Thông tin tài liệu
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP A1 Biên soạn: ThS Nguyễn Thị Linh ThS Huỳnh Ngọc Diễm ThS Bùi Thị Ngọc Hân Bình Dương, 03/2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP A1 Bình Dương, 03/2018 Chương Phép tính vi phân hàm biến Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Vi tích phân (vi phân và tích phân) nghiên cứu về những đại lượng biến thiên, được sử dụng rộng rãi trong các ngành khoa học và kỹ thuật, xuất phát từ những vấn đề mà chúng ta đã được học (như vận tốc, gia tốc, dòng điện trong mạch,…). Nếu những đại lượng thay đổi một cách liên tục, chúng ta cần phép vi tích phân để tìm hiểu xem chuyện gì đã xảy ra với đại lượng ấy. Vi tích phân được nghiên cứu độc lập bởi một nhà khoa học người Anh tên Issac Newton và một nhà khoa học người Đức là Gottfried Leibnitz. Ở chương này chúng ta sẽ tìm hiểu về phép tính vi phân, cịn phép tính tích phân ta sẽ đề cập ở chương 2. Nhìn chung, vi phân là phép tính giúp chúng ta tìm tốc độ thay đổi của đại lượng này so với đại lượng khác (nhiệt độ thay đổi trong thời gian nhất định, vật tốc của 1 vật thể rơi tự do trong khoảng thời gian nhất định, sự gia tăng dân số trong khoảng thời gian nhất định, …). Có rất nhiều ứng dụng của phép vi phân trong khoa học và kỹ thuật đặc biệt là trong ngành Vật lí (vận tốc, gia tốc của vật thể chuyển động thẳng hay chuyển động cong, khảo sát trạng thái chuyển động của vật thể,…). Vi phân cịn được dùng trong việc phân tích về tài chính, kinh tế. Một ứng dụng quan trọng của vi phân đó là tối ưu hóa phạm vi, để dễ hình dung ta nói một cách đơn giản đó là tìm điều kiện để giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) xảy ra. Điều này rất quan trọng trong kinh doanh (để tiết kiệm chi tiêu, gia tăng lợi ích) và cả trong kỹ thuật (để giá tiền nhỏ nhất, vật liệu sử dụng ít nhất). A Lý thuyết ví dụ minh họa 1.1 Giới hạn dãy số thực Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 Chương Phép tính vi phân hàm biến 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa Một ánh xạ f đi từ tập các số nguyên dương * vào tập số thực f : * , theo đó với mỗi số nguyên dương n * cho tương ứng với duy nhất một số thực xn Mỗi ánh xạ như vậy xác định một dãy số thực như sau: x1 , x2 , , xn , viết gọn là xn Số xn được gọi là số hạng tổng quát. Ví dụ 1. a) Cho một hàm số f : * được xác định như sau: f n xn 3n Khi đó ta có: x1 4, x2 7, x3 10, x4 13, x5 16, Như vậy ta có dãy số sau: 4, 7, 10, 13, 16 , 1 3n, Với số hạng tổng quát xn 3n b) xn 1, 2, 3,2, 5, , n , là một dãy số với số hạng tổng quát là xn n 1 1 n c) an 1, , , , , , , là một dãy số với số hạng tổng quát là an Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 n Chương Phép tính vi phân hàm biến Định nghĩa Dãy xn được gọi là hội tụ số thực L 0, N N sao cho n N thì xn L Và khi đó L gọi giới hạn dãy số xn , kí hiệu: lim xn L hay xn L khi n n Ví dụ 2. n n a) Chứng minh rằng lim 2n n n b) Chứng minh rằng lim c) Chứng minh rằng dãy số sau đây hội tụ về 2017. 1 1 2018, 2017 , 2017 , 2017 , 2017 , , 2017 , n Giải a) cho trước ta cần chỉ ra tồn tại số nguyên N sao cho n N thì 1 n Vậy với mọi n cho trước ta chỉ cần chọn N là số nguyên lớn hơn , khi đó n N ta có: xn Nhận thấy nếu xn nghĩa là n hay (đpcm). n Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 Chương Phép tính vi phân hàm biến b) cho trước,ta cần chỉ ra tồn tại số nguyên N sao cho n N thì 2n 2n 2 2n , mà n Vậy với mọi Nhận thấy rằng n 1 n n n n 1 2 cho trước ta chỉ cần chọn N , khi đó n N ta có: n 2n (đpcm). n n 1 2 Lưu ý. là phần nguyên của số c) Ta có xn 2017 1 xn 2017 Ta