Bg toan cao cap c2 phan 1 1911

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VÕ TRƯỜNG TOẢN Bài giảng mơn học TỐN CAO CẤP C2 (Dành cho sinh viên các ngành Kinh tế) Biên soạn: ThS Phạm Thanh Dược Hậu Giang, 2019 LỜI NÓI ĐẦU Tốn cao cấp C2 mơn học cơng cụ nhằm cung cấp cho sinh viên ngành Kin Tế kiến thức toán cần thiết để học kiến thức chuyên ngành Bài giảng gồm chương Chương 1: Hàm số – Giới hạn – Liên tục Chương 2: Phép tính vi phân hàm biến Chương 3: Phép tính tích phân hàm biến Chương 4: Phương trình vi phân Trong Chương 1, 2, có số kiến thức sinh viên học trung học phổ thơng nên có phần chúng tơi u cầu sinh viên tự nghiên cứu Yêu cầu sinh viên hiểu rõ khái niệm vận dụng công thức, kết vào tập Vì giảng chúng tơi bỏ qua phần trình bày chứng minh q phức tạp Bên cạnh đó, chúng tơi đưa vào nhiều ví dụ tập ứng dụng kinh tế để sinh viên làm quen với việc sử dụng cơng cụ tốn học lĩnh vực kinh tế Cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Cơ nhiệt tình quan tâm giúp đỡ chúng tơi suốt q trình biên soạn Dù cố gắng chắn giảng khơng tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận chân thành biết ơn ý kiến đóng góp người đọc nội dung lẫn hình thức Tác giả i MỤC LỤC Chương HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC 1.1 Hàm số 1.2 Giới hạn dãy số 1.3 Giới hạn hàm số 1.4 Đại lượng vô bé đại lượng vô lớn 14 1.5 Hàm số liên tục 16 1.6 Bài tập Chương 21 Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 23 2.1 Đạo hàm 23 2.2 Vi phân 27 2.3 Ứng dụng đạo hàm toán học 33 2.4 Ứng dụng đạo hàm phân tích kinh tế 38 2.5 Bài tập Chương 41 CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 45 3.1 Nguyên hàm tích phân bất định 45 3.2 Tích phân xác định 59 3.3 Tích phân suy rộng 67 3.4 Ứng dụng tích phân kinh tế 75 3.5 Ứng dụng hình học tích phân xác định 76 3.6 Bài tập Chương 86 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 91 4.1 Khái niệm mở đầu 91 4.2 Phương trình vi phân cấp 91 4.3 Mơ hình vi phân kinh tế 100 ii 4.4 Phương trình vi phân cấp 103 4.5 Bài tập Chương 113 Tài liệu tham khảo 116 iii Chương HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC Chương trình bày khái niệm hàm số, tính chất hàm số, hàm số sơ cấp Khái niệm giới hạn dãy số, đặc biệt giới hạn hàm số tính chất hàm số có giới hạn xem xét chi tiết Hàm số liên tục vấn đề thiếu giáo trình Tốn cao cấp nào, đọc giả tìm thấy gần đầy đủ vấn đề liên quan đến tính liên tục hàm số 1.1 Hàm số 1.1.1 Ánh xạ Định nghĩa 1.1 Ánh xạ từ tập X vào tập Y quy luật tương ứng f cho với phần tử x có phần tử tương ứng y  Y Kí hiệu f : X → Y Khi đó, X gọi miền xác định ánh xạ f ( X ) =  y Y : y = f ( x), x  X  gọi miền giá trị ánh xạ Định nghĩa 1.2 Cho ánh xạ f : X → Y , với X ,Y   , đó: f đơn ánh  f ( x) = f ( y) x = y , x, y  X f toàn ánh  f ( X ) = Y f song ánh  f vừa đơn ánh vừa tồn ánh Nếu f song ánh ứng với phần tử y  Y , có phần tử x  X Khi ánh xạ từ Y vào X xác định f ( x) = y gọi ánh xạ ngược f kí hiệu f −1 Rõ ràng f −1 song ánh f −1 ( x ) = y  y = f ( x ) 1.1.2 Hàm số Định nghĩa 1.3 Cho tập X  Ta gọi ánh xạ f : X → hàm số thực Tập X gọi miền xác định tập Y = f ( X ) =  f ( x) : x  X  gọi miền giá trị hàm số Ký hiệu dạng sau: f : X → x hay y = f ( x) Ví dụ 1.1 Hàm số y = − x có miền xác định [-1;1] miền giá trị [0;1] Định nghĩa 1.4 Đồ thị hàm số y = f ( x ) với miền xác định D tập hợp điểm có tọa độ ( x; f ( x)) mặt phẳng tọa độ với x  D 1.1.3 Tính chất hàm số a) Hàm số chẵn, lẻ Giả sử D tập đối xứng với gốc tọa độ, nghĩa x  D − x  D Định nghĩa 1.5 Cho hàm số f xác định tập D đối xứng, đó: f gọi hàm số chẵn nếu, x  D ta có f ( x) = f (− x) f gọi hàm số lẻ nếu, x  D ta có f ( x) = − f (− x) Ví dụ 1.2 Các hàm số y = x , y = cos x, y = x + x hàm số chẵn Các hàm số y = sin x, y = x hàm số lẻ Nhận xét 1.1 Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng b) Hàm số tuần hoàn Định nghĩa 1.6 Cho hàm số f xác định tập D thỏa x  t  D, x  D Ta nói f tuần hồn tồn số t  cho f ( x + t ) = f (t ), x  D Số dương T nhỏ thỏa mãn đẳng thức gọi chu kỳ hàm số Ví dụ 1.3 Các hàm số y = sin x, y = cos x tuần hoàn với chu kỳ 2 hàm số y = tan x, y = cot x tuần hoàn với chu kỳ  c) Hàm số đơn điệu Định nghĩa 1.7 Hàm số y = f ( x ) gọi tăng (đồng biến) D với x1 , x2  D, x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) tăng nghiêm ngặt D x1 , x2  D, x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số f gọi giảm (nghịch biến) D với x1 , x2  D, x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) giảm nghiêm ngặt D x1 , x2  D, x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số tăng hay giảm gọi chung hàm số đơn điệu d) Hàm số bị chặn Định nghĩa 1.8 Nếu tồn số M cho f ( x)  M , x  D hàm số f ( x ) gọi bị chặn trên D Tương tự, tồn số m cho f ( x)  m, x  D hàm số f ( x ) gọi bị chặn D Hàm số vừa bị chặn vừa bị chặn gọi bị chặn Ví dụ 1.4 Hàm số y = cos x bị chặn , −1  cos x  1.1.4 Hàm số hợp Định nghĩa 1.9 Cho y = f (u) hàm số theo biến u u = g ( x) hàm số theo biến x Khi đó, hàm số y = f (u) = f [ g ( x)] gọi hàm số hợp biến x Kí hiệu f g Vậy ( f g )( x) = f [g( x)] Ví dụ 1.5 Cho f ( x ) = x + g ( x) = x − Khi đó, ( f g )( x) = f [g( x)] = f (2 x − 3) = (2 x − 3) + = x − 12 x + 10 ( g f )( x) = g[f ( x)] = g ( x + 1) = 2( x + 1) − = x − 1.1.5 Hàm ngược Định nghĩa 1.10 Cho hàm số f xác định tập D có miền giá trị tập T Giả sử f song ánh Khi f −1 song ánh từ tập T lên tập D Ta gọi f −1 hàm số ngược hàm f Nhận xét 1.2 Nếu f −1 hàm ngược hàm f f hàm ngược f −1 Đồ thị hàm số cho hàm ngược đối xứng qua đường thẳng y = x 1.1.6 Các hàm số sơ cấp Định nghĩa 1.11 Các hàm số sơ cấp hàm số: a) Hàm số hằng: y = c, c số Hàm số có tập xác định tập giá trị {c} b) Hàm số lũy thừa: y = x  (   ) Miền xác định hàm số lũy thừa khác với  khác Nhưng hàm y = x  trường hợp xác định với giá trị x  Đồ thị hàm y = x  qua điểm (1;1) , qua gốc tọa độ   không qua gốc tọa độ   c) Hàm số mũ: y = a x ( a  0, a  1) Số a gọi số hàm số mũ Hàm số mũ có tập xác định miền giá trị (0, +) • Nếu a  : hàm số đồng biến • Nếu  a  1: hàm số nghịch biến • Đồ thị ln qua (0;1) Nếu a  0, b  0, x, y số thực thì: • a−x = x • a = 1, a x  0, x a x y xy • (a ) = a • Nếu a = a x = 1x = 1, x ax • a x− y = y • a x+ y = a x a y a x x x • ( ab) = a b d) Hàm số logarit: Hàm số mũ y = a x song ánh từ lên (0, +) với a  0, a  , có hàm ngược gọi hàm Logarit Kí hiệu y = loga x Số a gọi số hàm số logarit • Tập xác định (0, +) • Miền giá trị • Nếu a  1: hàm số đồng biến • Nếu  a  1: hàm số nghịch biến Nếu  a  1,0  b  , ta có: • loga a x = x, x  • a loga x = x, x  • loga ( xy ) = loga x + loga y,( x, y  0) • loga x  =  loga x, x  • log a x = • x loga   = loga x − loga y,( x, y  0)  y log b x log b a • loga = e) Hàm lượng giác • Hàm số y = sin x có tập xác định , miền giá trị [-1,1] , hàm