Tính Lồi Của Metric Kobayashi Trên Đa Tạp Phức Taut.pdf

Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ QUỲNH NGA TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI H[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ QUỲNH NGA TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ QUỲNH NGA TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Tính lồi metric Kobayashi đa tạp phức taut" khơng có chép người khác Khi viết luận văn tơi có tham khảo số tài liệu, tất có nguồn gốc rõ ràng hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Nếu có vấn đề tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Thái Ngun, tháng năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Quỳnh Nga Xác nhận Xác nhận chủ nhiệm khoa Toán người hướng dẫn TS Nguyễn Thị Tuyết Mai i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Cô dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, trả lời thắc mắc giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ thành viên gia đình ln động viên, ủng hộ suốt thời gian qua Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tơi hồn thành chương trình học bảo vệ luận văn Bản thân suốt trình học tập nghiên cứu có nhiều cố gắng, nhiên thiếu sót chắn khó tránh Tôi mong thầy cô bạn đọc cho thiếu sót Thái Nguyên, tháng năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Quỳnh Nga ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp phức 1.2 Đa tạp phức taut 1.3 Khoảng cách Kobayashi đa tạp phức taut 2 Chương TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT 13 2.1 Metric Buseman – Kobayashi đa tạp phức taut 13 2.2 Tính lồi metric Buseman – Kobayashi đa tạp phức taut 17 KẾT LUẬN 32 Tài liệu tham khảo 33 iii LỜI MỞ ĐẦU Từ việc nghiên cứu metric Royden – Kobayashi khoảng cách Kobayashi đa tạp phức taut, Masashi Kobayashi chứng minh đạo hàm khoảng cách Kobayashi metric Buseman – Kobayashi Cụ thể định lý sau: Nếu M đa tạp phức taut DdM tồn DdM = FbM Nhờ kết Masashi Kobayashi chứng minh điều kiện cần đủ cho tính lồi của metric Royden – Kobayashi đa tạp phức taut sau: Nếu M đa tạp phức taut FM lồi dM (q, q ′ ) lim =1 q,q ′ →p d∗M (q, q ′ ) ′ q6=q Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại cách chi tiết, rõ ràng kết nghiên cứu Masashi Kobayashi tính lồi metric Royden – Kobayashi đa tạp phức taut Với mục đích trên, ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm chương Trong chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức đa tạp phức, đa tạp phức taut khoảng cách Kobayashi đa tạp phức taut Chương 2, chúng tơi trình bày số kiến thức bổ sung, bổ đề sở trình bày chi tiết, rõ ràng kết Masashi Kobayashi tính lồi metric Royden – Kobayashi đa tạp phức taut Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, giới thiệu số kiến thức sở đa tạp phức, đa tạp phức taut khoảng cách Kobayashi đa tạp phức Các kiến thức tham khảo tài liệu ([1]) 1.1 Đa tạp phức Định nghĩa Giả sử X không gian tô pô Hausdorff Cặp (U, ϕ) gọi đồ địa phương X , U tập mở X ϕ : U → Cn ánh xạ, điều kiện sau thỏa mãn: i) ϕ(U ) tập mở Cn ii) ϕ : U → ϕ(U ) đồng phôi Họ A = {(Ui , ϕi )}i∈I