẳng hạn sau hai cách vẽ biểu diễn tứ diện vuông: D A H C A B D H B C Muốn giáo viên cần tạo tốn cụ thể mà vẽ hình địi hỏi học sinh phải linh hoạt tìm hình vẽ phù hợp với nội dung tốn Mỗi học sinh vẽ hình sai vẽ khơng tốt giáo viên nên nêu hình để học sinh xem xét rút kinh nghiệm Tơi khơng trí với quan điểm Aphơgut cho rằng: Không viết lại sai lầm học sinh lên bảng điều làm củng cố them sai lầm ý thức học sinh Đây quan niệm có tính chất máy móc giáo điều, không dựa quy luật tiếp thu kiến thức cách có ý thức học sinh; tơi trí với quan điểm: Chỉ sai lầm học sinh với việc phân tích nguyên nhân sai lầm việc làm quan trọng nhằm kích thích việc tiếp thu tri thức cách có ý thức học sinh, vì: “Con người phải biết học sai lầm thiếu sót mình” (Polia – 1975) Chọn kí hiệu cho hình vẽ điều giáo viên cần quan tâm Một ký hiệu đƣợc chọn phải thuận tiện, thông dụng, dễ nhớ không cầu kỳ, tránh dùng ký hiệu để hai đối tƣợng khác “Thời gian mà ta dành để chọn ký hiệu trả công hậu sau, thời gian tiết kiệm nhờ tránh khỏi dự lẫn lộn” ([19, tr.135] 87 Giáo viên cần lƣu ý cho học sinh đến thứ tự mối tƣơng quan ký hiệu để giúp học sinh tránh nhầm lẫn liên tƣởng đến trƣờng hợp tƣơng tự Biện pháp cuối mà muốn lƣu ý việc sử dụng thực tế xung quanh dạy học hình học khơng gian Nhƣ ngƣời biết, quán triệt nguyên tắc trực quan không đƣờng dùng đồ dùng đồ dùng dạy học, mà sử dụng nhiều phƣơng tiện: ngơn ngữ, hình vẽ, liên hệ với hình ảnh cụ thể xung quanh học sinh, phòng học mà hàng ngày em đƣợc quan sát Chẳng hạn, để dẫn dắt học sinh phát biểu định lý giao tuyến ba mặt phẳng, giáo viên cho học sinh quan sát ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt nhƣ sau: - Trƣớc hết xét mặt phẳng có giao tuyến đồng quy, chẳng hạn giao tuyến mặt tƣờng: phía trƣớc, bên phải mặt phòng học cho học sinh rút kết luận - Tiếp cho học sinh quan sát trƣờng hợp giao tuyến song song cách cho học sinh quan sát cánh cửa lớp mở góc (khơng vng) với hai mặt tƣờng bên cạnh trƣớc mặt học sinh, giáo viên hƣớng dẫn học sinh quan sát rút kết luận để đến cách phát biểu định lý Giáo viên nêu câu hỏi “Với điều kiện ba giao tuyến đồng quy với điều kiện ba giao tuyến song song với ?”… Thực tế giảng dạy cho thấy phản ví dụ lấy thực tế sinh động có sức thuyết phục cao, chẳng hạn: Mép bảng, mép dƣới mặt tƣờng bên phải mặt bàn giáo viên hình ảnh dùng làm phản ví dụ để bác bỏ mệnh đề: “Hai đường thẳng song song với mặt phẳng song song với nhau” Tuy nhiên cần nhớ trực quan phƣơng tiện, mục đích dạy học Vì dùng trực quan dạy học, giáo viên phải trả lời đƣợc câu hỏi: Dùng trực quan chỗ nào, nhƣ nào? Nhằm giải yêu cầu cụ thể nào? Tóm lại: Trực quan thay cho tƣ logic trừu tƣợng đƣợc mà, mà minh họa nhằm hỗ trợ cho trí tƣởng tƣợng khơng gian, giúp 88 học sinh tiếp thu kiến thức nhanh chóng, dễ hiểu xác tƣ logic xác chặt chẽ 2.3.4 Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh sử dụng quy tắc suy luận, tránh ngộ nhận giải tốn hình học khơng gian Nhằm giải tình chƣơng trình mơn Tốn phổ thơng bổ sung khái niệm “mệnh đề” “áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học” vào Đại số lớp 10 (Chỉnh lý