Tài liệu học tập mệnh đề lê quang xe

shadings,fadings GV: LÊ QUANG XE TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 10 (Cập nhật đầy đủ dạng toán ba sách mới) A B C TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ Muåc luåc CHƯƠNG 1.MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Bài MỆNH ĐỀ 1 A Tóm tắt lí thuyết B Các dạng toán thường gặp | Dạng Nhận diện, xét tính sai mệnh đề, mệnh đề chứa biến | Dạng Phủ định mệnh đề | Dạng Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương 10 | Dạng Mệnh đề với kí hiệu ∀ ∃ 11 C Bài tập rèn luyện 12 D Bài tập tự rèn luyện 20 Bài TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 35 A Tóm tắt lí thuyết 35 B Các dạng toán thường gặp 38 | Dạng Tập hợp phần tử tập hợp 38 | Dạng Tập Tập 39 | Dạng Thực phép toán tập hợp 43 | Dạng Sử dụng biểu đồ ven giải toán 44 | Dạng Xác định giao - hợp hai tập hợp 46 | Dạng Xác định hiệu phần bù hai tập hợp 48 C Bài tập rèn luyện 50 D Bài tập tự luyện 58 Bài ÔN TẬP CHƯƠNG 67 A Bài tập tự luận 67 B Bài tập trắc nghiệm 72 Chûúng MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP §1 MỆNH ĐỀ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Mệnh đề, mệnh đề chứa biến Khái niệm 1.1 - Mỗi mệnh đề phải hoặc sai - Một mệnh đề vừa vừa sai o Người ta sử dụng chữ P, Q, R để biểu thị mệnh đề Ví dụ Trong câu sau, câu mệnh đề? câu mệnh đề? a) Phương trình x2 − có nghiệm ngun dương; b) + = 6; c) Có người ghét bạn? d) Trời hôm đẹp quá! Ê Lời giải a) Vì phương trình x2 − có nghiệm ngun dương x = nên câu a Do câu a mệnh đề b) + = mệnh đề sai + = Do câu b mệnh đề c) Câu c câu hỏi nêu lên ý kiến người nói Do khơng xác định tính sai Vậy câu c mệnh đề d) Câu d câu cảm thán nêu lên ý kiến người nói Do khơng xác định tính sai Vậy câu d mệnh đề  Ví dụ Trong câu sau đây, câu mệnh đề?  LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang CHƯƠNG MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP d) 0,0001 số bé; a) số lẻ; b) + > 3; e) Đến năm 2050, người đặt chân lên Sao Hoả c) π số vô tỉ phải không? Ê Lời giải a) “3 số lẻ” mệnh đề (mệnh đề đúng) b) “1 + > 3” mệnh đề (mệnh đề sai) c) “π số vô tỉ phải không?” câu hỏi, mệnh đề d) “0,0001 số bé” khơng có tính hoặc sai (do khơng đưa tiêu chí số bé) Do đó, khơng phải mệnh đề e) “Đến năm 2050, người đặt chân lên Sao Hoả” khẳng định chưa thể chắn hay sai Tuy nhiên, chắn hoặc sai Do đó, mệnh đề o Những mệnh đề liên quan đến toán học (như mệnh đề câu a) b) Ví dụ 1) cịn gọi mệnh đề toán học  Khái niệm 1.2 - Xét câu “n số chẵn” (với n số nguyên) Ta chưa khẳng định tính sai câu Tuy nhiên, với giá trị n thuộc tập số nguyên, câu cho ta mệnh đề Chẳng hạn, ○ Với n = ta mệnh đề “1 số chẵn” (đây mệnh đề sai) ○ Với n = ta mệnh đề “2 số chẵn” (đây mệnh đề đúng) Ta nói câu “n số chẵn” mệnh đề chứa biến Ví dụ Phát biểu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) P : “Tháng 12 dương lịch có 31 ngày”; b) Q : “910 ≥ 109 ”; c) R : “Phương trình x2 + = có nghiệm” Ê Lời giải a) P : “Khơng phải tháng 12 dương lịch có 31 ngày” b) Q : “910 < 109 ” c) R : “Phương trình x2 + = vơ nghiệm”  TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang MỆNH ĐỀ Ví dụ Xét câu “x > 1” Hãy tìm hai giá trị thực x cho, ta nhận mệnh đề mệnh đề sai Ê Lời giải ○ Cho x = ta mệnh đề ○ Cho x = ta mệnh đề sai  Mệnh đề phủ định Định nghĩa 1.1 - Cho mệnh đề P Mệnh đề “không phải P” gọi mệnh đề phủ định P, ký hiệu P - Mệnh đề P P sai Mệnh đề P sai P Ví dụ Phát biểu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) 25 số phương; b) Hình chữ nhật khơng phải hình vng Ê Lời giải a) 25 khơng phải số phương; b) Hình chữ nhật hình vng  Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo Khái niệm 1.3 - Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo kí hiệu P ⇒ Q - Các định lí tốn học mệnh đề thường có dạng “Nếu P Q” Khi ta nói: P giả thiết định lí, Q kết luận định lí, “P điều kiện đủ để có Q” “Q điều kiện cần để có P” - Mệnh đề “Nếu P Q” sai P đúng, Q sai trường hợp lại - Mệnh đề P ⇒ Q phát biểu “P kéo theo Q” “Từ P suy Q” Ví dụ Cho tam giác ABC Xét hai mệnh đề: P: “Tam giác ABC có hai góc 60◦ ” Q: “Tam giác ABC đều” Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q nhận xét tính sai mệnh đề  LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang CHƯƠNG MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Ê Lời giải P ⇒ Q: “Nếu tam giác ABC có hai góc 60◦ tam giác ABC đều” Mệnh đề kéo theo mệnh đề  Khái niệm 1.4 - Mệnh đề “Q ⇒ P ” gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q - Mệnh đề đảo mệnh đề không thiết Ví dụ Cho tam giác ABC Xét hai mệnh đề: P: “Tam giác ABC cân có góc 60◦ ” Q: “Tam giác ABC đều” Hãy phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q nhận xét tính sai mệnh đề Ê Lời giải Q ⇒ P: “Nếu tam giác ABC cân có góc 60◦ tam giác ABC đều” Mệnh đề đảo mệnh đề  Ví dụ Tìm mệnh đề đảo mệnh đề sau cho biết mệnh đề đảo hay sai: “Nếu hai góc đối đỉnh chúng nhau” Ê Lời giải Mệnh đề cho có dạng P ⇒ Q P “hai góc đối đỉnh”, Q “hai góc nhau” Vậy mệnh đề đảo “Nếu hai góc chúng đối đỉnh” Mệnh đề sai  Mệnh đề tương đương Khái niệm 1.5 - Mệnh đề “P Q” gọi mệnh đề tương đương kí hiệu P ⇔ Q - Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P mệnh đề tương đương P ⇔ Q Khi ta nói “P tương đương với Q” “P điều kiện cần đủ để có Q” “P Q” Ví dụ Cho hai mệnh đề: P: “tam giác ABC có hai cạnh nhau” Q: “tam giác ABC cân” Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P ⇔ Q xác định tính sai mệnh đề tương đương Ê Lời giải P ⇔ Q: “Tam giác ABC có hai cạnh điều kiện đủ để tam giác ABC cân” Mệnh đề TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang MỆNH ĐỀ tương đương hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P  Mệnh đề chứa ký hiệu ∀, ∃ Khái niệm 1.6 ○ Kí hiệu ∀ đọc “với mọi” ○ Kí hiệu ∃ đọc “có một” (tồn một) hay “có một” (tồn một) Lưu ý quan trọng • Mệnh đề “ ∀ x ∈ M, P(x)” với x0 ∈ M, P (x0 ) mệnh đề • Mệnh đề “ ∃ x ∈ M, P(x)” có x0 ∈ M cho P (x0 ) mệnh đề Ví dụ 10 ∃ x ∈ Z, x2 = x (đây mệnh đề đúng) vì: với x = x2 = x = hay với x = x2 = x = Ví dụ 11 Xét tính sai viết mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) ∀ x ∈ R, x2 + 2x + > 0; b) ∃ x ∈ R, x2 + 3x + = Ê Lời giải
