Ứng dụng toán học để giải quyết bài toán tối ưu cho học sinh trung học phổ thông

TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC KHOA: KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ HIỀN ỨNG DỤNG TOÁN HỌC ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TỐI ƢU CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành: Sƣ phạm Tốn học GIÁO VIÊN HD: ThS NGUYỄN THỊ THU THANH HÓA, NĂM 2021 i LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Ứng dụng toán học để giải tốn tối ưu cho học sinh Trung học phổ thơng” đƣợc hoàn thành Trƣờng Đại học Hồng Đức Trong q trình làm khóa luận tốt nghiệp em nhận đƣợc nhiều giúp đỡ để hoàn tất khóa luận Trƣớc tiên, em xin chân thành cảm ơn giáo Th.S Nguyễn Thị Thu tận tình hƣớng dẫn, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm cho em suốt q trình thực khóa luận tốt nghiệp Xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô khoa Khoa học Tự nhiên, trƣờng Đại học Hồng Đức, ngƣời truyền đạt kiến thức quý báu cho em suốt thời gian học tập vừa qua Sau xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè bạn sinh viên lớp K20 – Đại học Sƣ phạm Tốn ln động viên, giúp đỡ em q trình làm khóa luận Đồng thời xin gửi lời cám ơn đến thầy, cô em học sinh Trƣờng THPT Hoằng Hóa nhiệt tình tham gia thử nghiệm sƣ phạm giúp em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do thời gian lực hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi sai sót, mong thầy bạn đọc đóng góp, cho ý kiến để khóa luận đƣợc hồn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lƣợng đề tài Em xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, tháng năm 2021 Sinh viên Lê Thị Hiền ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i Mở đầu 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG CHƢƠNG BÀI TOÁN TỐI ƢU VÀ CHUYÊN ĐỀ DẠY HỌC BÀI TỐN TỐI ƢU TRONG CHƢƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THƠNG MƠN TỐN NĂM 2018 1.1 Một số toán cổ 1.1.1 Những ví dụ 1.1.2 Hoạt động trạng thái tự nhiên 1.1.3 Một số toán thực tế 1.2 Lý thuyết tối ƣu 1.2.1 Quá trình hình thành phát triển 1.2.2 Mơ hình tốn học 1.2.3 Phân loại toán tối ƣu 10 1.2.4 Nội dung nghiên cứu 11 1.2.5 Ứng dụng toán tối ƣu giải vấn đề thực tế 11 1.2.6 Bài tốn Quy hoạch tuyến tính 13 1.3 Một số vấn đề lí luận dạy học chƣơng trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn năm 2018 22 1.3.1 Mục tiêu chƣơng trình 22 1.3.2 Nội dung yêu cầu cần đạt vấn đề nghiên cứu 24 KẾT LUẬN CHƢƠNG 25 CHƢƠNG ỨNG DỤNG TOÁN HỌC ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TỐN TỐI ƢU CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG 26 2.1 Tóm tắt lý thuyết 26 2.1.1 Bất phƣơng trình bậc hai ẩn 26 2.1.2 Hệ bất phƣơng trình bậc hai ẩn 27 2.1.3 Đạo hàm 28 2.2 Bài tập vận dụng 33 iii 2.2.1 Bài tập vận dụng hệ bất phƣơng trình hai ẩn để giải tốn quy hoạch tuyến tính 33 2.2.2 Bài tập vận dụng đạo hàm để giải số toán tối ƣu thực tiễn, đặc biệt kinh tế 43 KẾT LUẬN CHƢƠNG 64 CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 65 3.1 Mục đích thực nghiệm sƣ phạm 65 3.2 Tổ chức nội dung thực nghiệm sƣ phạm 