Tính lồi và tối ưu hóa trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THẢO NGUYÊN TÍNH LỒI VÀ TỐI ƢU HĨA TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THẢO NGUN TÍNH LỒI VÀ TỐI ƢU HĨA TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chuyên ngành : Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS HOÀNG QUANG TUYẾN Đà Nẵng – Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thảo Nguyên MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu: Đóng góp đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG GIẢI TÍCH HÀM CƠ BẢN 1.1 TẬP LỒI TRONG KHÔNG GIAN TOPO TUYẾN TÍNH 1.1.1 Các lớp khơng gian topo tuyến tính 1.1.2 Tập lồi 1.1.3 Tính tách đƣợc tập lồi 15 1.2 ĐỐI NGẪU TRONG KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN 23 1.2.1 Hệ thống đối ngẫu h ng gian tuyến tính 24 1.2.2 Topo yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn 26 1.2.3 Không gian Banach phản xạ 31 1.2.4 Ánh xạ đối ngẫu 32 CHƢƠNG HÀM LỒI 37 2.1 HÀM LỒI 37 2.1.1 Định nghĩa tính chất 37 2.1.2 Hàm nửa iên tục dƣới 39 2.1.3 Hàm lồi nửa liên tục dƣới 41 2.1.4 Hàm liên hợp 45 2.2 DƢỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI 51 2.3 HÀM LÕM – LỒI 58 2.3.1 Điểm yên ngựa đẳng thức mini – max 58 2.3.2 Hàm yên ngựa 59 2.3.3 Định lý Mini – max 62 CHƢƠNG QUY HOẠCH LỒI VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 67 3.1 ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU 67 3.1.1 Trƣờng hợp hữu hạn ràng buộc 67 3.1.2 Ràng buộc dạng t án tử ồi 74 3.2 ĐỐI NGẪU TRONG QUY HOẠCH LỒI 81 3.2.1 Bài t án cực tiểu hóa ồi đối ngẫu 81 3.2.2 Định ý đối ngẫu Fenchel 88 3.2.3 Ví dụ 94 3.3 CÁC ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU 96 3.3.1 Bài t án xấp xỉ tốt 96 3.3.3 Bài t án điể xa 104 KẾT LUẬN 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (Bản sao) MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tính ồi tối ƣu hóa nhiều đến ột tr ng nội dung t án học có iên quan n giải tích, phƣơng trình vi phân tuyến tính, giải tích ồi, tối ƣu phi tuyến, h ng gian t p tuyến tính Tài iệu tính ồi tối ƣu hóa thƣờng xuất rời rạc nên ngƣời nghiên cứu đề tài c n hệ thống ại nhiều iến thức t án học iên quan đến giải tích, đồng thời phát triển sở í thuyết t án học ang tính trừu tƣợng Tr ng q trình nghiên cứu đề tài này, t i thấy đƣợc nội dung t án học xuất nhiều há quan trọng tr ng việc tiếp cận bƣớc đ u ch ngành giải tích t án học đại Vì t i chọn đề tài: “Tính ồi tối ƣu hóa tr ng h ng gian Banach” để học hóa uận tốt nghiệp ch bậc ca ình Mục tiêu nghiên cứu Tiếp cận n ch c í thuyết tính ồi tối ƣu tr ng h ng gian Banach, hệ thống iến thức từ đến nâng cao Hiểu biết sở í thuyết giải tích tr ng h ng gian Banach nói riêng h ng gian hác ang tính trừu