cần chứng minh n n 0, N N sao cho n N thì xn 2017 n 1 Thật vậy, với mọi cho trước ta chọn N , khi đó n N ta có: n (đpcm) n Định nghĩa Giới hạn tại vô cực: lim xn E 0, N E sao cho n N E thì xn E n lim xn E 0, N E sao cho n N E thì xn E n Ví dụ 3. Chứng minh rằng lim a n (a 1) n Giải Ta cần chứng minh E 0, N E sao cho n N E thì a n E Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 Chương Phép tính vi phân hàm biến n n Nhận thấy rằng để a E ln a ln E n ln a ln E n ln E ln a ln E , khi đó n N E ta có: ln a Vậy E ta chọn N E n ln E a n E (đpcm). ln a Cách khác: Ta đặt a t t Ta có n n 1 t t n nt Với mọi E cho trước nếu E 1 E 1 nt E n Vậy ta chọn N E , khi đó n N E ta có: t t a n 1 t nt n n E 1 nt E a n E (đpcm). t Định nghĩa 4. Dãy xn được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực a sao cho xi a, i Dãy xn được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực a sao cho xi a, i Dãy xn được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là nếu tồn tại số thực a sao cho xi a, i Định nghĩa 5. Dãy xn được gọi là đơn điệu tăng nếu xi xi 1 , i Dãy xn được gọi làđơn điệu giảm nếu xi xi 1 , i 1.1.2 Các tiêu chuẩn giới hạn dãy số a Tiêu chuẩn hội tụ 1: Nếu yn xn zn , n n0 với n0 là số tự nhiên lớn hơn 0 nào đó, và lim yn lim zn a thì lim xn a n n n Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 Ví dụ 4. Từ Chương Phép tính vi phân hàm biến ta có: n a) cosn cosn vì n n n n b) 1 vì n n 2 n c) 1 n 1 n vì 1 n n n n b Tiêu chuẩn hội tụ (tiêu chuẩn Cauchy): điều kiện cần và đủ để dãy xn có giới hạn là 0, N N : xn p xn n N , p c Tiêu chuẩn hội tụ 3: - Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ. - Dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. - Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. d Tính chất phép tốn: Cho xn và yn hội tụ, khi đó: Nếu yn xn thì lim yn lim xn n n n n lim xn yn lim xn lim yn n lim xn yn lim xn lim yn n n xn yn lim n n xn lim n với lim yn n yn lim n e Một số giới hạn dãy số: (với ). 2. lim n n p (với mọi p ). n n n 1. lim (với ). n ln n lim p 4. lim n a0 a1n a2 n a p n n (với mọi p ). 5. lim n với 6. lim q n với q n Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 n Chương Phép tính vi phân hàm biến n 1 7. lim 1 e n n 5 Ví dụ 5. Tìm giới hạn lim n n 6n 2n n n n 1 n n 1 5 6n 6 6 Giải lim n lim lim lim 0.1 n n n n n n n 2 n 1 1 7 n 1.2 Giới hạn hàm số x2 không xác định tại x Một câu hỏi được đặt ra x 1 là hàm số này sẽ có giá trị như thế nào khi x gần sát với 1. Để trả lời câu hỏi này ta Ta biết rằng hàm số f ( x) phân tích như sau: Với mọi x ta có: x x 1 x 1 f ( x) x 1 x 1 x 1 Như vậy, đồ thị của hàm f ( x) chính là đồ thị của hàm y x nhưng loại bỏ đi điểm 1,2 như hình vẽ. Mặc dù f (1) khơng xác định nhưng rõ ràng nhìn vào đồ thị ta thấy rằng chúng ta có thể “làm cho giá trị của f ( x) càng gần về 2 theo ý muốn bằng cách chọn x đủ gần 1”. Ta có bảng số liệu cụ thể sau: Tài liệu hướng dẫn học tập Tốn cao cấp A1 Chương Phép tính vi phân hàm biến Một cách tổng quát, giả sử I là một lân cận chứa x0 f ( x) xác định I \ x0 Nếu f ( x) gần với số L một cách tùy ý (gần như chúng ta muốn) với tất cả các x đủ gần x0 , thì ta nói f ( x) có giới hạn là L khi x tiến về x0 và viết: lim f x L x x0 Cụ thể ở ví dụ trên ta nói f ( x) có giới hạn là khi x tiến về 1 và viết: x2 2 lim f x hoặc lim x 1 x 1 x Chú ý. Giới hạn của hàm số khơng phụ thuộc vào việc hàm số đó có xác định tại điểm đang xét hay khơng, cũng khơng phụ thuộc vào giá trị của hàm số tại điểm đang xét là bao nhiêu. Ví dụ ta xét ba trường hợp như hình sau: Ta thấy hàm f ( x) khi x mặc dù f không xác định tại 1. Hàm g ( x) khi x mặc dù g (1) Và chỉ có hàm h( x) là có giới hạn khi x bằng với giá trị của nó tại x , nghĩa là lim h( x ) h(2) Những hàm số như h( x) được x 1 gọi là hàm số liên tục mà chúng ta sẽ nói sau ở mục sau, mục 1.3. Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến xy , khi x, y 0, f x, y x y 0 , khi x, y 0, Giải. Ta có f M f 0, f x, y Lại có, x ,lim y M xy lim x , y 0,0 x y2 (bài tập 1.1.câu b.). Vậy hàm số đã cho liên tục tại M 0, 2.2 Xét tính liên tục của hàm số sau tại M 0, : xy , khi x, y 0, f x, y x y 0 , khi x, y 0, Giải. Ta có f M Tuy nhiên, lim f x, y x , y M xy , giới hạn này không tồn tại (bài tập 1.2.câu a.). x , y (0,0) x y lim Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại M 0, 2.3 Xét tính liên tục của hàm số sau tại M 0, : x2 y , khi x, y 0, f x, y x y 1 , khi x, y 0, Giải. Ta có f M Tuy nhiên, lim f x, y x , y M x2 y (bài tập 1.1.câu d.). x , y (0,0) x y lim f x, y f 0, Ta thấy x , ylim (0,0) Vậy hàm số đã cho không liên tục tại M 0, Bài Tính đạo hàm riêng vi phân tồn phần Để tính được đạo hàm riêng (cấp 1, cấp 2 hoặc cấp cao hơn) ta cần nắm vững các cơng thức tính đạo hàm các hàmthơng dụng, các quy tắc tính đạo hàm và cơng thức tính đạo hàm hàm hợp. Và cần nhớ, khi ta tính đạo hàm riêng theo biến này thì tất cả các biến khác có trong hàm số ta xem là hằng số. Các bạn sinh viên thường bị bối rối và mắc sai lầm ở bước nhận dạng hàm hợp để chọn cơng thức đạo hàm chophù hợp và chính xác, cộng với việc bị lẫn lộn giữa biến đang lấy đạo hàm và các biến khác có trong hàm số. Vì vậy, các bạn cần làm nhiều ví dụ từ dễ đến khó để tránh sai lầm và tính được thuần thục. Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 202 Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến Các hàm số có các đạo hàm riêng liên tục thì có f xy'' f yx'' (theo Định lý Schwarz). Do vậy, đây cũng là một cơ sở để ta kiểm tra xem việc tính tốn các đạo hàm riêng có đúng khơng. Để tính được vi phân tồn phần của (cấp 1, cấp 2 hoặc cấp cao hơn)các hàm số ta cần tính các đạo hàm riêng và thay vào các cơng thức vi phân tồn phần sau: _ Cơng thức vi phân cấp 1: df f x' dx f y' dy _ Công thức vi phân cấp 2: d f f x'' dx f xy'' dxdy f y'' dy 2 _ Công thức vi phân cấp n: d n f d d n 1 f 3.1 Tính các đạo hàm riêng cấp 1 và vi phân tồn phần của các hàm số sau: a z Giải. x2 y2 ; x2 y a z x' dz x x xy 2 y2 4xy b z sin x y ; c z e x cos x x sin y ; y2 2 ; z y' 4 x y x y2 d z arctan x y x y ydx xdy b z x' x cos x y ; z x' y cos x y dz xdx ydy cos x y c zx' e x cos x x sin y e x sin y sin x ; z 'y xe x cos y dz e x cos x sin x x 1 sin ydx x cos ydy x y x y x y x y x y 2 y y x d z x' ; 2 2 2 x y x y x y x y 1 2 x y x y x y ' x y x y x y x y x y 2x x y z 'y 2 2 2 x y x y x y x y 1 2 x y x y x y y x xdy ydx dz dx dy x y2 x y2 x y2 ' 3.2 Tính các đạo hàm riêng và vi phân tồn phần cấp 2 của các hàm số sau: a z xe y x y ; b z cos xy Giải a zx' e y xy ; z 'y xe y x ; zx'' y ; zxy'' e y x ; z ''y xe y ; z ''yx e y x Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 203 Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến d z ydx e y x dxdy xe y dy ' '' '' b z x y sin xy ; zx2 y cos xy ; zxy sin xy xy cos xy ; z 'y x sin xy ; z ''y x cos xy ; z ''yx sin xy xy cos xy d z y cos xy dx sin xy xy cos xy dxdy x cos xy dy Bài 4.Tính gần giá trị biểu thức Để tính gần đúng giá trị biểu thức ta cần làm các bước sau: Xác định hàm số tương ứng với biểu thức và các giá trị x0 , y0 , x, y Tính giá trị hàm sơ và các đạo hàm riêng cấp một của hàm số tại điểm ( x0 , y0 ) rồi thay vào cơng thức vi phân tồn phần sau: f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) f x' ( x0 , y0 ) x f y' ( x0 , y0 ) y Áp dụng vi phân để tính gần đúng giá trị của biểu thức sau: A 2 1, 02 0, 05 Giải Ta có A 1, 02 0, 05 1 0, 02 0, 05 2 2 Xét hàm số f x, y x2 y Ta thấy 1 0, 02 0, 05 2 f ( x0 x, y0 y ) với x0 1, y0 0, x 0, 02 và y 0, 05 Mà f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) f x' ( x0 , y0 )x f y' ( x0 , y0 )y f 1,0 f x' 1, 0, 02 f y' 1, 0, 05 Với f x' 2x 33 x2 y 2 , f y' 2y 33 x2 y2 Vậy 1 0, 02 0, 05 12 02 0, 02 0, 05 1, 013 2 Bài Tính đạo hàm hàm hợp Phương pháp: Để tính được đạo hàm các hàm số hợp ta có hai cách: Cách 1: (Trực tiếp) Thay biểu thức của biến số trung gian vào cơng thức cho hàm số rồi tính đạo hàm được u cầu. Cách 2: (Gián tiếp) Tính các đạo hàm và đạo hàm riêng rồi thay vào các cơng thức của đạo hàm hàm hợp: dz z dx z dy 1. Trường hợp một biến độc lập: dt x dt y dt Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 204 Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến dz z z dy dx x y dx z z x z y z z x z y 2. Trường hợp hai biến độc lập: u x u y u v x v y v Nhận xét. Nếu bạn sinh viên nào thành thạo trong việc tính đạo hàm riêng thì dùng cách 1 tính nhanh hơn và khơng cần nhớ cơng thức tính đạo hàm hàm hợp. Nhưng tính theo cách 2 thì thơng thường các hàm thành phần sẽ đơn giản hơn nên sẽ dễ tính đạo hàm. Hơn nữa, với một số hàm hợp khi tính theo cách 2 sẽ nhanh và ít sai sót hơn. dz 5.1. Cho z xy , trong đó x cos t , y sin t Tính dt dz y 5.2. Cho z arctan , trong đó y x Tính với x 0, x x dx 2 5.3 z 3x y với x 2s 7t , y 5st Tính các đạo hàm của z theo s, t Giải. 5.1.Cách 1: z xy cos t sin t dz d cos t sin t dt dt sin t sin t cos t.2sin t cos t 2sin t cos2 t sin t z z dx dy Cách 2: Ta có y , sin t , xy, cos t dt dt x y Vậy dz z dx z dy dt x dt y dt y sin t xy.cos t sin t sin t 2cos t sin t.cos t 2sin t cos2 t sin t 5.2. Ta có Vậy z x 1 1 dy y z , , y x y y x dx x 1 1 x x dz z z dy 2 y x x dx x y dx x2 y x 5.3 Ta có z z x x y y x 2s 7t , y 10st, 2, 7, 5t, 5s x y s t s t Vậy z z x z y z z x z y 24s 84t 50st và 84s 294t 50s 2t s x s y s t x t y t Bài 6.Cực trị tự - Cực trị có điều kiện - GTLN & GTNN hàm hai biến Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 205 Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến Phương pháp giải các bài toán này đã được trình bày chi tiết kèm các ví dụ cụ thể trong phần 4.8 và 4.9. Để giải các dạng tốn này các bạn sinh viên cần nhận ra đúng dạng và áp dụng đúng các bước trong phương pháp đã trình bày. Tuy nhiên, nhiều sinh viên dù đã nắm rõ phương pháp của từng dạng nhưng lại khơng biết cách giải hệ phương trình, chúng ta cần để ý kĩ bước này vì nếu bước này sai thì cả bài giải sai (dù các bước khác đúng). Sau đây, chúng ta xétthêm một số ví dụ tham khảo nữa. Hi vọng rằng qua các ví dụ này các bạn sẽ hiểu rõ hơn và khơng cịn sai sót ở bước giải hệ phương trình nữa. 6.1 Tìm cực trị của hàm số f x, y x3 xy x y Giải. ● Tính các đạo hàm riêng: f x' x y 10 x ; f y' xy y y x 1 ; f x''2 12 x 10 ; f y''2 x 1 ; f xy'' y f x' 6 x y 10 x 0 (1) ' f y y x 1 0 (2) ● Xét hệ phương trình y0 x 1 Phương trình (2) x0 TH1: y thay vào (1) ta có 5 x y2 TH2: x 1 thay vào (1) ta có y 2 Do đó, hàm số có 4 điểm dừng là M1 0;0 , M ;0 , M 1;2 M 1; 2 ● Đặt A f x'' 12 x 10 ; B f xy'' y ; C f y'' x 1 2 B AC y x 1 x 5 ● Tại M1 0;0 : 20 , A 10 nên hàm số đạt cực tiểu tại M1 0;0 và f 0,0 5 40 ● Tại M ;0 : và A 10 nên hàm số đạt cực đại tại M ;0 3 125 và f ;0 27 ● Tại M 1;2 : 16 nên hàm số khôngđạt cực trị tại M 1;2 ● Tại M 1; 2 : 16 nên hàm số khôngđạt cực trị tại M 1; 2 Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 