đồ địa phương X gọi tập đồ giải tích (atlas) X điều kiện sau thỏa mãn: i) {Ui }i∈I phủ mở X ii) Với Ui , Uj mà Ui ∩ Uj 6= ∅, ánh xạ ϕj ◦ ϕ−1 i : ϕi (Ui ∩ Uj ) → ϕj (Ui ∩ Uj ) ánh xạ chỉnh hình Xét họ atlas X Hai atlas A1 , A2 gọi tương đương hợp A1 ∪ A2 atlas Đây quan hệ tương đương tập atlas Mỗi lớp tương đương xác định cấu trúc khả vi phức X , với cấu trúc khả vi phức gọi đa tạp phức n chiều Ví dụ 1.1 ([1]) Giả sử D miền Cn Khi đó, D đa tạp phức n chiều với đồ địa phương {(D.IdD )} Ví dụ 1.2 ([1]) Đa tạp xạ ảnh Pn (C) Xét Ui = {[z0 : z1 : : zn ] ∈ Pn (C) |zi 6= 0} với i = 0, 1, , n Rõ ràng {Ui }ni=1 phủ mở Pn (C) Xét đồng phôi ϕi : Ui → Cn :   z0 zi−1 zi+1 zn [z0 : z1 : : zn ] → , , , , , zi zi zi zi Ta có ϕj ◦ ϕ−1 i : (z0 , , zi−1 , zi+1 , , zn ) →  zk zj  ; k = 0, , m; zi = k6=j n Rõ ràng ϕj ◦ ϕ−1 i ánh xạ chỉnh hình Vậy P (C) đa tạp phức n chiều gọi đa tạp xạ ảnh n chiều Ánh xạ chỉnh hình đa tạp phức Định nghĩa 1.1 ([1]) Giả sử M, N đa tạp phức Ánh xạ liên tục f : M → N gọi chỉnh hình M với đồ địa phương (U, ϕ) M đồ địa phương (V,ψ) N cho f (U ) ⊂ V ánh xạ ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V) ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa tương đương với với x ∈ M, y ∈ N , tồn hai đồ địa phương (U, ϕ) (V,ψ) x y tương ứng cho ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V) ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 1.2 ([1]) Giả sử f : M → N song ánh đa tạp phức Nếu f f −1 ánh xạ chỉnh hình f gọi ánh xạ song chỉnh hình M N Không gian tiếp xúc phân thớ tiếp xúc đa tạp phức Giả sử M đa tạp phức m chiều ∆ đĩa đơn vị C Giả sử (U, φ, ∆m đồ địa phương quanh x, tức U lân cận x φ : U → ∆ ánh xạ song chỉnh hình Đặt φ = (z , , z m ) Khi đó, (z , , z m ) hệ tọa độ chỉnh hình địa phương quang x Đặt z α = xα + iy α , xα y α giá trị thực Khi đó, (x1 , , xm , y , , y m hệ tọa độ địa phương thực quanh x, M xem đa tạp khả vi 2m chiều Giả sử Tx M không gian tiếp xúc M x Khi Tx M khơng gian vector thực 2m chiều         ∂ ∂ ∂ ∂ , , , , , ∂x1 ∂xm ∂y ∂y m (1.1) sở Tx M Ký hiệu Tx M ⊗R C phức hóa Tx M Khi đó, (1.1) sở khơng gian vector phức Tx M ⊗R C Đặt   ∂ ∂ ∂ = − i j , ≤ j ≤ m ∂z j ∂xj ∂y Ta ký hiệu Tx M =  m X  ξj j=1  ∂ ∂xj  ; ξj ∈ C x    Khi Tx M khơng gian tuyến tính phức m chiều Tx M ⊗R C, mà độc lập với cách chọn hệ tọa độ chỉnh hình địa phương (z , , z m ) Ta gọi Tx M không gian tiếp xúc đa tạp phức M x Đặt TM = [ Tx M (hợp rời) x∈M Ta định nghĩa phép chiếu π : T M → M điều kiện π(Tx M ) = x Khi T M có cấu trúc đa tạp phức 2m chiều cho π ánh xạ chỉnh hình Cụ thể hơn, giả sử (z , , z m ) hệ tọa độ chỉnh hình địa phương xác định tập mở U M Khi ta có     m  X ∂ j j −1 ; x ∈ U, ξ ∈ C ξ π (U ) = j   ∂x x j=1 Ánh xạ m X j=1 ξ j  ∂ ∂xj  ∈ π −1 (U ) 7→ (z (x), , z m (x), ξ , , ξ m ) ∈ C2m x hệ tọa độ chỉnh hình địa phương T M Ta gọi T M phân thớ tiếp xúc chỉnh hình đa tạp phức M Khơng gian phân thớ Ánh xạ liên tục π : E → X không gian Hausdorff gọi phân thớ K -vector bậc r điều kiện sau thỏa mãn: i) Với p ∈ X, Ep := π −1 (p) K -không gian vector r chiều (Ep gọi thớ p); ii) Với p ∈ X , tồn