Thông tin tài liệu
Đáp án đề thi vào lớp 10 mơn Tốn chun vòng chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội năm 2023 NGUYỄN TIẾN LÂM − NGUYỄN NHẤT HUY NGÀY THÁNG NĂM 2023 LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI − VÒNG Câu 1 Chứng minh tích bốn số nguyên liên tiếp cộng với bình phương số nguyên Tìm cặp số nguyên (x, y) nghiệm hệ phương trình ( 2xy − x = 10 x + y + xy = 11 Lời giải Gọi số nguyên liên tiếp a, a + 1, a + 2, a + với a ∈ Z Ta có biến đổi sau a (a + 1) (a + 2) (a + 3) + = a2 + 3a a2 + 3a + + 2 = a2 + 3a + a2 + 3a + 2 = a2 + 3a + Vì (a2 + 3a + 1) số phương nên toán chứng minh Bằng phép biến đổi ta hệ phương trình sau ( 2xy − x = 10 ⇔ x + y + xy = 11 ( x (2y − 1) = 10 (x + 1) (y + 1) = 12 (1) Vì x, y nguyên nên x, 2y − nguyên 2y − ước lẻ 10 Ta xét trường hợp sau 2y − = suy y = x = 10 thay vào (1) không thỏa mãn 2y − = −1 suy y = x = −10 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn 2y − = suy y = x = thay vào (1) ta thấy thỏa mãn 2y − = −5 suy y = −2 x = −2 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn Vậy cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn (x, y) = (2, 3) ∇ ! Câu 1a) câu quen thuộc mang tính chất cho điểm cho thí sinh thi vịng 2 LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI − VÒNG Câu a) Cho a, b số thực không âm, c số thực dương thỏa mãn đẳng thức √ √ √ √ a − a + b − c = b + c √ √ √ √ Chứng minh a + b − c = a + b − c b) Tìm tất số nguyên dương a, b cho số √ √ 3+ a √ √ 5+ b số hữu tỷ Lời giải a) Bằng phép biến đổi biểu thức kết hợp với a, b không âm c thực dương, ta có √ √ √ √ √ √ √ √ a− a+b−c= b+ c⇔ a− b= c+ a+b−c p √ ⇒ a + b − ab = a + b + c (a + b − c) p √ ⇔ ab + c (a + b − c) = ( ab = ⇔ (a + b − c) = Ta cần chứng minh √ a+ (*) √ √ √ 3 b − c = a + b + c Ta biến đổi tương đương đẳng thức kết hợp với a, b khơng âm c thực dương, ta có √ √ √ √ √ √ √ √ 3 3 a+ b− 3c= a+b−c⇔ 3a+ b= 3c+ a+b−c q √ √ p 3 3 2 ⇔a+b+3 a b + ab = a + b + c (a + b − c) + c (a + b − c) q √ p √ 3 3 ⇔ a2 b + ab2 = c2 (a + b − c) + c (a + b − c) Đẳng thức cuối với điều kiện (∗) nên đẳng thức đầu Bài toán chứng minh b) Lấy α ∈ Q cho √ √ 3+ a √ = α √ 5+ b Viết lại phương trình dạng √ Bình phương vế ta có Từ suy √ √ √ a − α b = α − √ √ a + α2 b − 2α ab = 5α2 + − 2α 15 √ √ ab − 15 = β ∈ Q √ √ Bình phương vế đẳng thức ab = 15 + β ta LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI − VÒNG √ √ ab = 15 + β + 2β 15 ⇔ 2β 15 = ab − 15 − β Đẳng thức cuối xảy β = 0; tức ab = 15 Xét tất khả xảy ra, ta √ 3+1 √ = √ số vô tỷ a = 1, b = 15, tức α = √ + 15 √ √ 3 a = 3, b = 5, tức α = √ = √ số vô tỷ 5 √ √ 3+ √ = số hữu tỷ a = 5, b = 3, tức α = √ 5+ √ √ + 15 √ a = 15, b = 1, tức α = √ = 3, số vô tỷ 5+1 Vậy tất cặp (a, b) thỏa mãn a = 5, b = ∇ ! Các bạn tham khảo tốn gốc câu 2b) sau Tìm tất số nguyên dương a, b cho số √ √ 2+ a √ √ 3+ b số hữu tỷ Romanian Mathematical Olympiad 2002 − 2003 LỜI GIẢI ĐỀ THI TỐN VÀO LỚP 10 CHUN ĐHSP HÀ NỘI − VỊNG Câu Cho tam giác ABC Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB điểm D, E, F Hai đường thẳng M G, N E cắt điểm P Chứng minh rằng: a) EG song song với M N b) Điểm P thuộc đường tròn (I) Lời giải M A N P P1 E G I B C D [ AI phân giác góc A nên AI ⊥ AM mà GE ⊥ AI a) Vì AM phân giác ngồi BAC, nên EG k AM hay GE k M N Bài toán chứng minh b) Gọi P1 giao N E đường trịn (I) từ EG k M N , ta có \ \ \ \ AN P1 = AN E=P EG = P1 GA Do tứ giác AN GP1 nội tiếp kết hợp với tứ giác DGP1 E nội tiếp, ta có ◦ \ \ \ P\ EM = P1 GD = N AP1 = 180 − P1 AM Suy tứ giác M AP1 E nội tiếp kết hợp với EG k M N tứ giác AN GP1 nội tiếp, ta có ◦ \ \ \ \ \ \ \ \ \ GP M = AP1 M + AP1 G = AEM + AP1 G = DGE + AP1 G = GN A + AP1 G = 180 Do ta điểm G, P1 , M thẳng hàng Vì nên P1 trùng P Nói cách khác M G, N E cắt điểm P nằm (I) Bài toán chứng minh ∇ LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI − VÒNG Câu Bảy lục giác xếp tô màu hai màu trắng, đen Hình Mỗi lần cho phép chọn lục giác đều, đổi màu lục giác tất lục giác chung cạnh với lục giác (trắng thành đen đen thành trắng) Chứng minh dù có thực cách làm lần nữa, nhận lục giác ô màu Hình Lời giải Cách Đánh số vào hình lục giác hình vẽ 1 1 Ta xét hình lục giác điền số ≡ bi (mod 2) bi tổng số điền hình lục giác chung cạnh với hình lục giác xét Do đó, đổi màu theo đề số dư phép chia cho tổng số hình lục giác tơ đen ln khơng đổi Đối với hình số dư 1, cịn hình số dư nên khơng thể có cách đổi màu biến hình thành hình Cách 2 LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI − VỊNG Xét 2, 3, 5, Mỗi bước ta đổi màu hai bốn nên số đen khơng thay đổi tính chẵn, lẻ Ban đầu bốn nói có hai đen nên khơng thể có trạng thái bốn có đen ∇ LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI − VÒNG Câu Chứng minh tồn số nguyên dương n > 102023 cho tổng tất số nguyên tố nhỏ n số nguyên tố với n Lời giải Xét số nguyên tố p > 102023 gọi p1 , , pk tất số nguyên tố nhỏ p ( p1 < p2 < < pk ) Xét hai khả Nếu gcd(p1 + p2 + + pk , p) = chọn n = p ta có điều phải chứng minh Nếu p | p1 + p2 + pk ta viết kp = p1 + + pk < p(p + 1) với k ∈ N∗ p+1 Chọn q số nguyên tố nhỏ lớn p tức p, q hai số nguyên tố liên tiếp Thế tổng tất số nguyên tố nhỏ q Suy k < S = p1 + p2 + · · · + pk + p = p(k + 1) p+1 p+3 +1 = < q nên q nguyên tố với p, k + 2 (q, S) = Chọn n = q ta có điều phải chứng minh Chú ý k + < ∇
Ngày đăng: 28/06/2023, 22:13
Xem thêm:
