Bg toan cao cap b phan 2 1579

Chương TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 4.1 4.1.1 Tích phân bất định Nguyên hàm, tích phân bất định a Nguyên hàm Định nghĩa 4.1 Hàm F(x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) (a, b) nếu: F (x) = f (x) , ∀x ∈ (a, b) Ví dụ 4.2 i) Hàm F (x) = x3 nguyên hàm hàm f (x) = 3x2 R ii) Hàm F (x) = tgx+1 nguyên hàm hàm f (x) = cos2 x R\ π + k2π b Tích phân bất định Định nghĩa 4.3 Nếu F (x) nguyên hàm f (x) biểu thức F (x) + C , C số tùy ý, gọi tích phân bất định hàm f (x) , ký hiệu R f (x) dx Ví dụ 4.4 4.1.2 R 5x4 dx = x5 + C; R cos xdx = sin x + C Tính chất Định lý 4.5 Nếu hàm g(x) liên tục (a, b), khả vi (a, b) nếu: g (x) = 0, ∀x ∈ (a, b) th`i g (x) = C, ∀x ∈ (a, b) (C số) 47 48 Chương TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Chú ý: Một hàm số có nhiều ngun hàm Ví dụ 4.6 Các hàm số F (x) = số f (x) = √ x √ √ x v` a G (x) = x + nguyên hàm hàm Định lý 4.7 Nếu F (x) nguyên hàm f (x) (a, b) G (x) nguyên hàm f (x) khoảng tồn số C cho G (x) = F (x) + C Định lý 4.8 Cho f, g hàm số có nguyên hàm (a, b) Khi đó, (a, b) ta có: R λf (x) dx = λ f (x) dx ( λ số) R R R b) (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx
0 R c) f (x) dx = f (x) a) R Ví dụ 4.9 I = 4.1.3 R sin2 x2 dx = R 1−cos x dx = R dx − R
cos xdx = 21 (x − sin x) + C Bảng nguyên hàm hàm sơ cấp R R R R R R R 0dx = C (C số) α+1 xα dx = xα+1 + C ex dx = ex + C dx = arctgx + C 1+x2 sin xdx = − cos x + C tgxdx = − ln |cos x| + C dx = tgx + C cos2 x R R R R R R R dx = x + C dx = ln |x| + C x x x a dx = lna a + C √ dx = arcsin x + C 1−x2 cos xdx = sin x + C cot gxdx = ln |sin x| + C dx = − cot gx + C sin2 x Bảng 4.1: Bảng nguyên hàm Các công thức mở rộng: R dx = a1 arctg xa + C a2 +x2 R dx √ = arcsin xa + C a2 −x2 a+x R dx + C, |x| = = ln 2 a −x 2a a−x √ R dx √ = ln x + x2 + a + C x2 +a Nhận xét: Nếu +∞ R a |f (x)| dx hội tụ +∞ R a f (x) dx hội tụ (chiều ngược lại khơng có) 4.3 Tích phân suy rộng Định nghĩa 4.43 i) +∞ R 63 +∞ R f (x) dx gọi hội tụ tuyệt đối ii) +∞ R |f (x)| dx hội tụ a a f (x) dx gọi bán hội tụ +∞ R f (x) dx hội tụ |f (x)| dx phân a a a +∞ R kỳ Định lý 4.44 (tiêu chuẩn Dirichlet) Giả sử f(x), g(x) hàm liên tục ∀x ≥ a, g(x) đơn điệu có đạo hàm liên tục +∞ R f (x) g (x) dx (g’(x) liên tục khơng đổi dấu) Khi điều kiện đủ để tích phân a (5) hội tụ là: i) F (b) = Rb a b R f (x) dx hàm bị chặn ∀b > a Nghĩa là: f (x) dx < C, ∀b > a, C a số (Có thể ∃ lim F (b)) b→+∞ ii) g (x) → x → +∞ Hệ 4.45 Giả sử α > 0, a > v` a f (x) khả tích b đoạn [a, b] Nếu R Rb F (b) = f (x) dx hàm bị chặn ∀b > a Nghĩa là: