Thông tin tài liệu
Câu lạc Toán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 PHẦN LỜI GIẢI Câu 1: (3,5 điểm) Giải phương trình p p √ √ x2 + 6x + 2023 + x + = x2 + 5x + 2025 + Giải hệ phương trình (x + 6y) (3x + 2y) = 12 2x3 + 6y3 + 15x2 y + 19y2 x + x + 6y = 12 Lời giải Điều kiện xác định: x ≥ −3 Cách Xét x > (x2 + 6x + 2023) − (x2 + 5x + 2025) = x − > (x + 3) − = x − > nên suy p p √ √ x2 + 6x + 2023 + x + ≥ x2 + 5x + 2025 + Tương tự −3 ≤ x < p p √ √ x2 + 6x + 2023 + x + ≤ x2 + 5x + 2025 + Do đó, ta phải có x = nghiệm thoả mãn điều kiện xác định Vậy x = nghiệm phương trình Cách Phương trình cho viết lại thành p p √ √ x2 + 6x + 2023 − = x2 + 5x + 2025 − x + Giả sử hai vế dấu, bình phương hai vế rút gọn, ta q q 5(x + 6x + 2023) = (x2 + 5x + 2025)(x + 3) Bình phương lần nữa, khai triển rút gọn, ta (x − 2)(x2 + 5x + 2020) = Vì x2 + 5x + 2020 = vô nghiệm nên x = nghiệm thoả mãn Vậy, phương trình cho có nghiệm x = 2 Biến đổi phương trình thứ hai thành (x + 6y)(2x2 + 3xy + y2 + 1) = 12 Câu lạc Toán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 Kết hợp với phương trình thứ ta suy (x + 6y)(3x + 2y) = (x + 6y)(2x2 + 3xy + y2 + 1) Mà ta thấy x + 6y 6= nên chia hai vế phương trình cho x + 6y ta 2x2 + 3xy + y2 + = 3x + 2y Biến đổi phương trình ta = 2x2 + 3xy + y2 − 3x − 2y + = (2x + y)(x + y) − (2x + y) − (x + y) + = (2x + y − 1)(x + y − 1) nên suy 2x + y − = x + y − = • Nếu 2x + y − = ta có y = − 2x Thay vào phương trình thứ ta (x + − 12x)(3x + − 4x) = 12 28 −45 Giải phương trình ta thu nghiệm (x, y) = (0, 1), , 11 11 • Nếu x + y − = ta có y = − x Thay vồ phương trình thứ ta (x + − 6x)(3x + − 2x) = 12 −4 Giải phương trình ta thu nghiệm (x, y) = (0, 1), , 5 −4 28 −45 , , , Vậy, hệ cho có ba nghiệm (x, y) = (0, 1), 11 11 5 Câu lạc Toán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 Câu 2: (2,5 điểm) 1) Giả sử n số nguyễn cho 3n3 − 1011 chia hết cho 1008 Chứng minh n − chia hết cho 48 2) Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = Chứng minh 1 1+ 1+ 1+ > + a2 + b2 + c2 Lời giải Ta có biến đổi sau 1008 | 3n3 − 1011 = 3n3 − − 1008 1008 | 3n3 − = 3(n3 − 1) tương đương với 336 | n3 − = (n − 1)(n2 + n + 1) = n3 − n + n − Vì 336 chia hết cho 16 mà n2 + n + = n(n + 1) + lẻ nên n − chia hết cho 16 Ngồi 336 chia hết cho mà n3 − n = n(n − 1)(n + 1) tích ba số nguyên liên tiếp chia hết n − chia hết cho Vì (3, 16) = nên n − chia hết cho 3.16 = 48 Phép chứng minh hoàn tất Ta cần chứng minh 1+ 1 + a2 1+ 1 + b2 1+ 1 + c2 > (1) Ta biến đổi tương đương bất đẳng thức (1) sau + b2 + c2 + a2 >4 (1) ⇔ + a2 + b2 + c2 ⇔ + a2 + b2 + c2 > + a2 + b2 + c2 ⇔ (abc)2 + a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 < 2 ⇔ (abc) + (ab + bc + ac) − 2abc (a + b + c) < ⇔ (abc)2 + (1 − 2abc (a + b + c)) < ⇔ (abc)2 − 4abc (a + b + c) < (2) √ Theo bất đẳng thức AM − GM giả thiết ta có = ab + bc + ac ≥ a2 b2 c2 kéo theo (abc)2 ≤ < Suy bất đẳng thức (2) toán chứng minh Câu lạc Toán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 