KINH NGHIỆM HƯỚNG dẫn học SINH GIẢI bài tập TÍCH PHÂN, dần HÌNH THÀNH HƯỚNG SUY NGHĨ, tìm tòi PHÁT HIỆN RA lời GIẢI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN ĐỀ TÀI KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN, DẦN HÌNH THÀNH HƯỚNG SUY NGHĨ, TÌM TÒI PHÁT HIỆN RA LỜI GIẢI Họ tên giáo viên: Mai Văn Tánh Chức vụ: Tổ trưởng tổ Toán – Tin Đơn vị công tác: Trường THPT Mai Anh Tuấn SKKN thuộc môn: Toán học Năm học : 2010 – 2011 Đề tài: Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán tích phân dần hình thành hướng suy nghĩ, tìm tòi phát lời giải A Đặt vấn đề Trong toán học phổ thông có nhiều toán chưa thuật giải cụ thể, gặp toán học sinh thường lung túng hướng suy nghĩ tìm tòi lời giải Đối với toán giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi để phát lời giải, nhằm trang bị cho học sinh tri thức suy luận, tư sang tạo giải toán Chúng ta thông qua hướng dẫn giải toán “cơ sở” có sách giáo khoa dần truyền thụ cho học sinh suy nghĩ phát lời giải Định hướng từ toán “cơ sở” mà học sinh “suy luận”- “quy toán lạ” “bài toán quen” tư phổ biến toán học; “quy lạ quen” giải thoát bế tắc, củng cố long tin cho học sinh học toán, say mê với toán giải toán có hiệu Dạy hướng dẫn học sinh giải toán tích phân cấp THPT chuyên ban, đặt câu hỏi: “Làm để giúp học sinh chủ động giải toán tích phân, học sinh tin tưởng giải toán tích phân có sách giáo khoa, toán tích phân đề thi đại học?” Qua giảng dạy đúc rút kinh nghiệm trả lời: Thứ nhất: Để giải toán tích phân học sinh phải nắm vi phân “cơ bản” từ đơn giản đến phức tạp Ví dụ: - Các vi phân +) dx = d(x+b) = d (ax + b) với a ≠ 0, b ∈ ℜ a +) d e x = d( e x +b) = e x dx +) sinxdx = - d(cosx) = - d(cosx + b) a +) sinaxdx = − d (cos ax + b), (a ≠ 0, a, b ∈ R) … - Các vi phân phức tạp +) +) +) +) sin x dx = d ( ) cos x cos x x x +a 2 x a −x 2 dx = d ( x + a ) dx = − d ( a − x ) dx = d [ln( x + a )] x+a +) (1 − 1 )dx = d ( x + ) x x … Thứ hai: Học sinh phải nắm nguyên hàm thường gặp tính chất nguyên hàm Thứ ba: Học sinh phải nắm tích phân “cơ bản” cách tính tích phân này.(gọi tích phân sở phép toán + , - ,*, / ban đầu học toán, dễ nhớ công thức tổng quát dễ nhớ cách tính) Những toán khác thường quy để giải Thứ tư: Học sinh phải biết tích phân “cơ bản” có cách tính phổ biến nhất, mối cách tính có thuận lợi (ưu thế), khó khăn (nhược điểm) gì? từ học sinh tự chọn cách giải phù hợp cho toán mà học sinh giải Thứ năm: Để tạo niềm tin cho học sinh “bài toán này” “phương pháp tích phân đổi biến số - cho thuận lợi” hay “tích phân phần” để quy tích phân “cơ bản” Tức quy tích phân “cơ bản” coi giải xong Trang viết trao đổi đồng nghiệp, ý thức tìm hay đưa cách giải tổng quát cho dạng toán tích phân cụ thể, hay nêu toán tổng quát lời giải tổng quát cho tích phân ấy, mà giúp học sinh “định hướng cho học sinh niềm tin, suy luận được, tìm tòi , giải thoát khó khăn để quy lạ quen” giải toán tích phân B Giải vấn đề I Phần lý thuyết Những khái niện học sinh biết - Vi phân - Đạo hàm hàm số thường gặp - Bảng nguyên hàm bản, tính chất nguyên hàm, tính chất tích phân - Hai phương pháp đổi biến số để tính tích phân - Phương pháp tích phân phần Phần bổ xung 2.1 Các vi phân (Đã liệt kê trên) 2.2 Các tích phân “cơ bản” cách tính phổ biến (Với giả thiết hàm số dấu tích phân lien tục đoạn xét) 1) Tích phân C1 = 2) Tích phân C2 = β f ' ( x) dx = ln f ( x) β f ( x) ∫ α ∫α ( x − m)( x − n)dx f ( x) với bậc f(x) nhỏ hai A B Cách tính: viết ( x − m)( x − n) = ( x − m) + ( x − n) (thì C2 quy C1) β 3) Tích phân C3 = ∫ α x dx (a>0) + a2 Cách tính: Đặt x = a.tant x = a.cott β 4) Tích phân C4 = f ( x) ∫ α ( x − m)( x − n) f ( x) A dx với bậc f(x) nhỏ ba B C Cách tính: Viết ( x − m)( x − n) = ( x − m) + ( x − n) + ( x − n) β α Tìm A, B, C số ( đưa dạng C1 I = ∫ X dx ) α β 5) Tích phân C5 = dx ∫ α x2 − a2 Ở đưa cách giải +) Cách 1: Đổi biến số x = a sin t +) Cách 2: Đổi biến số x = a cos t +) Cách 3: Đổi biến số t = ln( x + x − a ) +) Cách 4: Đổi biến số t = x + x − a +) Cách 5: Biến đổi x −a 2 = x − a đổi biến t = ( x + a) x+a x−a x+a Dấu hiệu “thử” chọn “cách tính” học sinh phải đổi cận tích phân Nếu đổi cận không phức tạp chọn cách tính thích hợp β 6) Tích phân C6 = ∫ α dx x2 + a2 Ở đưa cách giải +) Cách 1: Đổi biến số x = a tan t +) Cách 2: Đổi biến số x = a cot t +) Cách 3: Đổi biến số t = ln( x + x + a ) +) Cách 4: Đổi biến số t = x + x + a +) Cách 5: Đổi biến số x + a = a + tx β 7) Tích phân C7 = ∫ α x + a dx Tôi đưa cách giải sau: +) Cách 1: Đổi biến số x = atant +) Cách 2: Đổi biến số x = acott x  dx u = x + a du = ⇒ x2 + a2 +) Cách 3: Tích phân phần  dv = dx  v = x β β Thì C7 = x x + a α − ∫ x 2 α x +a Tính β x dx ∫ 2 α x +a dx β x2 + a2 − a2 β β dx 2 dx = x + a dx − a ∫ ∫ = ∫ = C7 – a2C6 2 2 x +a α α α x +a (Đã quy C6 ) Học sinh lựa chọn cách tính C6 +) Cách 4: Đổi biến số t = x + x + a 8) Tích phân C8 = β dx ∫ 2 α a −x Tôi đưa hai cách giải sau +) Cách 1: Đổi biến số x = asint +) Cách 2: Đổi biến số x = accost β dx 9) Tích phân C9 = ∫ sin x α Tôi đưa cách đổi biến sau: +) Cách 1: Đặt t = tan x ⇒ dt = dx x cos 2 +) Cách 2: Vi phân trực tiếp C9 = x d (tan ) β β = ln tan x β dx = ∫ ∫ x x α α tan α tan 2 x + tan +) Cách 3: C9 = β β sin x β d (cos x ) dx = ∫ dx = − ∫ ∫ 2 α sin x α − cos x α − cos x +) Cách 4: Đặt t = tan β C9 = ∫ α (Đưa cách tính C3) x 2t thay sin x = đưa tích phân dạng 1+ t2 dt t 10) Tích phân C10 = β dx ∫ sin x α β β sin x d (cos x) +) Cách 1: C10 = ∫ dx = − ∫ 2 α sin x α (1 − cos x ) A B C D Đổi biến số t = cos x (1 − t ) = − t + (1 − t ) + + + (1 + t ) (tìm A, B, C, D theo phương pháp hệ số bất định) β +) Cách 2: Tích phân phần C10 = ∫ α sin dx x sin x  cos x  u = sin x du = − dx ⇒ sin x Đặt  dv =  dx v = − cot x  sin x C10 = − cos x sin x β α β − sin x dx = M − C10 + C sin x α −∫ 11) Tích phân C11 = Ta có C11 = β dx ∫ α cos x β cos x β d (sin x) dx = ∫ ∫ 2 α cos x α (1 − sin x ) Cách 1: Đổi biến số: t = sinx viết 1 A B C D = = + + + 2 2 (1 − t ) (1 − t ) (1 + t ) (1 + t ) (1 − t ) (1 − t ) (1 + t ) (Dạng C – C , A=B=C=D=1/4) Cách 2: Tích phân phần  u =  cos x  dv = dx  cos x 10 12 Với cách tương tự cách tính C ta quy đưa tích phân C sau 12) Tích phân C12 = +) Cách 1: Đặt t = tan β ∫α cos x dx x 1− t2 thay cos x = quy C12 cách tính tích phân dạng 1+ t2 n dt (là tích phân dạng C2) m1− t C12 = ∫ β +) Cách 2: Biến đổi C12 = d (sin x) x ∫ α − sin Đặt t = sinx đưa dạng C2 quen thuộc x π x π + tan ( − ) )) β d (tan( − 4 =−∫ dx = − ∫ +) Cách 3: Biến đổi C12 = − ∫ π x π x π α sin( x − α α ) tan( − ) tan( − ) 2 4 β β dx x π = − ln tan( − ) β 13) Tích phân C13 = β Cách tính: C13 = ∫ α ∫ α mx + n ax + bx + c β α mx + n ax + bx + c β dx = A.∫ α dx (a>0, m ≠ ) d (ax + bx + c ) ax + bx + c β + B.∫ α dx ax + bx + c Tìm A, B phương pháp hệ số bất định Thì C11 quy dạng quen thuộc II Bài tập áp dụng ví dụ minh họa Bài toán Tính I1 = dx ∫ ( x + 1) x2 +1 t Cách 1: +) Đổi biến x + = ⇒ dx = − dt t2 Đổi cận x = t = 1, x = t = ½ +) Ta có I1 = - ∫ dt 2t − 2t + = 2 ∫ dt 1 (t − ) + (*) (Tích phân (*) có dạng C6 ) dt  du = 1 1 +) Đổi biến số u = ln (t − ) + (t − ) +  ( t − ) + 2   +) Đổi cận t = 1 ln( + ) 2 Khi I1 = ∫ ln 1 1 ⇒ u = ln , t = ⇒ u = ln( + ) 2 2 du = 2 ln(1 + 2) π π 2 Cách 2: Đổi biến số x = tan t , t ∈ (− ; ) +) Vi phân dx = dt cos t +) Đổi cận x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = π t π (1 + tan ( + ))dt dt dt 2 = = +) Khi I1 = ∫ ∫ ∫ π t π sin t + cos t 2 0 sin(t + ) tan( + ) π π π t π d (tan( + )) π 2 = ln(tan( t + π )) ln(1 + ) = ∫0 t π 2 2 tan( + ) π = Nhận xét : Cách giải thuận lợi đổi biến số x = tant quen thuộc Bài toán 2: Tính I2 = dx ∫ x x2 + Cách 1: Đổi biến số t = x2 + ⇒ t = x2 + +) Vi phân tdt = xdx +) Đổi cận x = ⇒ t = 3, x = ⇒ t = 4 +) Khi I2 = ∫t dt −4 (Có dạng C2) dt 1 1 = ∫[ − ]dt = ln Có I2 = ∫ t−2 t+2 3 t −4 π π 2 Cách 2: Đổi biến số x = tan t , t ∈ (− ; ) +) Vi phân dx = dt cos t +) Đổi cận x = ⇒ tan t1 = +) Khi