Sáng kiến kinh nghiệm Một số ví dụ về ứng dụng toán học vào thực tiễn

Sáng kiến kinh nghiệm Một số ví dụ về ứng dụng toán học vào thực tiễn MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 1 1 Lí do chọn đề tài 1 2 Mục đích nghiên cứu 1 3 Đối tượng nghiên cứu 1 4 Phương pháp nghiên cứu 1 5 Những điểm[.]

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1.Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN NỘI DUNG 2.1 Nội dung kiến thức 2.1.1 Cơng thức tính chu vi, diện tích hình, thể tích khối hình 2.1.2 Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng 2.2 Ví dụ minh hoạ Kết luận kiến nghị 4.TÀI LIỆU THAM KHẢO SangKienKinhNghiem.net MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài - Ta biết nội dung chương trình mơn Tốn chương trình phổ thơng tinh giản nhiều so với chương trình hành, trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn với đời sống thực tế - Theo Ban Phát triển chương trình mơn học (Bộ GD-ĐT), chương trình phổ thơng mới, mơn Tốn mơn học bắt buộc phân chia theo hai giai đoạn: Giai đoạn giáo dục bản: giúp học sinh nắm cách có hệ thống khái niệm , nguyên lý, quy tắc toán học cần thiết cho tất người, làm tảng cho việc học tập trình độ học tập sử dụng đời sống hàng ngày Giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp: giúp học sinh có nhìn tương đối tổng qt Tốn học, hiểu vai trị ứng dụng Toán học đời sống thực tế Nói tóm lại: Tốn học gần gũi với sống hàng ngày sử dụng Toán học để giải vấn đề nảy sinh sống, mục tiêu Chính xuất toán thực tiễn đề thi THPTQG thiếu nội dung này, nhằm định hướng dần cách suy nghĩ học Tốn Vì lẽ tác giả chọn đề tài “MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG TỐN HỌC VÀO THỰC TIỄN ” nhằm giúp học sinh có nhìn thêm dạng toán đề thi kiểm tra đánh giá 1.2 Mục đích nghiên cứu - Xây dựng giải pháp phù hợp, tích cực dạy học - Giúp học sinh tiếp cận dần tốn thực tiễn để em định hình phương pháp - Thiết kế giáo án thực nghiệm SangKienKinhNghiem.net 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Khai thác số ví dụ toán thực tiễn đề thi thử THPTQG 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: tài liệu tham khảo, giáo trình có nội dung liên quan - Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, điều tra, khảo sát, dự đồng nghiệp, tổng kết kinh nghiệm, tham khảo ý kiến chuyên gia… - Nhóm phương pháp xử lý thơng tin: Thống kê, phân tích, tổng hợp… 1.5 Những điểm SKKN Người viết lựa chọn đề tài mảng kiến thức thời điểm NỘI DUNG 2.1 Nội dung kiến thức 2.1.1 Cơng thức tính chu vi, diện tích hình, thể tích khối hình + Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt a = BC, b = CA, c = AB, h = AH Chu vi tam giác : P = a + b + c Diện tích tam giác : S 1 ah  ab.sin C  2 ( với p  p ( p  a )( p  b)( p  c) P ) + Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc tâm  (tính theo radian) SangKienKinhNghiem.net Chu vi hình quạt : P  2 R   P   R 2 Diện tích hình quạt : S  2 R   S   R2 2 + Hình nón, khối nón: Diện tích xuang quanh hình nón có bán kính đường trịn đáy r có độ dài đường sinh l là: S xq   rl Diện tích tồn phần hình nón trịn xoay diện tích xung quanh hình nón cộng với diện tích đáy hình nón: Stp   rl   r