65 3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 65 3.2.2 Nội dung thực nghiệm 65 3.3 Giáo án dạy tiết tự chọn để hƣớng dẫn cho học sinh giải số toán tối ƣu 65 3.4 Đánh giá kết thực nghiệm sƣ phạm 75 3.3.1 Đánh giá định tính 75 3.4.2 Đánh giá định lƣợng 77 3.4.2.3 Kết thử nghiệm 79 KẾT LUẬN CHƢƠNG 80 KẾT LUẬN 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO 82 iv Mở đầu Lý chọn đề tài Hiện nay, Việt Nam hƣớng tới giáo dục tiến bộ, đại, ngang tầm với nƣớc khu vực giới “học để làm” bốn trụ cột giáo dục Chƣơng I, Điều 8, Khoản Luật Giáo dục năm 2019 nêu rõ “Chương trình giáo dục phải bảo đảm tính khoa học thực tiễn; kế thừa, liên thông cấp học, trình độ đào tạo; tạo điều kiện cho phân luồng, chuyển đổi trình độ đào tạo, ngành đào tạo hình thức giáo dục hệ thống giáo dục quốc dân để địa phương sở giáo dục chủ động triển khai kế hoạch giáo dục phù hợp; đáp ứng mục tiêu bình đẳng giới, yêu cầu hội nhập quốc tế Chương trình giáo dục sở bảo đảm chất lượng giáo dục toàn diện” Và Chƣơng II, Mục 1, Điều 30, Khoản Luật Giáo dục năm 2019 quy định “Nội dung giáo dục phổ thơng phải bảo đảm tính phổ thơng, bản, tồn diện, hướng nghiệp có hệ thống; gắn với thực tiễn sống, phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi học sinh, đáp ứng mục tiêu giáo dục cấp học”; Khoản quy định “Phương pháp giáo dục phổ thông phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh phù hợp với đặc trưng môn học, lớp học đặc điểm đối tượng học sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học, hứng thú học tập, kỹ hợp tác, khả tư độc lập; phát triển toàn diện phẩm chất lực người học; tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin truyền thơng vào q trình giáo dục” Những quy định khẳng định giáo dục Việt Nam hƣớng tới mục tiêu đảm bảo học đôi với hành, nội dung dạy học gắn liền với thực tiễn sống Giáo dục cần chuyển từ giúp ngƣời học “học gì” sang học phải “làm gì” Nói cách khác giáo dục phổ thơng bảo đảm phát triển phẩm chất lực ngƣời học thông qua nội dung giáo dục với kiến thức, kĩ bản, thiết thực, đại; hài hoà đức, trí, thể, mĩ; trọng thực hành, vận dụng kiến thức, kĩ học để giải vấn đề học tập đời sống Tốn học có liên hệ mật thiết với thực tiễn có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác khoa học, công nghệ nhƣ sản xuất đời sống Với vai trị đặc biệt, Tốn học ngày có nhiều ứng dụng sống, kiến thức kĩ toán học giúp ngƣời giải vấn đề thực tế sống cách có hệ thống xác, góp phần thúc đẩy đời sống xã hội ngày đại văn minh Tuy nhiên, ứng dụng Tốn học vào thực tiễn chƣơng trình sách giáo khoa, nhƣ việc dạy học môn Toán chƣa đƣợc quan tâm mức Hơn tốn có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất đƣợc trình bày cách hạn chế chƣơng trình tốn phổ thơng Mặt khác, thực tế giảng dạy mơn Tốn phổ thơng giáo viên chƣa thƣờng xun rèn luyện cho học sinh thực ứng dụng Toán học vào thực tiễn, theo Giáo sƣ Nguyễn Cảnh Tồn kiểu dạy Tốn xa rời sống đời thƣờng Trong thực tế, ta thƣờng gặp vấn đề mà ta thƣờng có nhiều cách giải quyết, cách tự nhiên ta chọn cách giải vấn đề cách tối ƣu chẳng hạn nhƣ nhanh nhất, tốn