206 6.2 Tìm cực trị của hàm số z x3 y Giải Ta có zx' 3x y , z 'y 3x3 y Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến Hàm số có các điểm dừng là 0, y0 (với y0 tùy ý) và x0 , (với x0 tùy ý). z x'' xy , z xy'' x y , z ''y x y Tại 0, y0 thì A B C nên Do đó, 0, y0 là điểm nghi ngờ có cực trị. Ta thấy trong lân cận của 0, y0 có những điểm x, y0 mà z x, y0 z 0, y0 và cũng có những điểm x, y0 mà z x, y0 z 0, y0 Vì vậy, 0, y0 không là điểm cực trị của hàm số đã cho. Tương tự, x0 , cũng khơng là điểm cực trị của hàm số. Vậy hàm số khơng có cực trị. Chú ý. Đa số các bạn sinh viên khi giải bài này chỉ tìm ra một điểm dừng duy nhất là 0,0 6.3 Tìm cực trị của hàm số f x, y xy với điều kiện ràng buộc: x, y x 1 y Giải. ● Lập hàm Lagrange: L x, y, f x, y x, y xy x 1 y L'x y 2 x 1 0 (1) ● Giải hệ phương trình L'y x 2 y 0 (2) 2 x, y x 1 y 0 (3) x + Khi y thì từ (2) ta rút ra Thay vào (1) ta được: y x x 1 2y Thay vào (3) và giải ra được x hoặc x Nếu x thì y (loại). Nếu x thì y 3 3 3 3 Ta được hai điểm dừng là , và , ứng với 2 2 3 và 2 + Khi y phương trình (2) cho x Ta có điểm dừng là 0,0 ứng với 3 3 3 3 Vậy hàm số có 3 điểm dừng là M 0,0 , M1 , và M , 2 2 Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 207 Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ta thấy hàm số f x, y xy dương tại những điểm thuộc nửa trên của đường tròn C : x y và âm tại những điểm thuộc nửa dưới của C. Hàm f liên tục trên tập đóng và bị chặn C nên sẽ đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên C. Giá trị bé nhất chỉ có thể đạt tại nửa đường trịn dưới và giá trị lớn nhất chỉ có thể đạt tại nửa đường trịn trên. Vậy M1 là điểm cực tiểu có điều kiện và M là điểm cực đại có điều kiện, cịn M khơng là điểm cực trị có điều kiện vì ở lân cận của nó trên đường trịn f ở nửa đường trịn trên và f ở nửa đường trịn dưới. Vì vậy, ta có: f 3 3 và f max 4 Chú ý. Khi gặp bài này các bạn sinh viên thường sai ở chỗ rút x mà không xét 2y Hai trường hợp y và y C Bài tập đề nghị Bài 1. Tính các giới hạn sau (nếu có): 1.1 lim xy y x , y ( 1,2) x y 1 x2 y 1.2 1 cos y ; x , y (0,0) y2 lim ; x2 y ; x , y (0,0) x y x3 y 1.5 lim ; x , y (0,0) x y x sin xy 1.7 lim ; x , y (0,0) y 1.3 1.9 lim 1.4 sin x y x y ; x , y ( , ) x y lim 1.6 x2 y2 ; x , y (0,0) x y 1.8 sin xy ; x , y (0,0) xy lim lim x2 y2 Bài Xét tính liên tục của các hàm số sau tại M 0, : lim x , y (0,0) sin xy , khi xy 2.1 f x, y xy 1 , khi xy x3 y , khi x, y 0,0 2.2 f x, y x6 y 0 , khi x, y 0,0 xy 3 , khi x, y 0, 2.3 f x, y x y 0 , khi x, y 0, Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 208 cos x cos y , khi x y 2.4 f x, y x y 0 , khi x y Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến Bài 3. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 và vi phân tồn phần của các hàm số sau: 3.1 z x y xy ; 3 y 3.4 z x x ; 3.7 z ln x x y ; y x x2 y2 3.2 z ; x y2 3.3 z e 3.5 yx y ; 3.6 z x y xy ; 3.8 z arctan y ; x sin ; 3.9 z arcsin yx x Bài 4. Chứng minh rằng 4.1. Hàm z ln( x xy y ) thỏa phương trình x y x 4.2 Hàm z xy xe thỏa phương trình x z z y ; x y z z y xy z x y Bài 5. Tính các đạo hàm riêng và vi phân cấp 2 của các hàm số sau: 5.2 z xy y ; 5.1 z ln( x y ) ; 5.3 z arctan x y xy Bài Áp dụng vi phân để tính gần đúng giá trị của các biểu thức sau: 6.1 A 1, 04 2,03 6.2 B 1, 04 1,99 ln 1, 02 6.3 C ln 1, 03 0, 98 Bài Tìm các đạo hàm của các hàm số hợp sau đây bằng hai cách (trực tiếp và gián tiếp): 7.1 z eu v2 , trong đó u cos x, v x y x 7.2 z ln x2 y , trong đó u xy, v y 7.3 f x, y ln sin x 2 , trong đó x 3t , y t y Bài 8. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn y y x , z z x, y cho bởi các phương trình sau đây: 8.1 x3 y y x a ; 8.2 xe y ye x e xy ; 8.3 x3 y z 3xzy ; y x 8.4 ln x y a arctan Tính y ', y '' x y z 8.5 z y z Chứng minh rằng: x z x' z 'y Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 209 Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến Bài 9. Giải các bài tốn thực tế sau bằng cách ứng dụng vi phân tồn phần để tính gần đúng: 9.1. Một tấm thép có dạng hình chữ nhật với chiều rộng 1m và chiều dài 2m. Khi bị ảnh hưởng bởi nhiệt độ, tấm thép này bị thay đổi (có thể dãn nở thêm, co lại): chiều rộng thay đổi 2mm, chiều dài thay đổi 3mm. Hãy ước lượng, phần diện tích tăng hoặc giảm ấy? 9.2. Khi đo bán kính đáy và chiều cao của một khối gỗ dạng hình trụ,ta được bán kính r 0,5m và chiều cao h 2m Biết sai số khi đo bán kính là 0, 2cm ; sai số khi đo chiều cao là 0, 3cm ; Hãy tính sai số tuyệt đối lớn nhất khi tính thể tích của khối gỗ trên. 9.3. Khi đo các kích thước một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật ta được các số liệu theo chiều rộng, chiều dài và chiều cao như sau: a 2m , b 3m và c 5m Biết sai số mỗi lần đo có thể tới 0,1cm Tính sai số tuyệt đối lớn nhất khi tính thể tích của bể chứa nước trên. Bài 10. Tìm cực trị của các hàm số sau: 10.1 f x x2 xy y ; 10.2 f ( x 1) y ; 10.3 f x xy y x y ; 10.4 f x xy y 3x y ; 10.5 f x3 y (6 x y ) , với x 0, y ; 10.6 f 4( x y ) x y ; 10.7 f x xy y x y ; 10.8 f x y xe y ; 10.9 f x3 y3 xy 27 ; 10.10 f x3 y 3xy ; 10.11 f x y x xy y Bài 11 Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau: 11.1 f xy với điều kiện x y ; 11.2 f x y với điều kiện x y ; x y 11.3 f x y với điều kiện ; 11.4 f 1 1 với điều kiện x y x y Bài 12 Tính GTLN và GTNN của các hàm số trên miền D: 12.1 f ( x, y) x xy y x y , miền D đóng giới hạn bởi hình tam giác có các đỉnh: O(0;0) , A(3;0) , B(0; 3) 12.2 f ( x, y) x y x y , miền đóng D giới hạn bởi các đường thẳng x ; y ; và x y 12.3 f ( x, y) xy x y , miền D đóng giới hạn bởi các đường y x , y Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 210 Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến 12.4 f ( x, y) x xy x x , D là miền đóng giới hạn bởi các đường thẳng x ; x ; y và y 12.5 f ( x, y) x y x y , D là miền đóng giới hạn bởi các đường thẳng x ; x 1 ; y và y 1 12.6 f ( x, y ) x y , D là miền trịn đóng ( x 1) ( y 1) 12.7 f ( x, y) x y , D là miền trịn đóng x y 12.8 f ( x, y) x3 y 3xy , với D 0 x 2, y 2 12.9 f ( x, y) x y , với D ( x, y ) | x y Đáp số tập chương 4 Bài 1. 1.1 5 ; 1.2 1.6 Khơng có; Bài 2.1. Liên tục; ; 1.3 Khơng có; 1.7. 0; 1.8. -3; 7.1 z e ' x cos2 x x y b 1,05. 1.5. 0; 1.9. 1. 2.2 Khơng liên tục; Bài HD: Tính các đạo hàm riêng Bài a 1,08. Bài 1.4 0; 2.3 Liên tục; 2.4 Liên tục. z z và rồi thay vào phương trình. x y c 0,005. cos x sin x x z ' ecos , y 2 x x2 y ' y 1 7.2 z , z y x y y 1 4y ' x 7.3 6t 5t 3t df cot dt t 1 t t 1 Bài 8. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn y y x , z z x, y cho bởi các phương trình sau đây: y 3x y x2 yz ' y xz e y ye x ye xy ' z z , y ' 8.1 y ' ; 8.2 ; 8.3 ; x y xe y e x xe xy z xy z xy x y2 x2 a 1 x y x ay 8.4 y ' , y '' ax y ax y y z 8.5. Tính z x' , z y' rồi thay vào phương trình: x z x' z 'y Bài 10 10.1 f max 13 tại M (4; 2) ; 10.2 f tại M (1;0) ; 10.3 f 1 tại M (1;0) ; Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 211 10.4 f 9 tại M (0;3) ; Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến 10.5 f max 108 tại M (3;2) ; 10.6 f max tại M (2; 2) ; 10.7 f tại M ( 1;1) ; 10.8 Tại M (1;0) f không đạt cực trị; 10.9 Tại M (0;0) f không đạt cực trị; tại M (3;3) f đạt cực tiểu; 