tƣợng Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu t i dùng hệ thống tài iệu có iên quan đến nội dung “tính ồi tối ƣu hóa tr ng h ng gian Banach”, tỏ chứng sáng inh cách ứng dụng Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu + Đối tƣợng nghiên cứu: Các tính chất, định í tập ồi tr ng h ng gian t p tuyến tính, hà + Phạ ồi, quy h ạch ồi vi nghiên cứu: Nghiên cứu h ng gian t p tuyến tính định chuẩn, h ng gian Banach Đóng góp đề tài Đề tài đƣợc sử dụng nhƣ ngƣời bƣớc đ u quan tâ ột tài iệu tha dành ch sinh viên n giải tích đại Cấu trúc luận văn Luận văn gồ : ph n đ u, ba chƣơng, ết uận, tài iệu tha Chƣơng 1: trình bày giải tích hà , tập ồi tr ng h ng gian t p tuyến tính, đối ngẫu tr ng h ng gian tuyến tính định chuẩn Chƣơng 2: trình bày định nghĩa tính chất hà nửa iên tục dƣới hà ồi nửa iên tục dƣới, giới thiệu định nghĩa tính chất dƣới vi phân hà ngựa định ý ồi, hà ồi, hà õ – ồi, điể yên ngựa, hà yên ini – max Chƣơng 3: trình bày điều iện tối ƣu, đối ngẫu tr ng quy h ạch ồi ứng dụng tr ng ý thuyết đối ngẫu tr ng t án xấp xỉ tốt nhất, t án điể xa hay định ý đối ngẫu T and CHƢƠNG GIẢI TÍCH HÀM CƠ BẢN 1.1 TẬP LỒI TRONG KHƠNG GIAN TOPO TUYẾN TÍNH Tr ng ph n này, ta tập trung định nghĩa tính chất tập ồi tr ng h ng gian tuyến tính v hạn - chiều 1.1.1 Các lớp khơng gian topo tuyến tính Nền tảng chung giải tích hà tính Kh ng gian t p tuyến tính à cấu trúc h ng gian t p tuyến ột h ng gian tuyến tính với t p làm cho phép cộng phép nhân v hƣớng iên tục Nói cách khác, topo tƣơng thích với cấu trúc đại số h ng gian tuyến tính hay topo tuyến tính Dƣới đây, nh c ại ột số tính chất h ng gian t p tuyến tính, h u hết tr ng số đƣợc suy trực tiếp từ định nghĩa Ký hiệu X ột trƣờng v hƣớng  uận này, trƣờng  u n u n trƣờng số thực (Tr ng thả số phức ột h ng gian tuyến tính h ặc trƣờng ) Định lý 1.1 Ánh xạ x  x  x0 x   x với   0,   ánh iên tục hai chiều (có hà Đặc biệt, ngƣợc iên tục) X lên ột t po tuyến tính đƣợc xác định biết sở ân cận gốc, từ ta có đƣợc điể ột s ng hác x  X , ỗi ân cận điể cận gốc D đó, dễ dàng thấy ột sở ân cận ch tất x có dạng x+V, với V lân ột ánh xạ tuyến tính hai h ng gian topo tuyến tính iên tục hi hi iên tục gốc Liên quan đến tính iên tục hà số tuyến tính, có định ý đặc trƣng sau Định lý 1.2 Nếu f hàm tuyến tính khơng gian topo tuyến tính điều sau tương đương: i) f liên tục ii) Nhân f, ker f = {x; f ( x)  0} tập đóng iii) Có lân cận gốc, f bị chặn Một h ng gian tuyến tính hữu hạn chiều sở hữu tách đƣợc D đó, ột t p tuyến tính ỗi h ng gian t p tuyến tính tách đƣợc n chiều, đẳng cấu với  n n Định nghĩa 1.3 Ánh xạ p : X  thỏa đƣợc gọi nửa chuẩn X ãn tính chất sau: i) p( x)   p( x), x  X ,   ii) p( x  y)  p( x)  p( y) , x, y  X Từ điều iện i) ii), ta thấy iii) p( x)  , x  X ạnh, iii)’ p( x)  , iv) Nếu p có tính chất x  X \{0} p đƣợc gọi chuẩn X Một ớp đặc biệt h ng gian t p tuyến tính với tính chất ph ng phú ớp h ng gian topo ồi địa phƣơng; ớp khơng gian topo tuyến tính với t p có tính chất với tập ồi Ta biết bất ỳ t p tuyến tính đƣợc sinh Đặt P  {pi ; i  I } tính X Với ỗi ph n tử tồn ồi địa phƣơng ột sở ân cận ột h ng gian ột họ nửa chuẩn ột họ nửa chuẩn tr ng h ng gian tuyến ỗi x  X xét họ tập c n X V ( x)  {Vi ,i , ,i , ( x); k  k * , i1, i2 , , ik  I ,   0}, x  X với Vi ,i , ,i , ( x)  {u  X ; pi (u  x)   , j  1, 2, , k} k j Ta dễ dàng thấy V ( x), x  X ột sở ân cận t p phƣơng  P X Các tính chất t p  P đƣợc đặc trƣng (1.1) (1.2) ồi địa ột cách giải tích nhờ hàm nửa chuẩn P Định lý 1.4 Topo lồi địa phương  P topo tuyến tính thơ X bảo đảm tất nửa chuẩn họ P liên tục Ta nh c ại nửa chuẩn p : X  iên tục với t p  P tồn k  p1 , p2 , , pn  P cho p( x)  k max pi ( x), x  X (1.3) 1i  n Điều có nghĩa ánh xạ tuyến tính T : X  Y , với X,Y không gian ồi địa phƣơng với t p  P  Q , tƣơng ứng, iên tục hi hi q  Q, kq  p1 , p2 , , pn  P cho q(Tx)  kq max pi ( x), x  X (1.4) 1i  n Một dãy {xn } điể từ X  P -hội tụ x0  X p( x1  x ), p( x2  x ), , p( xn  x ), (1.5) hội tụ với Một tập M  X  P - bị chặn hi hi hi hi dãy số ỗi p  P ỗi nửa chuẩn thuộc họ P x1 , x2  X bị chặn M, tức à, hi hi, với ọi p  P, tồn ột số k p  cho p( x)  k p , x  M T p ồi địa phƣơng  P chuẩn P thỏa tách đƣợc hi hi ãn tính chất sau: với ỗi họ nửa ọi x  X \{0} có p  P cho p ( x)  Kh ng gian tuyến tính X với chuẩn gọi h ng gian tuyến tính định chuẩn Đặc biệt, có đƣợc t p ột h ng gian tuyến tính định chuẩn ta đặt P  { } Mặt hác, t p ột h ng gian tuyến 94 Điều iện điể yên ngựa đƣợc biểu diễn ại nhƣ sau sup inf f  x   g  Ax  y   ( y, y*) xX y *Y * yY  max inf inf f  x   g  Ax  y   ( y, y*) y *Y * xX yY  max inf y *Y *  x , y X Y Nhƣ vậy, f  x   g  y   ( Ax  y, y*) ột cách tự nhiên đƣa ta đến toán điể yên ngựa  X  Y   Y * hàm Lagrange L L ( x, y; y*)  f  x   g  y   ( Ax  y, y*),   x, y   X  Y , y* Y * Dễ dàng chứng inh ột điể  x0 , y0 * ột điể yên ngựa H X  Y *  x0 , Ax0 , y0 * ột điể  X  Y   Y * Bây giờ, ta đặt hà nhiễu ạn định (3.96) yên ngựa L Fr : X  Y  *, r  , xác Fr  x, y   f  x   g  Ax  y   r y  F  x, y   r y , ta 2 2 có Hamilton H r ( x, y*)  sup( y, y*)  Fr  x, y  ; y  Y  Hàm Lagrangian tƣơng ứng L r ( x, y; y*)  L ( x, y; y*)  r Ax  y , gọi hàm Lagrange bổ sung, có điể Lagrange tƣơng ứng L yên ngựa nhƣ L Hamiltonian H r vi với y* với r t án thuận tiện tr ng việc tì iế điể ỗi r  D đó, thuật yên ngựa đƣợc đƣa 3.2.3 Ví dụ Tr ng ph n này, ta inh họa ết tổng quát cách thả uận ví dụ cụ thể tốn tối ƣu hóa ết hợp với phƣơng trình đạ hà riêng Ví dụ 3.58 Ở tr ng suốt tr ng ph n tiếp the , ý hiệu Ω bị chặn n với biên  ,  Xem xét toán     ột số iền ột đa tạp  n  1  chiều ớp C   grad u dx   hu dx; u  K    (3.97) 95 h  L2    K  u  H 01    ; u  } Tr ng định ý đối ngẫu Frenche (xe X *  H 1    , g   I K (hà   định ý 3.53) đặt X  H 01    , tập K) grad u dx   hu dx, u  H 01     Nói cách khác, f  u   u H 01      h, u  với  ·,· í hiệu hà s ng tuyến tính đối ngẫu H 01    đối ngẫu H 1    (tƣơng ứng, tích vơ hƣớng L2    ) D đó, ta có    f * ( p*)  sup ( p*, u )  u   h, u  ; u  H 01    2  sup ( p *  h, u )  u ; u  H 01     p *  h 2  H 1    Mặt khác 0, nÕu p*  K * g * ( p*)  inf (u, p); u  K    , nÕu p*  K * tr ng K *  { p*  H 1   ; ( p*, u)  0, u  K}  { p*  H 1    ; p*  0} Lƣu ý p*  phải đƣợc hiểu the nghĩa tƣơng tự phân phối Ta nhận xét  K * nón cực iên quan đến nón K D vậy, t án đối ngẫu iên quan đến t án trƣớc đƣợc thể nhƣ sau  max  p * h H 1     ; p*  H 1    , p*  (3.98) d đó, ta có đẳng thức inf  1 1   grad u dx   hu dx; u  K    inf  p *  h  2   H 1     ; p*  K *  (3.99) Vì hàm Hamilton H  u, p * ết hợp với t án chúng đƣợc ch 96 H (u, p*)  sup ( p*, v)  f  u   ( p*, u )  I K * ( p*)  ( p*, u )  f u  vK ta suy (xe định ý 3.53) cặp  u , p * thỏa p* f  u  , ãn hệ tối ƣu p *  I K  u   D đó, u  h  p * trª n , (3.100) p *  I K  u   Từ định nghĩa I K , suy p*  tập hợp {x ; u  x   0} , p*  tập bổ sung Bài tốn 3.100 đƣợc phát biểu ại nhƣ sau u  h u  h u 0 trª n , trª n  x  ; u  x   0 , trª n , u 0 (3.101) trª n  Ta có đƣợc t án giá trị biên tự d 3.3 CÁC ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU Ta thả uận dƣới ột vài ứng dụng ý thuyết đối ngẫu ột số t án tối ƣu hóa ồi cụ thể 3.3.1 Bài toán xấp x tốt Cho C tập c n ồi h ng gian định chuẩn tuyến tính thực X Một ph n tử z  C gọi xấp xỉ tốt từ x  X vào C x  z  x u , u  C (3.114) Kí hiệu PC  x   z  C; x  z  x  u , u  C Ánh xạ đa trị x  PC  x  , x  X , gọi ánh xạ chiếu không gian X lên C Rõ ràng, C ồi PC  x  tập c n ồi C (có thể rỗng) với x  X x  z  d  x, C  với tất z  PC  x  ỗi 97 Bây giờ, ta thiết ập tính chất đơn giản iên quan đến ph n tử xấp xỉ tốt ột ph n tử tr ng nửa đƣờng thẳng xác định x z  PC  x  Định lý 3.65 Nếu C tập không trống X, x  C , z  PC  x  , (i) z  PC   x  1    z  với    0,1 (ii) z  PC   x  1    z  với   , tập C lồi Chứng minh (i) Nếu    0,1 , ta có  x  1    z  z  x  z  1    x  z  x  y  x  ( x  1    z  x  y  x    x  1    z    x  1    z  y với ọi y  C , tức à, z  PC   x  1    z     0,1 (ii) Nếu z  PC  x    , ta có 1  1   x  1    z  z   x  z   x   y  1   z        x  1    z  y, y  C theo tính ồi C suy  1 y  1   z  C    Điều ch thấy z  PC   x  1    z  Rõ ràng ột ph n tử xấp xỉ tốt nghiệ tối ƣu t án cực tiểu hóa 1   u  x  I C  u  ; u  X  2  tr ng x ph n tử ch trƣớc X Theo nhận xét 3.2, ta suy z tồn x0 *  X * tùy thuộc ột xấp xỉ tốt x từ C, 98 f  z   f *  x0 *   x0 *, u  , u  C tr ng f  u   u  x , u  X Nhƣ (3.115) ột hệ trƣờng hợp này, ta có định ý sau Định lý 3.66 Một phần tử z  C xấp xỉ tốt x  X từ phần tử tập lồi C tồn x0 *  X * cho (i) x0 *  z  x (ii) ( x0 *, u  x)  z  x , u  C Chứng minh Thật vậy, ta có   f * ( x0 *)  sup ( x0 *, u )  u  x ; u  X 2  ( x0 *, x)  sup ( x0 *, u )  u ; u  X  ( x0 *, x)  x0 * 2   điều iện tối ƣu (3.115) trở thành zx  x0 *   x0 *, u  x  , u  C 2 Hơn nữa, với u  z , ta có  zx (3.116)  x0 *   , suy điều iện (i) D đó, từ bất đẳng thức (3.116), suy điều iện (ii) Ngƣợc ại, điều iện (i) (ii) có nghĩa z ột xấp xỉ tốt nhất, ta có z  x  ( x0 *, u  x)  x0 * u  x  z  x u  x , u  C d ta có (3.114) Hệ 3.67 Nếu z  C xấp xỉ tốt x  X phần tử tập lồi C, mối quan hệ mini-max sau thỏa mãn x  z  max ( x, u  x)  max ( x, u  x) uC Nhận xét 3.68 Nói chung, x ồi C, ta có đƣợc ột x* 1 uC x* 1 ối quan hệ ột điể nằ (3.117) h ảng cách d  từ tập ini- ax yếu cách thay " in" "inf" trƣờng hợp có t án đối ngẫu có nghiệ 99 Tiếp the , ƣu ý ột số trƣờng hợp đặc biệt, tr ng điều iện (i) (ii) có dạng đơn giản Cụ thể à, C ột nón ồi với đỉnh gốc, điều iện (ii) tƣơng đƣơng với cặp điều iện sau đây:  ii  ' ( x0 *, u)  0, u  C , tức à, x0 *  C  ii  '' ( x0 *, x)  Đây tha xz số Từ điều iện (ii), thay x0 *  x0 * , ta đƣợc  x0 *, x  nu   x  z , u  C, n  , C nón Vì vậy, ta h ng thể có  x0 *, u   với u  C , tức à,  ii  ' thỏa ãn Hơn nữa, từ tính chất  ii  '  ii  '' suy x  z  ( x*, x  z )  x0 * x  z  x  z 2 d  x0 *, x  z   z  x D đó, ta có  ( x0 *, z )  ( x0 *, x)  ( x0 *, x  z )  ( x0 *, x)  x  z Mặt hác, từ (ii), ch  x0 * u  , ta có bất đẳng thức ( x0 *, x)  x  z , nên suy tính chất  ii  '' Ngƣợc ại hiển nhiên Khi C h ng gian tuyến tính, điều iện  ii  ' tƣơng đƣơng với  x0 *, u   , u  C , vì, tr ng trƣờng hợp này, C  C Xấp xỉ tốt thuộc C  S  x, d  tồn hi hi tồn siêu phẳng tách đƣợc C Hơn nữa, tập tất xấp xỉ tốt ồi trùng với gia tập với bất ỳ siêu phẳng tách Khi gia rỗng, siêu phẳng tách siêu phẳng tựa đƣợc ch phƣơng trình ( x0 *, u  x)  x  z , u  X Bây giờ, ta nghiên cứu tồn xấp xỉ tốt Cho d  inf  u  x ; u  C (3.118) 100 Thứ nhất, rõ ràng un  x  d , có ột dãy hội tụ tr ng C, hi giới hạn ph n tử xấp xỉ tốt Tập Bất ỳ tập c ột dãy cực tiểu, tức  un n  C ại đƣợc gọi ột tập c ột pact xấp xỉ pact xấp xỉ đóng Ví dụ, bất ỳ tập ồi đóng tr ng h ng gian Banach ồi c pact xấp xỉ Thật vậy, bất ỳ dãy cực tiểu ột dãy Cauchy, d hội tụ Ta thấy   inf  u  x ; u  C  inf u  x ; u  C  S  x; d    (3.119) tr ng S  x; d     { y  X ; y  x  d   },   Định lý 3.69 Nếu tập lồi C có tồn   , mà tập C  S  x; d    compact yếu, x có xấp xỉ tốt C Chứng minh Theo (3.119), nh c ại c ột hà nửa iên tục dƣới pact đạt cận dƣới Tr ng trƣờng hợp hà dƣới yếu (xe ệnh đề 