hợp năm 2000) Giáo viên cần lƣu ý tới mệnh đề phép toán mệnh đề nhƣ phủ định, kéo theo, tƣơng đƣơng, hội tuyển Mặc dù việc trang bị kiến thức logic không dừng lại số hình thức suy luận tốn học đƣợc giới thiệu phần đầu chƣơng trình đại số 10 mà phải đƣợc thƣờng xuyên rèn luyện, củng cố làm cho học sinh ngày nắm vững, hiểu đúng, sử dụng linh hoạt liên kết logic (và, hoặc, nếu…thì, khi,…) Biết suy luận xác, chặt chẽ, biết diễn đạt vấn đề toán học dƣới hình thức khác nhau, đặc biệt biết sử dụng ngôn ngữ lý thuyết tập hợp logic toán Chẳng hạn để học sinh nhận biết hiểu quy tắc kết luận logic chứng minh giáo viên hƣớng dẫn học sinh phân tích phép chứng minh, có kèm theo suy luận, ví dụ: Cho đƣờng thẳng d mặt phẳng (P) vng góc với đƣờng thẳng ∆ CMR đƣờng thẳng d song song với mặt phẳng (P) nằm (P)  Việc chứng minh toán tóm tắt nhƣ sau: Nếu d (P) có điểm chung M ta vẽ thêm đƣờng thẳng d’ nằm (P) qua M Mặt phẳng (Q) chứa d d' vng góc với ∆ Theo định lý biết (Q) (P) trùng Từ suy d nằm (P)  Phân tích phép chứng minh thành bƣớc sau: Bƣớc 1: Nếu d (P) khơng có điểm chung theo định nghĩa “đƣờng thẳng song song với mặt phẳng”, d // (P) Bƣớc 2: Nếu d (P) có điểm chung M (P) có đƣờng thẳng d' qua M Theo định lý định mặt phẳng có mặt phẳng (Q) qua d d' 89 Bƣớc 3: Vì d’ thuộc (P) (P)  ∆ nên theo định nghĩa “Mặt phẳng vng góc với đƣờng thẳng” d'  ∆ Bƣớc 4: ∆ vng góc với đƣờng thẳng cắt d d' nằm (Q), theo định lý theo định nghĩa “đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng”, ∆ vng góc với (Q) Bƣớc 5: Hai mặt phẳng (P) (Q) qua M vuông góc với ∆ theo định lý, (P) (Q) trùng Từ suy d nằm (P) Thơng qua bƣớc phân tích phép chứng minh học sinh thấy đƣợc em sử dụng định nghĩa (Trong định nghĩa đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng đƣợc sử dụng hai lần) định lý Cần nhấn mạnh để học sinh thấy đƣợc lần em sử dụng định nghĩa hay định lý lần sử dụng quy tắc kết luận logic Ở chứng minh sử dụng nhiều lần quy tắc kết luận logic: A  B,A B Kinh nghiệm sƣ phạm cho thấy việc đƣa ví dụ theo ngơn ngữ tự nhiên trƣớc đƣa ví dụ theo ngơn ngữ tốn học thƣờng giúp học sinh dễ hiểu dễ “gây ấn tƣợng” Chẳng hạn để giúp học sinh thấy đƣợc rằng: A  B,A A  B,B quy tắc kết uận logic, giáo viên A B nêu mệnh đề: A = {trời mƣa}, B = {đội mũ} học sinh hiểu: “Nếu trời mưa đội mũ” nắm đƣợc ý nghĩa phép toán kép theo: A  B Giáo viên nên lƣu ý cho học sinh thấy rằng: Trời khơng mƣa có nhiều học sinh đội mũ A  B,A quy tắc kết luận logic B Ngƣợc lại học sinh hiểu đƣợc việc đội mũ khơng làm cho trời mƣa Nghĩa A  B,B quy tắc kết luận logic A Rèn luyện cho học sinh sử dụng đúng, sử dụng linh hoạt không máy móc quy tắc quy luận logic góp phần rèn luyện cho học sinh kỹ nhận thức mơn tốn Từ khả tìm tịi, dự đoán, đặc biệt khả suy đoán 90 học sinh nâng cao “Kết công tác sáng tạo nhà toán học suy luận, chứng minh, người ta tìm cách chứng minh nhờ suy luận có lý, nhờ dự đốn Nếu việc dạy tốn phản ánh mức độ việc hình thành tốn học việc giảng dạy phải dành chỗ cho dự đốn, cho suy luận có lý” (Polia, 1968) Chẳng hạn xét tốn sau: “Cho tứ diện ABCD có cạnh thỏa mãn hệ thức: AB2  CD2  