Hướng dẫn học sinh tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện bằng các mô hình cơ bản

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT C NGHĨA HƯNG *** BÁO CÁO SÁNG KIẾN “HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÍNH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH ĐA DIỆN BẰNG CÁC MƠ HÌNH CƠ BẢN” Lĩnh vực (mã)/cấp học: Tốn(02)/THPT TÁC GIẢ: NGƠ THỊ TẤM TRÌNH ĐỘ CHUN MƠN: CỬ NHÂN CHỨC VỤ: GIÁO VIÊN NƠI CÔNG TÁC: TRƯỜNG THPTC NGHĨA HƯNG Nam Định, tháng năm 2020 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÍNH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH ĐA DIỆN BẰNG CÁC MƠ HÌNH CƠ BẢN” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán(02)/THPT Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ tháng 11/2018 đến tháng năm 2020 Tác giả: Họ tên : NGÔ THỊ TẤM Năm sinh: 1983 Nơi thường trú: Khu Đơng Bình, thị trấn Rạng Đơng, Nghĩa Hưng, Nam Định Trình độ chun mơn: Cử nhân Sư phạm Tốn Chức vụ: Giáo viên Nơi công tác: Trường THPT C Nghĩa Hưng – Nghĩa Hưng – Nam Định Điện thoại: 0982.033.583 Tỷ lệ đóng góp tạo sáng kiến: 70% Đồng tác giả Họ tên : PHẠM VĂN PHI Năm sinh: 1984 Nơi thường trú: Khu Đơng Bình, thị trấn Rạng Đơng, Nghĩa Hưng, NĐ Trình độ chun mơn: Thạc sỹ Sư phạm Tốn Chức vụ: Thư ký hội đồng Nơi cơng tác: Trường THPT C Nghĩa Hưng – Nghĩa Hưng – Nam Định Điện thoại: 0977.720.478 Tỷ lệ đóng góp tạo sáng kiến: 30% Đơn vị áp dụng sáng kiến: Trường THPT C Nghĩa Hưng, Thị trấn Rạng Đông, Nghĩa Hưng, NĐ BÁO CÁO SÁNG KIẾN I ĐIỀU KIỆN HỒN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN - Trong mơn tốn trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh - Hình học khơng gian nói chung phần mặt cầu nói riêng từ trước tới phần kiến thức khó, đặt bối cảnh thi trắc nghiệm lại xác đinh dạng tốn nhiều thời gian để đưa đáp án xác Trong chương trình hình học lớp 12; tốn tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp đa diện xuất hầu hết kì thi cuối kì, cuối năm thi THPT quốc gia Mặc dù vậy, phần kiến thức địi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú nên học sinh đại trà mảng kiến thức khó thường để điểm kì thi Thực tế giảng dạy cho thấy, nhiều học sinh hiểu thầy cô làm không hiểu lại làm vậy, làm lại tập khác khơng biết đâu.Trước đưa sáng kiến này, trình dạy học sinh , trước dạy học sinh làm hình thức thi tự luận, tơi nhiều giáo viên khác xây dựng cho học sinh quy trình xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nói chung, hình chóp nói riêng Tuy nhiên nhiều xác định tâm mặt cầu để từ tính bán kính rắc rối mặt dựng hình, với đối tượng học sinh từ TB-Khá Trong trình giảng dạy lớp 12 ôn thi THPT quốc gia thấy với đối tượng học sinh lớp mà em học xã hội nói chung lớp tơi phân cơng giảng dạy nói riêng, em ngại học hình Kể với đối tượng học sinh việc dựng hình nhiều gặp nhiều khó khăn - Hình thức thi trắc nghiệm sau BGD áp dụng số năm gần mức độ câu hỏi ngày khó, đòi hỏi học sinh cần phải biết quy lạ quen cách nhanh chóng để tính tốn đáp án - Hiện phần mặt cầu ngoại tiếp đa diện chủ yếu xoay quanh việc tính tốn bán kính mặt cầu, nhiều trường hợp dựng tâm phức tạp nên không cần phải dựng tâm, chủ yếu đưa mơ hình tính bán kính Ngồi việc giúp học sinh yếu, trung bình giải tốn theo mơ hình nêu, điểm đặc biệt đề tài tác giả đề xuất hướng phát triển câu hỏi để giúp học sinh giỏi nhanh chóng giải tình lạ, khó; đồng thời giúp giáo viên phát triển câu hỏi, tốn lên mức thơng hiểu, vận dụng đề giành cho học sinh khá, giỏi Chính lí nên tơi trăn trở tìm giải pháp để đưa cách làm đơn giản cho em Nhằm giúp học sinh nhanh chóng xác định cách làm đưa đáp án xác cho câu hỏi trắc nghiệm toán liên quan đến mặt cầu ngoại tiếp đa diện, nghiên cứu đưa sáng kiến “HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÍNH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN BẰNG CÁC MƠ HÌNH CƠ BẢN ” II MƠ TẢ GIẢI PHÁP Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến 1.1 Cơ sở khoa học 1.1.1 Các khái niệm + Trục của đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy vng góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy Bất kì điểm nằm trục đa giác cách đỉnh đa giác + Đường trung trực của đoạn thẳng: đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng  Bất kì điểm nằm đường trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng + Mặt trung trực của đoạn thẳng: mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng  Bất kì điểm nằm mặt trung trực đoạn thẳng cách hai đầu mút đoạn thẳng + Mặt cầu ngoại tiếp đa diện: Là mặt cầu qua tất đỉnh đa diện - Tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện: điểm cách tất đỉnh hình đa diện