Ebook Một số chuyên đề chọn lọc toán trung học phổ thông: Phần 2

Trong lĩnh vực Công Nghệ Thông Tin nói riêng, yêu cầu quan trọng nhất của người học đó chính là thực hành. Có thực hành thì người học mới có thể tự mình lĩnh hội và hiểu biết sâu sắc với lý thuyết. Với ngành mạng máy tính, nhu cầu thực hành được đặt lên hàng đầu. Tuy nhiên, trong điều kiện còn thiếu thốn về trang bị như hiện nay, người học đặc biệt là sinh viên ít có điều kiện thực hành. Đặc biệt là với các thiết bị đắt tiền như Router, Switch chuyên dụng

Trang 1

Phương trình đường cong (`) ĐỐI XỨNG VỚI ĐƯỜNG CONG (Ø) QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC TRONG MẶT PHẲNG

Thống nhất các trường hợp riêng lẻ, bài này trình bày cách viết phương trình đường cong đối xứng với đường cong cho trước qua một đườr,g thẳng cố định có phương bất kỳ cùng với một vài ứng dụng của nó

I Hệ thức liên hệ giữo tog độ hơi điểm

đối xứng nhgu quơ mội trục

e Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxy cho đường

thang (D): Ax + By + € =0 (A? + 8? >0) ; hai điểm M(x„; yạ); M°(+°; y`)

là ảnh của c9) qua phép đối xứng trục

II Phương trình đường cong (#”) đối xứng với đường cong (6)

qua đường thẳng (3): Ax + By +C =0

Thí dụ 1 1) Viết phương trình đường cong (Ở) đối xứng với parabol (2) :

y= 3? + 2x + 3 qua đường thẳng (9) : x + 2y — =0 Gọi E, F là các tiếp điểm kẻ từ A35] tới (8)

Ký hiệu : k=

Lí mp ee eens 1

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (Ø) và day cung EF

87

Trang 2

1) e Vectơ pháp tuyến của(): n =(1; 2)

Goi M(x; yo), M’(x’; y’) 1a 2 điểm bất kỳ trong mặt phẳng; ký hiệu

eMe(P)©yo=x¿+2+3 © 5 (44 = 3y") = Br" 4y"+ 2)

+ (x'~4y'+2)+3 > 9x) +16(y’)? — 24x’y'+ 56v'— 33y'+ 79 =0

= Phương trình đường cong (' ') cần tìm là:

9x7 + Loy’ — 24xy + 56x — 33y + 79 =0

2) Goi E’, F’, A’ theo thứ tự là các điểm đối

xứng của E, F, A qua đường thẳng (9)

Thay (*- si“ 2) vao (1) suy ra

A’ =(I;-1) Xem (@): y=? + 2x + 3;

Đạo hàm y° =2x + 2

se Phương trình tiếp tuyến (2) với () tại tiếp

điểm (x;;yạ ya :y= y()( — Ao) + Yo

nên (2)<©> yạ=4xo+9 = Phương trình

đường thẳng E°, E” là y = 4x + 9

e Phương trình hoành độ giao điểm của £', Fˆ là +Ì+ 2x + 3 =4x +9

88

Trang 3

1) Viết phương trình đường cong (#) biết rằng đối xứng với nó qua

đường thẳng (0) : y= 2x là clip (£): Ta

2) Viết phương trình tiếp tuyến với (#) kẻ từ điểm K (1; 2),

3) Gọi E, F là các tiếp điểm nói ở câu 2 Viết phương trình đường thẳng EF

Lời giải

1) e Vectơ pháp tuyến của đường thẳng (Ø) : n = (1; 2)

Gọi M(x„; Yo); M’(x’; y') là 2 điểm bất kỳ trong mặt phẳng;

Trang 4

») Gọi K' là điểm đối xứng của K qua đường thẳng (2) Thấy rằng K(1; 2) e(Ø)

2>K=K'

e Trước hết ta viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ K`= K

Để ý: Đường thẳng qua A có phương trình x =1 không phải là tiếp tuyến

e Phương trình tiếp tuyến với (#) tại tiếp điểm (x„ yạ) là “°Ÿ : xế a =1 (3)

Tiếp tuyến qua K(1; 2) toạ độ điểm K thoả mãn phương trình (3)

*ạ 2

= + © xo+3y,-3=0

e Suy ra phương trình đường thẳng nối Eọ, Fạ là (d;): x + 3y - 3=0

( Eo7Fo 1a các tiếp điểm giữa (#) và các tiếp tuyến kẻ từ K )

e Tương tự câu 1, thu được phương trình (d; ) đối xứng với (d;) qua (2) là

3x +13y —- 15 =0

Se

lll C&c truéng hợp riêng

L Truc d6i ximg là đường thang (0) : y = X+ c

Thí dụ 3

Viết phương trình hybebol ‹24*) đối xứng với hybebol

G0:y=x+2+—— qua đường thẳng (Ø): y=x + 3

+~

90

Trang 5

Lời giải 1) e Hàm số y = a`*' đơn điệu trên Ï§ nên có hàm số ngược

e Đồ thị hàm số và đồ thị hàm số ngược của nó đối xứng nhau qua đường

e Mọi điểm của (2) déu c6 anh cia né ciing thudc (4) => (4) nhan

y=x +2 lam truc déi xting Đó là điều phải chứng minh

Trang 6

e M, M’ 1a 2 điểm của () đối xứng với nhau qua () khi và chỉ khi toa

độ của chúng Jà nghiệm của hệ :

xạ=4-x'

}ạ =y

92

Trang 7

y =x‘ + 4(a — m)x’ + (6a° — 12a? — 4a + 12m)x?