10.10 Tại M (0;0) f không đạt cực trị; tại M (1;1) fđạt cực tiểu; 10.11 Tại M (1; 1) và tại M (1;1) f đạt cực tiểu; tại M (0; 0) có s rt Hơn nữa f (0;0) , f ( x; x) x ( x 2) khi x và f ( x; x) x khi x Nên f không đạt cực trị tại M (0; 0) Bài 11 11.1 f max tại M (1 2; 1 2) ; 11.2 f max tại M (1; 2) ; 11.3 f 36 13 tại M (18 13; 12 13) ; 11.4 f 1 tại M ( 1; 1) , f max tại M (1;1) Bài 12 12.1 f max f (0; 3) f ( 3;0) 6; f f ( 1; 1) 1 12.2 f max f (1;1) , f f (1 2;1 2) 12.3 f max f (2; 4) , f f ( 2; 4) 9 12.4 f max f (1;2) 17; f f (1;0) 3 12.5 f max f (1;1) 7; f f (0;0) 12.6 f max 2 2 ; f 2 2 12.7 f max f ( 2; 0) ; f f (0; 2) 4 12.8 f max f (2; 1) 13; f f (0; 1) f (1;1) 1 12.9 f max f ( 2; 2) 2; f f ( 2; 2) Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 212 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Viết Đông, Bài tập Tốn cao cấp tập 1, NXB Giáo dục, 2002. [2] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Bài tập Tốn cao cấp tập 2, NXB Giáo dục, 2007. [3] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tốn cao cấp tập 2, NXB Giáo dục, 2007. [4] Trần Ngọc Hội, Bài giảng Tốn cao cấp A1, Trường Đại học Cơng nghệ Sài Gịn (Lưu hành nội bộ), 2009. [5] Trần Văn Thạch, Bài giảng Toán cao cấp A1, Trường Đại học Thủ Dầu Một (Lưu hành nội bộ), 2013. [6] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm, Phép tính vi phân tích phân hàm số nhiều biến số, NXB ĐH Sư phạm, 2005. [7] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm, Bài tâpPhép tính vi phân tích phân hàm số nhiều biến số, NXB ĐH Sư phạm,2005. [8] Đỗ Văn Nhơn, Giáo trình Tốn cao cấp A2, ĐH Cơng nghệ thơng tin, NXB ĐHQG TPHCM, 2013. [9] Vũ Gia Tê, Giải tích 1, Học viện cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng, Hà Nội, 2007. [10] Trần Đức Long – Nguyễn Đình Sang – Hồng Quốc Tồn, Giáo trình Giải tích (Chuỗi số, Chuỗi hàm), NXB ĐHQG Hà Nội, 2004. [11] Nguyễn Hữu Khánh, Bài giảng vi tích phân A2, Trường Đại học Cần thơ (Lưu hành nội bộ), 2003. [12] Lê Trọng Tường – Nguyễn Thị Thanh Hương, Cơ học, NXB ĐH Sư phạm, 2004. [13] Lê Bá Long, Bài giảng tốn kĩ thuật, Học viện cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng, Hà Nội, 2013. [14] George B. Thomas, Jr., Thomas’Calculus early transcendentals, Massachusetts Institute of Technology, 2014. Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 213 MỤC LỤC CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1 A Lý thuyết ví dụ minh họa 1 1.1. Giới hạn của dãy số thực 1 1.1.1. Các định nghĩa 2 1.1.2. Các tiêu chuẩn về giới hạn của dãy số . 5 1.2. Giới hạn của hàm số 7 1.2.1.Các định nghĩa 9 1.2.2. Một số tính chất 17 1.2.3. Vô cùng bé – Vô cùng lớn 21 1.3. Hàm số liên tục . 25 1.3.1. Hàm số liên tục tạimột điểm 25 1.3.2.Hàm số liên tục trên một khoảng 26 1.4. Đạo hàm và vi phân . 28 1.4.1. Đạo hàm 29 1.4.2. Vi phân 34 1.4.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao 36 1.4.4. Ứng dụng của phép tính vi phân 37 B Bài tập có lời giải 40 Bài 1. Chứng minh sự hội tụ hay phân kỳ của dãy số. 40 Bài 2. Tìm giới hạn của hàm số 44 Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 63 Bài 4. Khảo sát sự liên tục của hàm số 65 Bài 5. Tính đạo hàm và vi phân cấp 1 66 Bài 6. Tính đạo hàm và vi phân cấp cao . 70 Bài 7. Khai triển Taylor và khai triển Maclaurin 72 Bài 8. Bài tập ứng dụng 78 C Bài tập đề nghị 85 CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 93 A Lý thuyết ví dụ minh họa 93 2.1. Tích phân bất định 93 2.1.1. Khái niệm tích phân bất định 93 2.1.2. Các phương pháp tích phân . 95 2.1.3. Tích phân các hàm hữu tỷ . 