I2 = π π ,x = ⇒ t = dt ( Có dạng C9) ∫ sin t t t (1 + tan )dt dt 1 t = ∫ = ln tan I2 = ∫ t sin t t 2 t tan π π t Tính tan , từ tan t1 = Vậy π π t1 t 2X = , tan > 0, X = − < (loại), X = (nhận) 1− X t 2 I2 = [ln tan − ln tan ] = (ln − ln )= ln 10 ∫ Cách 3: - ) Viết lại I2 = x +) Đổi biến số xdx x2 +1 (do x > 0) t = x2 + dt +) Vi phân xdx = +) Đổi cận x = ⇒ t = 9, x = ⇒ t = 16 16 dt Khi I2 = ∫ (t − 4) t -) Lại đổi biến số u = t ⇒ u = t ⇒ dt = 2udu +) Đổi cận t = ⇒ u = 3, t = 16 ⇒ u = 4 du Khi I2 = ∫ (đây kết cách 1) u −4 Cách 4: +) Đổi biến số x = +) Vi phân dx = − t dt t2 +) Đổi cận x = ⇒ t = t2 dt = Khi I2 = − ∫ 1 +4 t t2 ;x = ⇒ t = 3 ∫ dt + 4t (đến ta đưa dạng C6) +) Đặt u = ln(2t + + 4t ) 2dt +) Vi phân du = +) Đổi cận t = + 4t 2 ⇒ dt + 4t ⇒ u = ln 3; t = = du ⇒ u = ln 5 ln 5 Khi I2 = ∫ du = ln ln Nhận xét: 11 - Cách 1: thuận lợi hơn, đổi cận dễ, tính tích phân nhanh Cách 2: quen thuộc , đổi biến số hai lần, đổi cận phức tạp Cách 3: đổi biến số hai lần Cách 4: đổi biến số hai lần dạng quen thuộc Cả ba cách có niềm tin quy lạ quen Bài toán Tính I3 = ∫x dx x2 +1 Cách 1: +) Đổi biến số x = +) Vi phân dx = − t dt t2 +) Đổi cận x = ⇒ t = 1, x = ⇒ t = Khi I3 = ∫ t3 t2 +1 dt +) Đổi biến số u = t + ⇒ u = t + +) Vi phân tdt = udu +) Đổi cận t = Thì I3 = ∫ (u 2 ⇒u = ,t = ⇒ u = 2 − 1)du = −8 24 Nhận xét: Cách giải đổi biến số đến I3 = t3 dt ∫ t2 +1 π π π mà đổi biến số x = tan t , t ∈ (− ; ) đến tích phân I3 = ∫ sin t dt Đây tích 2 t1 cos t phân phức tạp (tant1 = 1/2) Cách 2: +) Đổi biến số t = 1+ x2 ⇒ x2 = 2 x t −1 12 tdt +) Vi phân xdx = − (t − 1) +) Đổi cận x = ⇒ t = , x = ⇒ t = Khi 2 dx I3 = ∫ x x + = ∫ 1 xdx x6 x +1 x = 5 (t − 1) − tdt −8 = − ∫ (t − 1)dt = t 24 (t − 1) 2 ∫ Nhận xét: Cách giải học sinh phải biết tích phân dạng tổng quát β I = ∫ x m (a + bx n ) p dx (với m = -4, n = 2, p = α m +1 , + p = −2 ∈ Z ) việc đổi biến số n cách không lạ Do việc giải theo cách thuận lợi hơn, tự nhiên với đa số học sinh Bài toàn Tính I4 = ln x ∫ x +1 dx Cách 1: Tích phân phần dx  u = ln x   du = x dx ⇒  +) Đặt  dv =  x + v = x +  +) Khi I4 = x + ln x − 2∫ 3 +) Quy tính I = ∫ x +1 dx x x +1 dx (là dạng tích phân quen thuộc) x +) Đổi biến số t = x + ⇒ t = x + +) Vi phân dx = 2tdt +) Đổi cận x = t = 2, x = t = 3 t2 Khi I = ∫ dt = 2∫ (1 + )dt (là tích phân hữu tỉ quen thuộc dạng C2) t −1 t −1 13 Cách 2: +) Đổi biến số t = x + ⇒ t = x + +) Vi phân dx = 2tdt +) Đổi cận x = t = 2, x = t = 3 Khi I4 = ∫ ln(t − 1)dt (là dạng quen thuộc học sinh) Sử dụng tích phân phần 2tdt  u = ln(t − 1) du = ⇒ t −1 +)  dv = dt  v = t t2 +) Thì I4 = 2[ t ln(t − 1) − 2∫ dt ] t −1 3 (Việc tính I = t2 ∫2 