Bg toan cao cap b phan 1 1419

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VÕ TRƯỜNG TOẢN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ================= Bài giảng mơn học TỐN CAO CẤP B Biên soạn: Th.s Phạm Thanh Dược Hậu Giang, 2011 Mục lục MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 1.2 1.3 1.4 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa ma trận 1.1.2 Các ma trận thường gặp 1.1.3 Các phép toán ma trận 1.1.4 Các tính chất 1.1.5 Ma trận bậc thang 1.1.6 Ma trận nghịch đảo Định thức 1.2.1 Các khái niệm định thức 1.2.2 Các tính chất định thức: 12 Hệ phương trình tuyến tính 13 1.3.1 Các định nghĩa 13 1.3.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 14 Bài tập 15 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 19 2.1 Khái niệm hàm số 19 2.2 Giới hạn hàm số 20 2.2.1 Giới hạn hữu hạn hàm số 20 2.2.2 Các tính chất giới hạn hàm số 20 2.2.3 Các dạng vô định cách khử dạng vô định 21 2.3 Tính liên tục hàm số 24 2.4 Bài tập 25 ii Mục lục ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 27 3.1 3.2 Đạo hàm 27 3.1.1 Định nghĩa 27 3.1.2 Đạo hàm hàm sơ cấp 28 3.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm 28 3.1.4 Đạo hàm cấp cao 29 3.1.5 Bài toán mối liên hệ tốc độ biến thiên 30 3.1.6 Vi phân 32 3.1.7 Cực trị 33 Các định lý phép tính vi phân ứng dụng 35 3.2.1 3.3 Một số kết liên hệ tính đơn điệu hàm số dấu đạo hàm 35 3.2.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 35 3.2.3 Các quy tắc L’Hospital 37 3.2.4 Công thức Taylor 38 3.2.5 Bài toán tối ưu thực tế 39 3.2.6 Khảo sát tổng quát hàm số 41 Bài tập 42 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 4.1 47 Tích phân bất định 47 4.1.1 Nguyên hàm, tích phân bất định 47 4.1.2 Tính chất 47 4.1.3 Bảng nguyên hàm hàm sơ cấp 48 4.1.4 Các phương pháp tính tích phân bất định 49 4.1.5 Tích phân hàm hữu tỷ 50 4.1.6 Tích phân hàm lượng giác 51 4.1.7 Tích phân số hàm vô tỷ 53 Mục lục 4.2 4.3 iii Tích phân xác định 55 4.2.1 Bài tốn diện tích hình thang cong 55 4.2.2 Định nghĩa tích phân xác định 56 4.2.3 Các định lí hàm khả tích 56 4.2.4 Các tính chất tích phân xác định 57 4.2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định 57 4.2.6 Ứng dụng tích phân xác định 59 Tích phân suy rộng 60 4.3.1 Tích phân suy rộng cận vơ tận 60 4.3.2 Tích phân suy rộng hàm khơng bị chặn 64 HÀM NHIỀU BIẾN 69 5.1 Định nghĩa hàm số hai biến 69 5.2 Giới hạn hàm số tính liên tục 70 5.3 Đạo hàm riêng 71 5.3.1 Định nghĩa 71 5.3.2 Dùng đạo hàm riêng để tính gần 72 5.3.3 Đạo hàm riêng cấp cao 72 5.3.4 Vi phân 73 Cực trị 74 5.4.1 Cực trị tự 74 5.4.2 Cực trị có điều kiện 77 5.4.3 Giá trị lớn nhỏ 78 5.4.4 Phương pháp bình phương nhỏ 79 Bài tập 80 5.5.1 Tự luận 80 5.5.2 Trắc nghiệm khách quan 83 5.4 5.5 iv Mục lục PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 6.1 6.2 6.3 6.4 85 Các khái niệm phương trình vi phân 85 6.1.1 Định nghĩa (Khái niệm phân loại) 85 6.1.2 Định nghĩa (phân nhóm ptvp): 85 6.1.3 Định nghĩa 3: (Nghiệm ptvp): 86 Phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp cấp 87 6.2.1 Bài toán cauchy (Bài toán điều kiện đầu) 88 6.2.2 Định lý Peano – Cauchy – Picard (định lý tồn nghiệm) 88 6.2.3 Nghiệm tổng quát 88 6.2.4 Phương trình phân ly biến số (tách biến) 88 6.2.5 Phương trình đẳng cấp 90 6.2.6 Phương trình đưa phương trình đẳng cấp 92 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti 97 6.3.1 Định nghĩa 97 6.3.2 Cách giải 97 6.3.3 Các ví dụ 101 6.3.4 Phương trình Bernoulli 102 6.3.5 Phương trình Ricatti 103 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số 104 6.4.1 Định nghĩa 104 6.4.2 Phương pháp giải phương trình 105 6.4.3 Một số phương trình vi phân cấp đặc biệt 106 Tài liệu tham khảo 115 Chương MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 1.1.1 Ma trận Định nghĩa ma trận Định nghĩa 1.1 Một ma trận A cấp m × n trường số thực số phức bảng số gồm m hàng n cột  a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  