số lẻ tuần hoàn với chu kỳ 2 • Hàm số y = cos x có tập xác định , miền giá trị [-1,1] , hàm số chẵn tuần hoàn với chu kỳ 2 • Hàm số y = tan x có tập xác định x   + k , k  , miền giá trị , hàm số lẻ tuần hoàn với chu kỳ  • Hàm số y = cot x có tập xác định x  k , k  , miền giá trị , hàm số lẻ tuần hoàn với chu kỳ  f) Hàm lượng giác ngược    • Nếu ta hạn chế  − ,  hàm số y = sin x tăng nghiêm ngặt  2 Do có hàm số ngược kí hiệu x = arcsin y Hàm số x = arcsin y có tập    xác định [-1,1] , miền giá trị  − ,  Ta qui ước viết y = arcsin x  2 • Nếu ta hạn chế 0, hàm số y = cos x giảm nghiêm ngặt Do có hàm số ngược kí hiệu x = arccos y Hàm số x = arccos y có tập xác định [-1,1] , miền giá trị 0, Ta qui ước viết y = arccos x    • Nếu ta hạn chế  − ,  hàm số y = tan x tăng nghiêm ngặt  2 Do có hàm số ngược kí hiệu x = arctan y Hàm số x = arctan y có tập xác định    , miền giá trị  − ,  Ta qui ước viết y = arctan x  2 • Nếu ta hạn chế (0, ) hàm số y = cot x giảm nghiêm ngặt Do có hàm số ngược kí hiệu x = arccot y Hàm số x = arccot y có tập xác định , miền giá trị (0, ) Ta qui ước viết y = arccot x 1.1.7 Hàm sơ cấp Hàm f gọi hàm sơ cấp f cho cơng thức có hữu hạn phép tốn hàm (tổng, hiệu, tích, thương hợp hàm) tác động lên số hữu hạn hàm sơ cấp Ví dụ 1.6 a) f ( x) = x + x + hàm sơ cấp  x, x  b) g ( x) =  không hàm sơ cấp  x , x  1.1.8 Một số hàm số phân tích kinh tế Hàm sản xuất: Q = f ( L), Q lượng sản phẩm, L lao động Hàm doanh thu: R = R(Q) Hàm chi phí: C = C (Q) Hàm lợi nhuận:  = (Q) Hàm cung: Qs = S ( p), p giá Hàm cầu: Qd = D( p) 1.2 Giới hạn dãy số 1.2.1 Khái niệm dãy số Định nghĩa 1.12 Cho hàm số u(n) xác định * Khi cho n giá trị 1, 2,…, n, giá trị hàm số tương ứng u(1), u(2), , u(n), lập thành dãy số Đặt u1 = u(1), u2 = u(2), , un = u(n), ta dãy số u1 , u2 , , un , kí hiệu un  Các số ui , i = 1,2, gọi số hạng dãy, un gọi số hạng tổng quát dãy Dãy hoàn toàn xác định biết số hạng tổng qt 2.2.4 Các định lí hàm khả vi Định nghĩa 2.5 Cho hàm số y = f ( x) xác định (a, b) Hàm số y = f ( x) đạt cực đại địa phương (cực tiểu địa phương) điểm x0  (a, b) tồn lân cận N x0 cho với x  N f ( x)  f ( x0 )( f ( x)  f ( x0 )) Điểm x0 gọi điểm cực đại (cực tiểu) địa phương hàm số Điểm cực đại, cực tiểu địa phương gọi chung điểm cực trị địa phương Định lí 2.5 (Định lí Fermat) Nếu hàm số y = f ( x) xác định (a, b) , đạt cực trị địa phương x0 tồn f '( x0 ) f '( x0 ) = • Ý nghĩa hình học: Nếu f ( x) khả vi điểm cực trị x0 tiếp tuyến với đường cong y = f ( x) điểm M ( x0 , y0 ) song song với trục hồnh Định lí 2.6 (Định lí Rolle) Nếu hàm số y = f ( x) liên tục [a, b] khả vi (a, b) thỏa mãn f (a) = f (b) tồn x0  (a, b) cho f '( x0 ) = • Ý nghĩa hình học Nếu hàm f ( x) thỏa mãn điều kiện Định lí Rolle phải có điểm c  (a, b) cho tiếp tuyến song song với trục hồnh Ví dụ 2.9 Cho f ( x) = ( x −1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) Chứng minh phương trình f '( x) = có ba nghiệm thực phân biệt Giải Vì f ( x) liên tục khả vi  f ( x) liên tục khả vi [1,2], [2, 3], [3, 4] Ta có: f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = Theo Định lí Rolle tồn x1  (1,2), x2  (2,3), x3  (3,4) cho f '( x1 ) = f '( x2 ) = f '( x3 ) = Nghĩa x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình f '( x) = x1  x2  x3 Ta có điều phải chứng minh Định lí 2.7 (Định lí Lagrange) Nếu hàm số y = f ( x) liên tục [a, b] khả vi khoảng (a, b) tồn c  (a, b) cho f '(c) = f (b) − f (a ) b−a • Ý nghĩa hình học Tồn điểm c  (a, b) mà tiếp tuyến song song với đường thẳng nối hai đầu mút • Ý nghĩa tính gần Đặt a = x0 , b = x0 + x Giả sử điều kiện Định lí 2.7 thỏa Khi ta có: f ( x0 + x) − f ( x0 ) = f '(c).x (c: nằm x0 x0 + x nên ta viết c = x0 + x với    ) hay f ( x0 + x) = f ( x0 ) + f '( x0 + x).x cơng thức số gia giới nội Ví dụ 2.10 a) Cho hàm số f ( x) khả vi minh f ( x) số 29 f ' ( x) = 0,  x Chứng b) Cho hàm số ( x) liên tục [a, b], khả vi (a, b); a, b  Chứng minh tồn c  (a, b) cho a b =(c) − c.' (c) a − b (a) (b) Giải a) Với x, x0  , theo công thức số gia hữu hạn, ta suy tồn   (0,1) cho f ( x) − f ( x0 ) = f ' ( x0 + .( x − x0 )).( x − x0 ) = 0.( x − x0 ) = ta có f ( x) = f ( x0 ) = const Vậy với x (b) (a) − a.(b) − b.(a) b a b) Vế trái đẳng thức viết lại = 1 a −b − b a Đặt f ( x) = Cauchy ( x) , g ( x) = f ( x) g ( x) thỏa mãn giả thiết định lí x x [a, b] Do đó, tồn c  (a, b) cho a b =(c) − c.' (c) a − b (a) (b) Định lí 2.8 (Định lí Cauchy) Giả sử f ( x), g ( x) hàm số liên tục [a, b] , khả vi (a, b) g '( x)  0, x  (a, b) tồn điểm c  (a, b) cho f (b) − f (a) f '(c) = g (b) − g (a) g '(c) Chú ý Định lí Lagrange trường hợp đặc biệt Định lí Cauchy g ( x) = x 2.2.5 Ứng dụng phép tính vi phân Khai triển TayLor • Cơng thức Taylor với phần dư Lagrange Định lí 2.9 Nếu hàm số f ( x) liên tục  a, b , khả vi đến cấp (n + 1) (a, b) với x, x0  (a, b) ta ln có n f ( x) =  k =0 f ( k ) ( x0 ) f ( n+1) ( x0 + ( x − x0 )) k ( x − x0 ) + ( x − x0 ) n+1 k! (n + 1)! (0    1) (1) Công thức (1) gọi công thức Taylor biểu diễn hàm số f ( x) dạng (1) gọi khai triển Taylor hữu hạn hàm số x = x0 Biểu thức Rn ( x) = f ( n+1) ( x0 + ( x − x0 )) ( x − x0 ) n+1 gọi phần dư dạng Lagrange (n + 1)! Như (1) công thức Taylor với phần dư Lagrange 30 • Công thức Taylor với phần dư Peano Nếu hàm số f ( x) liên tục [a, b], khả vi đến cấp (n − 1) (a, b) tồn f ( n) ( x0 ), x0  (a, b) Khi x  (a, b) ta ln có f ( k ) ( x0 ) f ( x) =  ( x − x0 ) k + O(( x − x0 ) n ) (2) k! k =0 Trong O(( x − x0 )n ) VCB bậc cao ( x − x0 )n x → x0 n Biểu thức Rn ( x) = O(( x − x0 )n ) gọi phần dư dạng Peano Công thức Taylor với x0 = gọi công thức Maclaurin, tức f ( k ) (0) k f ( x) =  x + Rn ( x) k! k =0 f ( n+1) (x) n+1 x (0    1) Rn ( x) = O( xn ) Với phần dư Rn ( x) = (n + 1)! Công thức Maclaurin vài hàm số sơ cấp x x x3 xn x e = + + + + + + O( x n ) 1! 2! 3! n! x x x x n+1 sin x = x − + − + + (−1) n + O( x n+1 ) 3! 5! 7! (2n + 1)! 2n x x x n x cos x = − + − + + (−1) + O( x n ) 2! 4! 6! (2n)! x x3 x xn ln(1 + x) = x − + − + + (−1)n−1 + O( x n ) ( x  −1) n m ( m − 1) m ( m − 1) ( m − n + 1) n (1 + x) m = + mx + x + + x + O( x n ) ( x  −1) 2! n! Đặc biệt = (1 − x) −1 = + x + x + x + + x n + O( x n ) ( x  1) 1− x = (1 + x) −1 = − x + x − x3 + + (−1) n x n + O( x n ) ( x  −1) 1+ x Ứng dụng công thức Taylor a) Tính gần có đánh giá sai số Trong công thức Taylor (1) ta bỏ phần dư Rn ( x) ta có cơng thức gần n f ( k ) ( x0 ) f ( x)   ( x − x0 ) k k! k =0 ( n +1) f ( x0 + ( x − x0 ) ) ( x − x )n+1 Khi sai số Rn ( x) = (n + 1)! n Nếu M  : f ( n+1) ( x)  M , x [a, b] với x, x0  (a, b) sai số Rn ( x) đánh giá Rn ( x)  M n +1 x − x0 (n + 1)! 31 Ví dụ 2.11 a) Tính gần số e với sai số  = 10−3 Giải Ta có: x x x3 xn x n+1 x x e = + + + + + + e (0    1) 1! 2! 3! n! ( n + 1)! 1 1 Lấy x = ta e = + + + + + với sai số 1! 