Hay nói cách khác, giao điểm I trục đường trịn ngoại tiếp mặt phẳng đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên hình chóp hình lăng trụ - Bán kính: khoảng cách từ I đến đỉnh hình đa diện *) Một số cơng thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: 1) Bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c R a +) Tam giác ABC vuông A: +) Tam giác cạnh a: +) Tam giác thường: Hoặc R R R a 3 abc S , S: diện tích tam giác ABC a b c   2sin A 2sin B 2sin C 2) Bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng cạnh a: 3) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD : R R a 2 AB  AD 2 1.1.2 Điều kiện cần, điều kiện đủ để đa diện có mặt cầu ngoại tiếp Nếu đa diện có mặt cầu ngoại tiếp mặt phải đa giác nội tiếp (vì mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện đường tròn) * Với số hình thường gặp: - Tồn mặt cầu ngoại tiếp tứ diện - Điều kiện cần đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đa giác đáy nội tiếp đường tròn - Điều kiện cần đủ để hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng, có đáy đa giác nội tiếp đường tròn 1.2 Một số thuật toán dựng tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện 1.2.1 Mơ tả: Với tốn liên quan đến tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp đa diện, làm theo sơ đồ cách giải truyền thống, học sinh phải thực bước dựa tảng kiến thức sau: + Bước 1: Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện cách dựng hình, xác định độ dài bán kính hình vẽ + Bước 2: Sử dụng cơng thức tính tốn để tính bán kính mặt cầu (thường thơng qua hình vẽ) 1.2.2 Thuật toán cụ thể: Thuật toán 1: Dựng trục mặt đáy trung trực cạnh bên Điều kiện: Trục mặt đáy đồng phẳng với cạnh bên Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng trục Δ đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Bước 2: Dựng trung trực d cạnh bên đồng phẳng với Δ Lúc đó: + Tâm I mặt cầu:   d I + Bán kính: R OA  OS  A' D' O' C' B' D A O B C Thuật toán 2: Dựng trục của mặt đáy trục của mặt bên Điều kiện: Mặt bên vng góc với mặt đáy Bước 1: Dựng trục d đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Bước 2: Dựng trục Δ đường trịn ngoại tiếp mặt bên vng góc Khi đó, tâm I mặt cầu giao điểm Δ d * Minh họa: S d O' I Δ C D O A B Mô tả giải pháp sau có sáng kiến 2.1 Mơ hình 1: Hình hộp chữ nhật, hình lập phương NỘI DUNG Tâm: trùng với tâm đối xứng hình hộp chữ nhật HÌNH VẼ A B (hình lập phương)  Tâm I, trung điểm AC ' Bán kính: nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ D C I nhật (hình lập phương) B' A' AC ' R Bán kính: R a  b2  c2 Chú ý : mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có đỉnh đỉnh hình hộp chữ nhật D' C' Do với tam diện vng với kích thước a,b,c B a đỉnh vng ta có cơng thức tính bán kính mặt cầu A ngoại tiếp: c R  a2  b2  c2 b b c Ngồi từ mơ hình này, phát triển thêm mơ D a hình tứ diện tứ diện gần C Tứ diện gần ABCD có cặp cạnh đối nhau, giả sử AB=CD=a, BC=AD=b, BD=AC=c Khi ta dựng thêm đỉnh để có hình hộp chữ nhật AC’BD’.A’CB’D có độ dài đường chéo mặt a,b,c bán kính mặt cầu ngoại tiếp R a  b2  c2  a  b2  c 2 Các ví dụ minh họa Câu 1: (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB a , AD  AA ' 2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A’BCD bằng: A 9 a 3 a B 9 a C D 3 a Hướng dẫn: ChọnA B' C' D' A' 2a B C a A 2a D Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ' BCD mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' , bán kính R 1 AB  AD  BB '2  a  (2a )  (2a )  a 2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là:  3a  S 4 R 4   9 a   Câu 2: (THPT CHUYÊN THÁI NGUN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong khơng gian, cho hình chóp S ABC có SA, AB, BC đơi vng góc với SA a, AB b, BC c Mặt cầu qua S , A, B, C có bán kính 2(a  b  c ) A 2 B a  b  c 2 a  b2  c D 2 C a  b  c Hướng dẫn Do tam diện vng, nên bán kính R a  b2  c2 Câu : (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018 – 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh SA a vng góc với đáy  ABCD  Tính theo a a Cạnh bên diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD A 8 a Hướng dẫn B a C 2 a D 2a 10 S A D B C Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S ABCD : R SI  SA2  AB  AD a 2 2 Diện tích mặt cầu: S 4 R 8 a Câu (MĐ 104 BGD &ĐT NĂM 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AB 3a , BC 4a , SA 12a SA vng góc với đáy Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD 13a R A B C R 6a R 5a 17a R D Hướng dẫn Chọn A S A D B C Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD mặt cầu ngoại tiếp tam R diện vuông SABD, 13a (3a)  (4a)  (12a)  2 bán kính mặt cầu