1.47) tập c ột tập nửa iên tục pact yếu C  S  x; d    Hệ 3.70 Trong không gian Banach phản xạ, phần tử sở hữu xấp xỉ tốt với tập lồi đóng Chứng minh Tập C  S  u; d  1 ồi đóng bị chặn, d đó, c tính phản xạ (xe pact yếu nhờ định ý 1.59) Hệ 3.71 Trong không gian Banach, phần tử sở hữu xấp xỉ tốt với tập đóng, lồi hữu hạn chiều Chứng minh Tr ng h ng gian hữu hạn chiều, tập ồi đóng bị chặn c d đó, c pact yếu pact và, 101 Nhận xét 3.72 Sự tồn xấp xỉ tốt tập ồi đóng đặc trƣng h ng gian phản xạ: ph n tử sở hữu xấp xỉ tốt với ột h ng gian Banach có tính chất ỗi ỗi tập ồi đóng hi hi phản xạ Rõ ràng đặc tính tƣơng đƣơng với tính chất tục đạt cận ột tính chất ỗi hà tuyến tính iên ình hình c u đơn vị Tr ng tính xấp xỉ tốt nhất, ột vai trò quan trọng sinh h ng gian ồi chặt, tr ng hi tốn tồn có vai trị tƣơng tự sinh h ng gian phản xạ Định lý 3.73 Nếu X lồi chặt, phần tử x  X sở hữu xấp xỉ tốt với tập lồi C  X Chứng minh Giả sử âu thuẫn rằng, tồn hai xấp xỉ tốt hác nhau, z1 , z2 C Vì tập xấp xỉ tốt ồi ta suy  z1  z2  xấp xỉ tốt D đó, d  d  x, C  , ta có  d  x  z1  x  z2  x  2 z1  z2  và, d The quan điể ột x  z1   ồi chặt (xe 1 d 2d  x  z1   2d  d x  z2   ệnh đề 1.64 (ii)), ta có x  z2   d x 2 z1  z2   âu thuẫn Nhận xét 3.74 Tính chất đặc trƣng h ng gian ồi chặt: nếu, tr ng ột h ng gian Banach X, ph n tử sở hữu ỗi tập ồi (nó đủ ch đ ạn), X ồi chặt ột xấp xỉ tốt với 102 Thật vậy, ta giả sử X h ng ồi chặt, tồn x, y  X , x  y , với x  y   x  y   Hơn nữa,  x  1    y  1,   0,1 D đó, gốc xấp xỉ tốt với tập ồi đóng  x, y  với điều này, ỗi ph n tử tập này, âu thuẫn với tính 3.3.2 Định lý đối ngẫu Toland Điều đáng ngạc nhiên định ý đối ngẫu Fenche rộng ch t án cực tiểu h ng ồi có dạng inf  g  u   f  u  (3.120) uX tr ng f g hà ồi, thƣờng nửa iên tục dƣới h ng gian topo tuyến tính X Chính xác hơn, ta có định ý tiếng sau thƣờng đƣợc gọi định ý đối ngẫu T and Định lý 3.75 (Toland) Cho X X* khơng gian tơpơ tuyến tính với đối ngẫu thơng qua hàm song tuyến tính ·, · Cho f : X  g : X  hai hàm nửa liên tục dưới, lồi thường, cho f *: X *  , g*: X *  liên hợp chúng Thì inf  g  u   f  u   inf  f *  v   g *  v  uX (3.121) vX * Chứng minh Lƣu ý đ u tiên, the ỗi   , định nghĩa f* g*, với g  u   f  u    với tất u  X f *  v   g *  v    , v  X * D đó, inf  g  u   f  u   inf  f *  v   g *  v  uX Ngƣợc ại, vX * f * v  g * v   với f *  v   g *  v    , v  X * , d (xe tất v X *, ệnh đề 2.9) f  u   f ** u   g ** u     g  u    , u  X Ta có, d g  u   f  u    , u  X , ang ại ta có 103 inf  g  u   f  u   inf  f *  v   g *  v  uX Điều phải chứng vX * inh Định lý 3.76 Theo điều kiện định lý 3.106, giả sử u0 nghiệm toán (P), tức là, u0  arg inf g  u   f  u  uV Thì, u0 *  f  u0  nghiệm toán đối ngẫu inf  f *  v   g *  v  (3.122) vX * tức là, u0 *  arg inf  f *  v   g *  v  (3.123) vX * Hơn nữa, trường hợp này, f  u0   g  u0  , f * (u0 *)  g * (u0 *) Chứng minh Ta có g  u0   f  u0   g  u   f u  , u  X Điều ang ại, f  u   f  u0   g  u   g  u0  , u  X và, u0 *  f  u0  , nên u  u0 , u0 *  g  u0   g  u  , u  X D đó, u0 * g  u0  Ta có, g  u0   g * (u0 *)  u0 , u0 * , f  u0   f * (u0 *)  u0 , u0 * The định lý 3.75, u0 nghiệ toán (3.120), g  u0   f  u0  g * (u0 *)  f * (u0 *) , tr ng u0 *  f  u0  Trên thực tế, điều tr ng trƣờng hợp f g không ồi Định lý 3.77 Giả sử u0 nghiệm  P  f  u0    Thì, u0 *  f  u0  nghiệm toán đối ngẫu inf  f *  v   g *  v  vX * Hơn nữa, ta có f  u0   f * (u0 *)  u0 , u0 * (3.124) g  u0   g * (u0 *)  u0 , u0 * (3.125) 104 Chứng minh Ta có g  u0   f  u0   g  u   f u  , u  X , u0 *  f  u0  , ta có u  u0 , u0 *  g  u0   g  u  , u  X D đó, v0 *  g  u0  suy (3.124); (3.125) 3.3.3 Bài toán điểm xa Mục đích ph n thiết ập đặc trƣng tập xa chất đóng t án điể ột số tập iên quan Ta iể xa t án xấp xỉ tốt (xe Cho X tra ột tính ối iên hệ ục 3.3.2) ột h ng gian tuyến tính định chuẩn ch A ột tập không trống X Xét t án tối ƣu hóa  A1  gọi t án điể max x  y , x  X , yA xa Tƣơng ứng t án xấp xỉ tốt  A2  x  y , x  X , yA nhƣng h u hết tính chất hai t án khác Đ u tiên, nhận xét t án  A1  đƣợc xét ch tập ồi A, có nghiệ tồn nghiệ tr ng ba ồi nó, conv A Ngay tr ng trƣờng hợp tập A ồi hi t án  A2  ột t án tối ƣu hóa ồi, tốn  A1  h ng ồi t án tối ƣu hóa D.C, tức là, cực tiểu hóa hiệu hai hà ồi Dễ thấy t án điể thể có hai dạng sau đây: P1 (cực đại hóa P2 (cực tiểu hóa ột hà ột hà ồi ph n bù ồi h ặc I A  x   x  y , yA ột tập ồi) ột tập ồi) Thật vậy, tốn  A1  viết ại nhƣ sau  A1 ' xa  A1  có x X 105  A1 '' D đó, ta có đƣợc I A  x   t, x  y t x X ột số điều iện tối ƣu cách sử dụng nón chuẩn t c A   dƣới vi phân chuẩn Tr ng ph n tiếp the , ta nh c ại điể xa tƣơng tự nhƣ ột số hái niệ ột số hái niệ iên quan đến t án đƣợc biết đến ý thuyết xấp xỉ tốt Kí hiệu  A  x   sup x  y , x X (3.126) yA gọi hà h ảng cách xa tập A, QA  x   x  A; x  x   A  x , đƣợc gọi ánh xạ điể (3.127) xa (h ặc kháng chiếu) với A Các ph n tử QA  x  đƣợc gọi xa điể đƣợc gọi x X x thông qua ph n tử tập A Tập A ột tập xa QA  x    với x  X Rõ ràng ánh xạ  A ột hà ồi iên tục Hơn nữa,  A  x1    A  x2   x1  x2 , x1 , x2  X D đó,  A dƣới vi phân  A  x   S X *  0,1 với Mặt hác, dùng đối ngẫu T and (xe (3.128) ỗi x  X ục 3.3.4.) ta có đẳng thức sau  A  x   supx *  x   s A ( x*); x *  1 tr ng s A hà Nh c ại tựa A, tức à, sA ( x*)  supx *  u  ; u  A ột số tính chất ồi đơn giản  A  x   conv A  x  (3.129)  A   x  1    y    A  x  , y  QA  x  (3.130) y  QA   x  1    y  y  QA  x    (3.131) 106 Định lý 3.78 Một tập không trống bị chặn A khơng gian tuyến tính định chuẩn X tập