Câu 3: (3 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O0 ) cắt A B cho O nằm (O0 ) O0 nằm ngồi (O) Trên đường trịn (O) lấy điểm P di chuyển cho P nằm đường tròn (O0 ) Đường thẳng AP cắt (O0 ) C khác A 1) Chứng minh hai tam giác OBP O0 BC đồng dạng 2) Gọi Q giao điểm hai đường thẳng OP O0C Chứng minh d + ABP d = 90◦ QBC 3) Lấy điểm D thuộc (O) cho AD vuông góc với O0C Chứng minh trung điểm đoạn thẳng DQ ln nằm đường trịn cố định P thay đổi E Q A P M O O0 X F D Y B C Lời giải 0C Kết hợp với d = 2BAP d = 2BAC d = BO [ Ta có BOP 4O0 BC OB OP = O0 B O0 C = 1, ta thu 4OBP ∼ 0CB, từ kéo theo tứ giác BCQP nội tiếp Do d =O [ Vì 4OBP ∼ 4O0 BC nên ta OPB d = QPC d = OPA d Hơn nữa, 4OAP cân O nên ta AOP d + OPA d = 90◦ đó, QBC Như vậy, d + ABP d = OPA d + AOP d = 90◦ QBC Gọi M trung điểm DQ Đặt AD ∩ O0C = E Vì tứ giác BCQP ADBP nội tiếp d = BPC d = ADB d =E [ nên ta BQC DB, tứ giác BDEQ nội tiếp đường trịn đường Câu lạc Toán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 kính DQ (với tâm đường trịn M) Do đó, ta d [ = DMB [ =D [ BMO EB = AEB Mặt khác, ta có d = BAE d [ = 180◦ − BAD [ = 180◦ − BOD BOM Như vậy, ta 4OBM ∼ 4ABE (g.g) Gọi F, X,Y trung điểm AB, OO0 , OB Khi đó, MY EF đường trung tuyến tương ứng 4OBM 4ABE, ta [0 = AFO [0 = 4OMY ∼ 4AEF Kết hợp với việc tứ giác AEO0 F nội tiếp (vì AEO 90◦ ), XY đường trung bình 4OBO0 sử dụng tính đối xứng, ta F = AO O = BO O = OXY d = AO [ [ [ [ = AEF [ OMY Như vậy, tứ giác OMXY nội tiếp Mặt khác, vì, O, B, O0 điểm cố định nên X,Y điểm cố định Do vậy, điểm M ln chạy đường trịn (OXY ) cố định Câu lạc Toán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 Câu 4: (1 điểm) Giả sử tập A tập tập hợp gồm 30 số tự nhiên {0, 1, 2, , 29} cho với k nguyên a, b ∈ A (có thể a = b) a + b + 30k khơng tích hai số nguyên liên tiếp Chứng minh số phần tử tập hợp A nhỏ 10 Lời giải Ta trình bày hai lời giải Cách Trước hết ta loại số mà thân khơng thể xuất A, bao gồm: • Các số có dạng n(n + 1) : 0,1,3,6,10,15,24,28; • Các số có dạng n(n + 1) + 30 : 16,18,25; • Các số có dạng n(n + 1) − 30 : 13 Đối với số lại, ta ghép cặp chúng sau: (2, 4), (5, 7), (8, 12), (9, 11), (19, 23), (20, 22), (24, 26), (27, 29), 14, 17 (gồm cặp số số lẻ không cặp nào) Ta thấy số không cặp thuộc A, A chứa số cặp Do A có tối đa 10 phần tử Cách Với hai số nguyên liên tiếp a, a + 1, ta có a(a + 1) ≡ 0, 2, 6, 12, 20, 26 (mod 30) Với a ∈ A, xét b = a k = ta có 2a khơng đồng dư với 0, 2, 6, 12, 20, 26 (mod 30) nên a không đồng dư với 0, 1, 3, 6, 10, 13, 15, 16, 18, 21, 25, 28 (mod 30) Suy A ⊂ B = {2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, 27, 29} phân hoạch B thành 10 tập {2, 4}, {5, 7}, {8, 12}, {11, 9}, {14, 22}, {17, 19}, {20}, {23, 27}, {24, 26}, {29} tập chứa nhiều phần tử A Do đó, A chứa tối đa 10 phần tử Thực ta chứng minh số phần tử A nhiều 10, cần chọn A = {2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29}
Ngày đăng: 28/06/2023, 21:25
Xem thêm:
