Tài liệu chuyên đề tổng hợp toán cao cấp

lOMoARcPSD|9783286 Tổng hợp kiến thức Toán Cao Cấp (AAAclass) Toán cao cấp (Trường Đại học Ngoại thương) Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 TOÁN CAO CẤP CHƯƠNG I MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH ĐẠI SỐ MA TRẬN I.1 MA TRẬN KHÁI NIỆM a) Ma trận cấp m  n : bảng gồm mn số aij xếp thành n cột dạng aij phần tử dòng i  a11 a A   21    am1 a12 m dòng a1n  a22 a2n    am2 amn  cột j ma trận A ; i số dòng, j số cột phần tử aij 1  Ví dụ A    ma trận cấp  , ma trận ta có phần tử 4  a13  3, a21  Người ta thường viết tắt ma trận dạng A   aij  m n b) Ma trận vuông: ma trận có số dịng m số cột trận cấp n  n ta nói ma trận vng cấp n n, thay nói ma 1  Ví dụ B    ma trận vuông cấp hai 5  Trong ma trận vuông cấp n, người ta gọi phần tử a11 , a22 , , ann phần tử thuộc đường chéo ma trận c) Ma trận đơn vị: ma trận vng có tất phần tử thuộc đường chéo 1, phần tử cịn lại 0,kí hiệu In 1 0  1  , I3  0  ma trận đơn vị cấp 2, cấp Ví dụ I2    0  0  d) Ma trận tam giác: ma trận vuông có tất phần tử nằm phía dưới, phía đường chéo 1 1  2   Ví dụ C  0  , D   0   7 0 0 0  ma trận tam giác 0  10  Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 e) Ma trận chéo: ma trận vng có tất phần tử nằm ngồi đường chéo 1 0  Ví dụ E  0  ma trận chéo 0  f) Ma trận cột: ma trận có cột g) Ma trận dịng: ma trận có dịng 1    Ví dụ F  2 , G  1  ma trận cột, ma trận dòng 3  h) Ma trận khơng: ma trận có tất phần tử 0, kí hiệu Omn 0 0  Ví dụ O23    0 0  i) Ma trận bậc thang: ma trận thoả mãn hai điều kiện sau - dịng có tất phần tử (nếu có) nằm phía dịng có phần tử khác 0; - phần tử khác (tính từ trái sang phải) dòng nằm bên phải so với phần tử khác dòng Ví dụ 1 0 M 0  0 5 1 0 0   , N  0  10 11 12  0 0   0 0 ma trận bậc thang CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN , B   bij  a) Tổng hai ma trận cấp A   aij  ma trận m n m n C , c  aij  bij cấp cho C   cij  m n ij Khi ta kí hiệu C  A  B 1 2   3  ,B   Ví dụ Cho hai ma trận A     4   5   2  Thế C  A  B     1  Chú ý: Hai ma trận cộng với chúng có cấp b) Tích số với ma trận Tích Cho số  ma trận A   aij  m n B cấp với  với ma trận A ma trận A cho B   bij  , bij   aij Khi ta kí hiệu B   A Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 1 2  ,   2 4  Thế B  A    8  Ví dụ 10 Cho ma trận A   4 c) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A   aip  ma trận C m k , B   bpj  Tích ma trận A với ma trận kn cho C   cij  mn , cij  B k  aipbpj p1 Khi ta kí hiệu C  AB  3 1 2  , B   1  Ví dụ 11 Cho hai ma trận A    4     c11 c12  Thế C  AB    ma trận vng cấp hai Ta tính phần tử  c21 c22  Ta có C c11  1.2  ( 2).( 1)  3.4  16, c12  1.3  ( 2).1  3.2  7, c21  4.2  0.( 1)  2.4  16, c22  4.3  0.1  2.2  16 16  Vậy C    16 16  Chú ý: - Hai ma trận nhân với số cột ma trận thứ số dòng ma trận thứ hai - Muốn tìm phần tử dịng i , cột j ma trận tích C  AB , ta nhân phần tử dòng i ma trận A với phần tử cột j ma trận B cộng tích lại d) Phép chuyển vị Ma trận thu từ A cách viết dòng Cho ma trận A   aij  m n t A thành cột gọi ma trận chuyển vị A kí hiệu A Khi A t ma trận cấp n  m 1 4 1 2    t Ví dụ 12 Cho ma trận A    Thế A   2      t t Hiển nhiên ta có ( A )  A e) Luỹ thừa ma trận vuông Khi A ma trận vuông, ta có thêm phép tốn luỹ thừa: Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 Luỹ thừa bậc n ma trận A tích n ma trận A , nghĩa A n  AA A ( n lần) 1  Ví dụ 13 Cho ma trận A    Thế 0  1 n   1  1 26  n  A   , A  0 27  , , A   n 0      Chú ý: Thứ tự thực phép toán ma trận tương tự số: nhân trước, cộng sau Phép trừ A  B xem hệ phép cộng phép nhân với số: A  B  A  ( 1) B Ví dụ 14 Hãy thực phép tốn sau  2 1  2 5     a)  1   0     ; b)   4   3 2   1   3 1    4 3    3   t 3  2  1 t 2  2 3      c)   ; d )   ; e )  2 4   2  1     1    3 CÁC TÍNH CHẤT Giả sử phép tốn thực Khi ta có tính chất sau phép tốn ma trận A  B  B  A, A  O  A, A  (  A )  O, A  ( B  C )  ( A  B)  C, A( BC )  ( AB )C, A  A, AI  IA  A,( ) A   (  A ), (   ) A   A   A,  ( A  B )   A   B I.2 ĐỊNH THỨC KHÁI NIỆM a) Định thức cấp một: định thức ma trận vuông cấp A   a11  Khi ta có det A  a11  a11 Ví dụ A  4  , detA  4; B   3 ,det B  3 a a  b) Định thức cấp hai: định thức ma trận vuông cấp hai A   11 12   a21 a22  a11 a12  a11a22  a21a12 Khi det A  a21 a22 Ví dụ 3 2 3 ,det A  2.7  4.3  2;  ( 3).2  5.4  26 A  4  Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286  a11  c) Định thức cấp ba: định thức ma trận vuông cấp ba A   a21  a31 a12 a22 a32 Khi a11 a12 det A  a21 a31 a22 a32 Ví dụ a13  a23  a33  a13 a a a  a12 a23 a31  a13 a21a32  a23  11 22 33  a31a22a13  a32 a23 a11  a33 a21a12 a33 1 2.1.1  ( 1).2.( 3)  3.0.2   ( 3).1.3  2.2.2  1.0.( 1)  3 Ví dụ Tính định thức sau a) 3 2 ; b) 3 2 3 ; c) 4 2 1 d) Định thức bù - phần bù đại số Cho A   aij  n n ma trận vng cấp n Khi đó, định thức thu từ A cách xố dịng i cột j gọi định thức bù phần tử aij , kí i j hiệu Dij Số Aij  ( 1) Dij gọi phần bù đại số phần tử aij 1  Ví dụ Cho ma trận A  4  Ta có 7  a11  1, D11   3, A11  ( 1)11 D11  3 a12  2, D12   6, A12  ( 1)1 D12  Ví dụ a) Xét ma trận   a11  2, D11  7, A11  ; A , 4  a12  3, D12  4, A12  4 a11 A11  a12 A12   det A b) Tương tự, xét ma trận a11  2, D11  3, A11  3;  1  a12  1, D12  6, A12  6; A    ; a13  3, D13  3, A13  3;  3  a11 A11  a12 A12  a13 A13   det A Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 e) Định thức cấp n Cho A   aij  n n ma trận vuông cấp n Khi định thức A gọi định thức cấp n tính cơng thức det A  a11 A11  a12 A12   a1n A1n 2 1 2 Ví dụ Cho ma trận vuông cấp bốn A   2  0 3 1  1  2  Thế det A  A11  A12  A13  A14 2 2 2 Mà A11   31; A13  1  25; A14   2  11 3 2 3 2 3 Vậy det A  2 3 1 Ví dụ Tính định thức cấp bốn 1 2 CÁC TÍNH CHẤT Định thức cấp có tính chất sau det A  det A t (Hai ma trận chuyển vị có định thức nhau) Định thức có dịng Định thức có hai dịng giống tỉ lệ với Nhân tử chung dịng đem ngồi định thức Định thức ma trận tam giác tích phần tử thuộc đường chéo Nếu đổi chỗ hai dịng định thức đổi dấu Định thức khơng hay đổi, cộng vào dịng phần tử tương ứng dòng khác nhân với số Các tính chất thay chữ “dịng” chữ “cột” Cơng thức định nghĩa định thức cấp n thay dịng dịng khác, nghĩa det A  ai1 Ai1  ai2 Ai2   ain Ain , i  1,2, , n 10 Tương tự ta có cơng thức khai triển định thức theo cột bất kì: det A  a1 j A1 j  a2 j A2 j   anj Anj , j  1,2, , n 3 1  1  Ví dụ det    det 2  ; 0  0;  3    1 4 6 Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 Ví dụ 10 10 2 2 Ví dụ 11 2 0  0 ;  1.4.6;  2.4.7 2 3 ; 1  4 7  4 7  8 12 0 2 3 3 Ví dụ 12 1  A31  A32  A33  3 A12  A22  A32 Sử dụng tính chất trên, ta dễ dàng tính định thức cấp cao Ví dụ 13 4  1 2 7 2 8 10 7 10 13 Ví dụ 14 Hãy tính định thức sau  1 2 7 0 4 0 36 1 2 a) ; b) ; c ) 3 2 2 0  1 2 7 0 4 0 40  160 1 1 1 1 1 ; d) 1 1 1 1 I.3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO KHÁI NIỆM Định nghĩa: Cho A   aij  ma trận vuông cấp n n n Ma trận kiện AB  BA  In gọi ma trận nghịch đảo 1   2  ;B   Ví dụ A     1   1  Khi ta có AB  BA  I2 nên B  A 1 1 A B thỏa mãn điều kí hiệu B  A 1 1 Chú ý: Nếu B  A A  B Do ta cịn nói A B ma trận nghịch đảo Định nghĩa: Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo A1 ta nói A ma trận khả nghịch, hay khả đảo ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH Định lý: Để ma trận vuông A khả nghịch, cần đủ det A  1  Ví dụ Ma trận A    khả nghịch (theo ví dụ 1) ta thấy det A   1  Ví dụ Các ma trận sau có khả nghịch khơng? Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 2  2 a)  ; b)  4   1   2 1  Ví dụ Tìm a để ma trận A  1 a 0 1  2   ; c)    3   0  khả nghịch  PHƯƠNG PHÁP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Có hai phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ma trận vuông a) Phương pháp định thức: (sử dụng phần bù đại số) Để tìm ma trận nghịch đảo ma trận vuông A   aij  n n , ta cần: Tính det A - Nếu det A  kết luận ma trận A khơng có ma trận nghịch đảo - Nếu det A  A có ma trận nghịch đảo A1 Tính phần bù đại số tất phần tử aij  A Lập ma trận phụ hợp từ phần bù đại số thu PA   Aij  n n Tính ma trận nghịch đảo A 1  det A PAt 1  Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A    1  Ta có det A  1; A11  3, A12  1, A21  2, A22  t  1 1  1  2  ;A    PA      2  2     1  1 1   Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A  2 2 3  Ta có det A  6; A11  11, A12  12, A13  7, A21  7, A22  6, A23  5, A31  1, A32  0, A33  1; t   11 11 12 7  11 12 7       1 PA   7 ; A  7 5  6    1  1 1  1   1 6 1   5 6  Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau phương pháp định thức 4 2  a) A   ; 3  1  b) B  1 1  0  b) Các phép biến đổi sơ cấp ma trận bất kì: Ta gọi phép biến đổi sau phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận bất kì: Đổi chỗ hai dịng tuỳ ý ma trận Nhân tất phần tử dòng với số khác Cộng vào dòng phần tử tương ứng dòng khác nhân với số Tương tự ta có phép biến đổi sơ cấp cột ma trận Ví dụ 1 2  1  1  0   A  3 0 3     1 1 3 5  0 2  1 1  1  0 7     0 25 21 6  0    0 25 21 6  0 2 1 7 4 7 3 1 2 1 7 25 21 0 1   6   6  1  6   0 c)Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp biến đổi sơ cấp: , ta lập ma trận mở rộng Để tìm ma trận nghịch đảo ma trận vng A   aij  n n có dạng  A In  Sau biến đổi sơ cấp dịng ma trận thành ma trận có dạng  In B Nếu phép biến đổi thực B  A 1 1  Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A    phép biến đổi sơ cấp dòng 1  Lập ma trận mở rộng biến đổi sơ cấp dòng, ta 1  1  1 2  A I2       1  0 1  0 1  Vậy  2 A 1     1  1 2    Ví dụ 10 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A  3  phép biến đổi sơ 1 1  cấp dòng Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 Vậy 1,050,98   0,05  1,05 Ví dụ a) Tính gần 1,032,04 x3 y2 b) Tính gần giá trị hàm số f ( x, y)  ( x0 , y0 )  (998 ; 101,5) ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI Cho hàm hai biến z  f ( x, y ) có đạo hàm riêng z'x , z'y Ta gọi đạo hàm riêng cấp Rõ ràng chúng hàm hai biến nên lại có đạo hàm riêng Đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp gọi đạo hàm riêng cấp hai hàm số ban đầu Ta có đạo hàm riêng cấp hai sau đây:  z'x x  z"x ,  z'x  y  z"xy ' ' ;  z'y x  z"yx ,  z'y  y  z"y ' ' với tên gọi : đạo hàm riêng cấp hai theo x hai lần; đạo hàm riêng cấp hai theo x theo y; đạo hàm riêng cấp hai theo y theo x; đạo hàm riêng cấp hai theo y hai lần Các đạo hàm riêng cấp hai cịn kí hiệu 2 z x2 , 2 z 2 z 2 z , , yx xy y2 Ví dụ Hàm số z  x3  y2  xy có đạo hàm riêng cấp z'x  x2  y, z'y  2 y  x Ta tính tiếp đạo hàm riêng cấp hai: z"  x, z"xy  1; z"yx  1, z"  2 x y Ta nhận thấy đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp nên ta có z"xy  z"yx Do đó, ví dụ sau ta cần tính đạo hàm riêng cấp hai: z" , z"xy , z" x y y Ví dụ 10 Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số z  x ' y 1 , z'y  x y ln x Giải Ta có hai đạo hàm riêng cấp một: zx  yx Ta tính tiếp đạo hàm riêng cấp hai: z"  y( y  1) x y 2 ; z"xy  x y 1  yx y 1 ln x ; z"  x y ln2 x x y Ví dụ 11 Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số a) z  e xy x b) z  ln   c) z  arctg( xy) d) z  x3  y3  xy  y 18 Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 VI PHÂN CẤP HAI Vi phân cấp hai hàm hai biến z  f ( x, y ) biểu thức có dạng: d2 z  d( dz )  z" dx2  z"xy dxdy  z" dy2 x y Ví dụ 12 Hàm số z  x3  y2  xy có đạo hàm riêng cấp hai: z"  x, z"xy  1; z"yx  1, z"  2 x y Vậy, vi phân cấp hai hàm số d2 z  xdx2  2dxdy  2dy2 Ví dụ 13 Tính vi phân cấp hai hàm số a) z  arctg x y b) z  ln( x2  y2 ) c) z  xy2  x3 y3 d) z  sin( x2  y2 ) III.3 CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN KHÁI NIỆM Cho hàm số f ( x, y ) xác định tập hợp D, M0 ( x0 , y0 )  D Ta nói M0 điểm cực đại hàm số f ( x, y ) điểm M(x,y) nằm xung quanh M0 , M  M0 , ta có f ( M )  f ( M0 ) hay f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) Tương tự ta có khái niệm điểm cực tiểu thay bất đẳng thức f ( M )  f ( M0 ) bất đẳng thức f ( M )  f ( M0 ) Điểm cực đại, cực tiểu gọi chung điểm cực trị Ví dụ Xét hàm số f ( x, y)  x2  y2  x  , điểm M0 (1,0)  D  R2 Giả sử M(x,y) điểm thuộc tập xác định, nằm xung quanh điểm M0 , M  M0 Ta có f ( M )  f ( x, y )  x2  y2  x  3; f ( M0 )  f (1,0)  Suy f ( M )  f ( M0 )  x2  y2  x   ( x  1)2  y2  0, M  M0 Vậy, f ( M )  f ( M0 ) nên M0 điểm cực tiểu hàm số cho ĐIỀU KIỆN CÓ CỰC TRỊ a) Điều kiện cần: Nếu f ( x, y ) có cực trị M0 ( x0 , y0 )  D đạo hàm riêng M0 phải 0: f x' ( M0 )  f y' ( M0 )  Ví dụ Hàm số cho ví dụ có đạo hàm riêng: z'x  x  2; z'y  y  z'x (1,0)  2.1   0; z'y  2.0  Nhận xét: Điều ngược lại không đúng, nghĩa hàm hai biến có đạo hàm riêng điểm M0 chưa điểm điểm cực trị hàm số Ta đưa tên gọi sau - Điểm mà đạo hàm riêng gọi điểm dừng 19 Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 b) Điều kiện đủ Giả sử M0 ( x0 , y0 )  D điểm dừng hàm số f ( x, y ) có đạo hàm riêng cấp hai " ( M0 ), C  f "2 ( M0 ) A  f "2 ( M0 ), B  f xy x y Khi đó: - Nếu A B  0, A  hàm số đạt cực tiểu M0 B C - Nếu A B  0, A  hàm số đạt cực đại M0 B C - Nếu A B  hàm số khơng có cực trị M0 B C - Nếu A B  khơng có kết luận B C M0 hàm số Ví dụ Tìm cực trị hàm số z  x3  y3  xy Giải Ta có tập xác định hàm số cho D  R2 - Ta tính đạo hàm riêng cấp để tìm điểm dừng z'x  x2  y; z'y  y2  x Suy   ' y  x2 y  x2  zx  3 x  y           '  z y  3 y2  x  ( x2 )2  x   x( x3  1)   Từ ta có hai nghiệm x  x  ;   y  y  Do ta thu hai điểm dừng M1(0,0), M2 (1,1)  D - Ta tính đạo hàm riêng cấp hai điểm dừng xét xem chúng có thoả mãn điều kiện đủ hay khơng Ta có z"x2  x; z"xy  3; z"y2  y Tại điểm dừng M1(0,0) A  z"x2 ( M1 )  6.0  0; B  z"xy ( M1 )  3; C  z"y2 ( M1 )  6.0  Do A B 3   9  Vậy điểm M1 không điểm cực trị hàm số cho B C 3 Tại điểm dừng M2 (1,1) A  z"x2 ( M2 )  6.1  6; B  z"xy ( M2 )  3; C  z"y2 ( M2 )  6.1  Do A B 3   27  0; A   B C 3 Vậy điểm M2 điểm cực tiểu hàm số cho Khi ta có zmin  z(1,1)  13  13  1.1  1 20 Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 CÁC BƯỚC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN Tìm tập xác định Tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp hàm số cho  z'   x để tìm điểm dừng Giải hệ phương trình  '  z y  Tính đạo hàm riêng cấp hai điểm dừng xét dấu định thức cấp hai tạo chúng Kết luận cực trị hàm số cho tính cực trị (nếu có) Ví dụ Tìm cực trị hàm số z  x4  y4  x2  xy  y2 Giải – Tập xác định hàm số cho D   – Tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp hàm số cho z'x  x3  x  y , z'y  y3  x  y z''  12 x2  , z''xy  2 , z''  12 y2  x y  '  zx  – Tìm điểm dừng: Giải hệ  ' ta tìm ba điểm dừng  z y  M1(1,1) , M2 ( 1, 1) , M3 (0,0) – Tại điểm M1 , M2 ta có A = 10 > 0, B = - 2, C = 10, A B 10 2   96  B C 2 10 Vậy M1 , M2 hai điểm cực tiểu với zmin  z( M1 )  z( M2 )  2 – Tại điểm M3 ta có A = - 2, B = - 2, C = - 2, A B  nên ta chưa có kết luận B C Ta xét điểm M3 định nghĩa Ta có z( M3 )  Tại điểm nằm xung quanh M3 , chẳng hạn điểm M ( x, y) với x  y  n   1 1 Z ,      n >   n n  n2  n2  1 1 Tại điểm M '( x, y) với x  , y   Z  ,     n n n n n Suy z( M3 )  z( M ) , z( M3 )  z( M ') Vậy điểm M3 không điểm cực trị hàm số cho Ví dụ Tìm cực trị hàm số b) z   x  a) z  xy  x5  y5 x c) z = x2 + xy + y2 - 3x - 6y ; y y d) z = x3 + y3 + 6xy 21 Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 III.4 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA HÀM HAI BIẾN KHÁI NIỆM Trong mục III.3 ta xét tốn tìm cực trị hàm hai biến z = z(x,y), biến số x, y khơng có điều kiện ràng buộc Ta gọi cực trị tự hay cực trị không điều kiện Ở mục ta xét tốn tìm cực trị hàm hai biến z x, y bị ràng buộc với với điều kiện Ta nói hàm số z  f ( x, y) đạt cực đại điểm M0 ( x0 , y0 ) với điều kiện  ( x, y)  tồn lân cận D điểm M0 cho f ( M )  f ( M0 ) với điểm M  D, M  M0 ,  ( M )  Thơng thường phương trình  ( x, y)  cho ta đường cong C Như ta so sánh f ( M0 ) với f ( M ) điểm M nằm C mà thơi Tương tự ta có khái niệm cực tiểu với điều kiện ĐIỀU KIỆN CÓ CỰC TRỊ a) Điều kiện cần: Giả sử M0 ( x0 , y0 ) điểm cực trị hàm số z  f ( x, y) với điều kiện  ( x, y)  , f ( x, y) ,  ( x, y) hàm số có đạo hàm riêng liên tục Khi tồn số  cho f x' ( x0 , y0 )   x' ( x0 , y0 )  f y' ( x0 , y0 )   'y ( x0 , y0 )  (1)  ( x0 , y0 )  Số  gọi nhân tử Lagrange Hàm số L( x, y)  f ( x, y)   ( x, y) gọi hàm số Lagrange b) Điều kiện đủ: Giả sử điểm M0 ( x0 , y0 ) thoả mãn (1) Ta gọi M0 điểm dừng tốn cực trị có điều kiện Ta chuyển tốn tìm cực trị hàm số z  f ( x, y) với điều kiện  ( x, y)  thành tốn tìm cực trị khơng điều kiện hàm số Lagange Xét vi phân cấp hai hàm số L(x,y) điểm M0 : d2 L( M0 )  L" ( M0 )dx2  L"xy ( M0 )dxdy  L" ( M0 )dy2 x y dx, dy bị ràng buộc điều kiện d ( M0 )   x' ( M0 )dx   'y ( M0 )dy  Khi đó: - Nếu d2 L( M0 )  M0 điểm cực tiểu có điều kiện hàm số cho - Nếu d2 L( M0 )  M0 điểm cực đại có điều kiện hàm số cho Ví dụ Tìm cực trị hàm số z = – 4x – 3y với điều kiện x2  y2  Giải Ta có hàm số Lagrange L( x, y)   x  y   ( x2  y2  1) Do L'x  4  2 x , L'y  3  2 y L"  2 , L"xy  , L"  2 x y Giải hệ L'x  , L'y  , L'  ta tìm hai điểm dừng 22 Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 3 4 3  M1  ;  , 1  ; M2   ;   , 2   5 5 5  - Tại M1 ta có vi phân cấp hai d2 L( M1 )  21dx2  21dx2  5( dx2  dy2 )  Vậy M1 điểm cực tiểu có điều kiện hàm số cho với zmin  z( M1 )  - Tại M2 ta có vi phân cấp hai d2 L( M2 )  22dx2  22dx2  5( dx2  dy2 )  Vậy M2 điểm cực đại có điều kiện hàm số cho với zmax  z( M2 )  11 Ví dụ Tìm cực trị hàm số z = x + 2y với điều kiện x2  y2  III.5 ỨNG DỤNG BÀI TỐN CỰC TRỊ VÀO KINH TẾ Ví dụ Cho hàm lợi nhuận xí nghiệp loại sản phẩm   RCT  lợi nhuận, R doanh thu, C tổng chi phí gồm chi phí cố định f ( khơng phụ thuộc vào số lượng sản phẩm), chi phí biến thiên cQ (c chi phí trung bình cho sản phẩm, Q sản lượng), t thuế sản phẩm, T tổng thuế Giả sử P = a – bQ (a, b > 0) Khi ta có   aQ  bQ2  ( c  t )Q  f Bài toán đặt là: - Xí nghiệp muốn xác định mức sản lượng Q để lợi nhuận đạt cực đại - Nhà nước muốn xác định mức thuế t sản phẩm để tổng thuế đạt cực đại Ta giải toán cho trường hợp cụ thể: a = 10, b = 1, c = 2, f = Khi hàm lợi nhuận   10Q  Q2  (2  t )Q  a) Trước tiên ta đứng cương vị xí nghiệp, xem t tham số  hàm biến theo Q Khi ta có 8t (0  t  8) ,  '  2  8t (0  t  8) Vậy hàm lợi nhuận đạt cực đại Q  Q  t  t2 Do b) Ta xác định mức thuế: Với Q  Q T  tQ   2t   t , T '   t  , T "  1  T'  Vậy tổng thuế đạt cực đại t  t  (thoả mãn < t < 8)  '  2Q   t ,  '   Q  Khi ta có Q  Q  , P  P  a  bQ  10        20   6.2   Ví dụ Cho hàm lợi nhuận cơng ty sản phẩm   R  C  PQ  wL  rK  lợi nhuận, R doanh thu, C chi phí, L lượng lao động, w tiền lương cho lao động, K tiền vốn, r lãi suất tiền vốn, P đơn giá bán sản phẩm Giả sử Q hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng Q  L1 / K / Ta tìm L, K để lợi nhuận đạt tối 