thời gian hay mang lại hiệu kinh tế cao Tối ƣu hoá toán học đời nhằm giải vấn đề Các mơ hình phƣơng pháp tối ƣu có nhiều ứng dụng rộng rãi đa dạng thực tiễn, đặc biệt kinh tế Tối ƣu hóa, đƣợc khởi nguồn nhƣ ngành Tốn học, có nhiều ứng dụng hiệu rộng rãi Thực tế có nhiều tình xã hội, từ sống đời thƣờng đến hoạt động kinh tế, kỹ thuật, công nghệ quản lý đại,…ngƣời ta phải quan tâm tới tốn tìm phƣơng án tốt (hay gọi phƣơng án tối ƣu để đạt mục tiêu mong muốn điều kiện ràng buộc định Đó tốn tối ƣu Việc giải toán tối ƣu tạo cho học sinh khả nhận thức phân tích thơng tin đƣợc thể dƣới nhiều hình thức khác nhau, nhận thức đƣợc tầm quan trọng việc áp dụng kiến thức Tốn học vào thực tế Từ đó, nâng cao hiểu biết phƣơng pháp nghiên cứu giới đại Vì vậy, việc tăng cƣờng hƣớng dẫn học sinh giải tốn có nội dung thực tiễn mơn Tốn ứng dụng Tốn học cần thiết có vai trị quan trọng giáo dục nƣớc ta Vì vậy, tơi lựa chọn nghiên cứu đề tài: Ứng dụng toán học để giải toán tối ƣu cho học sinh Trung học phổ thơng Theo chƣơng trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (Ban hành kèm theo thông tƣ số 32/2018/TT-BGDĐT Bộ trƣởng Bộ giáo dục Đào tạo , chuyên đề 12.2: Ứng dụng toán học để giải toán tối ưu cho học sinh Trung học phổ thông chuyên đề tự chọn quan trọng học sinh trung học phổ thông, gồm hai chủ đề sau: Một là, vận dụng hệ bất phương trình bậc để giải số tốn quy hoạch tuyến tính Hai là, vận dụng đạo hàm để giải số toán tối ưu thực tiễn, đặc biệt kinh tế Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu khóa luận nghiên cứu làm rõ việc sử dụng ứng dụng Toán học để giải toán tối ƣu cho học sinh trung học phổ thơng -Tìm hiểu vấn đề sử dụng Toán học việc giải toán sản xuất, kinh tế, ngành khoa học, kỹ thuật, … đời sống ngày -Nâng cao hiểu biết thân ứng dụng Toán học thực tế -Tạo tài liêu hữu ích cho giáo viên học sinh trung học phổ thông nội dung ứng dụng Toán học để giải tốn tối ƣu cho học sinh trung học phổ thơng Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu nêu trên, nhiệm vụ nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp là: -Nghiên cứu tính thực tiễn tính ứng dụng Tốn học -Nghiên cứu kiến thức sở toán tối ƣu đặc biệt tốn Quy hoạch tuyến tính -Nêu lời giải đề xuất tập luyện tập để rèn luyện khả ứng dụng Toán học để giải toán tối ƣu học sinh Trung học phổ thông Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng nhóm phƣơng pháp nghiên cứu thuộc chuyên ngành lí luận phƣơng pháp giảng dạy mơn Tốn bao gồm: - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu vấn đề liên quan đến đề tài khoá luận - Phƣơng pháp nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát thực trạng việc dạy học nội dung đạo hàm hệ bất phƣơng trình bậc trƣờng THPT qua hình thức dự giờ, quan sát, điều tra - Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm: Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm xử lý số liệu thống kê để đánh giá kết định tính định lƣợng Giả thuyết khoa học Nếu thiết kế thực đƣợc quy trình phát triển lực vận dụng kiến thức Toán học dạy học giải toán tối ƣu cho học sinh hình thành phát triển lực