+ (4a° — 12ma? — 4a + 12m)x + a(a* — 4ma? — 2a + 12m)

e (#) nhận () làm trục đối xứng khi và chỉ khi (#") trùng (#)

Đó là tập hợp các giá trị phải tìm của m

ca KH wm

93

Trang 8

Phương pháp KHÔNG ĐẠO HÀM

Bài viết này nêu lên mối liên hệ “định tinh” giữa

biểu thức giải tích, cực trị và vị trí của đồ thị đối

với trục Ox của hàm số y=ƒŒ@)=#È+irtc

Px+q

hiệu giúp chúng ta:

- biết trước định tính kết quả,

- tự kiểm tra bài làm của mình

Đặc biệt “sáu nhận xét định fínM dẫn chúng ta đến những lời giải rêng của các bài toán cực trị của hàm hữu tỷ 2!1 thật đơn giản mà không dùng đến đạo hàm

Hàm số có cực đại,

cực tiêu

Nhận xét 2

,Hàm số đơn điệu „|_ Mỗi nhánh của () cắt

Đông biển nêu ap> 0 |«————| trục Oz tại một điểm

Nghịch biến néu a.p <0 l

Ham so có hai (@) cat truc Ox tại

cực trị cùng dấu | T———D—?} | ) điểm phân biệt

Trang 9

Nhận xét 6

a.fxo) <0 ~——— | Đồng biến nếu ap >0

Nghịch biến nếu a.p <0

Lời bình

Nhờ các liên hệ "/am giác" trên, có một đình thì lập tức có hai đỉnh kia

Ngược lại, nếu mỗi khi các đỉnh của tam giác không khớp nhau, chứng tỏ

tính toán sai Học sinh tự kiểm tra lại bài làm của mình

Sáu nhận xét định tính trên cho ta biết trước kết quả Nó là cơ sở của các

phép đoán thông mình đề trà lời trắc nghiệm bằng PHƯƠNG PHÁP

KHÔNG ĐẠO HÀM

II Các thí dụ

Thí dụ 1 Không tính đạo hàm, hãy cho biết cực trị (nếu có) và vị trí đồ thị

so với trục Øx của mỗi đồ thị sau :

95

Trang 10

Lời giải sagt

1) Xét hàm số y- 0E,

x—

Thay rang A = ~3< 0 Theo Nhận xét 4 ta có

* Hàm sô có cực đại, cực tiêu trái dâu

*- Đô thị không cắt trục hoành

Theo Nhận xét 6, hàm số đã cho luôn đồng biến trên từng khoảng xác

định của nó khi và chỉ khi hens AmÈ ~ 3m~—I <0 c3 ~l<m<

Trang 11

Theo Nhận xa 4 hàm số có cực đại Cực tiểu đrái đấu với nhau khi và chi khi A¿=9—- m°<0 © m< ~3 hoặc zm > 3

ƒ(x):=x`—2mx + 2m —Ì

x+m

Thí dụ 7 Tìm zø để mỗi nhánh của đồ thị y = cat

trục hoành tại một điểm

Trang 12

1f(-1)=2>0

A=1>0

* Ham số có cực đại, cực tiểu cùng dấu

* Đô thị căt trục hoành tại hai điêm trên một nhánh

2) e Theo Nhận xét 3, hàm số có cực đại, cực tiểu cùng dấu khi và chỉ khi 1./0)>0 |sinz|—sinz > 0

+ (Ø) có các tiệm cận là x = -1 va y = x -1 + sina Giao điểm 7 của hai

Trang 13

Lời bình

Cùng trôi với thời gian, mỗi bài toán có thê có thêm cách giải mới Đó là

sự phát triển của Toán học Tiếp cận các cách giải trên làm ta liên tưởng

đến âm hưởng câu nói: Cái đơn giản là cái đúng nhất !

II Bài tập

Ap dung 6 nhận xét đã trình bày, mời các bạn giải các bài tập sau

xÌ~— m(m +1)x+ mỶ +1 Bài 1 Tìm m để hàm số y= có cực đại cực tiểu trái

1) Cực đại, cực tiểu cùng dương

2) Cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ trục hoành đến điểm cực đại bé hơn so với khoảng cách từ trục hoành đến điểm cực tiểu

Trang 14

Đó là một phương trình bậc ba Không có nhận xét về đoán nghiệm vô tỷ nên việc đoán nghiệm của phương trình này để biến đổi nó thành phương trình tích vẫn còn khó khăn

ce * Xem phương trinh x* + xÌ— x°—15x + 25 = 0 (*)

Đó là một phương trình bậc 4 đây đủ đối với x Lẽ tự nhiên ta liên tường

tới các phương trình bậc 4 đã biết cách giải : ưa“ + bà + c = 0,

(x + a)'+ (x + by = 6, axt+ bet 0 + kbx + Pa? = 0, x4 = a? + bx +c Mong

rằng chúng sẽ mách bđo cách đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai

Đáng tiếc phương trình (*) không rơi vào các dạng quen thuộc ấy

Một ý thức thường trực là đoán nghiệm (fừm vận may) để từ đó biến đổi (*) về phương trình tích Đáng tiếc việc này cũng chẳng thành, bởi phương

trình không có nghiệm hữu tỷ

Dịch chuyển sang con đường biến đổi V7 (*) thành tích của hai tam thức bậc hai

°_* Một thủ thuật thường dùng là phương pháp hệ số bất định:

Goi F(x) = (7 + mx + n)(x? + px + q) Khai trién F(x) va déng nhat F(x) với VT(*) Việc này dẫn tới giải hệ 4 phương trình với 4 ẩn m, n, p, g Xem

ta lối mòn còn lắm chông gai !

