Với Đề thi Olympic môn Toán năm 2023 - Trường THPT chuyên KHTN - Hà Nội được chia sẻ dưới đây, các bạn học sinh được ôn tập, củng cố lại kiến thức đã học, rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải bài tập để chuẩn bị cho kì thi sắp tới đạt được kết quả mong muốn. Mời các bạn tham khảo đề thi!
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2023 Mơn thi: TỐN Ngày thi thứ Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề n Câu Cho dãy số (an ) thỏa mãn a1 = an+1 = an (3an − 22 +1 ) với số nguyên dương n Chứng minh p ước nguyên tố a2023 p − chia hết cho a3 b3 số nguyên Câu Giả sử a, b số nguyên dương cho a + b4 dương khơng có ước ngun tố vượt q Chứng minh a = b Câu Cho tam giác ABC (AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) với phân giác AD (D nằm cạnh BC ) M trung điểm BC AM cắt lại (O) N J trung điểm cung BC chứa A (O) Trên (O) lấy điểm S T cho JS k AB JT k AC a) Chứng minh đường thẳng ST qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADN b) Lấy P thuộc (O) cho N P = AJ Gọi giao điểm P B P C với JS JT Q R Chứng minh Q, R, D thẳng hàng Câu Cho a, b, c số thực dương Chứng minh r 2ab(a2 − ab + b2 ) + a4 + b r 2bc(b2 − bc + c2 ) + b4 + c r √ √ √ 2ca(c2 − ca + a2 ) ( a + b + c)2 ≤ c + a4 a+b+c —— HẾT NGÀY —— TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2023 Mơn thi: TỐN Ngày thi thứ hai Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu Tìm tất đa thức P (x) với hệ số thực cho đẳng thức 4 P x + 4x (P (x)) = (P (x)) + 2x với số thực x Câu Xét số số nguyên dương có tổng 2023 Hãy tìm giá trị lớn có tích số ngun dương Câu Cho hình thang ABCD vng A B với BC < AD Gọi ω đường tròn tâm C qua B Giả sử ` tiếp tuyến ω cho ` vng góc với BD đồng thời ` cắt tia đối tia AB E F thuộc đường thẳng CD cho EF k AD P hình chiếu vng góc F ` M trung điểm cạnh AB Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác EP M tiếp xúc với ω —— HẾT NGÀY ——