Tác động của toán tử milnor trên các bất biến của nhóm tuyến tính và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG MỘNG NI TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ MILNOR TRÊN CÁC BẤT BIẾN CỦA NHĨM TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG MỘNG NI TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ MILNOR TRÊN CÁC BẤT BIẾN CỦA NHĨM TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Ngành : Đại số Lý thuyết số Mã số 8460104 : LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: GS.TS NGUYỄN SUM Bình Định - Năm 2022 LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Đề tài “Tác động toán tử Milnor bất biến nhóm tuyến tính ứng dụng” kết nghiên cứu hướng dẫn GS.TS Nguyễn Sum chưa công bố cơng trình khoa học khác thời điểm Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn có tài liệu tham khảo trích dẫn rõ ràng, đảm bảo tính trung thực, xác Bịnh Định, tháng năm 2022 Tác giả Trương Mộng Ni i Mục lục Lời cam đoan Mở đầu Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm tuyến tính tổng qt nhóm 1.2 Đại số trường 1.3 Toán tử Steenrod 1.4 Toán tử Milnor 12 1.5 Tác động nhóm tuyến tính đại số đại số đa thức 15 1.6 Bất biến Dickson cấu trúc đại số bất biến 16 1.7 Bất biến Mùi cấu trúc đại số bất biến nhóm tam giác 17 Chương 2: Tác động toán tử Milnor nguyên thủy bất biến modular 2.1 22 Một số kiến thức liên quan 23 ii 2.2 Tác động toán tử Milnor nguyên thủy bất biến Dickson Mùi 27 2.2.1 Tác động toán tử St∆i bất biến Dickson Qn,s bất biến Mùi Vn 28 2.2.2 Tác động toán tử Milnor nguyên thủy bất (d) biến Mùi Mn;s 40 , ,sk 2.3 Biểu diễn bất biến định thức theo bất biến Dickson Mùi 43 2.3.1 Biểu diễn định thức theo bất biến Mùi 43 2.3.2 Biểu diễn định thức theo bất biến Dickson 45 Chương 3: Một số ứng dụng 3.1 51 Giả thuyết Pengelley-Sinha đồng điều Margolis mod-2 đại số Dickson 51 3.2 Một số phần tử hit A (p)-module A (p)-module Pn 55 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 Mở đầu Cho p số nguyên tố Ký hiệu GLn := GL(n, Fp ) nhóm tuyến tính tổng qt trường nguyên tố Fp có p phần tử      F [y , y , , y ], 2 n p = 2, Pn :=     E[x1 , x2 , , xn ] ⊗ Fp [y1 , y2 , , yn ], p > 2, E[x1 , x2 , , xn ] đại số Fp với biến x1 , x2 , , xn , biến có bậc Fp [y1 , y2 , , yn ] đại số đa thức Fp với biến y1 , y2 , , yn biến có bậc p > có bậc p = Lý thuyết bất biến modular nhóm tuyến tính tổng quát GLn nhà toán học Dickson đề xướng vào năm 1910 thập niên phát triển mạnh mẽ với tư cách ngành đại số túy Đến năm 1975, Huỳnh Mùi phát triển thêm số nhóm G GLn ứng dụng để nghiên cứu đại số đối đồng điều nhóm đối xứng lý thuyết bất biến modular trở thành công cụ hữu hiệu ngành Tôpô - Đại số Ký hiệu A (p) đại số Steenrod mod-p sinh toán tử Steenrod P i , i ≥ 0, toán tử Bockstein β với p > Ta biết đại số Pn đối đồng điều nhóm Abel sơ cấp hạng n nên có cấu trúc module đại số Steenrod A (p) Tác động A (p) Pn xác định công thức Cartan với công thức tường minh βxj = yj , βyj = 0, P xj = xj , P i xj = với i >     yj , i = 0,      P i (yj ) := yjp , i = 1,         0, trường hợp khác, với j = 1, 2, , n Ta ý toán tử P i = Sq i bình phương Steenrod p = Vì tác động GLn A (p) Pn giao hoán với nên có tác động cảm sinh A (p) đại số bất biến PnG với G nhóm nhóm tuyến tính tổng qt GLn Bài toán nghiên cứu tác động đại số Steenrod