* Lại còn nhớ với phương trình chứa tham số, chúng ta có thể ráo đổi vai trò ẩn và tham số để biến đổi phương trình bậc cao về phương trình tích

Phương trình trên không thuộc dạng đó

(£@° * Với các phương trình còn lại :

xi? = 298 4 Jog, x° 7% — 11° = 12cotx, (=) -(4)

2* 3% 14 21 218) + 200853) = xe 0” 2 y8 +38 2y,

đó là những phương trình luỹ thừa với nhiều cơ số khác nhau Phương pháp

sử dụng định lý Roll cũng không phải là chìa khoá nảy tách cho “cánh cửa”

bật ra tập nghiệm các phương trình này Xem ra cổng của các phương trình

ấy không đặt trên những con đường mà chúng ta đang đặt chân

Bài viết này trình bày bí mật đang đứng im sau lâu đài của các phương trình như thế

II PHƯƠNG PHÁP HẰNG SỐ BIẾN THIÊN

Trong quá trình giải một bài toán ta có thể đặt một biểu thức của phương

trình làm ẩn phụ

Dat ẩn phụ là bí quyết thành công của nhiều lời giải bài toán "Đặt ẩn phụ cũng như vẽ thêm đường trong hình học, tìm được nhà tài trợ trong kinh tế Khó mà nói hết các cách đặt ẩn phụ" Tuỳ theo sự hiểu biết về góc độ bài toán mà ta có các cách đặt ẩn phụ khác nhau Khi ẩn phụ "đăng quang", phương trình có thể diễn ra các hình thái như sau:

e Ấn mới thay thế hoàn toàn ẩn cũ (như trường hợp phương trình trùng

phương chẳng hạn) Ta nói rằng đó là phép đặt ổn phụ toàn phản

Trang 15

® Ấn mới không thay thế hoàn toàn ẩn cũ mà cả ẩn mới và ẩn cũ cùng tồn tại chung trong một phương trình Ta nói rằng đó là phép đạt cẩn phụ không toàn phan Trong trường hợp này, cách xử lý với hai ẩn cũng khác nhau

+ Vai trò giữa ẩn cũ và ẩn mới hoàn toàn bình đẳng với nhau Khi đó thường bài toán được đưa về giải hệ phương trình hai ẩn

+ Vai trò giữa ẩn cũ và ẩn mới không bình đẳng với nhau Khi đó thường

ẩn cũ trở thành các hệ số của phương trình " 'tháp tùng” cho ẩn mới

* Trong phương trình có tham số, nhiều khi ẩn phụ chính là tham số Điều này dẫn đến phương pháp giải phương trình bằng cách "Tráo đổi vai trò giữa

ẩn và tham sô"

Một số phương trình bậc hai đối với tham số đã được giải theo hiững pháp

này (Bạn đọc có thể tìm hiểu điều này trên một số tài liệu, chẳng hạn Phạm

Quốc Phong: "Bồi dưỡng Đại sé 10", Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội)

* Một lẽ cũng 0 nhiên là ẩn phụ có thể là một hằng số nào đó của phương trình Ta gọi đó là "Phương pháp hằng số biến thiên" Sự hiện diện của phương pháp này đã góp thêm lời giải độc đáo, trong một số trường hợp nó còn là "cứu

cánh" cho câu trả lời (Nhân đây xin nhắc lại rằng thông qua nhiều cách giải

khác nhau của bài toán, ta hiểu sâu sắc hơn bài toán và thúc đẩy tư duy phát

triển Có lẽ lời giải của bài toán không chỉ dừng lại ở đáp số)

Trang 16

Lời bình 1

Nếu sử dụng biến đổi (1) => x° -15x2 +2AV/17= 0 Đặt x2 = />0, ta có

P — 13r +2V17 = 0 Dé 1a mot phuong trinh bac ba, Khong có nhận xét về đoán nghiệm vô tỷ nên việc đoán nghiệm của phương trình này để biến đổi

Data =5, phuong trinh tré thanh a*4+3at - P(P— 1+ 2) =0 (4)

Xem (4) là phương trình bậc hai d6i vi a, tacé A=P(2t+ 1)? Bời vậy

Vậy x=2 ? là các nghiệm của phương trình đã cho

Lời bình: Trong phương trình chứa tham số, chúng ta thường bắt gặp câu

giải phương trình ứng với một giá trị nào đó của tham số Có lẽ sẽ không sai

khi nói rằng (3) là phương trình mà tham số đã nhường lại cho số 5

Thí dụ 3”, Giải phương trình x+3|11+A|x =11 (1)