vận dụng kiến thức Toán học vào tốn thực tế đời sống ngày, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học mơn Tốn trƣờng THPT theo hƣớng phát triển lực Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo phụ lục, nội dung khố luận gồm chƣơng: Chƣơng Bài toán tối ƣu chuyên đề dạy học toán tối ƣu chƣơng trình Giáo dục phổ thơng mơn Tốn năm 2018 Chƣơng Ứng dụng toán học Toán học để giải toán tối ƣu cho học sinh trung học phổ thông Chƣơng Thực nghiệm sƣ phạm NỘI DUNG CHƢƠNG BÀI TOÁN TỐI ƢU VÀ CHUYÊN ĐỀ DẠY HỌC BÀI TỐN TỐI ƢU TRONG CHƢƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THƠNG MƠN TỐN NĂM 2018 1.1 Một số tốn cổ 1.1.1 Những ví dụ Ví dụ 1: Bài tốn đẳng chu (thế kỷ thứ trƣớc cơng ngun Tìm đƣờng cong khép kín mặt phẳng có chu vi cho trƣớc cho hình tạo có diện tích lớn Ví dụ 2: (Euclid 365 trƣớc cơng ngun Cho tam giác ABC Hãy tìm điểm E cạnh BC cho hình bình hành ADEF , với D , F nằm AB AC , có diện tích lớn Ví dụ 3: (Heron 75 trƣớc cơng ngun Tìm điểm C đƣờng thẳng cho tổng khoảng cách từ C đến A B lớn Ví dụ 4: (Tartaglia 1500-1557 Tìm hai số tự nhiên a , b thỏa mãn a  b  cho ab(b  a) lớn Ví dụ 5: (Kepler 1571-1630 Tìm hình trụ nội tiếp hình cầu cho trƣớc cho thể tích lớn Ví dụ 6: (Fermat 1601-1665 Tìm hai cạnh góc vng số cho trƣớc cho diện tích lớn Ví dụ 7: (Steiner 1796-1863 Một đa giác đƣợc gọi nội tiếp đa giác ngoại tiếp nằm cạnh đa giác ngoại tiếp có điểm đa giác nội tiếp Hãy tìm đa giác nội tiếp có chu vi nhỏ Các ví dụ có tính chất hàn lâm, khơng mang ý nghĩa thực tế Do đó, trạng thái vật thể tự nhiên hoạt động tuân theo quy luật tối ƣu đồng thời đƣa số ví dụ minh họa lĩnh vực ứng dụng quan trọng lý thuyết tối ƣu 1.1.2 Hoạt động trạng thái tự nhiên Câu hỏi đặt trạng thái (động hay tĩnh vật thể tự nhiên hoạt động tuân theo quy luật nào? Ngay từ kỷ XVIII L.Euler viết: “Vì giới đƣợc thiết lập cách hồn hảo sản phẩm đấng sáng tạo tinh thơng nhất, nên khơng thể tìm thấy mà khơng mang theo tính chất cực đại hay cực tiểu đó” Nhƣ vậy: - Ngay từ kỷ XVIII quy luật tự nhiên đƣợc phát biểu dƣới dạng nguyên lý cực trị - Mọi diễn biến tự nhiên tuân theo nguyên lý tối ƣu Những nguyên lý sau thể khẳng định (Nguyên lý Fermat Ánh sáng chọn đƣờng mà thời gian ngắn (Nguyên lý cực tiểu Dirichlet Một hệ bảo tồn (năng lƣợng có trạng thái cân ổn định đạt giá trị cực tiểu Nói cách khác: khơng bị tác động từ bên ngồi, vật nằm lại vị trí mà nhỏ (so với vị trí lân cận (Nguyên lý tác động dừng (hay nguyên lý tác động nhỏ Chuyển động hai thời điểm t0 , t1 diễn cho tích phân tác động W   T  U dt t1 t0 đạt giá trị thấp    hay trạng thái điểm dừng, T động năng, U năng, T  U động lực 1.1.3 Một số tốn thực tế Ví dụ 8: (Bài tốn uốn Cho đàn hồi có độ dài l , modun đàn hồi E mô men quán tính I Khi dựng đứng đàn hồi có tác dụng lên đầu lực P bị cong Gọi x góc trục uốn phƣơng thẳng đứng Năng lƣợng tƣơng ứng với công sinh biến dạng uốn l EIx ( 2) ( s ) ds  Hoạt động 2: Vận dụng hệ bất phƣơng trình bậc hai ẩn để giải số tốn quy hoạch tuyến tính Bài 1: Một gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein 400 đơn vị lipit Biết gia đình mua tối đa 1,6 kg thịt bị 1,1 kg thịt lợn; giá tiền kg thịt bị 45 nghìn đồng,1 kg thịt lợn 35 nghìn đồng Hỏi gia đình phải mua kg thịt loại để số tiền bỏ nhất? Hoạt động GV Hoạt động HS Ghi bảng GV đƣa Chú ý trả lời câu Bài 1: hƣớng dẫn học sinh hỏi Bài giải x, y   x  1,6;0  y  1,1 giải Gọi Câu hỏi 1: Ở lần lƣợt số kg thịt bò thịt lợn toán ngƣời ta -Xác định số lƣợng mà gia đình mua ngày khơng cho cụ thể hệ thịt lợn thịt bị Khi chi phí để mua số thịt bất phƣơng trình mà gia đình bậc để giải dùng tốn -Sau đặt x, y cần làm gì? Câu hỏi 2: Với giá tiền kg thịt bị 45 nghìn kg thịt lợn 35 nghìn tổng chi phí mua số thịt bao nhiêu? Sau thiết lập là: f ( x; y )  45 x  35 y (nghìn đồng Trong x kg thịt bị chứa 800x đơn lần lƣợt số thịt vị protein 200x đơn vị lipit bò thịt lợn gia Trong y kg thịt lợn chứa 600 y đình dùng đơn vị protein 400 y đơn vị ngày Và dựa vào lipit kiện Suy số đơn vị protein số đơn toán ta lập đƣợc hệ vị lipit lần lƣợt 800 x  600 y bất phƣơng trình đơn vị 200 x  400 y đơn vị bậc Do gia đình cần 900 -Chi phí mua số đơn vị protein 400 đơn vị lipit thịt đƣợc tính thức ăn ngày nên ta có 68 đƣợc hệ bất phƣơng theo trình bậc ta hàm: hệ bất phƣơng trình sau: f ( x; y )  45 x  35 y biểu diễn đƣợc tập nghiệm chúng 800 x  600 y  900 200 x  400 y  400   0  x  1,6  0  y  1,1 8 x  y  x  y      0  x  1,6  0  y  1,1 Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x; y ) miền nghiệm hệ bất phƣơng trình    Miền nghiệm hệ bất phƣơng trình    tứ giác ABCD (kể biên Hàm số f ( x; y )  45 x  35 y đạt giá trị nhỏ ( x; y ) tọa độ đỉnh A(1,6;1,1), B(1,6;0,2), C (0,6;0,7), D(0,3;1,1) Mà ta có: f (1, 6;1,1)  110,5 f (1, 6; 0, 2)  79 69 f (0, 6;0, 7)  51,5 f (0,3;1,1)  52 Suy f ( x; y ) nhỏ ( x; y )  (0,6;0,7) Do gia đình cần phải mua 0,6 kg thịt bị 0,7 kg thịt lợn để số tiền bỏ Bài 2: Một phân xƣởng có hai máy đặc chủng M1, M sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu A B Một sản phẩm loại A lãi triệu đồng, sản phẩm loại B lãi 1,6 triệu đồng Muốn sản xuất sản phẩm loại A phải dùng máy M1 máy M Muốn sản xuất sản phẩm loại B phải dùng máy M1 máy M Một máy dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm Máy M1 làm việc không ngày, máy M làm việc không ngày Hỏi số tiền lãi lớn mà phân xƣởng thu đƣợc ngày bao nhiêu? Hoạt động GV Hoạt động HS Ghi bảng GV gợi ý cho HS HS quan sát GV Bài 2: làm yêu hƣớng dẫn làm Bài giải cầu bạn lên bảng theo yêu cầu Gọi x; y ( x, y  0) lần lƣợt số trình bày giáo viên sản phẩm loại A, B mà sản phẩm sản xuất ngày Khi số tiền lãi ngày phân xƣởng f ( x; y )  x  1,6 y (triệu đồng Số làm việc ngày máy M1 3x  y Số làm việc ngày 70 máy M x  y Vì ngày máy M1 làm việc không máy M làm việc khơng q nên ta có hệ bất phƣơng trình sau: 3x  y    x  y     x, y   Bài toán trở thành tốn tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y ) miền nghiệm hệ bất phƣơng trình   Miền nghiệm hệ bất phƣơng trình () tứ giác OABC (kể biên Hàm số f ( x; y ) đạt giá trị lớn miền nghiệm hệ bất phƣơng trình    ( x; y ) tọa độ đỉnh O(0;0), A(2;0), B(1;3), C (0;4) Mà ta có: f (0;0)  f (1;3)  6,8 f (2;0)  f (0;4)  