2! 3! n! e  = Rn ( x) = (0    1) (n + 1)!  10−3  (n + 1)!  3.103 (n + 1)! Suy n  6, ta chọn n = Khi 1 1 1 e  + + + + + +  2,718 1! 2! 3! 4! 5! 6! b) Tính giới hạn Cơng thức Taylor với phần dư Peano dùng để tính giới hạn e x − e− x − x Ví dụ 2.12 Tính lim x→0 x − sin x Giải Ta có x x3 e x = + x + + + O( x3 ) 2! 3! x x3 e− x = − x + − + O( x3 ) 2! 3! x sin x = x − + O( x3 ) 3! Vậy  x x3 x x3     + x + + + O( x )  − 1 − x + − + O( x )  − x x −x 2! 3! 2! 3! e − e − 2x    lim = lim  x →0 x → x − sin x   x x −  x − + O( x )  3!   Vì e  3   x3 + O( x3 ) =2 = lim 3! x →0 x 3 + O( x ) 3! 32 2.3 Ứng dụng đạo hàm toán học 2.3.1 Quy tắc L’Hospital Định lí 2.10 Giả sử hàm số f ( x), g ( x) có đạo hàm lân cận điểm x0 thỏa f ( x0 ) = g ( x0 ) = g '( x0 )  lân cận x0 Khi đó, lim x → x0 lim x → x0 f '( x) = A g '( x) f ( x) = A g ( x) Ví dụ 2.13 Tính giới hạn sau ln(cos ax) −a sin ax = lim = x →0 x →0 cos ax x a) lim a x − xa = lim(a x ln a − a.x a−1 ) = a a (ln a − 1) x→a x − a x →a 2.3.2 Quy tắc L’Hospital Định lí 2.11 Giả sử hàm số f ( x), g ( x) có đạo hàm lân cận điểm x0 , b) lim lim g ( x) = lim f ( x) =  g '( x)  lân cận x0 Khi đó, lim x → x0 x → x0 lim x → x0 x → x0 f '( x) =A g '( x) f ( x) = A g ( x) ln x 1x s in x = lim = − lim sin x = x →0 cot x x →0 −1 sin x x →0 x Ví dụ 2.14 lim Chú ý (i) Các định lí x →  (ii) Có thể áp dụng qui tắc nhiều lần liên tiếp (iii) Các dạng vô định khác phải đưa dạng  , áp dụng  qui tắc (iv) Nếu không tồn lim x → x0 lim x → x0 f '( x) ta khơng thể kết luận g '( x) f ( x) g ( x) x3 27 x 54 x 54 = lim = lim = lim = 54 x→0 x − sin x x→0 − cos x x→0 sin x x→0 cos x 2.3.3 Áp dụng qui tắc L’Hospital để khử dạng vô định Chú ý qui tắc L’Hospital áp dụng cho việc khử hai dạng vơ Ví dụ 2.15 lim định  Còn dạng vô định khác muốn áp dụng qui tắc  33 phải đưa hai dạng vô định Sau số phương pháp khử thơng dụng * Dạng 0. Ví dụ 2.16 lim x cot x = lim x →0 x →0 x 1 = lim = x → tan x  cos x  * Dạng  −  Ví dụ 2.17 −1  x ln x − x +  x x lim  − = lim+  = lim x −1 x →1+  x − x →1 ln x  x →1+ ( x − 1) ln x ln x + x ln x + x = lim+ x →1 x ln x ln x + 1 = lim+ = x ln x + x − x →1 ln x + 2 * Dạng 1 ln x lim ln x lim Ví dụ 2.18 lim x1− x = lim e1− x = e x →11− x = e x →1 x →1 x →1 ( −1) x = e−1 * Dạng 00 Ví dụ 2.19 Tính lim+ x x x →0 Đặt y = x x  ln y = x ln x  lim+ ln y = lim+ x ln x = lim+ x →0 x →0 x →0 ln x 1x = lim+ = x x →0 − x Do lim+ y = lim+ x x = e0 = x →0 x →0 * Dạng  Ví dụ 2.20 Tính lim ( cot x ) sin x x →0 Đặt y = ( cot x ) sin x  ln y = sin x.ln(cot x)  limln y = limsin x.ln(cot x) x→0 x→0 ln(cot x) −1 sin x.cot x sin x = lim = lim = x →0 sin x x →0 − cos x sin x x →0 cos x = lim Vậy lim ( cot x ) sin x x→0 = e0 = 2.3.4 Tính đơn điệu cực trị Định lí 2.12 Giả sử hàm số y = f ( x) khả vi điểm thuộc (a, b) Khi hàm số tăng (hay giảm) (a, b) f '( x)  (hay f '( x)  0) với x  (a, b) 34 Ví dụ 2.21 Hàm số y = x3 + x có y ' = 3x +  0, x  y = x3 + x hàm ln tăng nên hàm số Định lí 2.13 Nếu f '( x)  ( hay f '( x)  0) với x  (a, b) f ( x) tăng nghiêm ngặt (hay giảm nghiêm ngặt) (a, b) Ví dụ 2.22 Hàm y = x hàm tăng nghiêm ngặt toàn trục số y ' = 3x  Định nghĩa 2.6 Điểm x0 gọi dừng hàm số y = f ( x) f '( x0 ) = gọi điểm kì dị f '( x0 ) không tồn Điểm dừng điểm kì dị gọi chung điểm tới hạn Định lí 2.14 Giả sử hàm số y = f ( x) xác định điểm x0 có đạo hàm lân cận điểm x0 (có thể trừ x0 ) x0 