Xem (4) 1a phuong trinh bac 2 d6i véi a Ta cé

A,=(2x+ U?—4@2—-Ax)=(2AÍx + L, a=x+Ax+1, a&=x—x

Trang 17

2) Nhìn phương trình (3) dưới dạng (øx + b)” =pVa'x+b'+ qx + r (phương trình chứa hai phép toán ngược nhau) ta có lời giải bằng cách đặt

ẩn phụ đối xứng như sau :

Thay (6) vào (*) ta có (y—11#= y« y'—23y~121 =0 © ya2l ts

suy rax= NS thay (7) vào (*) có (y — 11)?= 21 -

Thi du 4 Gidi phuong trinh x'®" = 2'*" +log, x’ (1)

Giả sử phương trình có nghiệm x =z tức là øZ'®” = 2“ + lọg, ø'

103

Trang 18

Xét hàm số (0) =/'#'“ —rlog,ø với r>0,r# 1 Ta có (2) ©® ƒŒ) =/0)

R6 rang f(r) 1a ham lién tuc trén [2; 7] va cé6 dao ham

f()=(log,a) 17"! — log, a =(t'" 7"! -1) logy

Theo dinh ly Lagrang at tồn tại cc(2; 7) sao cho (7 - 2) ƒ(c) =ƒ?) - 2)

Thay x = I và x = 3 vào phương trình (1) thấy đúng

Vậy x = I và x = 3 là các nghiệm của phương trình đã cho

Thi du 5 Gidi phuwong trinh T°" — 11°" = 12cotr (1)

Lời giải

Giả sử ø là một nghiệm của phương trình, tức là 7°"“—1 1°" = J2cotz

77 — 117 =3(11 —Tcota <> 7% + 3.7cota = 11°" + 3.1 1cota (2)

Xét ham s6 f(t) = £7 + 3t.cota véi t>0,1# 1

Thử lại : Thay x =F thn vào phương trình (1) thấy đúng

Vậy x =.+ kĩ (ke Z ) là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã che

Trang 19

Xét hàm số biến số : f(r) = 2" — kh(x).t

Nhu vay © © f(a) = f(b) © fa) -ftb =0 @

Rõ ràng trên (b; ¿) hàm số ƒ() có đạo hàm /'() = hCQ('**~ k) Theo

định lý Lagrăng thì 3c e (b, a) sao cho (¿— b) (c) =[f¿) — Đ)]

+Néu 0<k #1, phuong trinh c“"“'= £ là phương trình không xác

định Bởi vậy không có bài toán giải phương trình trong trường hợp này

Với phương pháp hằng số biến thiền, việc giải phương trình mũ đã được chuyển về giải phương trình luỹ thừa đơn giản hơn Phương pháp ấy đã cùng định lý Lạagrăng, chúng thăng hoa cho nhau

Trang 20

Rõ ràng ƒ/) liên tục trên R} và có đạo hàm

r@=4(r+3` -at™"' nal (ot) -]

Do vậy theo định lý Lagrăng at tồn tai ce (š-4) sao cho

Giả sử phương trình có nghiệm x =ơ tức là 2!%” +2!£s#” ~ ø„ + gies

o gl96sz + 4le8:2 = sioesz + 78a o gia TT = Teese —4iese (2)

Thử lại : Thay hai giá trị x = 1 và x = 5 vào phương trình (1) thay dung

Vay x = Ï và x = 5 là các nghiệm của phương trình đã cho

Lời bình 4: Các phương trình trong hai Thí dụ 5 và 6 thuộc dạng :

` trong đó0<a#1,0<b+#1,øa>b, d>0, h(x) xác định trên [b; ø]

Cách giải : Viết lại ® © (ø + 4)J9— (b + dJ!) = ư“2)— p#9

Trang 21

e Điều kiện cần : Xét hàm số biến số /: f(/) = (t + dJ"*)— “1,

Như vậy © < fla) = f(b) <= fla) —fib) =0 ` ®

Rõ ràng trên (b; a) hàm số ƒr) có đạo hàm fi l(t) = h(x)[(t + 3“? -

pr’),

Theo dinh ly Lagrang thi dc € (b; a) sao cho (u — b)f'(c) = [fla) —fib)]

h(x) =0 h(x) =1

e Điều kiện đủ : Thay các giá trị tìm được của x trong @ vao © dé chon

Giả sử phương trình có nghiệm x = # tức là ø'%'"' +3“ = 2œ

C10095 SPS 2,799 ep] POE TE? PONE „„ Zi (2)

Xét hàm số ƒf(/)=(4+/)*®“ —/°*“ với r>0,rz1

Ta có (2) © #4) =3) © #4) - ƒG) =0

Rõ ràng ƒ(/) là hàm liên tục trên [3; 4] và có đạo hàm

f(t) = (log;œ)(4 + 7" —log, a = [(4+£)#*" =1) log;ø

Theo định ly Lagrăng ắt tồn tại « € (3; 4) sao cho (4-3) f(c) =f4) - #3)