6, Suy max 71 f ( x; y )  6,8 ( x; y )  (1;3) Nhƣ vậy, số tiền lãi lớn mà phân xƣởng thu đƣợc 6,8 triệu đồng phân xƣởng sản xuất sản phẩm loại A sản phẩm loại B ngày Hoạt động 3: Ôn lại kiến thức đạo hàm Hoạt động GV Hoạt động HS Ghi bảng -Mời HS đứng -HS nhắc lại định Định nghĩa đạo hàm chỗ nhắc lại định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y  f ( x ) xác nghĩa đạo hàm tại điểm điểm định khoảng (a; b), x0  (a; b), GV nhận xét câu trả x0  x  (a; b) Nếu tồn tại, giới lời HS hạn (hữu hạn Nếu tồn tại, giới hạn GV treo bảng phụ f ( x0  x)  f ( x0 ) x lên bảng yêu cầu (hữu hạn lớp hoàn thành vào đƣợc gọi đạo hàm f ( x ) với Sau gọi x0 , kí hiệu f ( x0 ) y( x0 ) HS lên điền vào x 0 f ( x0  x)  f ( x0 ) x f ( x )  f ( x0 )  lim x  x0 x  x0 f ( x )  lim phần lại Và x  nhận xét phần HS làm theo yêu trình bày lim cầu giáo viên Đạo hàm f ( x) với x biến số Đạo hàm f (u ) với u hàm số (k )  (với k số (kx)  ( x n )  (với k số (ku)  (u n )  72 (với k số      x      u  x   (với x  ) (a x )  (với  a  1) (e x )   u   (với u ( x)  ) (a u )  (với  a  1) (eu )   log a x   (với x  0,0  a  ) (ln x)  (với x  )  log a u   (ln u)  với u ( x)  0,0  a  (với u ( x)  ) Hoạt động 4: Một số ví dụ ứng dụng đạo hàm Bài 3: Từ tôn hình chữ nhật có kích thƣớc a , b với a  b Ngƣời ta cắt bỏ hình vng góc gị thành hình hộp chữ nhật khơng có nắp Hỏi cạnh hình vng cắt phải để hình hộp tích lớn nhất? Hoạt động GV Hoạt động Ghi bảng HS Câu hỏi: Với câu -Đặt cạnh hình Bài 3: hỏi đề nhƣ vuông x trƣớc Bài giải tiên Gọi x cạnh hình vng cắt cần làm -Do cạnh gì? nhôm sau nhƣ nào? Câu hỏi: Cạnh nhơm cịn lại là? Đến ta lập a thành Khi thể tích hình hộp là: V  x(a  x)(b  x) a a  2x   x   x3  2(a  b) x  abx  V ( x) nên ta có Bài tốn trở thành tìm maxa V ( x)   x 0;  a 2  0 x Ta có: V ( x)  f ( x)  12 x  x(a  b)  ab -Cạnh Khi đó: nhơm cịn lại   4(a  b)2  12ab  4(a2  ab  b2 )  b  2x  với a, b Câu hỏi: Khi cắt điều kiện x đi, ta phải có điều kiện  x  trở 73 đƣợc thể tích Do đó: V ( x)  ln có hai khối nghiệm phân biệt hộp V  x(a  x)(b  x) Khi tốn trở thành x1  x2 a  b  a  ab  b a  b  a  ab  b   6 tìm max V ( x) Theo định lý Vi-ét, ta có:  a x 0;   2 ab  x  x  0    x x  ab   12 Suy ra:  x1  x2 Hơn nữa, ta có: a a V     f     a  ab 2 2  a ( a  b)  Do đó:  x1  a  x2 Bảng biến thiên: x V ( x) V ( x) a x1   max Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt giá trị lớn khi: x  x1  74 a  b  a  ab  b Bài 4: Một công ty đánh giá bán đƣợc N lơ hàng tiêu phí hết số tiền x (triệu đồng vào việc quảng cáo Biết N x liên hệ với biểu thức N ( x)   x  30 x  6,0  x  30 Hãy tìm số lơ hàng lớn mà cơng ty bán sau đợt quảng cáo số tiền dành cho việc quãng cáo đó? Hoạt động GV Hoạt động HS Ghi bảng Ở toán Theo dõi quan sát Bài 4: có biểu thức liên hệ GV hƣớng dẫn N x Nên Ta có: dễ N ( x)   x  30 x   N ( x)  2 x  30 dàng tính đƣợc kết tốn Bài giải Lên bảng trình bày kết Khi N ( x)  ta đƣợc x  15 GV hƣớng dẫn HS làm Đồng thời yêu cầu HS  N (0)    N (15)  231  N (30)   lên trình bày  max N ( x)  231  x  15 x 0;30 Vậy công ty dành 15 tiệu cho việc quảng cáo cơng ty bán đƣợc nhiều 231 