Thể tích khối nón trịn xoay có có chiều cao h bán kính đáy r là: V   r h + Hình trụ, khối trụ: SangKienKinhNghiem.net Diện tích xuang quanh hình trụ có bán kính đáy r có đường sinh l là: S xq  2 rl Diện tích tồn phần hình trụ diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai đáy hình trụ: Stp  2 rl  2 r Thể tích khối trụ có chiều cao h có bán kính đáy r là: V   r h + Mặt cầu, khối cầu: Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S  4 R Khối cầu bán kính R tích là: S   R3 2.1.2 Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng Chú ý thêm để giải nhanh số toán  Hàm số y  ax  bx  c, a > hàm số cho đạt giá trị nhỏ ¡ x  b 2a  Hàm số y  ax  bx  c, a < hàm số cho đạt giá trị lớn ¡ x b 2a  Với a, b số thực dương ta có: ab AM GM  ab ( a  b) Đẳng thức xảy  ab  a  b  Với a, b, c số thực dương ta có: abc thức xảy a  b  c SangKienKinhNghiem.net AM GM abc ( a  b  c )3 Đẳng   abc  27 2.1.3 Ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích khối tròn xoay  Nếu hàm số y  f x  liên tục đoạn a; b  diện tích S hình phẳng giới hạn b đường : y  f ( x), y  0, x  a, x  b S   f ( x) dx a  Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x)  g ( x) liên tục b đoạn a; b và hai đường thẳng x  a, x  b S   f ( x)  g ( x) dx a  Cho hàm số y  f x  liên tục a; b  Thể tích V khối trịn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường y  f ( x), y  0, x  a, x  b, quay xung quanh trục hồnh b tính theo cơng thức : V    f ( x)dx a 2.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ Một đường dây điện nối từ nhà máy điện bờ biển vị trí A đến vị trí C hịn đảo Khoảng cách ngắn từ C đến đất liền đoạn BC có độ dài km, khoảng cách từ A đến B km Người ta chọn vị trí điểm S nằm A B để mắc đường dây điện từ A đến S, từ S đến C hình vẽ Chi phí km dây điện đất liền 3000USD, km dây điện đặt ngầm biển 5000USD Hỏi điểm S phải cách điểm A km để chi phí mắc đường dây điện A 3,25 km B km C km D 1,5 km Lời giải Lời giải : Giả sử AS  x,  x   BS   x Tổng chi phí mắc đường dây điện : f ( x)  300 x  500  (4  x)2 SangKienKinhNghiem.net Bài toán trở thành tìm giá trị lớn f ( x) (0;4 13  x  (4  x)    (4  x)  5(4  x)  ( x  4)    F '( x)   300  500 19 16  (4  x) x   So sánh với điều kiện ta có x  13  3, 25 Đáp án A Ví dụ Một sổ có dạng hình vẽ, bao gồm: hình chữ nhật ghép với nửa hình trịn có tâm nằm cạnh hình chữ nhật Biết chu vi cho phép của sổ m Hỏi diện tích lớn cửa sổ A m 4 B m 4 C 2m D m2  3 Lời giải : Gọi độ dài IA AB a b ( < a, b < 4) Vì chu vi cửa sổ 4m nên ta có:  a  (2a  2b)   b    a  2a (1) Diện tích cửa sổ là:  a2   a  2a  a2   S (a)   2a  S ( a )  4a  2a       a  4a 2 2  Bài toán trở thành tìm giá trị lớn S(a) (0;4) Ta có: S '(a)    4a   a   a   Suy : max S (a )  S  0 x  4  4 Đáp án B SangKienKinhNghiem.net    4 Ví dụ Có hai cột dựng mặt đất cao m m, đỉnh hai cột cách m Người ta cần chọn vị trí mặt đất (nằm hai chân cột) giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí mơ hình bên Tính độ dài dây ngắn A 41m B 37m C 29m Lời giải : Kẻ AF  BE  DE  AF= 52  32  Đặt DC  x, (0  x  4)  CE   x Độ dài đoạn dây cần giăng : f ( x)   x  16  (4  x)  f ( x)   x  x  x  32 Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ f(x) (0;4) Ta có: f '( x)   x  x2  x4 x  x  32 0 Dùng MTCT sử dụng tính nhẩm nghiệm ta tính được: f '( x)   x  0,8  f ( x)  f (0,8)  41 SangKienKinhNghiem.net D 5m Đáp án A Ví dụ Một hình ti vi hình chữ nhật cao 1,4 m đặt độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép hình) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn ( góc nhìn) Hãy xác định độ dài AO để nhìn rõ A AO = 2,4 m B AO = m C AO = 2,6 m D AO = m Lời giải : Đặt : AO  x, ( x  0)  OB  x  3, 24, OC  x  10, 24 OB  OC  BC x  3, 24  x  10, 24  1,96 ·   cosBOC  2OB.OC x  3, 24 x  10, 24 x  5, 76 x  3, 24 x  10, 24 · · Góc nhìn BOC lớn cos BOC bé t  5, 76 t  5, 76  t  3, 24 t  10, 24 t  13, 48t  33,1776 Đặt: t  x , t  Xét: f (t )  t  13, 48t  33,1776  t  13, 48t  33,1776 t  13, 48t  33,1776 Ta có: f '(t )  f '(t )  t 0,98t  5, 6448  13, 48t  33,1776 t  6, 74   f '(t )   t  5, 76 · Suy BOC lớn x  5, 76  2, Đáp án A SangKienKinhNghiem.net Ta (t  5, 76) có: Ví dụ Mỗi trang giấy sách giáo khoa cần diện tích 384 cm2 Lề lề 3cm, lề trái lề phải cm Hãy cho biết kích thước tối ưu trang giấy A Dài 24 cm; rộng 16 cm B Dài 23,5 cm; rộng 17 cm C Dài 25 cm; rộng 15,36 cm D Dài 25,6 cm; rộng 15 cm Lời giải : Trang giấy có kích thước tối ưu diện tích phần trình bày nội dung lớn Gọi chiều dài trang giấy x, ( x  6), suy chiều rộng 384 x Diện tích để trình bày nội dung là: f ( x)  ( x  6)  384 2304     4 x   408 x  x  Ta cần tìm giá trị lớn f ( x) với x  Ta có : f '( x)  4  2304  f '( x)   x  24 x2 Đáp án A Ví dụ (Đề minh hoạ lần kỳ thi THPTQG năm 2017) Cho nhơm hình vng cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn SangKienKinhNghiem.net A x = B x = C x = D x = Lời giải : Thể tích hộp là: V ( x)  x(12  x)2 Ta cần tìm x để V(x) đạt giá trị lớn với < x < Ta có: V(6) = 0; V(3) = 108; V(2) = 128; V(4) = 64 Suy C đáp án Cách khác : Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:  x  (6  x)  (6  x)      2.64  128  V ( x)  2.2 x(6  x)(6  x) AM GM Đẳng thức xảy : 2x = – x => x = Đáp án C Ví dụ 7: Một người thợ khí vẽ bốn nửa đường trịn nhơm hình vng cạnh m, sau cắt thành hình bơng hoa (phần tơ đậm hình vẽ) Hãy tính diện tích hoa cắt A 0,56m B 0, 43m C 0,57m Lời giải : SangKienKinhNghiem.net D 0, 44m Nhận xét: Diện tích nửa cánh hoa diện tích phần tư đường trịn trừ diện tích tam giác ABC (xem hình vẽ bên) Diện tích nửa cánh hoa là: 3,14.0,52  0,52  0, 07125(m ) Diện tích bơng hoa cắt là: 0, 07125.8  0,57(m ) Đáp án C Ví dụ (Đề minh hoạ kỳ thi THPTQG năm 2017) Từ nhơm hình chữ nhật có kích thước 50 cm x 240 cm, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50 cm, theo hai cách sau (xem hình minh hoạ dướu đây): Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng Cách 2: Cắt tơn ban đầu thành hai nhau, gị thành mặt xung quang thùng Kí hiệu thể tích V1 thùng gị theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gị theo cách Tính tỉ số A V1  V2 B V1 V2 V1 1 V2 C V1 2 V2 Lời giải : SangKienKinhNghiem.net D V1 4 V2 Gọi bán kính đáy thùng gị theo cách R1 bán kính đáy thùng gò theo cách R2 Ta có: V1 R12 50. R12   V2 2.50. R22 R22 Mà 240  2 R1  4 R2  V R1 R2    , suy ra:   V2 R2 R2 Đáp án C Ví dụ Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần để làm mũ biết vành mũ hình trịn ống mũ hình trụ A 700 cm B 754, 25 cm C 750, 25 cm D 756, 25 cm Lời giải Ống mũ hình trụ với chiều cao h = 30 cm, bán kính đáy R  35  2.10  7,5cm Diện tích vải để làm ống mũ là: S1  2 Rh   h  2 7,5.30   7,52  506, 25 (cm ) Diện tích vải để vành mũ là: S2   17,52   7,52  250 (cm ) Tổng diện tích vải cần để mũ là: 506, 25  250  756, 25 (cm ) Đáp án D Ví dụ 10 Người ta giăng lưới để ni riêng loại cá góc hồ Biết lưới giăng theo đường thẳng từ vị trí bờ ngang đến vị trí bờ dọc phải qua cọc cắm sẵn vị trí A Hỏi diện nhỏ giăng bao nhiêu, biết khoảng cách từ cọc đến bờ ngang m khoảng cách từ cọc đến bờ dọc 12 m SangKienKinhNghiem.net A 120m C 238, 008(3)m B 156m D 283, 003(8)m Lời giải : Đặt tên điểm hình vẽ Đặt CJ  x, ( x  0) x Vì hai tam giác AJC BKA hai tam giác đồng dạng nên:  Diện tích khu ni cá là: S ( x)  ( x  5).( 12 60  KB  KB x 60  12) x 1 300 150 150   S ( x)   60  12 x   60   S ( x)  x   60 Ta có: S '( x)      x  2 x x x  Suy diện tích nhỏ giăng là: S (5)  120(m ) Đáp án A Ví dụ 11 Một khối lập phương có cạnh m chứa đầy nước Đặt vào khối khối nón có đỉnh trùng với tâm mặt lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với cạnh mặt đối diện Tính tỉ số thể tích lượng nước tràn lượng nước ban đầu khối hộp SangKienKinhNghiem.net A  12 B 12  C D   Lời giải : Thể tích lượng nước tràn ngồi thể tích khối nón Thể tích khối nón là: S1  1. 0,52  S1   12 Thể tích khối lập phương là: S2  1.1.1  S2  Do tỉ số cần tìm là: S1    :1  S 12 12 Đáp án A Ví dụ 12 Một miếng nhơm hình vng cạnh 1,2 m người thợ kẻ lưới thành ô vuông nhỏ có diện tích Sau vị trí điểm A A’ vẽ hai cung trịn bán kính 1,2 m; vị trí điểm B B’ vẽ hai cung trịn bán kính 0,8 m; vị trí điểm C C’ vẽ hai cung trịn bán kính 0,4 m Người cắt hai cánh hoa (quan sát cánh hoa tơ đậm hình) Hãy tính diện tích phần tơn dùng để tạo cánh hoa A 0,3648m B 0,3637m C 0, 2347m SangKienKinhNghiem.net D 0, 2147m Lời giải Tổng diện tích hai cánh hoa hai lần diện tích phần tơ đậm hình vẽ Do diện tích cách hoa diện tích phần tơ đậm hình vẽ Suy diện tích cánh hoa là:   1, 22    0, 42  S   1, 22     0, 42   0,3648(m ) 2     Đáp án A Ví dụ 13 Bác nơng dân làm hàng rào trồng rau hình chữ nhật có chiều dài song song với bờ tường Bác làm ba mặt mặt thứ tư bác tận dụng ln bờ tường Bác dự tính dùng 180 m lưới sắt để làm nên tồn hàng rào Hỏi diện tích lớn bác rào A 3600m B 4000m C 8100m D 4050m Lời giải: Gọi x chiều dài cạnh song song với bờ tường, y chiều dài cạnh vng góc với bờ tường Theo ta có: x  y  180  x  180  y Diện tích khu trồng rau là: S  x y  (180  y ) y (2 y  180  y )  S  4050 Ta có: S  y.(180  y )  SangKienKinhNghiem.net Đẳng thức xảy khi: y  180  y  y  45(m) Vậy diện tích lớn 4050 m Đáp án D Ví dụ 14 Từ miếng tơn có hình dạng nửa đường trịn bán kính m, người ta cắt hình chữ nhật (phần tơ đậm hình vẽ) Hỏi cắt miếng tơn có diện tích lớn A 0,8m B 1m C 1, 6m D 2m Lời giải : Đặt: AB  x, (0  x  1) Suy ra: BD  2OB   x Diện tích hình nhật là: f ( x)  x  x Ta có: f ( x)  x (1  x ) Đặt: y  x , (0  y  1) Xét g ( y )  y (1  y )  4 y  y Ta có f(x) lớn y(y) lớn nhất, mà g(y) lớn khi: y  2  maxf(x)=f   Suy f(x) lớn x    2 2.