đại số bất biến PnG với G nhóm nhóm tuyến tính tổng qt GLn tốn có tính thời sự, có nhiều ứng dụng tốn ngành Tơpơ - Đại số Việc tìm hiểu nghiên cứu đề tài giúp tiếp cận với hướng nghiên cứu có tính thời chun ngành Mục đích luận văn tìm hiểu lý thuyết bất biến modular nhóm tuyến tính trình bày chi tiết kết báo [14] [15] tác động toán tử Milnor nguyên thủy bất biến nhóm tuyến tính Luận văn trình bày số ứng dụng kết để nghiên cứu đồng điều Margolis đại số Dickson Hưng [3] trình bày số kết Hải [2] đơn thức hit đại số Pn Nội dung luận văn gồm ba chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức chuẩn bị cho chương bao gồm kiến thức đại số trường, đại số Steenrod, cấu trúc module đại số Steenrod đại số đa thức, sở Milnor đại số Steenrod toán tử Milnor nguyên thủy Chương Tác động toán tử Milnor nguyên thủy bất biến modular Trong chương này, chúng tơi trình bày chi tiết kết báo Sum [14, 15] tác động toán tử Milnor nguyên thủy bất biến nhóm nhóm tuyến tính tổng qt GLn Chương Một số ứng dụng Trong chương này, chúng tơi trình bày kết Hải [2] Hưng [3] ứng dụng kết Chương việc nghiên cứu đồng điều Margolis đại số Dickson phần tử hit đại số đại số Pn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học GS.TS Nguyễn Sum Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Thầy tận tình giúp đỡ, truyền đạt kiến thức quý báu kinh nghiệm trình làm luận văn Cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê quý thầy (cô) giảng dạy lớp Đại số Lý thuyết số khóa 23 (2020 – 2022) tận tình giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập hồn thành đề tài Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số kiến thức chuẩn bị cho chương chính, bao gồm kiến thức nhóm tuyến tính trường nguyên tố Fp , đại số trường toán tử Steenrod đối đồng điều không gian tôpô với hệ số trường Fp ; nhắc lại tác động nhóm tuyến tính đại số ngồi đại số đa thức; trình bày cấu trúc đại số bất biến xác định Dickson Mùi 1.1 Nhóm tuyến tính tổng quát nhóm Cho V không gian vectơ n-chiều trường K Ký hiệu GL(V ) tập hợp tất tự đẳng cấu tuyến tính V Tập hợp GL(V ) với phép hợp thành ánh xạ lập thành nhóm gọi nhóm tuyến tính tổng qt V Phần tử đơn vị GL(V ) đồng cấu đồng idV Phần tử nghịch đảo f ∈ GL(V ) đẳng cấu ngược f −1 Nhóm GL(V ) Abel dim V = Giả sử cho sở khơng gian vectơ V Khi đó, đẳng cấu tuyến tính V đặt tương ứng với ma trận sở chọn Ma trận M (f.g) tích ma trận M (f ) f với ma trận M (g) g Do đó, ta đồng nhóm GL(V ) với nhóm GLn := GL(n, K) gồm tất ma trận vuông cấp n khả nghịch với phần tử lấy trường K Phép hợp thành GLn phép nhân ma trận thông thường, phần tử đơn vị GLn ma trận đơn vị cấp n, phần tử nghịch đảo X ∈ GLn ma trận nghịch đảo X −1 Với ≤ i ≤ n, i ∈ N, xét ánh xạ  q : GLi → GLn ,  X  X 7→  , In−i ∀X ∈ GLi , đó, In−i ma trận đơn vị cấp n − i ma trận không Khi đó, q đơn cấu Do đó, ta xem nhóm GLi nhóm nhóm GLn Bây giờ, ta xét số nhóm nhóm GL(n, Fp ), Fp trường nguyên tố có p phần tử Nhóm GL(n, Fp ) chứa số nhóm đặc biệt sau: Nhóm đặc biệt Với ≤ d ≤ p − 1, d ∈ N, ký hiệu SLdn (Fp ) = {w ∈ GL(n, Fp ) | (det w)d = 1} Khi đó, SLdn (Fp ) nhóm GL(n, Fp ) SLnp−1 (Fp ) = GL(n, Fp ) Ta gọi SLdn (Fp ) nhóm tuyến tính đặc biệt bậc d GL(n, Fp ) Nhóm tam giác Gọi Tn tập hợp tất ma trận tam giác với x1 x2 x2 x1 [k; ek+1 , , en ] = x1 x2 k! e +1 ek +1 pk y2p