a) Mệnh đề đúng, x2 + 2x + = x2 + 2x + + = (x + 1)2 + > với số thực x Mệnh đề phủ định mệnh đề ∃ x ∈ R, x2 + 2x + ≤ b) Mệnh đề sai, phương trình x2 + 3x + = vơ nghiệm (∆ = −7 < 0) Mệnh đề phủ định mệnh đề ∀ x ∈ R, x2 + 3x + 6=  Ví dụ 12 Xét tính sai sử dụng kí hiệu ∀, ∃ để viết mệnh đề sau: √ (1) Với số tự nhiên x, x số vô tỉ (2) Bình phương số thực khơng âm (3) Có số ngun cộng với (4) Có số tự nhiên n cho 2n − = Ê Lời giải (1) “Với số tự nhiên x, √ x số vô tỉ” mệnh đề sai x = ⇒ √ x = (2) “Bình phương số thực khơng âm” mệnh đề x2 ≥ 0, ∀ x ∈ R  LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang CHƯƠNG MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP (3) “Có số ngun cộng với 0” mệnh đề + = (4) “Có số tự nhiên n cho 2n − = 0” mệnh đề sai 2n − = ⇔ n = Trong toán học, để ngắn ngọn, người ta dùng kí hiệu ∀ (đọc với mọi) ∃ (đọc tồn tại) để phát biểu mệnh đề Ví dụ 12 Chẳng hạn, viết lại mệnh đề sau: (1) ∀ x ∈ N, √ (3) ∃ x ∈ Z, x + x = x số vô tỉ (2) ∀ x ∈ R, x2 ≥ (4) ∃n ∈ N, 2n − = Ta nói (1), (2) mệnh đề chứa kí hiệu ∀ (3), (4) mệnh đề chứa kí hiệu ∃  Khái niệm 1.7 Mối quan hệ ∃ ∀ Cho mệnh đề “P(x), x ∈ X” Phủ định mệnh đề “∀ x ∈ X, P(x)” mệnh đề “∃ x ∈ X, P(x)” Phủ định mệnh đề “∃ x ∈ X, P(x)” mệnh đề “∀ x ∈ X, P(x)” Ví dụ 13 P : ∀ x ∈ R, x2 > P : ∃ x ∈ R, x2 ≤ Ví dụ 14 Cho mệnh đề P : ∀ x ∈ N, x − > Tìm mệnh đề phủ định mệnh đề P Xét tính sai mệnh đề P Ê Lời giải Ta có P : ∃ x ∈ N, x − ≤ Đây mệnh đề đúng, với x = x − = −2 < hay với x = x − = −1 < 0, x = x − =  Ví dụ 15 Sử dụng kí hiệu ∀, ∃ để viết mệnh đề sau: a) Mọi số thực cộng với số đối 0; b) Có số tự nhiên mà bình phương Ê Lời giải a) ∀ x ∈ R, x + (− x) = b) ∃ x ∈ N, x2 =  TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang MỆNH ĐỀ Ví dụ 16 Xét tính sai viết mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) ∀ x ∈ R, x2 > 0; b) ∃ x ∈ R, x2 = 5x − 4; c) ∃ x ∈ Z, 2x + = Ê Lời giải a) ∀ x ∈ R, x2 > mệnh đề sai x2 ≥ 0, ∀ x ∈ R Mệnh đề phủ định mệnh đề ∃ x ∈ R, x2 ≤ ñ b) ∃ x ∈ R, x2 = 5x − mệnh đề x2 = 5x − ⇔ x2 − 5x + = ⇔ x=1 x = Mệnh đề phủ định mệnh đề ∀ x ∈ R, x2 6= 5x − c) ∃ x ∈ Z, 2x + = mệnh đề sai 2x + = ⇔ x = − Mệnh đề phủ định mệnh đề ∀ x ∈ Z, 2x + 6=  B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Dạng Nhận diện, xét tính sai mệnh đề, mệnh đề chứa biến ○ Mệnh đề phải câu khẳng định có tính – sai rõ ràng Có thể chưa biết sai, chắn sai ○ Có mệnh đề mà tính – sai gắn với thời gian, địa điểm cụ thể ○ Mệnh đề chứa biến câu phụ thuộc vào biến x Mệnh đề chứa biến chưa phải mệnh đề Ví dụ Trong câu sau, câu mệnh đề, câu khơng phải mệnh đề? a) Phương trình 3x2 − 5x + = có nghiệm nguyên b) < − c) Có dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng? d) Đấy cách xử lí khơn ngoan! Ê Lời giải a) Vì phương trình 3x2 − 5x + = có nghiệm nguyên x = nên câu a) b) Câu b) sai Do câu a) câu b) mệnh đề c) Câu c) câu hỏi; câu d) câu cảm thán, nêu lên ý kiến người nói Do đó, khơng xác định tính sai Vậy câu c) d) mệnh đề  LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 C x ∈ Z x2 + x − = B n o x ∈ Q 3x2 − 5x + = n o D x ∈ R x2 + 5x − = Ê Lời giải Ta có ○ n o x ∈ R x2 + 5x − = = {1; −6} ○ n o ß 2™ x ∈ Q 3x − 5x + = = 1; ○ n ○ n o