Chng I 1 Môc lôc Më ®Çu Ch¬ng I Mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ gi¶i tÝch låi vµ bµi to¸n qui ho¹ch tuyÕn tÝnh 1 1 Mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n 7 1 1 1TËp afine 7 1 1 2TËp låi 8 1 1 3TËp låi ®a diÖn 10 1 1 4§i[.]
Mục lục Mở đầu Chơng I Một số khái niệm giải tích lồi toán qui hoạch tuyến tính 1.1 Một số khái niệm ………………… 1.1.1TËp afine…………….…………… ……………… … 1.1.2TËp låi………………………… …………………… … .8 1.1.3TËp låi ®a diện .10 1.1.4Điểm điểm tơng tơng đối 13 1.1.5Hàm lồi 15 1.1.6Tính chất cực trị 15 1.2 Phơng pháp đơn hình giải toán qui hoạch tuyến tính 16 1.2.1Mô hình học .16 toán 1.2.2Mô tả hình học phơng pháp đơn án cực hình 18 1.2.3Nghiệm sở phơng biên 18 1.2.4Thuật toán đơn hình .19 1.2.5Công thức đổi sở bảng đơn hình 26 1.2.6Vấn đề sở cực biên sở xuất phát .28 1.2.7Đối ngẫu cđa qui ho¹ch tun tÝnh 29 1.3 KÕt luËn 33 Ch¬ng II Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu 2.1 Thế toán tối u đa mục trúc tập tiêu 34 2.2 Mô hình toán học cấu nghiệm .39 2.2.1 Không gian với thứ tự phần 40 2.2.2 Nghiệm hữu hiƯu, nghiƯm h÷u hiƯu u…………… … .41 2.3 Lý giải toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu không gian giá trị 42 2.4 KÕt luËn 43 Chơng III Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu không gian giá trị 3.1 Tơng đơng hữu hiệu 45 3.2 Cơ sở lý thuyết 47 3.2.1 Phơng pháp xấp xỉ 48 3.2.2 Bài toán tìm đỉnh tập lồi đa diện 51 3.2.3 Phơng pháp phân hoạch đa diện thành đơn hình 60 3.3 Thuật toán xấp xỉ 72 3.4 Kết luËn 75 KÕt luËn chung…………………………………………………… 76 Phơ lơc……………………………………………………………… .77 Tµi liƯu trÝch …………………………………………… 109 dẫn Mở đầu Trong năm gần đây, phơng pháp tối u hoá ngày đợc áp dụng sâu rộng hiệu vào nghành kinh tế, kỹ thuật, công nghệ thông tin nghành khoa học khác Các phơng pháp tối u công cụ đắc lực giúp ngời làm định có giải pháp tốt định lợng định tính Một lớp toán tối u đợc ngiên cứu trọn vẹn lý thuyết lẫn thuật toán toán qui hoạch tuyến tÝnh (QHTT) Qui ho¹ch tuyÕn tÝnh tõ đời (vào cuối năm 30 kỷ XX) đà chiếm vị trí quan trọng tối u hoá Mô hình tuyến tính mô hình phổ biến thực tế phụ phuộc tuyến tính phụ thuộc đơn giản dễ hiểu Hơn nữa, vỊ mỈt lý thut chóng ta biÕt r»ng cã thĨ xấp xỉ với độ xác cao toán phi tuyến dÃy toán qui hoạch tuyến tính Nói cách khác, thuật toán giải QHTT công cụ quan trọng việc nghiên cứu giải toán phức tạp Thuật toán đơn hình Dantzig đề xuất từ 1947, đến phơng pháp đợc sử dụng rộng rÃi Mặc dù lý thuyết phơng pháp có độ phức tạp mũ Sau lớp toán qui hoạch tuyến tính, nhiều hớng nghiên cứu khác xuất nh qui hoạch lồi, qui hoạch toàn cục lý thuyết điều khiển tối u Bài toán qui hoạch đa mục tiêu đợc phát triển trở thành chuyên ngành toán học từ năm 1950 Giải đáp câu hỏi đặt mà qui hoạch tuyến tính không giải đợc, chẳng hạn nh công ty việc nâng cao chất lợng sản phẩm công ty trọng tới đa dạng hoá sản phẩm, già thành rẻ, doanh thu lớn,Khách hàng chọn mua hàng muốn hàng rẻ, vừa có chất lợng cao, vừa có hình thức đẹp Tóm lại, mục đích toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu tối u đồng thời nhiều hàm mục tiêu độc lập với miền chấp nhận đợc Do không gian giá trị lớp toán không đợc thứ tự toàn phần, nên khái niệm nghiệm thông thờng không thích hợp Trong qui hoạch đa mục tiêu, với khái niệm thứ tự phần, ta sử dụng khái niệm nghiệm hữu hiệu Một phơng án chấp nhận đợc đợc gọi nghiệm hữu hiệu không tồn phơng án chấp nhận đợc khác tốt nó, theo mục tiêu, mục tiêu khác không tồi Đầu kỷ XX, Pareto đà sử dụng khái niệm ông nghiên cứu phúc lợi thu nhập dân chúng Ông đà lập luận nh sau: "Nếu thu nhập nhóm dân c tăng lên, nhng thu nhập nhóm khác giảm xuống so sánh "phúc lợi" toàn xà hội Đó trờng hợp không so sánh đợc Nhng thấy rằng, phúc lợi xà hội tăng lên thu nhập nhóm ngời lớn lên, thu nhập nhóm khác không thÊp xng" Ta nhËn thÊy r»ng, theo