=ƒ(c)=0 © [(4+ec)°*”” —I]log;z=0

Thay x = l và x = 7 vào phương trình (1) thấy đúng

Vay x= 1 vax =7 là các nghiệm của phương trình đã cho

Trang 22

5) 3" — 8" = 8tanv; 6) 36) +4) = 25 m)2 +0 9m)4,

T) x? =xh' + (x S1) x08, 8) 4 1+2! =2

9) Ig*x + Ig`x — 2lg”x — Ig— 9 =0

10)a*+d* = b*+c* trong déa, b,c, d là các số hạng liên tiếp của một

cấp số cộng có các số hạng đều dương và khác I

Ill LO KET

Miệt mài và tận tâm, viết bài viết này, người viết muốn chia sẻ với các em

học sinh, với các bạn đồng nghiệp chút ít kinh nghiệm nhở nhơi của mình

nhặt nhạnh tích góp trong nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi

Có thể là bó hoa tươi dâng tặng thầy trong ngày 20/1 I, có thể là những lá

thư từ những mái trường Đại học khi các em đã trở thành học sinh cũ của trường phổ thông còn tôi đã trở thành thầy giáo cũ của họ Riéng toi, không thể nào quên những ánh mắt rực sáng lung linh khi các em trò nhỏ của mình

lắng nghe từng lời bài giảng, đọc kỹ từng dòng phấn trắng mỗi khi tôi có dịp truyền thụ phương pháp hằng số biến thiện

Từng phần nội dung kiến thức phù hợp, các thí dụ về phương pháp này đã

được trình bày trong một số cuốn sách chuyên khảo toán trung học phổ thông (do tôi đứng tên):

+ Nang cao Đại số I0-NXB Đại học Sư phạm,

+ Chuyên đề nâng cao Đại số và Giải tích trung học phổ thông-NX

+ Bồi dudng Dai s6 10-NXB Đại học Quốc: gia Hà Nội,

+ Phương pháp giải phương trình lượng giác- NXB Đại học Sư phạm Thông qua các ấn phẩm ấy, cách đặt ẩn phụ cho hằng số đã đến với bạn đọc

cả nước Bí mật về “/4u đài” hằng số biến thiên thật hấp dẫn, đó là những cảm nhận của nhiều đọc giả khi họ đọc những ấn phẩm trên Bản thân tôi

vẫn biết rằng lâu đài ấy có thể còn chứa đựng nhiều bí mật khác nữa Là lâu đài hấp dẫn, chắc chắn đã có nhiều người đã một vài lần vào đây khám phá,

có thể đã có những người đã giành được những “báu vá?” của lâu đài Chia

sẻ với mọi người, tôi mong được đón nhận từ đồng nghiệp những điều còn

khuất vắng chưa được đê cập đến trong bài viết này, để cho cách đặt ẩn phụ cho hằng số thêm nhiều thí dụ phong phú hơn, có nhiều ứng dụng rộng rãi

hơn

Trang 23

® (C,) được gọi là họ tiếp xúc nếu mọi đường của họ cùng tiếp xúc với

một đường thẳng tại một điểm

109

Trang 24

Mệnh đề 2

Các họ đường cong (C.„) và (D„) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ sau có

nghiệm với mọi m

oe = a(x)

f(x) = g'(x)

Ill Bœ bởi toón

Bài toán 1

Tim trong hai ho (€,) va (3„) cho trước các cặp đường cons((„).(3„„))

tiếp xúc với nhau

* V6i x =— 1, thay vao (2) cho m => tae6 đường thẳng (Dy y= x-10

tiếp xúc với parabol (P) : y =x 42x -9

* Với x = 3, thay vào (2) cho m=->.ta có đường thẳng (Dy=-5x —18

tiếp xúc với parabol (P) : y = x? 2 x-9

Trang 25

Bài toán 2

Cho họ đường cong (C„): y = ƒ(m, x) phụ thuộc tham số m Tìm đường cong (D) tiếp xúc với cả họ (C„)

Cách giải

Bước I : Đoán đường cong (D)

Bước 2 : Chứng minh (D) và (C,„) tiếp xúc với nhau

Như vậy, bước 2 chính là bài toán \ Vấn đề chủ yếu là bước 1

Sau đây, trình bày ba cách đoán đường cong (D)

1 Phương pháp nội suy (tách bộ phận kép)

Néu f(m, x) = h(m, x) + g(x) trong đó h(m, x) có nghiệm kép, g(x)

độc lập với m thì (D) có phương trình y = g(x)

2 Phương pháp biên

Xem (1) là phương trình đối với m

Nếu y = g(x) là điều kiện giới hạn giữa sự có nghiệm và vô nghiệm của phương trình (1) đối với ẩn m, thì y = g(x) là phương trình của (D)

3 Phương pháp đạo hàm theo tham số

Viết lại phương trình y = f{x) thanh F(x, y, m) = 0

Cach 1 (N6i suy)

Viết lại (1) © fix) =5 (m? + 2mx + x?) +x? | x?