97 2.1.4. Tích phân các hàm vơ tỉ 100 2.1.5. Tích phân các hàm lượng giác . 101 2.2. Tích phân xác định 103 2.2.1. Định nghĩa tích phân xác định. 103 2.2.2. Tính chất. 103 2.2.3. Công thức Newton-Leibnitz. 104 2.2.4. Các phương pháp tính tích phân xác định 104 2.3. Ứng dụng hình học của tích phân xác định 104 Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 214 2.3.1. Diện tích hình phẳng trong hệ tọa độ vng góc 104 2.3.2. Độ dài cung đường cong phẳng . 106 2.3.3. Diện tích của mặt trịn xoay 106 2.3.4. Tính thể tích vật thể 107 2.4. Tích phân suy rộng 108 2.4.1. Tích phân suy rộng với cận ở vơ cực (loại 1) 108 2.4.2. Tích phân của hàm khơng bị chặn (loại 2) . 111 2.4.3. Hội tụ tuyệt đối . 113 B Bài tập có lời giải 114 Bài 1. Tính các tích phân bất định 114 Bài 2. Tính các tích phân xác định 118 Bài 3. Tính các tích phân suy rộng loại 1 120 Bài 4. Tính các tích phân suy rộng loại 2 123 Bài 5. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng 128 Bài 6. Bài tập ứng dụng 130 C Bài tập đề nghị 136 CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUỖI 140 A Lý thuyết ví dụ minh họa 140 3.1. Các khái niệm cơ bản 140 3.1.1. Chuỗi số 140 3.1.2. Chuỗi không âm 143 3.1.3. Chuỗi đan dấu . 148 3.1.4. Chuỗi có dấu bất kỳ 149 3.2. Chuỗi hàm số 150 3.3. Chuỗi lũy thừa . 151 3.4. Chuỗi Taylor . 152 3.5. Chuỗi Fourier 154 B Bài tập có lời giải 158 Bài 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số bằng định nghĩa 158 Bài 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số bằng cách sử dụng các định lý 161 Bài 3. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số 169 C Bài tập đề nghị 172 CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 176 A Lý thuyết ví dụ minh họa 176 4.1.Khái niệm hàm nhiều biến 176 4.1.1.Định nghĩa 176 4.1.2. Đồ thị của hàm số hai biến số . 177 4.2. Giới hạn của hàm số hai biến số 179 4.3. Sự liên tục của hàm số hai biến số . 181 4.4. Đạo hàm và vi phân của hàm số hai biến số 182 4.4.1. Đạo hàm riêng cấp một 182 Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 215 4.4.2. Đạo hàm riêng cấp cao 183 4.4.3. Vi phân toàn phần cấp một 184 4.4.4. Vi phân toàn phần cấp cao 186 4.5. Đạo hàm của hàm số hợp . 186 4.5.1. Trường hợp một biến độc lập 186 4.5.2. Trường hợp hai biến độc lập 187 4.6. Đạo hàm của hàm số ẩn . 188 4.6.1. Hàm ẩn một biến 188 4.6.2. Hàm ẩn hai biến 188 4.7. Công thức Taylor của hàm số hai biến số. 188 4.8. Cực trị của hàm số hai biến số . 189 4.8.1.Định nghĩa cực trị 189 4.8.2. Phân loại cực trị 190 4.8.3. Cực trị tự do 190 4.8.4. Cực trị có điều kiện . 193 4.9. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hai biến số . 195 B.Bài tập có lời giải 199 Bài 1. Giới hạn của hàm hai biến 199 Bài 2. Sự liên tục của hàm hai biến 201 Bài 3. Tính đạo hàm riêng và vi phân tồn phần 202 Bài 4.Tính gần đúng giá trị biểu thức 204 Bài 5. Tính đạo hàm các hàm hợp 204 C Bài tập đề nghị 208 TÀI LIỆU THAM KHẢO 213 Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 216 ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP A1 Bình Dương, 03/2018 Chương Phép tính vi phân hàm biến... là VCL? ?cấp? ?cao? ?nhất trong các VCL 3 VCL? ?cấp? ?cao? ?nhất trong các VCL ; −2 Do đó lim → +2 − −2 +2 − −2 +1 = lim → d) Khi → 0 ta có − cos + → + tan = sin = lim → Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao. .. → 0. Từ đó suy ra ∆ = ( ) ∆ + ∆ ( ) Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 34 Chương Phép tính vi phân hàm biến Dễ thấy ∆ ( ) là một VCB? ?cấp? ?cao? ?hơn VCB ∆ khi ∆ dần về 0, ta viết lại biểu
Ngày đăng: 25/12/2022, 09:24
Xem thêm: Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1