quan ®iĨm cđa toán học, khái niệm nghiệm hữu hiệu mà dùng qui hoạch đa mục tiêu phù hợp với luận đề Pareto Khi p ( p2 ) hàm mục tiêu hàm tuyến tính miền ràng buộc tập lồi đa diện khác rỗng n R , ta nhận đợc toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu Cho tới nay, có nhiều thuật toán đa để xác định phần toàn tập nghiệm hữu hiệu toán, chẳng hạn: phơng pháp vô hớng hoá, phơng pháp tham số, phơng pháp đơn hình đa mục tiêu dạng cải biên, phơng pháp nón pháp tuyến (xem [6, 7, 8-9, 12, 17, 19, 21-22, 24-25]) Tuy nhiên, khối lợng tính toán thuật toán tăng nhanh kích thớc toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu (tức số ràng buộc miền chấp nhận, số chiều không gian định số hàm mục tiêu) tăng Trong năm gần nhiều nhà toán học đà chuyển sang nghiên cứu giải toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu không gian giá trị Trong báo cáo này, em trình bày thuật toán xấp xỉ giải toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu không gian giá trị H.P Benson, nội dung báo: "Hybrid Approach for Solving MultipeObjective Linear Programs in Outcome Space" Jota: Vol 98, NO 1, July, 1998 Trong báo cáo phần mục lục, mở đầu, phụ lục tài liệu trích dẫn có chơng: Chơng I: Một số khái niệm giải tích lồi toán qui hoạch tuyến tính Chơng II: Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu Chơng III: Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu không gian giá trị Nội dung ch¬ng nh sau: Ch¬ng I: Giíi thiƯu mét sè kiÕn thức giải tích lồi để áp dụng cho phần sau, phơng pháp đơn hình dùng để giải toán qui hoạch tuyến tính Chơng II: Giới thiệu tổng quát toán qui hoạch đa mục tiêu: mô hình toán học, khái niệm nghiệm hữu hiệu hữu hiệu yếu, lý giải toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu không gian giá trị Chơng III: Giới thiệu thuật toán xấp xỉ giải toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu không gian giá trị Chơng I Một số khái niệm giải tích lồi toán qui hoạch tuyến tính Bài toán qui hoạch tuyến tính có vai trò trợ giúp quan trọng bớc giải toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu Trong chơng này, trớc hết em xin nhắc lại số khái niệm cần dùng đến phần sau Phần tiếp chơng dành để trình bày phơng pháp đơn hình giải toán qui hoạch tuyến tính 1.1 Một số khái niệm 1.1.1-Tập affine n * Đờng thẳng qua điểm a ,b R tập hợp tất ®iĨm x Rn cã d¹ng x=λa+(1−λ ) b , víi mäi λ ∈ R * Mét tËp M chứa đờng thẳng qua điểm đợc gọi tập affine * Đoạn thẳng ®i qua ®iĨm a ,b∈ R n kÝ hiƯu lµ [ a,b ] , lµ tËp { x ∈ Rn : x= λa+( 1− λ) b , 0≤λ≤1 } for j:=0 to n f2.grdkq.Cells[j,i]:=''; f2.Show; tinh_tap_U(d,Ua,Ud,j,k); If j=1 then {điều kiện Ud rỗng} Begin f2.l1.Hide; for i1:=1 to sd begin f2.grdkq.Cells[0,i1-1]:='d '+inttostr(i1); for i2:=1 to n f2.grdkq.cells[i2,i1-1] :=floattostr(d[i1,i2]); end; End; If k=1 then {điều kiện Ua rỗng} begin i5:=1; if j-1=sd then {®iỊu kiƯn Ud=U} begin f2.grdkq.Hide; f2.l1.Show; end else begin f2.l1.Hide; For i:=1 to sd Begin for i1:=1 to j-1 if Ud[i1]=i then 2 begin tt:=i1; { đề phong phần tử Ud[1]=i} break; end else tt:=i1; if tt=j-1 then if iUd[tt] then begin f2.grdkq.Cells[0,i5-1] :='d '+inttostr(i5); for i2:=1 to n f2.grdkq.cells[i2,i5-1]:=floattostr(d[i,i2]); i5:=i5+1; end; End; End; end; If (j1) and (k1) then { ®iỊu kiƯn Ua & Ud khác rỗng} Begin f2.l1.Hide; i5:=1; For i:=1 to sd Begin for i1:=1 to j-1 if Ud[i1]=i then begin tt:=i1; break ; end else tt:=i1; if tt=j-1 then if iUd[tt] then begin f2.grdkq.Cells[0,i5-1]:='d ' +inttostr(i5); for i2:=1 to n f2.grdkq.cells[i2,i5-1] :=floattostr(d[i,i2]); i5:=i5+1; End; End; for i1:=1 to k-1 for i2:=1 to j-1 begin dinh_thu_k(d,Ua[i1],vt1); dinh_thu_k(d,Ud[i2],vt2); gt:=t(vt1,vt2); for i:=1 to n w[i]:=gt*d[Ua[i1],i]+(1-gt) *d[Ud[i2],i]; i4:=0; for i:=1 to m begin for i3:=1 to n vt3[i3]:=a[i,i3]; if abs(tich(w,vt3)-b[i])