xa tập liên hợp Kd  A  cS  0; d  (3.132) đóng với d  Chứng minh Cho x ột ph n tử dính A  cS  0; d  , tức à, tồn hội tụ đến x đó, với ột dãy  un n  A cho xn  un  d với ỗi   tồn n  cho x  un  d   với ọi n  Do ọi n  n Bây ột ph n tử x  QA  x  , ta thấy x  x  x  un , n  , giờ, A tập xa, d ột dãy  xn n x  x  d   , với ỗi   D đó, x  x  d , tức à, x  A  cS  0; d  Ngƣợc ại, với ột ph n tử tùy ý x  X , ta đặt d   A  x  Ta giả sử d   A  x   hi hi A   x Với ỗi n  * tồn un  A cho x  un  d – Nhƣng ta có n với d1  n n 1  x  un   x  un  cS  0; d   A  cS  0; d  ọi n  * , cho n  d Vì  un n x  A  cS  0; d  D * bị chặn, ch qua giới hạn ta có đó, A  cS  0; d  đóng tồn x  A cho x  x  d , tức là, x  QA  x  D đó, tập A tập xa 107 KẾT LUẬN Luận văn “Tính ồi tối ƣu hóa tr ng h ng gian Banach” tập trung nghiên cứu ột số vấn đề sau Trình bày giải tích hà , tập ồi tr ng h ng gian t p tuyến tính, đối ngẫu tr ng h ng gian tuyến tính định chuẩn, t p yếu h ng gian tuyến tính định chuẩn, h ng gian Banach phản xạ Trình bày định nghĩa tính chất hà tục dƣới hà nửa iên ồi nửa iên tục dƣới, giới thiệu định nghĩa tính chất dƣới vi phân hà định ý ồi, hà ồi, hà õ – ồi, điể yên ngựa, hà yên ngựa ini – max Trình bày điều iện tối ƣu tr ng trƣờng hợp hữu hạn ràng buộc, ràng buộc dạng t án tử Trình bày đối ngẫu tr ng quy h ạch ồi t án cực tiểu hóa ồi đối ngẫu, định ý đối ngẫu Fenche vi dụ Trình bày ứng dụng tr ng ý thuyết đối ngẫu tr ng t án xấp xỉ tốt nhất, t án điể xa hay tr ng định ý đối ngẫu T and Luận văn đƣợc h àn thành dƣới hƣớng dẫn giúp đỡ th y TS H àng Quang Tuyến nghiên cứu, việc nghiê xin bày tỏ òng biết ơn sâu s c đến quan tâ nghiê túc thân Tác giả hƣớng dẫn nhiệt thành nhƣng h c th y với gia đình tác giả TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Viorel Barbu _ Teodor Precupanu, Convexity and optimization in Banach spaces (4ed., Springer, 2012) [2 Nguyễn Thị Bạch Ki 2008, Giáo trình phương pháp tối ưu, lý thuyết thuật toán NXB Bách h a Hà Nội [3 H àng Quang Tuyến 2013, Toán Tối học Sƣ phạ u Bài giảng ớp ca học t án, Đại Đà N ng [4 H àng Tụy 2000, Convex analysis and global optimization Viện t án học Việt Na ... TẬP LỒI TRONG KHƠNG GIAN TOPO TUYẾN TÍNH 1.1.1 Các lớp không gian topo tuyến tính 1.1.2 Tập lồi 1.1.3 Tính tách đƣợc tập lồi 15 1.2 ĐỐI NGẪU TRONG KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH... i chọn đề tài: ? ?Tính ồi tối ƣu hóa tr ng h ng gian Banach? ?? để học hóa uận tốt nghiệp ch bậc ca ình Mục tiêu nghiên cứu Tiếp cận n ch c í thuyết tính ồi tối ƣu tr ng h ng gian Banach, hệ thống... gian tuyến tính định chuẩn đ y đủ đƣợc gọi ột h ng gian Banach Nếu Y ột h ng gian Banach, L(X,Y) ột h ng gian Banach Đặc biệt, Y   , thấy X *  L( X , ) đƣợc gọi đối ngẫu X, ột h ng gian Banach