AC2  BD2  AD2  BC2 (1) Chứng minh mặt tứ diện phải có mặt tam giác có góc nhọn (Đề thi tuyển sinh ĐHKTQD năm 2000) Từ chỗ quan sát hệ thức (1) học sinh nhận định rằng: Tại đỉnh tứ diện có góc phẳng  900 hai góc cịn lại  900 (Do có góc phẳng < 900 hai góc cịn lại < 900) Nhờ định hƣớng ban đầu giúp học sinh nhanh chóng tìm lời giải tốn Trƣớc hết học sinh chứng minh nhận định trên: Thật vậy, giả sử BAC  900 đó: BC2  AB2  AC2 (2) Từ (1) ta có: CD2  AB2  BC2  AD2 (3) BD2  AC2  BC2  AD2 (4) Từ (2) (3) suy ra: BC2  CD2  AB2  AB2  AC2  BC2  AD2  CD2  AC2  AD2  CAD  900 Tƣơng tự từ (2) (4) ta suy đƣợc: BAD  900 Cuối dùng chứng minh phản chứng ta suy luận đƣợc tứ diện phải có mặt tam giác nhọn Học sinh biết dự đốn, suy luận có lý cịn thể chỗ hiểu đúng, đầy đủ khai thác hết điều kiện giả thiết, tìm mối liên hệ logic giả thiết với kết luận Từ giúp học sinh lựa chọn đắn tiền đề xuất phát Chẳng hạn qua khảo sát chúng tơi, tốn sau đông học sinh chọn tiền đề xuất phát “Định lý hàm số Cosin tam giác” Làm cho lời giải gặp khó khăn 91 “Cho tứ diện ABCD thỏa mãn hệ thức sau: AB = CD (1); AD = BC (2); AC = BD (3) Chứng minh bốn mặt tứ diện tam giác nhọn” Ở lớp thực nghiệm sau học sinh đƣợc trang bị số kiến thức logic với “cọ xát” số dạng tốn tƣơng tự học sinh chọn lựa đƣợc tiền đề xuất phát đắn Học sinh có nhận xét tƣơng đối tốt nhƣ: - Bốn mặt bốn tam giác - Tại đỉnh góc phẳng phải góc nhọn - Nhƣ cần chứng minh tam giác BCD nhọn, v.v… Chính học sinh chọn hai tiền đề xuất phát sau đây: Tổng ba góc tam giác 1800 nên tam giác BCD có: B  C  D  1800 Tại đỉnh tứ diện góc phẳng ln bé tổng hai góc cịn lại Từ học sinh tìm lời giải tốn Tóm lại: Việc nắm vững kiến thức logic, sử dụng quy tắc suy luận q trình dạy học tốn giáo viên học sinh hạn chế đƣợc sai lầm học sinh giải toán 92 CHƢƠNG III THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích thực nghiệm - Nhằm làm sáng tỏ khẳng định: Sai lầm học sinh giải tốn hình học khơng gian tình trạng phổ biến - Thử nghiệm biện pháp dạy học thích hợp nhằm phát hiện, phân tích, hạn chế sửa chữa sai lầm học sinh giải tốn Kiểm tra tính khả thi tính hiệu biện pháp đề xuất 3.2 Nội dung thực nghiệm - Cung cấp cho học sinh kiến thức logic, tiên đề, khái niệm, định lý hình học khơng gian, rèn luyện cho học sinh kỹ vẽ hình biểu diễn hình khơng gian mặt phẳng Chú trọng tới việc phân tích phép chứng minh, đặc biệt phép chứng minh phản chứng - Dạy giải số tập chƣơng I, chƣơng II chƣơng trình hình học không gian lớp 11, ý tới khâu phát phân tích ngun nhân lời giải có sai lầm, nhằm góp phần rèn luyện cho học sinh kỹ thực hành, kỹ vận dụng kỹ tự kiểm tra, đánh giá, hạn chế sai lầm học sinh giải tốn hình học khơng gian 3.3 Tổ chức thực nghiệm 3.3.1 Địa điểm thời gian Đƣợc giúp đỡ Ban giám hiệu Tổ mơn tốn trƣờng THPT Đơng Sơn 1, chọn lớp 11A4 để tiến hành dạy thực nghiệm lớp 11A5 làm đối chứng Qua khảo sát kết học tập mơn Tốn hai lớp năm học 2019 – 2020 tƣơng đƣơng Riêng khả học tập mơn Tốn lớp thực nghiệm cho thấy tổng số 45 học sinh có: - Loại giỏi: em chiếm 2,2% - Loại khá: em chiếm 13,3% - Trung bình: 15 em chiếm 33,3% - Dƣới TB: 23 em