(4)   Đáp án B Ví dụ 15 Một hộp khơng nắp làm từ bìa tơng Hộp có đáy hình vng cạnh x (cm), đường cao h (cm) tích 500 cm3 Tìm x cho diện tích mảnh bìa tông nhỏ SangKienKinhNghiem.net A cm B 10 cm C 15 cm D 20 cm Lời giải : Ta tích hộp là: V  x h Do hộp tích 500 cm3 nên ta có: x h  500  h  500 x2 Tổng diện tích bìa tơng là: S ( x)  x  xh  S ( x)  x  Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ S ( x)  x  Ta x2  có S ( x)  x  200 x 200 (0; ) x 100 100 AM GM 100 100   x  S ( x)  300 x x x x Đẳng thức xảy khi: 100  x  10(cm) x Đáp án B Ví dụ 16 (Đề thi thử nghiệm kỳ thi THPTQG năm 2017) Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16 m độ dài trục bé 10 m Ông muốn trồng hoa mảnh đất rộng m nhận trục bé elip làm trục đối xứng hình vẽ Biết kinh phí trồng hoa 100000 đồng/ m2 Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa mảnh đất (số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 7862000 đồng B 7653000 đồng C 7128000 đồng D 7826000 đồng Lời giải : SangKienKinhNghiem.net x2 y Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ Ta có phương trình đường elip là:   64 25 Phần đường cong phía trục Ox có phương trình là: y   Suy diện tích mảnh đất trồng hoa là: S    4 x2 64 x2 dx 64 Sử dụng MTCT ta tính 2S = 76,5289182 ( m ) Suy số tiền để mảnh đất là: 2S 100000 = 7652891,82 (đồng) Do làm trịn đến hàng nghìn nên số tiền 7653000 đồng Đáp án B Ví dụ 17 Từ nhơm hình chữ nhật có kích thước 50 cm x 120 cm người thợ muốn làm thùng hình trụ cách gị tơn thành mặt xung quanh thùng (đáy thùng cắt bổ sung từ miếng tơn khác) Có hai cách gị sau (quan sát hình vẽ minh hoạ): Cách 1: Gị cho thùng có chiều cao 50 cm Cách 2: Gò cho thùng có chiều cao 120 cm Gọi V1 thể tích thùng gò theo cách 1, V2 thể tích thùng gị theo cách Kết luận sau SangKienKinhNghiem.net A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1  V2 12 Lời giải : Bán kính đáy thùng gò theo cách là: 2 R1  120  R1  60  60 180000 Thể tích thùng gị theo cách là: V1   R h1     50     Bán kính đáy thùng gò theo cách là: 2 R2  50  R2  Thể tích thùng gò theo cách là: V2   R2 h2    25  25   120  75000   Suy ra: V1  V2 Đáp án C Ví dụ 18 Một nhóm học sinh dựng lều dã ngoại cách gấp đơi bạt hình chữ nhật có chiều dài 12 m, chiều rộng m (gấp theo đường hình minh hoạ) sau dùng hai gậy có chiều dài chống theo phương thẳng đứng vào hai mép gấp Hãy tính xem dùng gậy có chiều dài khơng gian lều lớn A 5m B 1,5 m C m D Lời giải: Không gian lều lớn diện tích tam giác ABC lớn Ta có: S ABC  AB AC.sin A  32 9 sin A  sin 90o  2 Đẳng thức xảy khi: ABC  90o SangKienKinhNghiem.net m ... sinh sống, mục tiêu Chính xuất toán thực tiễn đề thi THPTQG thiếu nội dung này, nhằm định hướng dần cách suy nghĩ học Toán Vì lẽ tác giả chọn đề tài “MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG TỐN HỌC VÀO THỰC TIỄN... giáo dục định hướng nghề nghiệp: giúp học sinh có nhìn tương đối tổng qt Tốn học, hiểu vai trị ứng dụng Tốn học đời sống thực tế Nói tóm lại: Tốn học gần gũi với sống hàng ngày sử dụng Toán học. .. Giai đoạn giáo dục bản: giúp học sinh nắm cách có hệ thống khái niệm , nguyên lý, quy tắc toán học cần thiết cho tất người, làm tảng cho việc học tập trình độ học tập sử dụng đời sống hàng ngày