lân cận U p đồng phôi h : π −1 (U ) → U × K r thỏa mãn h(Ep ) ⊂ {p} × K r , hp xác định phép hợp thành hp : Ep → {p} × K r → K r đẳng cấu K -không gian vector (cặp (U, h) gọi tầm thường hóa địa phương) Đối với K -phân thớ vector π : E → X , E gọi khơng gian tồn thể, X gọi khơng gian đáy, ta thường nói E phân thớ vector X Ta ký hiệu phân thớ vector (E, π, X) P z j với z = (z , , z m ) ∈ Cm j=1 Chứng minh Giả sử {pn } , {qn } hai dãy D hội tụ đến Do tính cực trị fn nên ta tìm tn ∈ (0; 1) cho fn (0) = pn , fn (tn ) = qn δ(0, tn ) = d∗ (pn , qn ) Rõ ràng tn → n → ∞ Trước hết ta chứng minh f ′ (0) 6= Chọn hình cầu mở B(0; r) ⊂ D hình cầu tâm bán kính r nhỏ Do tính compact hình cầu đóng  r B 0; , ta tìm số C cho  r dB(0;r) (z1 , z2 ) ≤ C||z1 − z2 || với z1 , z2 ∈ B 0; Ta nhắc lại bất đẳng thức d∗D ≤ d∗B(0;r) Do đó, với n đủ lớn ta có bất đẳng thức δ(0, tn ) d∗D (fn (tn )), fn (0)) = tn tn dB(0;r) (fn (tn )), fn (0)) ≤ tn fn (tn )), fn (0) ≤ tn Điều có nghĩa f ′ (0) 6= thành phần thứ hội tụ đến thành phần cuối hội tụ đến f ′ (0) Để chứng minh f ánh xạ cực trị, ta nhắc lại metric F˜ trùng với metric F thơng thường Do đó, với ε > tồn ánh xạ chỉnh hình 18 ϕ : B → D cho F (f ′ (0)) ≤ < F (f ′ (0)) + ε, λϕ  ∂ = λϕ (f ′ (0)) đặt det(ϕ∗ )0 6= Theo định lý ánh ϕ(0) = 0, ϕ∗ ∂x xạ ngược ta chọn lân cận U thuộc B cho hạn chế ϕ|U  song chỉnh hình từ U đến tập mở V ∈ D Khơng tính tổng quát, ta giả sử pn , qn ∈ V , ϕ|U song chỉnh hình từ U đến tập mở V , tồn dãy p˜n , q˜n ∈ U cho ϕ(˜ pn ) = pn , ϕ(˜ qn ) = qn Với n, ta lấy (duy nhất) ánh xạ cực trị hn : ∆ → B vào hình cầu với p˜n q˜n cho p˜n = hn (0) q˜n = hn (sn ) với sn ∈ (0; 1) Chú ý p˜n , q˜n q˜n − p˜n tn thỏa mãn điều kiện lim p˜n = lim p˜n = lim = v 6= n→∞ n→∞ n→∞ tn dãy p˜n , q˜n hội tụ đến B q˜n − p˜n ϕ−1 (qn ) − ϕ−1 (pn ) lim = n→∞ tn tn −1 ϕ (fn (tn )) − ϕ−1 (fn (0)) → (ϕ−1 ◦ f ))′ (0) 6= = tn n → ∞ Do đó, dãy {hn } hội tụ đến ánh xạ cực trị h : ∆ → B Với n, hai ánh xạ ϕ ◦ hn : ∆ → D fn nối pn qn , tức ϕ ◦ hn (0) = ϕ(˜ pn ) = pn = fn (0), ϕ ◦ hn (sn ) = ϕ(˜ qn ) = qn = fn (tn ) Nhắc lại fn cực trị pn qn , δ(0, tn ) = d∗ (pn , qn ) = d∗ (ϕ ◦ hn (0), ϕ ◦ hn (sn )) ≤ δ(0, sn ) sn tn Vì fn hội tụ đến f tập compact nên ta có Điều có nghĩa tn ≤ sn ≤ qn − p n fn (tn ) − fn (0) = lim n→∞ n→∞ tn tn f ′ (0) = lim 19 ϕ ◦ hn (sn ) − ϕ ◦ hn (0) sn n→∞ sn tn = lim Nhưng ϕ ◦ hn (sn ) − ϕ ◦ hn (0) = (ϕ ◦ hn )′ (0) 6= 0, n→∞ sn lim dãy sn hội tụ đến số A > 1, đó, ta có tn f ′ (0) = A(ϕ ◦ hn (0))′ = Aϕ∗ (h′ (0)) Mặt khác, ϕ∗  ∂ ∂x1  = λϕ f ′ (0) nên Ah′ (0) = ∂ λϕ ∂x1 h ánh xạ cực trị nên FB (h′ (0)) = 1, ta có Aλϕ = 1≤A= < F (f ′ (0)) + ε λϕ Nhắc lại bất đẳng thức F (g ′ (0)) ≤ với g ∈ D(∆) Đặc biệt, F (f ′ (0)) ≤ ε > bất đẳng thức chọn tùy ý, ta có F (f ′ (0)) = Điều chứng tỏ f cực trị theo hướng f ′ (0) Để chứng minh đẳng thức định lý, ta nhắc lại qn − p n n→∞ tn f ′ (0) = lim δ(0, tn ) = Hơn nữa, f n→∞ tn Thêm vào đó, δ(0, tn ) = d∗ (pn , qn ) lim ánh xạ cực trị (tức F (f ′ (0)) = 1) nên F (f ′ (0)) δ(0, tn )/tn d∗ (qn , pn ) = = lim = ′ (0)|| ′ (0)|| n→∞ qn − pn n→∞ ||qn − pn || ||f ||f