Ta chứng minh (C,„) tiếp xúc với (D): g(x) = x* + xì

111

Trang 26

Thật vậy, xem hệ | ' ,

F(x) = a(x)

©x+m=0 ©x=-m

e Với VmeR, hệ trên luôn có nghiệm x = —m Do vậy hai họ (C,„) và (D)

luôn tiếp xúc với nhau (đpem)

Thé m =-x vào NÌHHÃ gỆA) se oo eet

Ta sẽ chứng minh (C,) tiếp xúc với (D): g(x) = ret x? (nhu cach 1)

Ta chứng minh (C,„) tiếp xúc với (D): g(x) = rel x (như cách l)

Thí dụ 2 Tìm đường cố định tiếp xúc với họ hypebol (H„) :

Trang 27

= tees ©xÌ+2x+lI=0 ©(x+l)=0 © x=-l

m # —]

e Với mọi m # -l, hệ (3) luôn có nghiệm x =-l «©> (H,) và đường thẳng (D) luôn tiếp xúc với nhau (đpcm)

Chú ý Lời giải cho thấy :

* (Hạ) tiếp xúc với đường thẳng (D) y =l —x tại tiếp điển cố định có

hoành độ x = —l ©_ Họ hypebol (Hạ) luôn tiếp xúc với nhau

* Khim = -1, họ (H„) suy biến thành đường thẳng y = — x — 2, không

có sự tiếp xúc

Cách 2 (Đạo hàm theo m)

Viết lại (1) = y(m - x) = 2x” + (1 - m)x + l+m

Gọi F(m) = m(y + x— l)— (2x? + x + I + xy) = [F(m)]„ = y— x + Ì

=[F(m)]„=0 © y-x+1l=0 ©y=-x+l

Ta chứng minh (H,„„) tiếp xúc với đường thẳng (D): g(x) =l - x (như cách 1)

Thí dụ 3 Gợi (H„) là họ hypebol có phương trình

se Vm eR, hệ đang xét luôn có nghiệm x = m + 2 © (H,) và đường

thẳng (D,) luôn tiếp xúc với nhau (đpcm)

113

Trang 28

Suy ra (F(m)),, = 2m — (x + y + 2) (F(m)),, =0 & m=2 (x+y+2)

Thế vào (3) có 2 (K+Y*Đ#~ 2Œ *+y+2)'+2% + xy +4.=0

x-y=-2 y=x+2

Ta sẽ chứng minh (H,,) tiếp xúc với hai đường thang (D,) : g,(x) = x — 6,

(D,): g;(x) = x + 2 (lam nhu cach 1)

Cách 3 (hệ số bất định)

Gọi (D) đường thẳng có phương trình y = ax + b

e (H,) và (D) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm với mọi m

Phương trình (3) luôn có nghiệm với mọi m ©> a > 0 4)

Từ (2) suy ra ax? + [b+ l - m(a + I)]x +m°-m(b+2)+4=0 (5)

Với a > 0, phương trình (5) có

A,=[b+ 1 -m@a + I)] - 4a[m? - m(b + 2) + 4]

=(a—1)’m? + 2(a— 1)(b + 2)m + (b + 2)? — lóa

Gọi h(x) = (a — 1)'m? + 2(a — 1)(b + 2)m + (b + 2)?— l6a

e Phương trình (5) có nghiệm với mọi m trong hai trường hợp sau đây:

Thí dụ 4 Chứng mình khi m thay đổi, họ parabol (P,,) :

Ñx) = 2+ 2(m — l)x + m°+ Am luôn tiếp xúc với một đô thị cố định

Trang 29

Lời giải

Ta có (1) <> x) = 2x” - 2x + 2mx + m°+ 4m

<> fix) =m? + 2(x + 2)m + 2x?- 2x

<> fix) = (m + x + 2)?+x?- 6x - 4

Ta sẽ chứng minh (P,„) tiếp xúc với (P) : g(x) = x? —- 6x — 4 Thật vay:

_V@Œœ=gŒœ) | 4x+2(m-1) = 2x-6

Với mọi m, hệ trên luôn có nghiệm x = — m — 2 suy ra (P,,) va (P) luén tiếp xúc với nhau (đpcm)

Thí dụ 5 Chứng minh khi œ thay đổi, họ đường thẳng

(Dạ) : xcosơ +ysinø — Tcosư + 9 =0 ()

luôn tiếp xúc với một đường cong cố định

©(x-7)+y?<8I

e Ta chứng minh (D,) tiếp xúc với đường tròn (C) : (x — 7)” + y= 81

Thật vậy: Khoảng cách từ tam I(7; 0) của (C) đến đường thẳng (Dạ) là

[?cosø + 0.sinø — 7cosơ + 9|

^cos? ø +sin? ø

bán kính của đường tròn (C) là R = 9 (4)

Từ (3), (4) có điều phải chứng minh

Chú ý: Khi chứng mình đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, các đường

cônic, thay vì sử dụng đạo hàm (mệnh đề) ta sử dụng các đẳng thức về diéu

kiện tiếp xúc của nó

Bài toán 3 (Tiếp tuyến cố định của họ đường cong)

Tìm tiếp tuyến cố định của họ đô thị (C,,) : y =f (x)

Cách giải

Điêu kiện cần

Bước: I : Tìm trên đô thi (C,,) các điểm xạ thoả mãn y (xạ) = c (const) (1)

(Để có (1) nhiều khi phải đặt tham số phụ )

