De tuyen sinh lop 10 mon toan chung nam 2023 truong thpt chuyen dhsp ha noi 4856

Đáp án đề thi vào lớp 10 mơn Tốn chun vòng chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội năm 2023 NGUYỄN TIẾN LÂM − NGUYỄN NHẤT HUY NGÀY THÁNG NĂM 2023 LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI − VÒNG Câu a) Rút gọn biểu thức: √ √ x2 + x 2x + x 16 − 4x √ A= + √ + √ x−2 x+4 x x+1 (x > 0) b) Một khay nước có nhiệt độ 125◦ F bắt đầu cho vào tủ đá Ở tủ đá, sau giờ, nhiệt độ khay nước lại giảm 20% Hỏi sau giờ, nhiệt độ khay nước 64◦ F Lời giải √ a) Đặt x = a, suy x = a2 Khi ta biểu thức a4 + 8a 2a2 + a 16 − 4a2 + + a2 − 2a + a a+2 a(a + 2)(a − 2a + 4) 2a2 + a 16 − 4a2 = + + a2 − 2a + a a+2 = a(a + 2) + 2a + − 4(a − 2) = a2 + = x + A= b) Nhiệt độ khay nước sau lại 80% = Gọi t (giờ) thời gian để nhiệt dộ giảm 64o F Khi ta có phương trình sau  3  t  t 4 64 = · 125 = 64 ⇔ = 5 125 ⇔ t = Vậy sau nhiệt độ khay đá giảm 64◦ F ∇ LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI − VỊNG Câu a) Cho phương trình:  
x2 − (2m − 1) x − m2 + = m tham số (1) Chứng minh với giá trị m, phương trình (1) ln có hai nghiệm x1 , x2 Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 cho hệ thức khơng phụ thuộc vào m   −1 Tìm tọa độ điểm M (P ) b) Cho parabol (D) : y = ax (a 6= 0) qua A −1; cho khoảng cách từ M đến trục tung gấp hai lần khoảng cách từ M đến trục hồnh Lời giải a) Ta có ∆(1) = [−(2m − 1)]2 − 4.1.[−(m2 + 1)] = (2m − 1)2 + 4m2 + > 0, với m, phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo hệ thức Vi-et x1 + x2 = 2m − x1 x2 = −(m2 + 1) Khi ta ( 4m2 = (x1 + x2 + 1)2 m2 = −1 − x1 x2 Từ ta (x1 + x2 + 1)2 + 4x1 x2 + = Hệ thức khơng phụ thuộc vào m Bài tốn chứng minh   b) Do parabol (P ) : y = ax (a 6= 0) qua điểm A −1; nên 1 ⇔a= 2   1 Khi parabol (P ) : y = x2 , ta đặt M xM ; x2M Tức khoảng cách từ điểm M đến 2 trục tung xM , khoảng cách từ điểm M đến trục hoành x2M Do khoảng cách từ M đến trục tung gấp hai lần khoảng cách từ M đến trục hoành nên a · (−1)2 = xM = · x2M ⇔ xM = x2M ⇔ xM (xM − 1) = ⇔ xM = xM =   Vậy tất tọa độ điểm M thỏa mãn toán M (0; 0) M 1; ∇ LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI − VÒNG [ = 120◦ BC = 2AB Dựng đường tròn Câu Cho hình bình hành ABCD có ABC (O) có đường kính AC Gọi E, F giao điểm thứ hai AB, AD với đường tròn (O) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC, BD H, S Chứng minh a) Tam giác ABD tam giác vuông b) Tứ giác OBEH tứ giác nội tiếp c) SC tiếp tuyến dường tròn (O) Lời giải E B H C O A F T D S a) Gọi T trung điểm AD Vì ABCD hình bình hành nên BC = AD, BC k AD nên \ = 180◦ − ABC [ = 180◦ − 120◦ = 60◦ BAD 1 T A = AD = BC = AB nên tam giác ABT suy T B = T A = T D 2 \ = 90◦ Từ ta B thuộc đường trịn đường kính AT hay ABD Bài tốn chứng minh \ = 90◦ ta OB ⊥ AE nên B trung điểm AE b) Theo câu a) từ ABD Mà BH k AF nên BH đường trung bình tam giác EAF LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI − VÒNG \ = 90◦ = OBE \ Do H trung điểm EF Vì EF dây cung (O) nên OHE Từ ta suy OBEH nội tiếp đường trịn đường kính OE Bài tốn chứng minh c) Vì AECF tứ giác nội tiếp, BO k CE (cùng vng góc với AB) BH k AF ta có [ = COD \ = AOB [ = ECA [ = EF [ \ = CHF \ = CHS [ COS A = EHB [ = OHS [ = OHE \ = 90◦ Từ ta tứ giác CHOS nội tiếp suy OCS Vậy SC tiếp tuyến đường tròn (O) Bài toán chứng minh ∇ LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI − VỊNG Câu Có hay khơng số nguyên a, b cho √ √ (a + b 2023)2 = 2024 + 2023 2023? Lời giải Giả sử tồn a, b số nguyên thỏa mãn √ √ (a + b 2023)2 = 2024 + 2023 2023 Từ ta suy √ √ a2 + 2023b2 + 2ab 2023 = 2024 + 2023 2023 Khi ta √ (2ab − 2023) 2023 = 2024 − a2 − 2023b2 √ 2024 − a2 − 2023b2 Vì a, b số nguyên nên 2ab − 2023 6= Từ ta có 2023 = 2ab − 2023 √ 2024 − a2 − 2023b2 số hữu tỷ Điều vơ lý, 2023 số vô tỷ 2ab − 2023 Vậy câu trả lời không tồn số nguyên a, b cho √ √ (a + b 2023)2 = 2024 + 2023 2023 ∇ LỜI GIẢI ĐỀ THI TỐN VÀO LỚP 10 CHUN ĐHSP HÀ NỘI − VỊNG Câu Trên bảng ta viết đa thức P (x) = ax2 + bx + c (a 6= 0) P (x + 1) + P (x − 1) Ta viết lên bảng đa thức P1 (x) = xóa đa thức P (x) P1 (x + 1) + P1 (x − 1) Ta viết lên bảng đa thức P2 (x) = xóa đa thức P1 (x) Ta tiếp tục làm nhiều lần Chứng minh làm nhiều lần đến lúc ta nhận đa thức khơng có nghiệm Lời giải Bằng phép biến đổi ta có đẳng thức sau P (x + 1) + P (x − 1) = ax2 + bx + c + a P1 (x + 1) + P1 (x − 1) = ax2 + bx + c + 2a P2 (x) = P1 (x) = Tương tự phép quy nạp, ta có Pn (x) = ax2 + bx + c + na, với n ∈ Z+ Lúc này, ta có
∆Pn = b2 − 4a(c + na) = b2 − 4ac − 4na2 b2 − 4ac b2 − 4ac (vì khơng đổi) ∆Pn < 4a2 4a2 Khi đa thức Pn (x) khơng có nghiệm Bài toán chứng minh Xét số nguyên dương n thỏa mãn n > ∇