t − dt khó khăn học sinh) Bài toán Tính I5 = 5x − ∫ 2x + 8x + Cách giải: Viết 5x − = A x + 8x + dx (2 x + x + 1)' 2x + 8x + +B x + 8x + Ta tìm A = 5/4, B = -13 3 d (2 x + x + 1) dx − 13∫ Khi I5 = ∫ 2 x + 8x + x + 8x + (*) b α Nhận xét: Biến đổi biểu thức dấu tích phân (*) vvề dạng quen thuộc ∫ x dx, a β (dạng C1) dạng ∫ α Bài toán Tính I6 = dx x2 − a2 π ∫ (dạng C5) tan x + dx (Dạng toán đổi cận có hỗ trợ máy tính cầm tay) 14 Giải: Biến đổi I6 = π ∫ Cách 1: +) Đặt cos x − sin x dx t = sin x ⇒ dt = cos xdx +) Đổi cận x = ⇒ t = 0; x = Khi I6 = ∫ dt 4−t π ⇒t = (ta đưa dạng C8) π π 2 +) Đổi biến số t = sin ϕ , ϕ ∈ [− ; ] +) Vi phân dt = cos ϕdϕ +) Đổi cận t = ⇒ ϕ = 0; t = Khi I6 = ϕ1 ∫ dϕ = 3 6 ⇒ ϕ = ϕ1 sin ϕ1 = ϕ1 (sin ϕ1 = ) Để tính giá trị học sinh phải có hỗ trợ máy tính cầm tay π Cách 2: Biến đổi I6 = ∫ +) Đổi biến số sin t = cos x − sin x dx 3 sin x ⇒ cos tdt = cos xdx 2 +) Đổi cận x = ⇒ t = 0; x = π ⇒ t = t1 sint1 = gặp tích phân kiểu I6 4 β học sinh phải biến đổi dạng quen thuộc C8 = ∫ α f ( x) a2 − x2 dx giải đỡ gặp khó khăn Khi I6 = t1 t cos t 1 dt = dt = t ∫ ∫ cos t 30 t1 = t1 (sin t1 = ) 15 Học sinh phải có hỗ trợ máy tính cầm tay Nhận xét: - Tích phân I6 tính trực tiếp hay thay tanx = 2t dẫn tới tích phân phức 1− t2 tạp - Khi gặp tích phân kiểu I6 học sinh phải biến đổi dạng C8= giải đỡ gặp khó khăn x − 2011x ( x + 1) x + Bài toán 7: Tính I = ∫ dx Hướng giải: Cách 1: Đổi biến số t = x + x2 = t2 – xdx=tdt + Đổi cận: x = t = 1, x = t = t − 2t − 2011 dt + Đi đến tích phân I = ∫ t2 (a) t − 2t − 2011 dt không khó) (Việc tính tích phân I = ∫ t2 Cách 2: Đổi biến số t = x + dt = 2xdx + Đổi cận: x = t = 1, x = t = t − 2t − 2011 dt + Đi đến tích phân I = ∫ t 3/2 (b) Nhận xét: (Việc tính I7 (b) khó I7 (a)) π π Cách 3: + Đổi biến số x= tan ϕ ,ϕ ∈ (− ; ) 2 + dx = (1+ tan2 ϕ ) 16 Đổi cận x = 0, ϕ = 0, x = 1thì π π π sin ϕ ϕ ∈ (− ; ) ⇒ I = ∫ ( − 2011sin ϕ )dϕ (c) 2 cos ϕ Cách 4: Biến đổi x − 2011x x − 2011x ( x − 2011) dx = dx = d ( x + 1) x +1 ( x + 1) x + ( x + 1) x + 1 2010  ( x + 1) − x − 2011  = d ( x + 1) ⇒ I = ( x + − − )d x + (d ) ∫ ÷ x +1 x +1   Nhận vét: Việc tính I7, hướng dẫn học trò làm cách Cách cách tương tự nhau, có thuận lợi hơn, đổi cận dễ, tính nguyên hàm không phức tạp Cách 3, đổi biến số x= tan ϕ (là truyền thống), có dạng tích phân C6, song đến tính nguyên hàm hàm số lượng giác không dễ Cách 4, Củng cố “thói quen” tính tích phân học sinh thường phải biến đổi biểu thức dấu tích phân " Với cách học sinh phải nắm “vi phân” Cả bốn cách giải đến kết mong muốn, song cách thuận lợi C Kết luận - Mâu thuẫn động lực phát triển, mâu thuẫn nhu cầu nhận thức