lơ hàng Củng cố, dặn dị - Tìm thêm tốn thực tế vận dụng hệ bất phƣơng trình bậc đạo hàm để giải 3.4 Đánh giá kết thực nghiệm sƣ phạm 3.3.1 Đánh giá định tính Chúng ta nhận thấy lực vận dụng toán học chƣa đƣợc phát huy tối đa giáo viên đƣa tình cho học sinh THPT Trong tình mà học sinh buộc phải trả lời câu hỏi hay giải toán liên quan đến nội dung học, nhìn chung lớp thử nghiệm rơi vào tình trạng 75 học sinh cịn khó khăn việc phát cách đặt vấn đề tình mà giáo viên đặt Điều đƣợc thể nhƣ sau: khơng liên tƣởng đƣợc đến tình đƣợc trải nghiệm để vận dụng, không liên kết đơn vị kiến thức đƣợc trang bị trƣớc để giải toán bắt chƣớc tập mẫu để vận dụng cách hình thức, khơng hiểu chất Khi gặp tình chƣa đƣợc trải nghiệm khơng có kỹ đƣa hƣớng giải quyết, cách tìm giả thiết cần trọng tốn Khả sử dụng ngơn ngữ tự nhiên ngơn ngữ tốn học cịn hạn chế, học sinh thƣờng khơng biết chọn loại hình ngơn ngữ tốn học để mơ tả cho phù hợp Khả làm việc mơ hình hóa tốn học từ tình gợi vấn đề mà giáo viên đƣa học sinh kém, nhiều học sinh tỏ khơng hứng thú với hoạt động tìm hiểu vấn đề, mà quen với lối dạy truyền thống giáo viên dẫn đến tình trạng dạy học khơng tích cực Bên cạnh đó, từ việc thử nghiệm sƣ phạm thấy rằng, q trình dạy học, giáo viên trƣờng THPT chƣa ý khai thác tốn có nội dung thực tiễn ứng dụng toán học thực tế Giáo viên học sinh quen với lối làm việc cũ, ngƣời giáo viên đóng vai trị chủ đạo hoạt động dạy học, ngƣợc lại học sinh lại trở nên thụ động, tiếp thu kiến thức cách máy móc mà chƣa hiểu rõ chất để vận dụng cho hoạt động toán học sau Sau tiến hành thử nghiệm, với tình có vấn đề đƣợc lựa chọn, tri thức toán học cần truyền thụ cho ngƣời học đƣợc tích hợp giúp cho học sinh cảm thấy hứng thú tự khám phá phát đơn vị kiến thức Giáo viên học sinh có hứng thú tiết dạy thử nghiệm, khó khăn vƣớng mắc dần đƣợc xóa bỏ Học sinh học tốn với tinh thần chủ động, sáng tạo hơn, khả tự học, tự nghiên cứu, mơ hình hóa tốn học đƣợc cải thiện rõ rệt Nhƣ vậy, sau trình thử nghiệm ta khẳng định rằng: số thành tố lực xây dựng tình có vấn đề cho học sinh đƣợc hình thành Học sinh có khả nhận diện vấn đề giải toán tốt hơn, việc 76 nhận thấy ứng dụng toán học vào thực tế giúp tạo hứng thú, kích thích tính ham học hỏi học sinh Các thao tác trí tuệ nhƣ phân tích, tổng hợp, khái qt hóa, trừu tƣợng hóa, tƣơng tự hóa, đƣợc rèn luyện giải vấn đề liên quan đến toán học nói chung hoạt động tốn học hóa tình có vấn đề nói riêng 3.4.2 Đánh giá định lƣợng 3.4.2.1 Đề kiểm tra 15 phút Lớp: 12A8 Sĩ số: 40 HS Bài 1: Một gia đình định trồng cà phê ca cao diện tích 10 Nếu trồng cà phê cần 20 cơng thu 10000000 đồng diện tích , trồng ca cao cần 30 cơng thu 12000000 đồng diện tích Hỏi cần trồng loại với diện tích để thu đƣợc nhiều tiền nhất? (Biết cà phê thành viên gia đình tự chăm sóc số cơng khơng vƣợt q 80, cịn ca cao gia đình thuê ngƣời làm với giá 100000 đồng cho công Bài 2: Một khu vƣờn hình chữ nhật đƣợc xây dựng bên cạnh nhà để xe Ngƣời ta làm hàng rào dài 100 m dự định làm hàng rào cạnh, mặt bên nhà để xe cạnh thứ Kích thƣớc làm cho diện tích khu vƣờn lớn nhất? 3.4.2.2 Thang