A= am1 am2 am3 ··· ··· ··· ··· a1n  a2n a3n  amn aij phần tử vị trí dịng i, cột j A Đôi A viết ngắn gọn A = (aij )m×n hay (A)m×n Các ma trận thường ký hiệu A, B, C tập hợp tất ma trận loại m × n trường K ký hiệu Mm×n (K)   ma trận cấp × Ví dụ 1.2 A = 01 −1   −2 1 ma trận cấp × B= Ví dụ 1.3 Viết ma trận cấp × biết: aij = i2 − j , ∀i, j = 1, , Định nghĩa 1.4 Hai ma trận A B gọi chúng có cở phần tử đứng vị trí tương ứng Kí hiệu A = B 2Chương MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Định nghĩa 1.5 (Hai ma trận nhau) Cho A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mmxn (K) Ta nói A = B khi: aij = bij , ∀i, j Ví dụ 1.6 Với A = a b c   ;B =  d e f  Thì A = B a = 4, b = 5, c = 6, d = 1, e = 2, f =   B = 14 Hai ma trận A = 1.1.2  ;  không cấp Các ma trận thường gặp • Ma trận khơng ma trận có phần tử • Ma trận cột ma trận có cột • Ma trận hàng ma trận có hàng • Ma trận có số hàng số cột gọi ma trận vuông Nếu A ma trận vuông cấp n, đường chứa phần tử a11 , a22 , a33 , , ann gọi đường chéo A • Ma trận đơn vị cấp n ma trận vng có phần tử đường chéo 1, phần tử cịn lại Kí hiệu  In =  0   • Ma trận vuông cấp n gọi ma trận tam giác phần tử đứng phía đường chéo Ví dụ 1.7 A = B= 0 −1 −2 0 −3 0 −1 ! ma trận tam giác trên; 0 ! ma trận tam giác dưới; 1.1 Ma trận 1.1.3 Các phép toán ma trận a) Phép cộng ma trận Cho hai ma trận Am×n , Bm×n Ta gọi ma trận tổng A B, kí hiệu A + B ma trận Cm×n = (cij ) xác định bởi: cij = aij + bij Tổng A + (-B) ký hiệu A – B gọi hiệu ma trận A B   Ví dụ 1.8 Cho A = 02 11 −1 ;   B = 23 12 02   Ta có A + B = 43 23 −1 b) Phép nhân ma trận với số thực Cho ma trận Am×n Khi đó, tích số thực α với ma trận A ma trận C với α.Am×n = Cm×n với cij = αaij Nếu a = -1 ta ký hiệu (-1).A -A gọi ma trận đối A     Tính 2A + 3B Ví dụ 1.9 Cho A = 02 11 −1 ; B = 3 2 Giải Ta có  −2 2A = ;   3B = 69 36 06  Vậy 2A + 3B =  10 −2 12  c) Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận Am×n , Bn×p Khi , Am×n × Bn×p = Cm×p , với cij = n X aik bkj k=1 Chú ý i) Tích hai ma trận khơng có tính giao hốn ii) A.I = I.A = A (I ma trận đơn vị cấp với A) 4Chương MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  Ví dụ 1.10 Cho A = ( ) ; B =  Tính AB BA Ta có  AB = ( )  BA = 3  = 4.1 + 5.2 + 6.3 = 32   ( )= 10 12 12 15 18  d) Phép chuyển vị Cho ma trận Am×n ma trận thu cách lấy hàng tương ứng A làm cột gọi ma trận chuyển vị A, kí hiệu AT Ví dụ 1.11 A= 1.1.4   T ⇒A =   Các tính chất A + B = B + A; A + = A + = A; (A + B) + C = A + (B + C); (AB)C = A(BC); A(B + C) = AB + BC; (λA)B = λ(AB); (AT )T = A; AT = B T ⇔ A = B 1.1.5 Ma trận bậc thang a) Phép biến đổi sơ cấp hàng • Nhân tất phần tử dòng với số khác 0, ký hiệu: di → a.di 1.1 Ma trận • Cộng phần tử dòng nhân cho số vào phần tử tương ứng dòng khác (Biến dòng i thành dòng i cộng a dòng j), ký hiệu: di → di +a.dj • Đổi vị trí hai hàng (hốn vị dịng i dịng j với nhau), ký hiệu: di ↔ dj b) Ma trận bậc thang Định nghĩa 1.12 i) Hàng có chứa phần tử khác gọi hàng khác 0, hàng chứa tất phần tử gọi hàng ii) Phần tử khác (tính từ trái qua phải hàng gọi phần tử hàng đó) Định nghĩa 1.13 Ma trận A gọi ma trận bậc thang A thỏa mãn hai tính chất i) Hàng (nếu có) phía hàng khác 0; ii) Phần tử dịng nằm cột bên phải cột chứa phần tử dịng Ví dụ 1.14 Ma trận A = 0  Ma trận B = 0  0 −2 −1 −2  −1 ma trận bậc thang;  −1 chưa có dạng bậc thang Định nghĩa 1.15 Ma trận bậc thang có thêm hai tính chất sau gọi ma trận bậc thang rút gọn (hay ma trận dạng rút gọn) a) Mọi phần tử 1; b) Trong cột có chứa phần tử (bằng 1) phần tử khác không   1 Ví dụ 1.16 Ma trận A = 0 −1 có dạng rút gọn; 0 0   1 Ma trận B = 0 −1 chưa có dạng rút gọn 0 Định lý 1.17 Mọi ma trận đưa dạng bậc thang nhờ phép biến đổi sơ cấp hàng (cột) + c(−1) + b.(−1) detA = d e f = a.(−1)1+1 h g h g i i g h i = a(ei − hf ) − b(di − f g) + c(dh − eg) = (aei + bf g + cdh) − (ahf + bdi + ceg) Ví dụ 1.25 Cho ma trận A = 3 1 ! −1 , tính detA