điểm tới hạn f ( x) Khi x qua x0 mà đạo hàm f '( x) đổi dấu hàm số đạt cực trị địa phương x0 Cụ thể là: (i) Nếu f '( x) đổi dấu từ dương sang âm x0 điểm cực đại (ii) Nếu f '( x) đổi dấu từ âm sang dương x0 điểm cực tiểu Ví dụ 2.23 Tìm cực trị hàm số y = f ( x) = x + x + Giải Ta có: f '( x) = + 2x 2x2 + =0 x= −1 Bảng biến thiên: x −1 -∞ – f '( x) +∞ + +∞ +∞ f ( x) Vậy hàm số đạt cực tiểu −1 giá trị cực tiểu 2 Định lí 2.15 Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục đến cấp hai lân cận điểm x0 thỏa f '( x0 ) = 0, f "( x0 )  Khi đó: (i) Nếu f "( x0 )  hàm số đạt cực đại x0 (ii) Nếu f "( x0 )  hàm số đạt cực tiểu x0 35 2.3.5 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Định nghĩa 2.7 Cho hàm số y = f ( x) , x  D Nếu tồn x0  D cho f ( x)  f ( x0 ) (hay f ( x)  f ( x0 )) với x  D f ( x0 ) gọi giá trị lớn (nhỏ nhất) f ( x) D Ví dụ 2.24 a) Hàm số ,x + x2 có giá trị lớn x = Ta có y  với x hàm khơng có giá trị nhỏ b) Hàm số y = x có giá trị nhỏ x = c) Hàm số y = x − 3x có điểm dừng x = 1 Vì y "(1)  nên x = điểm cực tiểu, y "(−1)  nên x = −1 điểm cực đại Nhưng hàm số khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ lim f ( x) =  x → Ta biết hàm số y = f ( x) xác định liên tục [a, b] đạt giá trị lớn nhỏ [a, b] Các giá trị a b Còn đạt (a, b) phải cực trị địa phương Vậy để tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x) ta làm sau: (i) Tìm điểm tới hạn hàm số (a, b) (ii) Tính giá trị f ( x) điểm tới hạn f (a), f (b) (iii) So sánh giá trị vừa tìm Xác định ymax , ymin Ví dụ 2.25 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = x + − x Giải Tập xác định: D = [ − 2, ] Ta có: y ' = − x − x2 =  x =1 y(− 2) = − 2, y( 2) = 2, y(1) = Vậy ymax = ymin = − 2.3.6 Sự tồn giá trị lớn nhỏ hàm số khoảng mở Nếu hàm số y = f ( x) không liên tục đoạn định lí khẳng định tồn giá trị lớn nhỏ hàm số liên tục đoạn khơng cịn Trong trường hợp này, dĩ nhiên hàm y = f ( x) có giá trị cực trị Để tìm giá trị lớn nhỏ hàm y = f ( x) xác định khoảng ta dựa vào định lí sau đây: Định lí 2.16 Giả sử hàm số y = f ( x) hàm liên tục (a, b) và: lim f ( x) = L lim− f ( x) = M x →a + x→b Khi đó, 36 (i) Nếu f (u)  L f (u)  M với u thuộc (a, b) hàm số y = f ( x) có giá trị lớn (a, b) (ii) Nếu f (v)  L f (v)  M với v thuộc (a, b) hàm số y = f ( x) có giá trị nhỏ (a, b) Chú ý Trong định lí a −, b + Khi lim+ f ( x) thay x →a lim f ( x) lim− f ( x) thay lim f ( x) x →− x →+ x →b Ví dụ 2.26 Chứng minh hàm số y = f ( x) = x + có giá trị nhỏ x (0, +) tìm giá trị 1 1   Giải Ta có lim+ f ( x) = lim+  x +  = +, lim f ( x) = lim  x +  = + x →+ x →+ x →0 x →0  x x  Vì f (1) =  + nên theo Định lí 2.16 hàm số có giá trị nhỏ (0, +) x2 − Ta có: f '( x) = − = , f '( x) = x = 1, x = −1 Vì xét hàm x x số y = f ( x) xác định (0, +) nên có điểm dừng x = Do hàm số phải đạt giá trị nhỏ x = f = f (1) = 2.3.7 Tính lồi lõm điểm uốn đồ thị Cho hàm số y = f ( x) có tập xác định D Đồ thị hàm số mặt phẳng Oxy thường đường cong nên người ta thường gọi y = f ( x) phương trình đường cong hay đường cong Định nghĩa 2.8 Đường cong y = f ( x) gọi lồi (lõm) (a, b) điểm đường cong nằm (trên) tiếp tuyến điểm đường cong (a, b) Định lí 2.17 Cho hàm số f ( x) xác định (a, b) Khi đó, đường cong y = f ( x) lồi (lõm) (a, b) f "( x0 )  ( f "( x0 )  0) Định nghĩa 2.9 Điểm I ( x0 , y0 ) hàm đường cong y = f ( x) gọi điểm uốn phân cách cung lồi cung lõm đường cong Định lí 2.18 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp lân cận điểm x0 Nếu qua x0 mà đạo hàm cấp đổi dấu điểm I ( x0 , f ( x0 )) điểm uốn Ví dụ 2.27 Xét tính lồi, lõm điểm uốn y = e− x Giải Ta có: y ' = −2 xe− x  y " = (4 x − 2)e− x  y " =  x = 2 Bảng xét dấu: 37 1 x −1 -∞ y" y + +∞ – 0 lồi Lõm + lõm 2.4 Ứng dụng đạo hàm phân tích kinh tế 2.4.1 Ý nghĩa đạo hàm Giả sử hai biến x y có mối quan hệ hàm y = f ( x) (chẳng hạn x giá loại hàng y số lượng hàng bán ra) Trong thực tế người ta quan tâm tới xu hướng biến thiên biến y x0 x thay đổi lượng nhỏ x Lượng thay đổi y x thay đổi lượng x y = f ( x0 + x) − f ( x0 ) Tốc độ thay đổi trung bình y theo x khoảng từ x0 đến x0 + x y x Tốc độ thay đổi (tức thời) y theo x x0 f ( x0 + x) − f ( x0 ) y = lim = f ( x0 ) x →0 x x →0 x lim Khi x bé y  f ( x0 ) hay y  f ( x0 ).x x Vậy x thay đổi lượng x y thay đổi lượng xấp xỉ y( x0 ).x (chẳng hạn giá thay đổi lượng x số hàng bán thay đổi lượng y( x0 ).x) Ví dụ 2.28 Hàm cầu loại sản phẩm P = 50 − Q Tìm tốc độ thay đổi giá lượng cầu Q thay đổi Giá thay đổi Q = ? Giải Tốc độ thay đổi giá P theo Q là: P ' = −2Q Do P '(1) = −2 Điều có nghĩa lượng cầu tăng thêm đơn vị sản phẩm giá giảm đơn vị sản phẩm đơn vị tiền 2.4.2 Giá trị cận biên Trong kinh tế đại lượng đo tốc độ thay đổi biến phụ thuộc y biến độc lập x thay đổi lượng nhỏ gọi giá trị cận biên y x, kí hiệu My( x) Từ định nghĩa đạo hàm ta có My ( x) = y( x) = dy dx 38 Ta thường chọn xấp xỉ My( x)   y, tức My( x) gần lượng thay đổi y y x tăng lên đơn vị ( x = 1) (i) Giá trị cận biên chi phí Cho hàm chi phí C = C (Q) Khi ta gọi MC(Q) giá trị cận biên chi phí Giá trị coi lượng thay đổi chi phí Q tăng lên đơn vị Ví dụ 2.29 Cho chi phí trung bình để sản xuất đơn vị sản phẩm C = 0,0001Q − 0,02Q + + 500 Q Tìm giá trị cận biên chi phí Q Áp dụng Q = 50 Giải Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm C = Q.C = 0,0001Q3 − 0,02Q2 + 5Q + 500 Từ giá trị cận biên chi phí MC (Q) = dC = 0,0003Q − 0,04Q + dQ Khi Q = 50 MC(50) = 3,75 Như Q tăng lên đơn vị từ 50 đến 51 chi phí tăng lên khoảng 3,75 đơn vị (ii) Giá trị cận biên doanh thu Cho hàm doanh thu R = R(Q) Khi ta gọi MR(Q) giá trị cận biên doanh thu Ví dụ 2.30 Số vé bán Q giá vé P hãng xe bus có quan hệ Q = 10000 − 125 P Tìm doanh thu cận biên P = 30, P = 42 Giải Ta có doanh thu R = QP = Q(10000 − Q) 125 MR (Q ) = 10000 − 2Q 125 Do Khi P = 30 Q = 6250, MR(6250) = −20 Khi P = 42 Q = 4750, MR(4750) = (ii) Xu hướng tiêu dùng tiết kiệm cận biên Hàm tiêu dùng C = C( I ), I tổng thu nhập quốc dân Xu hướng tiêu dùng cận biên MC( I ) tốc độ thay đổi tiêu dùng theo thu nhập MC ( I ) = dC dI 39 Ta gọi S = I − C hàm tiết kiệm Khi xu hướng tiết kiệm cận biên MS ( I ) = dS dC = 1− = − MC ( I ) dI dI Ví dụ 2.31 Cho hàm tiêu dùng 5(2 I + 3) I + 10 Xác định xu hướng tiêu dùng cận biên xu hướng tiết kiệm cận biên I = 100 C= 5[( I + 10)3 I − (2 I + 3)] 5( I + 30 I − 3) = Giải MC ( I ) = ( I + 10) ( I + 10) Từ MC (100) = 1297  0,536 12100 MS (100) = − MC(100)  0,464 2.4.3 Hệ số co dãn (i) Độ thay đổi tuyệt đối tương đối Khi đại lượng x tăng thêm lượng x ta gọi x độ thay đổi tuyệt đối x; tỉ số x (100%) gọi độ thay đổi tương đối x x Chẳng hạn hộ giá 200 triệu đồng tăng thêm triệu độ thay đổi tuyệt đối triệu, độ thay đổi tương đối 100% = 0,5% 200 Một kg gạo giá ngàn đồng tăng thêm ngàn đồng độ thay đổi tương đối 100% = 20% Rõ ràng độ thay đổi tương đối không phụ thuộc vào đơn vị tính cho ta thấy mức độ thay đổi (ii) Hệ số co dãn Để đo mức độ phản ứng biến y biến x thay đổi người ta đưa vào khái niệm hệ số co dãn Hệ số co dãn đại lượng y theo đại lượng x tỉ số độ thay đổi tương đối y độ thay đổi tương đối x, kí hiệu  yx Ta có  y   x  y x  yx =     = y x  x y     Từ đó, với x bé, ta có 40 y x x = y( x) x →0 x y y  yx = lim Ví dụ 2.32 Cho hàm cầu Q = 30 − P − P Tìm hệ số co dãn điểm P = Giải Ta có QP = (−4 − P) Tại P = 3, QP = − P P(2 + P) =− 30 − P − P 30 − P − P 10  −3,3 Điều có ý nghĩa với mức giá P = giá tăng 1% lượng cầu Q giảm 3,3% 2.4.4 Lựa chọn tối ưu kinh tế Nhiều toán kinh tế đưa tốn tìm cực trị hàm y = f ( x) Ta gọi P đơn giá, hàm sản lượng Q = Q( P); hàm doanh thu R = P.Q, hàm chi phí C = C (Q); hàm lợi nhuận  = R − C Trong kinh tế ta thường phải giải toán sau - Tìm P để sản lượng Q đạt tối đa (cực đại); - Tìm P Q để doanh thu R đạt tối đa; - Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu) Ví dụ 2.33 Cho hàm cầu Q = 300 − P, hàm chi phí C = Q3 − 19Q + 333Q + 10 Tìm Q để lợi nhuận lớn Giải Ta có Q = 300 − P hay P = 300 − Q Từ doanh thu R = (300 − Q)Q hàm lợi nhuận  = Q(300 − Q) − (Q3 − 19Q + 333Q + 10) = −Q3 + 18Q − 33Q − 10 Ta có d = −3Q + 36Q − 33 dQ d =  Q = Q = 11; dQ d 2 = −6Q + 36; dQ d 2 d 2 (1) = 30  0, (11) = −30  dQ dQ Từ  đạt cực đại Q = 11, max = (11) = 474 41 2.5 Bài tập Chương Tính đạo hàm sau 1 x =  ; x  a) y = x3 cos( x − 3) x = 3; b) y = x sin x x c) y = tan − cot ; 2 d) y = ln( x + + x ) Cho hàm số y = x + (1 + x )2 + Chứng minh rằng: x 3x x( x + 1) y '+ y = x(1 + x ) Tìm vi phân cấp cấp hàm số sau: a) y = ; x c) y = b) y = ( x3 + 1)e3 x ; a x + arctan ; x a d) y = arctan(e x ) Tính giới hạn sau:   − ; a) A = lim  x →0 x sin x x   b) B = lim x ln x;  1 c) C = lim  − x ; x →0 x e −1   d) D = lim x →0 ln(cos x ) ; x →0 sin x e x − e− x ; x →0 ln(1 + x ) ln(sin ax ) ; x →0 ln(sin x ) e) E = lim f) F = lim e x − e− x − x x →0 x − sin x Tìm khoảng tăng, giảm hàm số sau: g) G = lim a) y = ln(e + ); x b) y = x.e x + Tìm cực trị hàm số sau: a) y = x x − 2; b) y = x + 2sin x Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau: 3  a) y = x − 2ln x, x   , e  ; 2  b) y = x , x  [0, 2] x +1 Tìm giá trị cận biên a) C = 0,1Q + 3Q + Q = 3; b) C = 0,04Q3 − 0,5Q + 4, 4Q + 7500 Q = 5; c) R = 250Q + 45Q − Q Q = 42 Hàm tiêu dùng quốc gia cho 10 I + 0,7 I − 0, I C= I Tìm xu hướng tiết kiệm cận biên thu nhập 25 10 Số vé bán hãng xe buýt Q = 10000 − 125 P, P giá bán vé (đvt: nghìn đồng) Tìm mức giá để doanh thu đạt tối đa 11 Gọi Q lượng hàng dự trữ mặt hàng siêu thị chi phí lưu trữ C (Q) = 4860 + 15Q + 750000 Tìm Q để mức lưu trữ tối thiểu Q 12 Doanh thu loại sản phẩm cho R = 240Q + 57Q − Q3 Tìm Q để doanh thu đạt tối đa 13 Một loại sản phẩm có hàm cầu P = 42 − 4Q hàm chi phí trung bình C = 2+ 80 Tìm mức giá để lợi nhuận tối đa Q 14 Trung bình chi phí đơn vị sản phẩm cho C = 2Q − 36Q + 210 − 200 Q a) Tìm mức ản xuất Q,2  Q  10 để có chi phí tối thiểu; b) Tìm mức sản xuất Q,5  Q  10 để có chi phí tối thiểu 15 Hàm cầu loại sản phẩm độc quyền P = 600 − 2Q tổng chi phí C = 0, 2Q + 28Q + 200 a) Tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận đạt tối đa Tìm mức giá P lợi nhuận lúc b) Chính quyền đặt thuế 22 đơn vị tiền cho đơn vị sản phẩm Tìm mức sản xuất để lợi nhuận đạt tối đa, tìm mức giá lợi nhuận trường hợp 43