điểm đáp án a Thang điểm: Mỗi câu điểm b Đáp án: Bài 1: Gọi x, y ( x, y  0) lần lƣợt số cà phê ca cao mà hộ nông dân trồng đƣợc Số tiền cần bỏ để trồng ca cao là: 30 y.100000  3000000 y (đồng Lợi nhuận thu đƣợc là: f ( x; y )  10000000 x  12000000 y  3000000 y  f ( x; y )  10000000 x  9000000 y (đồng Vì số cơng để trồng cà phê không vƣợt 80 công nên: 20 x  80  x  77  x  y  10 Ta có hệ bất phƣơng trình sau: 0  x    y   y C Ta cần tìm giá trị lớn f ( x; y ) B miền nghiệm hệ    Miền nghiệm hệ    tứ giác OABC (kể biên O Hàm số f ( x; y ) đạt giá trị lớn A x ( x; y ) tọa độ đỉnh O(0;0), A(4;0), B(4;6), C (0;10) Khi ta có: f (0;0)  f (4;6)  94000000 f (4;0)  40000000 f (0;10)  90000000 Suy f ( x; y ) lớn ( x; y )  (4;6) Nhƣ vậy, gia đình nên trồng cà phê để lợi nhuận thu lớn Bài 2: Gọi x(m) (0  x  100) chiều rộng cạnh hình chữ nhật nhƣ hình vẽ Khi chiều dài cạnh hình chữ nhật là: 100  2x ( m ) Diện tích hình chữ nhật S  x(100  x) ( m ) Xét hàm f ( x)  x(100  x), x  (0;100) Bài toán trở thành tìm giá trị lớn f ( x) với x  (0;100) Ta có: f ( x)  100  x Khi f ( x)  x  25 (thỏa mãn Lập bảng biến thiên ta có: x f ( x) 25  f ( x) 1250 78 100  Dựa vào bảng biến thiên, ta có: max f ( x)  f (25)  1250 x(0;100) Vậy, hình chữ nhật có chiều rộng 25m chiều dài 50m thỏa mãn u cầu tốn 3.4.2.3 Kết thử nghiệm Điểm Số học sinh Tỷ lệ 0 0% 0% 2 5% 0% 7,5% 10% 12,5% 20% 15 37,5% 7,5% 10 0% Nhận xét chung rút từ kết thực nghiệm: Phần lớn học sinh nắm đƣợc kiến thức bản, có vài học sinh cá biệt chƣa tập trung vào việc học tập nên kết chƣa đƣợc cao Học sinh đạt mức 7, 8, điểm chiếm tỷ lệ cao, thể mức độ thông hiểu, vận dụng kiến thức mức độ khá, đa phần em biết giải vấn đề SGK Ở mức độ vận dụng cao tỷ lệ học sinh đạt đƣợc thấp 79 KẾT LUẬN CHƢƠNG Trong chƣơng tác giả trình bày trình thử nghiệm kết thử nghiệm sƣ phạm tác giả theo hƣớng dạy học phát triển lực vận dụng ứng dụng toán học trƣờng THPT Hoằng Hóa 4, huyện Hoằng Hóa, tỉnh Thanh Hóa Qua q trình thử nghiệm sƣ phạm kiểm chứng đƣợc tính sát thực nội dung khóa luận, bên cạnh giúp cho giáo viên học sinh biết thêm đƣợc nhiều học kinh nghiệm chuyên môn học tập để phục vụ cho trình dạy học sau 80 KẾT LUẬN Xây dựng quy trình dạy học phát triển lực vận dụng ứng dụng toán học với nội dung dạy học nhắc lại khái niệm, định lý, quy tắc, phƣơng pháp thuộc chủ đề dạy học giải số toán tối ƣu cho học sinh Tổ chức thử nghiệm sƣ phạm để kiểm chứng tính khả thi hiệu tiết dạy, phân tích, đánh giá kết thử nghiệm Những kết thu đƣợc lí luận thực tiễn cho phép kết luận: Giả thuyết khoa học khóa luận tốt nghiệp chấp nhận đƣợc, mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Bạch Kim, Giáo trình phương pháp tối ưu (Lý thuyết thuật toán), Nhà xuất bách khoa, Hà Nội, 2008 [2]Võ Minh Phổ, Lý thuyết tối ưu, [3] Bùi Minh Trí, Tối ưu hóa, Nhà xuất KHKT, Hà Nội, 2006 [4] Ts Nguyễn Phú Vinh, Giáo trình Quy hoạch tuyến tính, Trƣờng đại học cơng nghiệp TP Hồ Chí Minh, 2010 [5] Chương trình giáo dục phổ thơng chương trình tổng thể, Bộ giáo dục, 2018 [6] Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn, Bộ giáo dục, 2018 82