23 Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 đa cho trường hợp w = 1, r = 0,02, P = Khi ta có hàm hai biến với đạo hàm riêng   L1 / K /  L  0,02 K  'L  L2 / K /  ,  'K  L1 / K 2 /  0,02 2 / 2 / L K ,  ''   L1 / K 5 / K 3 ' ' Tìm điểm dừng cách giải hệ  L  0,  K  ta L = 50, K = 2500 Xét đạo  ''L2   L5 / K / ,  ''LK  hàm riêng cấp hai điểm dừng ( L0 , K0 )  (50,2500) ta có A A B 1 1 0, B  , C ,  0 75 7500 187500 B C 18750000 Vậy lợi nhuận đạt tối đa L = 50, K = 2500 với  max  50 Ví dụ Giả sử xí nghiệp sản xuất loại sản phẩm bán hai thị trường với đơn giá sản phẩm Cho biết chi phí sản xuất xí nghiệp C  q12  q1q2  q22  q2  , q1 , q2 lượng sản phẩm bán hai thị trường Tìm q1 , q2 để lợi nhuận xí nghiệp   R  C đạt cực đại Ví dụ Một công ty sản xuất loại sản phẩm tiêu thụ hai thị trường riêng biệt Cho biết hàm cầu hai thị trường P P Qd1  80  , Qd2  80  , hàm tổng chi phí C(Q )  Q2  30Q  10 , P1, P2 đơn giá thị trường, Q tổng sản lượng cơng ty Tìm khối lượng sản phẩm Q1 , Q2 công ty cung cấp cho thị trường để lợi nhuận cao Ví dụ Cho hàm lợi ích U  C1C2 , C1, C2 số tiền tiêu dùng cuối thời kì thứ nhất, thứ hai Giả sử lãi suất cuối thời kì thứ r = 0,5%, tổng thu nhập cuối thời kì I  C1  C2 Ta cần tìm C1, C2 để hàm lợi ích U đạt cực đại 1r Giải Đây tốn tìm cực trị hàm số U với điều kiện ràng buộc I  C1  Do ta xét hàm số Lagrange L( C1 , C2 )  C1C2    I  C1  Ta có  C2  1 r C2  1,005  C2  L'C  C2   , L'C  C1  , L'  I  C1  1,005 1,005 L" C12  , L"C C  , L"  C2 Giải hệ phương trình L'C1  , L'C1  , L'  ta tìm điểm dừng: C1  I I I I I ; C2  1,005 ;   1,005  M0  ;1,005  2 2 2 24 Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 Vi phân cấp hai điểm dừng d2 L( M0 )  2dC1dC2   C dC22  (vì dC1 , dC2 bị ràng 1,005 buộc điều kiện d  I  C1     dC1  dC2  ) 1r 1r   I I I2 ; C2  C2  1,005 Khi Umax  1,005 2 Ví dụ Cho hàm chi phí xí nghiệp C( L, K )  wL  rK , w = 400 tiền Vậy U đạt cực đại C1  C1  lương lao động, r = 0,01 lãi suất vốn vay Giả sử xí nghiệp phải sản xuất Q0  1000 sản phẩm hàm sản phẩm Q  L1 / K / Tìm L K để C đạt cực tiểu HD Cần tìm cực tiểu hàm chi phí C với điều kiện ràng buộc Q  Q0 Ví dụ Một người dự kiến dùng 130 đơn vị tiền để mua hai loại hàng hố có giá P1  , P2  Biết hàm hữu dụng hai loại hàng U ( x1 , x2 )  ( x1  2)( x2  1) , x1 , x2 khối lượng hai loại hàng Hãy xác định x1 , x2 để hàm hữu dụng đạt giá trị lớn BÀI TẬP CHƯƠNG III 3.1 Tính đạo hàm riêng hàm số sau a) z  x y x y c) z  y2 e2x  y b) z  xe xy 3.2 Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số sau a) z  cos( x2  y2 ) b) z  xye x c) z  xy x y d) z  ln x2  y2 3.3 Tính vi phân cấp một, cấp hai hàm số sau a) z  x2  xy  y2 b) z  xy x y c) z  ln(3 x  y) 3.4 Tìm cực trị hàm số sau b) z  e x a) z   x2  y2 c) z  xy  1  x y  y2 d) z  x3  y3  x2  y  12 x  3.5 Tìm cực trị với điều kiện hàm số sau b) f ( x, y)  x2  y2 , x  y  10 a) f ( x, y)  xy , x  y  100 c) f ( x, y)  x  y , xy  64 d) f ( x, y)   x2  y2 , x  y  3.6 Giả sử người tiêu dùng mua hai loại hàng hoá Cho biết hàm hữu dụng hai loại hàng U ( x, y)  ( x  2)2 ( y  3)2 , x, y khối lượng hai loại hàng hố a) Tìm hàm hữu dụng biên theo loại hàng hố b) Tính giá trị hữu dụng biên theo loại hàng hố thứ người mua loại hàng đơn vị khối lượng 3.7 Một công ty sản xuất hai loại hàng hố có hàm cầu 25 Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 Q1  280  Giả sử tổng chi phí xác định 1 P1  P2 , Q2  420  P1  P2 5 5 C(Q )  40Q1  180Q2  Q12  Q1Q2  Q22 Tìm mức sản lượng để công ty thu lợi nhuận tối đa 3.8 Một công ty sử dụng hai nguyên liệu đầu vào để sản xuất Giả sử sản lượng Q 1 12 x13 x22 mức nguyên liệu đầu vào x1 , x2 xác định công thức Q( x1 , x2 )  Cho biết giá hai loại nguyên liệu đầu vào p1 , p2 , cịn giá bán sản phẩm cơng ty q a) Hãy xác định hàm lợi nhuận b) Tìm mức nguyên liệu đầu vào x1 , x2 để lợi nhuận lớn CHƯƠNG IV TÍCH PHÂN IV.