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm xạ theo công thức

Nếu tiếp tuyến tại điểm x là cố định thì đó là lời giải của bài toán

Nếu tiếp tuyến tại điểm xạ chưa cố định thì tiếp tục bước 2

Bước 2: Tìm điều kiện của tham số phụ để tiếp tuyến tại xạ cố định

Điêu kiện đủ Thay giá trị của tham số phụ tìm được ở bước 2 vào (2), ta

115

Trang 30

Thi dụ 6 Chứng tỏ tồn tại một tiếp tuyến cô định chung cho mọi đồ thị của họ

(Øz):y= (m+ 1Ÿ ~ (2m + Lw + (m — 1)x + 1

Lời giải

e Điều kiện cần Ta có y) =m(3x2~ 4x + 1) + 3xŸ~ 2x — I

Nếu có một tiếp tuyển cố cô định chung cho mọi đồ thị của họ (#z) thì hiển

nhiên hệ số óc của tiếp tuyến ấy không đổi Theo ý nghĩa hình học của đạo

hàm thì ắt tồn tại điểm x sao cho y' có giá trị không phụ thuộc m Điều đó có

Đó là vất tiếp tuyến hay dù theo m

Vậy khi m thay đổi, họ đồ thị (€„) luôn tiếp xúc với đường thẳng y = 0 Thí dụ 7 (Có điều kiện đối với m)

Chứng tỏ có một tiếp tuyến cố định tiếp xúc với cả họ đồ thị

Nếu có một tiếp tuyến cố định chung cho moi dé thi ctia ho (%m) thi hién

nhién hé số góc của tiếp tuyến ấy không đổi Theo ý nghĩa hình học của đạo

hàm thì ắt tồn tại điểm x sao cho y' có giá trị không phụ thuộc m Do

e Điều kiện cẩn Ta có y'=

mzx

e Điều kiện đủ Tại x = —1 ta có y'= 1, y= ~3

Phương trình tiếp tuyến tại x = —1 là y= x — 2

Đó là một tiếp tuyến cố định duy nhất của họ đồ thị ('#z„) đã cho

, nên nếu có điều đó xảy ra thì ắt phải xảy ra tại x = —1

Trang 31

Thí dụ 8 (Có điều kiện đối với m)

Tim tiếp tuyển cổ định ga Họ đỗ thị (S6): ve TÚN- Sim

x? -2x+m

Lời giải Viết lại y=l+——————

e Diéu kién can

Trude hét dé (G;,) c6 tiép tuyén thi m # 0 (2)

Tại x = 0 ta có ' = 1, y= 1 Phương trình tiếp tuyến tại x = 0 là y= x — 2

Tại x = 2 ta có y= l— J Rõ ràng y(2) thay đổi theo m nên giá tri x = 2

nhiên hệ số góc của tiếp tuyến ấy không đổi Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì ắt tôn tại điểm x sao cho y' có giá trị không phụ thuộc z Nếu có điều đó xảy ra thì ắt phải xảy ra tại các điểm mà x - m = a

Trang 32

phương trình tiếp tuyến cia (Gm) là

y=-2(x-a—m) +8 t34~9 ý =2 [(9x—18a +34? + m(aˆ ~9)] (1)

y=Ax-3) y=9(x+9)

Rõ ràng y= 9(x— 3) và y= 9x + 9) là các tiếp tuyến có định của họ đồ thị (Øm) khi m thay đồi

Lời bình 2

> Trong Thí dụ 6, tiếp tuyến của họ đồ thị tại x “5 luôn cùng phương

với đường thẳng cố định ya-Se Phương pháp đang sử dụng cũng là phương pháp tìm tiếp tuyến có phương không đổi của họ đồ thị phụ thuộc

tham số Các bạn theo dõi Thí dụ 10 tiếp theo

Tiếp tuyến song song với một đường thẳng (4) cố định khi và chỉ khi hệ

số góc của tiếp tuyến không đổi Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm điều

này xảy ra khi và chỉ khi y' có giá trị không phụ thuộc m Do P : x nén

nếu có điều đó xảy ra thì ắt phải xảy ra tại x = 0 Khi dé y' = - 4

Thay x= 0 vào phương trình của a (C, ) có y= ~3m Phương trình tiếp tuyến

Trang 33

Bài toán 4

Ching minh (C,,) : y =f (x) la họ tiếp vác

CACH GIAI

Buéc 1 : Tim cac diém cé dinh cia (C,,)

Bước 2 : Tính đạo hàm ƒr)(x) tại hoành độ các điểm cố định

Chứng tỏ trong các điểm cố định ấy, tồn tại một điểm mà tại đó ƒL)(x) là một hằng số

Ngoài ra, bài toán còn có bốn cách giải như bài toán 2

e y'(0) = 1, Vm # 0 suy ra tai diém c6 dinh J, (H „) có hệ số góc của tiếp

tuyến không đổi Điều đó chứng tỏ khi m thay đổi (m z 0) , họ hypebol (H„)

luôn tiếp xúc với nhau (đpcm)

Chú ý

Trong thí dụ trên (H„) có hai điểm cố định

e Để chứng mình bài toán, chỉ cân tồn tại một trong các điểm ấy có đạo

hàm là hằng số là đủ

(Tai 1(2; 3): yO(2) = -3,Vm #0 suy ra tại điểm cố định J, (H„) có hệ số góc

của tiếp tuyến không đổi Điều đó chứng tỏ khi m thay đổi (m z 0) , ho hypebol

(H„) luôn tiếp xúc với nhau Điểu này không cân ghi trong bài làm) :

cố định của nó, đạo hàm không phải là số hằng

Thí dụ 12 Chứng tỏ khi m thay đổi, họ đường cong (C„) luôn tiếp xúc với nhau

Trang 34

Toạ độ điểm cố định của họ (C„) là nghiệm của hệ

+ Khi m thay đổi, họ (C.„) luôn đi qua điểm cố định I(—2; 15)

+y’ =3m(x + 2)’ + 4x — 1; y’(-2) =-9 (cosnt)

e Tại điểm cố định I, (C„) có hệ số góc của tiếp tuyến không đổi Điều đó chứng tỏ khi m thay đổi, họ (Cu) luôn tiếp xúc với nhau (đpcm)

Trang 35

Phương trinh dang cap déi voi P(x) va JO)

CÁCH GIẢI

Chia hai vế của phương trình cho Ó(v), đặt f= om ; dk: (*), dẫn

x

phương trình (I*) tới phương trình øŸ +7 +/=0

Chi y : Ti t= che => fit, x) =0(4n lax) = điều kiện (*) của /

Goi Q(x) = x — 1; P(x) =x? + x +.1 Mau chét của lời giải là phân tích vế

trái của phương trình (1) [VT (1)] thành VT = 2P(x) + 3Q(x)

Tỉnh ý bạn sẽ thấy 2 là hệ số của x° trong VT(I) Cũng từ đó suy ra 3 Tuy nhiên dé dang tim lại các số2 và 3 bằng phương pháp hệ số bất định:

121

Trang 36

2x?+5x—1= p(Ì+x+ I)+q(x- l)

Chú ý:

1) Hoàn toàn bình đẳng, bạn có thể chia cho P(x) hodc J P(x).Q(x)

2) Thay cho chia, bạn đặt JQ(x) =e VP(x) (hay VP(x) = t\J0œ) )

Thí dụ 2 Cho phương trink x2 -3x + 1=myx‘ +x? +1 (1)

V3

a) Giai phuong trinh nas

b) Tìm tập hợp các giá trị của m để phương trình (1) có lẻ số nghiệm thực

Cách ï: Đề ý x°+x?+ 1 =(x?+ 1—x? =(x?+x + IJ&?—x + I)>0, VxelR Viết lại (1) 2(@?—x + I)— (xÊ+x+l)= my(x? —x+Ix”+x+]) (1)

Thay rang : t = 1, phuong trinh (3) cho nghiém x =0

V6i 0 <t # 1; (4) là phương trình bậc hai có

A=(+1}-4(Ẻ— 1= (3 — Ê)(3É — 1)

: s<, <3 > [ace Tập giá trị của t là A >0 &

Trang 37

b) Thấy rằng, với mỗi t thoả man (5), phương trình (4) có không quá hai nghiệm thực Bởi vậy(1) có lẻ số nghiệm thực tương đương với (4) có duy

* Nhận xét 2 Xem (1) là phương trình với ẩn x

Với | t|= 2, (7) có một nghiệm thực duy nhất

Với | t| >2, (7) có hai nghiệm thực phân biệt

Do đó phương trình (1) có lẻ số nghiệm thực x # 0 xảy ra khi và chỉ khi

Đó là một biến thể đặc biệt của phương trình hồi quy bậc 4:

ax*+ Bx? + yx? +ABx +170 =0 (aPyr # 0)

Thí dụ 3 Giải phương trình V5x? +14x4+9 -Vx? —x-20 =5Vx41 (1) -

123

Trang 38

V6i x >5tacéx +423 nén dat Vx? —4x-S=tvx+4, t > 0 Phuong

trinh (5) tro thanh

Khác với các thí dụ 1, 2, 3 cách phân tích biểu thức nằm trong dấu căn

về dạng P(x).Q(x) là duy nhất, trang phương trình (4) của thí dụ 4 ở trên sự

phân tích ấy không duy nhất Ta co thể xem Q(x) là một trong các nhị thức

(x +4), (x — 5) hoặc (x + 1) Trong ba khả năng ấy, nếu chọn Q(%) = x — 5 hoặc Q(x) = x + 1 không dẫn phương trình (4) tới phương trình đẳng cấp

Lời giải vẫn còn khó khăn !

Thí dụ 4 Giải và biện luận theo a số nghiệm của phương trình

Thay rang a = 0, phương trình (1) nghiệm Vxe R , Vme R (2)

Trang 39

Với a#0 ta có x = a không phải là nghiệm Đặt Vx+a=t.Vx-a (3) Phương trình (1) trở thành £.‡/(x— a)” +mÌ/(x- 4)” = (m + I)t.{/(x— đ)?

‘=m

+ Thay t = | vao (2) cd Vxt+a = Vx—a 0x =2a#0 Vônghiệm (4)

(m =1;a #0): (5) vô nghiệm

Khi phương trình đẳng cấp đang xét thoả mãn P(x).O(x) = k (hằng số),

lời giải sẽ gọn hơn bởi thuật đặt ẩn phụ t= 4| P(x) Xem thí dụ sau :

Trang 40

Phương trình đối xứng /P¿¿ và./06

a[P(x)+Q(x)]+ B(WPœ)I+N0@œ))[#] 2z P(x).0œ) + y=0,

CACH GIAI Dat t=,/P(x)[+] VOC Suy ra ? = P(x) + Q() [+] 2-ÍP(x).QŒœ)

Phuong trinh (I) tréthanh at?+ Bt + y =0

Quy ước Khi có nhiều dấu [+] hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy đòng dưới

1) Giải phương trình khi m = 5

2) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Định dạng
Số trang	82
Dung lượng	4,85 MB