chiếm 51,2% 93 Thời gian tiến hành dạy thực nghiệm từ 20/2/2020 đến ngày 11/5/2020 gồm 15 tiết, có tiết lý thuyết tiết tập 3.3.2 Hình thức tổ chức thực nghiệm - Ngồi thời khóa biểu tiết Hình học tuần, nhà trƣờng cịn cho phép chúng tơi bố trí số tiết vào buổi chiều tuần để dạy giải tập - Chúng phối hợp phƣơng pháp dạy học: Phƣơng pháp giải vấn đề, phƣơng pháp dạy học phân hóa, phƣơng pháp đàm thoại để thể biện pháp đề xuất - Thông qua kiểm tra thƣờng xuyên theo quy định phân phối chƣơng trình, chúng tơi theo dõi q trình học tập học sinh điều chỉnh phƣơng pháp, kiến thức truyền thụ - Kết thúc chƣơng trình dạy học thực nghiệm cho học sinh làm kiểm tra đề với lớp đối chứng (và chung cho khối 11) - Nội dung đề kiểm tra thực 90 phút: Câu 1: (2 điểm) Cho mặt phẳng (P) (Q) song song với Đƣờng thẳng a nằm mặt phẳng (P) đƣờng thẳng b nằm mặt phẳng (Q) Hãy cho biết vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng a b Câu 2: (4 điểm) Cho hình chóp SABCD (đáy ABCD tứ giác lồi) Gọi O giao điểm đƣờng chéo AC BD cảu mặt đáy M điểm thuộc đoạn thẳng AC (M không trùng với A C) Hãy xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (α) qua M, song song với BD song song với SA Câu 3: (4 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' gọi I, K, H lần lƣợt trọng tâm tam giác ABC, A'B'C',ACC' a)Chứng minh mặt phẳng (IKG) song song với mặt phẳng (BB',CC') b) Xác định thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (IKG) c)Chứng minh mặt phẳng (A'KG) song song với mặt phẳng (AIB') 3.4 Kết thực nghiệm Chúng quan tâm đánh giá số sai lầm xuất tần số cao sau để so sánh với lớp đối chứng: 94 S1: Khơng nắm vững vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng không gian (Câu 1) S2: Không xét hết trƣờng hợp xảy vị trí điểm M (Câu 2) S3: Lập luận thiếu cứ, suy diễn không logic (câu 3a, 3c) S4: Không xác định đƣợc thiết diện xác định sai (câu 3b) S5: Vẽ hình khơng vẽ không tốt Sai lầm S1 S2 S3 S4 S5 Thực nghiệm (45 HS) 6,7% 17,8% 24,4% 15,6% 13,3% Đối chứng (47 HS) 14,9% 36,2% 44,7% 21,3% 29,8% 1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 Thực nghiệm (45 HS) 18 13 Đối chứng (47 HS) 21 17 Lớp Kết điểm số lớp: Điểm Lớp Từ kết thu đƣợc nhận thấy học sinh lớp thực nghiệm có tiến rõ rệt, khả mắc sai lầm giải toán phần đƣợc hạn chế: - Lớp thực nghiệm đạt: 17,8% loại giỏi; 28,9% loại khá; 40,0% trung bình; 13,3% dƣới trung bình - Lớp đối chứng đạt: 4,3% loại giỏi; 14,9% loại khá; 36,2% loại trung bình; 44,7% dƣới trung bình 3.5 Kết luận thực nghiệm Kết thực nghiệm cho phép kết luận rằng: Các biện pháp đề có tính khả thi hiệu Qua việc thực biện pháp chất lƣợng học đƣợc nâng cao, nhiều học sinh hứng thú học tập, tạo đƣợc số thói quen tốt, suy luận đƣợc tăng cƣờng, sử dụng ngơn ngữ tự nhiên ngơn ngữ tốn học xác Học sinh ln có ý thức tự kiểm tra, đánh giá kết học tập (và bạn) hạn chế bớt sai lầm giải tốn hình học khơng gian Đặc biệt trí tƣởng tƣợng không gian học sinh đƣợc nâng cao, học sinh vẽ hình biểu diễn hình khơng gian tốt 95 KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu đề tài Khóa luận thu đƣợc số kết sau đây: Làm sáng tỏ nhận định: Các sai lầm học sinh giải tốn hình học khơng gian lớp 11 tình trạng phổ biến Luận văn phân tích nguyên nhân kiến thức có ảnh hƣởng xấu tới trình lĩnh hội kiến thức học sinh gây nên sai lầm giải toán Đề xuất biện pháp dạy học thích hợp nhằm phát hiện, hạn chế sửa chữa sai lầm cho học sinh giải tốn hình học khơng gian Qua kinh nghiệm giảng dạy nhiều giáo viên toán, kết khảo sát đƣợc từ thực tiễn dạy học toán trƣờng phổ thông kết thực nghiệm cho phép khẳng định rằng: Giả thuyết khoa học luận văn chấp nhận đƣợc Nhiệm vụ nghiên cứu Khóa luận hồn thành Nội dung Khóa luận làm tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh, giáo viên sinh viên sƣ phạm ngành toán hoạt động giảng dạy học tập trƣờng phổ thông 96 TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Nhƣ Cƣơng (chủ biên), Hình học 11, NXB GD – 2000 Văn Nhƣ Cƣơng (chủ biên), Bài tập hình học 11, NXB GD – 2000 Văn Nhƣ Cƣơng – Trần Văn Đạo – Ngô Thúc Lanh, Tài liệu hướng dẫn giảng dạy mơn Tốn, NXB GD – 2000 Nguyễn Bá Kim – Vũ Dƣơng Thụy, Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB GD – 1992 Nguyễn Bá Kim – Vũ Dƣơng Thụy – Đinh Nho Chƣơng – Nguyễn Mạnh Cảng, Phương pháp dạy học mơn tốn, NXB GD – 1994 Nguyễn Ngọc Quang, Lý luận dạy học đại cương, Trƣờng cán quản lý giáo dục Trung ƣơg – 1986 Văn Nhƣ Cƣơng (chủ biên), Hình học 11 (Sách giáo viên), NXB GD – 1999 Hoàng Chúng, Phương pháp dạy học Tốn, NXB GD – 1978 Hồng Chúng, Rèn luyện khả sáng tạo tốn học phổ thơng, NXB GD – 1969 10 Phạm Văn Hoàn – Nguyễn Gia Quốc – Trần Thúc Trình, Giáo dục học mơn Tốn, NXB GD – 1981 11 Phạm Minh Hạc – Nguyễn Gia Quốc – Trần Thúc Trình, Tâm lý học, tập NXB GD – 1989 12 Phạm Minh Hạc – Phạm Hoàng Gia – Trần Trọng Thủy – Nguyễn Quang Uẩn, Tâm lý học, NXB GD – 1998 13 Lê Thống Nhất, Rèn luyện lực tự giải Toán cho học sinh THPT thơng qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải toán, Luận án Phó tiến sĩ, 1996 14 Trần Thanh Minh (chủ biên), Giải toán HHKG 11, NXB GD – 1997 15 Nguyễn Văn Dự (chủ biên), PP giải toán HHKG 11, NXB Đà Nẵng – 1999 16 Phạm Huy Khải, Tốn nâng cao Hình học 11, NXB ĐH Quốc gia HN – 1999 97 17 Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – Phan Thanh Quang, Sai lầm phổ biến giải Tốn, NXB GD – 1996 18 Lê Đình Thịnh – Trần Hữu Phúc – Nguyễn Cảnh Nam, Mẹo bẫy đề thi Toán, Tập 2, NXB ĐH & THCN – 1992 19 Đào Tam – Lê Văn Phúc, Phương pháp giảng dạy hình học trường phổ thông, Đại học Vinh – 1997 20 Vũ Dƣơng Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất – Tạ Mẫn, Các giảng luyện thi mơn Tốn, NXB GD – 1996 21 Nguyễn Văn Thuận, Rèn luyện cho học sinh khả chuyển đổi toán ban đầu thành toán tương đương, NCGD số – 2000 22 Hoàng Thị Quỳnh Anh, Khai thác mối liên hệ tri thức khoa học tri thức khoa học giáo dục thơng qua dạy học hình học, NCGD số – 1975 23 G.Polia, Giải toán nào?, NXB GD Hà Nội – 1975 24 Từ điển tiếng Việt (Viện KHXH Việt Nam, Viện ngôn ngữa học, HN – 1992) 98 NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƢỚNG DẪN ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… Thanh Hóa, ngày … tháng… năm 2020 Giảng viên hƣớng dẫn 99