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH KHÁI NIỆM a) Nguyên hàm Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) F’(x) = f(x) Ví dụ Hàm số F(x) = sin x nguyên hàm hàm số f(x) = cosx F’(x) = (sinx)’ = cosx = f(x) Tương tự ta có hàm số G(x) = sin x – 7, h(x) = sin x + 10 nguyên hàm hàm số f(x) = cosx Nhận xét Hàm số f(x) có ngun hàm có vơ số ngun hàm, ngun hàm khác số b) Tích phân bất định Tập hợp tất nguyên hàm hàm số f(x) gọi tích phân bất định kí hiệu  f ( x )dx Như vậy, f(x) có nguyên hàm F(x) tích phân bất định  f ( x )dx  F ( x)  C Ví dụ a)  cos xdx  sin x  C BẢNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN x  1   x dx     C ,   1 ax x  C a dx  ln a b)   3x dx  x3  C dx  ln x  C x  sin xdx   cos x  C  e dx  e  C  cos xdx  sin x  C  cos2 x  tan x  C  sin2 x   cot x  C dx x x dx 26 Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 dx    1 x2 dx   x2  arctan x  C  arcsin x  C x  arctan  C, a  2 a a a x sin axdx   cos ax  c, a  dx a e ax f ' x  dx  ln f x   C f x    cos axdx  1a sin ax  c, a  dx  eax  c, a  a CÁC TÍNH CHẤT  f '( x )dx  f ( x )  C ( a  const )     f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx af ( x )dx  a f ( x )dx Ví dụ Tính tích phân sau a)   x3  x2  x dx c) dx b) ' 3  x  e x  dx x   d)   cos x  s in4x dx  sin2 x cos2 x Ví dụ Tính tích phân sau a)  tgxdx   f ( x)dx   f ( x) b) 2x   x2  1dx c) 4x   x2  dx d) dx  ex  CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH a) Phương pháp tích phân phần  u dv  uv   v du Cách đặt u, dv: “ U lốc ác trời E sin cos mời đê vê ” Ví dụ Tính tích phân sau phương pháp tích phân phần b)   x  1 cos xdx a)  x2 ln xdx c)  xe2x dx b) Phương pháp đổi biến số d)   x  1 s in2xdx  f x dx   f xt  x t dt ' x  xt  , với t biến số Các bước thực hiện: - Chọn biến số mới, tính vi phân - Viết tích phân ban đầu theo biến số tính tích phân thu theo biến số - Trả kết biến số ban đầu 27 Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 Ví dụ Tính tích phân sau phương pháp đổi biến số a) c) dx  x ln2 x b) sin x   cos2 x x  x2 dx 2008 d)  x 1  x  dx dx IV.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC CƠ BẢN b  f x dx  F x  b a  F b   F a  a F(x) nguyên hàm f(x) Ví dụ Tính tích phân xác định sau a)  3 x  b)  x  dx  cos2 xdx d) x3  x  x  dx x2  x  x2  x  x2  0 CÁC TÍNH CHẤT b   c) b (1)  cf ( x )dx  c f ( x )dx dx b b b a a a 2)  [ f ( x )  g( x )]dx   f ( x )dx   g( x )dx a b c a b a a c (3)  f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx a (4) Nếu f(x) hàm số chẵn (nghĩa f (  x )  f ( x ) )  a  f ( x )dx  f ( x )dx a (5) Nếu f(x) hàm số lẻ (nghĩa f (  x )   f ( x ) ) a  f ( x )dx  a 1  Ví dụ a) 2  arctan x  2 1 x 1 x 1  Ví dụ dx  1  dx x dx   1 x dx  3 1 b) x3 dx   x2  2  x dx    xdx   xdx  CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH b a) Phương pháp tích phân phần  u dv  uv a Cách đặt u, dv tương tự trường hợp tích phân bất định b a b   v du a 28 Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 Ví dụ Tính tích phân xác định sau phương pháp tích phân phần  e a)  x ln xdx b)  (2 x  1)sin xdx  c)  xarctgxdx d)  x cos xdx   b  f xdx   f xt  x t  dt b) Phương pháp đổi biến số ' a  ,  cận tích phân xác định theo biến số t Các bước thực hiện: - Chọn biến số mới, tính vi phân - Đổi cận tích phân theo biến số - Viết tích phân ban đầu theo biến số tính tích phân Ví dụ Tính tích phân xác định sau phương pháp đổi biến số a)   x  x2 dx b) c)  cos xdx   sin2 x e  ln x dx x d)  sin xdx TÍCH PHÂN SUY RỘNG VỚI CẬN VƠ TẬN Khi xét tích phân xác định b  f ( x )dx , ta đòi hỏi cận a, b số hữu hạn hàm a số lấy tích phân f(x,y) liên tục [a,b] Dưới ta mở rộng khái niệm tích phân cho trường hợp cận vơ hạn Ta có định nghĩa sau   b f ( x )dx  lim b a   c f ( x )dx    f ( x )dx   b  f ( x )dx ;  a   c b f ( x )dx  lim a  f ( x )dx  lim a  f ( x )dx a c b a c f ( x )dx  f ( x )dx  blim   c số bất kì, cịn f(x) hàm số liên tục khoảng lấy tích phân Ví dụ   1 x2 b  1 b   dx  lim     lim      b  x2 b  x  b  b  dx  lim 29 Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286   Ví dụ e b b 1 dx  lim dx  lim  ln x   lim  ln b     x e b b x b  e   x2 Ví dụ   dx  lim a   x2 dx  lim  arctan x  a a b a  lim (  arctan a)  a  dx  lim  dx    x2 dx  alim b  x2    x2 Ví dụ  a  lim (  arctan a)  lim arctan b  a b     Chú ý Nếu tích phân suy rộng có giá trị hữu hạn ta nói hội tụ Trường hợp ngược lại, ta nói phân kì Ví dụ 10 Tính tích phân suy rộng sau a)   xe x b) dx   dx x x c)   dx d) x 4    dx x IV.3 TÍCH PHÂN KÉP KHÁI NIỆM Cho hàm hai biến f ( x, y ) xác định tập hợp D  R Ta xét tích phân hàm số lấy D gọi tích phân hai lớp, kí hiệu  f ( x, y )dxdy Ở đây, D f ( x, y ) hàm số lấy tích phân, D miền lấy tích phân, dx, dy vi phân x, y (để tích phân lấy theo biến số x, y ) CÁC TÍNH CHẤT  cf ( x, y )dxdy  c  f ( x, y )dxdy , c  const D D   f ( x, y)  g ( x, y) dxdy   f ( x, y)dxdy   g ( x, y)dxdy D D D  dxdy  S ( D) D Nếu miến lấy tích phân D chia thành hai miền nhỏ D1 , D2  f ( x, y)dxdy   f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy D D1 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP Nguyên tắc chung: D2 - Việc tính tích phân hai lớp đưa tính hai tích phân xác định theo biến số - Khi tính tích phân theo biến số xem biến số cịn lại số - Thứ tự tính tích phân xác định cận chúng phụ thuộc vào cách xác định miền lấy tích phân 30 Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 Sau ta xét vài trường hợp đặc biệt miền lấy tích phân a) Miền lấy tích phân hình chữ nhật xác định a  x  b (a, b, c, d  const )  c y d    Khi ta có cơng thức tính tích phân hai lớp: b d d b a c c a  f ( x, y)dxdy   dx  f ( x, y)dy   dy  f ( x, y)dx D (1) ydxdy , D xác định bởi:   x  Ví dụ Tính tích phân hai lớp  x Ví dụ Tính tích phân hai lớp  (2 x  y)dxdy , D hình chữ nhật giới D 1  y  D hạn đường thẳng: x  1, x  3, y  0, y  b) Miền lấy tích phân hình thang cong xác định bởi: a xb  (a, b  const ) Khi   y1 ( x)  y  y2 ( x) b y2 ( x ) a y1 ( x )  f ( x, y)dxdy   dx  D f ( x, y )dy (2) c) Miền lấy tích phân hình thang cong xác định bởi:  x1 ( y )  x  x2 ( y ) (c, d  const ) Khi  c yd  d x2 ( y ) c x1 ( y )  f ( x, y)dxdy   dy  D f ( x, y )dx (3)   x 1  x  y  x y dxdy , D xác định bởi:  y  x  y  1 y  Ví dụ Tính tích phân hai lớp  xydxdy ,trong D xác định bởi: Ví dụ Tính tích phân hai lớp  Ví dụ Tính tích phân hai lớp  ( y  1)dxdy , D xy  1, x  3, y  x D D D giới hạn đường: d) Trường hợp D miền bất kì: Ta chia D thành miền nhỏ xác định trường hợp sử dụng tính chất để tính tích phân Ví dụ Tính tích phân hai lớp A(1,1), B (4, 4), C (2, 6)  ydxdy , D D tam giác ABC với đỉnh 31 Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com) lOMoARcPSD|9783286 BÀI TẬP CHƯƠNG IV 4.1 Tính tích phân bất định sau a)  ln  x   x2 dx  d) x    x6 dx xdx b)  sin2 x e)  c)  e x dx arcsin x 1 x f)  cos3 xdx dx 4.2 Tính tích phân xác định sau a) e  1 sin(ln x ) dx x b)  1 d)  arctgxdx a)  x3 f)  x(2  x )15 dx 4.3 Tính tích phân suy rộng sau dx c)  (2 x  3)e x dx e)  sin xdx  dx  3x  b)   x  dx c)  dx  (2 x  1)2 d) b) c)  (4 x  2)dxdy , với D miền xác định bởi: D  ( y  1)dxdy  4.4 Tính tích phân kép sau a)  x ydxdy , với D hình chữ nhật :  x  4,  y  D  dx x x  x  2, x2  y  2x , với D miền xác định bởi:  y  1, y  x  y D d)  y ln xdxdy , với D miền giới hạn đường cong xy = 1, y = x , x = D 32 Downloaded by Mân Tr?n Lê (reallab.gts@gmail.com)