tri thức kĩ hạn chế động lực thúc đẩy nhận thức học sinh - Con người bắt đầu tư tích cực nảy sinh nhu cầu tư duy, có nhu cầu hiểu biết, có niềm tin niềm say mê, hứng thú trình nhận thức có hiệu - Hiệu giáo dục đạt cao trình đào tạo biến thành tự đào tạo - Đáp ứng nhu cầu đại đa số học sinh thông qua số toán cụ thể, hướng dẫn cho học sinh giải, thực hành nhiều chách khác toán để học sinh phát xây dựng , lựa chọn cách giải phù hợp cho toán tích phân có chương trình sgk giúp em giải toán tích phân đề thi đại học 17 Thực tế kết tốt, thể qua khảo sát thực hai lớp có kết tiến rõ rệt Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm Ghi % ∑ % % % ∑ ∑ số ∑ 2008-2009 12G 53 16 30,2 19 35,8 11 20,8 13,2 2009-2010 12B 48 17 35,4 21 43,8 12,5 8,3 2010-2011 12A 53 24 45,3 26 49 5,7 0 -Tuy nhiên tổng thời lượng cho kiến thức phần nguyên hàm, tích phân ứng dụng Năm Lớp Sĩ 11 tiết ít, nhu cầu giảm tải Song thực tế mà người học phải giải tập sgk tiếp cận đề thi đại học thiếu, giáo viên cần thiết phải hướng dẫn cho học sinh phương pháp tìm tòi cách giải có niềm tin giải toán tích phấn D Kiến nghị Trong chương trình nên có thống “chuấn” vi phân, tích phân “cơ bản” bảng nguyên hàm mà sách trình bày, định hướng cho học sinh nội dung kiến thức cần phải nhớ, cần rèn luyện toán tích phân sgk học sinh phải giải giải toán tích phân đề thi đại học Do thời gian có hạn, kinh nghiệm hướng dẫn cho học sinh tìm tòi cách giải khác toán tích phân cụ thể, để: 1) Học sinh chủ động giải toán, qua cách giải tự nhận khó khăn(hạn chế), thuận lợi(ưu thế) cách giải mà lựa chọn cách giải thích hợp cho toán 2) Học sinh biết dạng tích phân “cơ bản” để giải toán tích phân cụ thể “ biết quy lạ quen” 3) Khi “quy lạ vè quen” em có long tin, say mê, ham học Trao đổi với đồng nghiệp ý thức nêu toán tổng quát cách giải tổng quát cho toán tích phân Do mong góp ý xây dựng đồng nghiệp để kinh nghiệm giầu hơn, giúp học sinh học tốt toán tích phân Nga sơn, ngày 27/05/2011 18 Người thực Mai Văn Tánh 19 ... tài: Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán tích phân dần hình thành hướng suy nghĩ, tìm tòi phát lời giải A Đặt vấn đề Trong toán học phổ thông có nhiều toán chưa thuật giải cụ thể, gặp toán học. .. học sinh thường lung túng hướng suy nghĩ tìm tòi lời giải Đối với toán giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi để phát lời giải, nhằm trang bị cho học sinh tri thức suy luận, tư sang tạo giải. .. toán tích phân sgk học sinh phải giải giải toán tích phân đề thi đại học Do thời gian có hạn, kinh nghiệm hướng dẫn cho học sinh tìm tòi cách giải khác toán tích phân cụ thể, để: 1) Học sinh