Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP A1 Biên soạn: ThS Nguyễn Thị Linh ThS Huỳnh Ngọc Diễm ThS Bùi Thị Ngọc Hân Bình Dương, 03/2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP A1 Bình Dương, 03/2018 Chương Phép tính vi phân hàm biến Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN   Vi tích phân (vi phân và tích phân) nghiên cứu về những đại lượng biến thiên,  được sử dụng rộng rãi trong các ngành khoa học và kỹ thuật, xuất phát từ những vấn  đề  mà  chúng  ta  đã  được  học  (như  vận  tốc,  gia  tốc,  dòng  điện  trong  mạch,…).  Nếu  những đại lượng thay đổi một cách liên tục, chúng ta cần phép vi tích phân để tìm hiểu  xem chuyện gì đã xảy ra với đại lượng ấy. Vi tích phân được nghiên cứu độc lập bởi  một  nhà  khoa  học  người  Anh  tên  Issac  Newton  và  một  nhà  khoa  học  người  Đức  là  Gottfried Leibnitz.        Ở  chương  này  chúng  ta  sẽ  tìm  hiểu  về  phép  tính  vi  phân,  cịn  phép  tính  tích  phân ta sẽ đề cập ở chương 2. Nhìn chung, vi phân là phép tính giúp chúng ta tìm tốc  độ thay đổi của đại lượng này so với đại lượng khác (nhiệt độ thay đổi trong thời gian  nhất định, vật tốc của 1 vật thể rơi tự do trong khoảng thời gian nhất định, sự gia tăng  dân số trong khoảng thời gian nhất định, …).    Có rất nhiều ứng dụng của phép vi phân trong khoa học và kỹ thuật đặc biệt là  trong ngành Vật lí (vận tốc, gia tốc của vật thể chuyển động thẳng hay chuyển động  cong, khảo sát trạng thái chuyển động của vật thể,…). Vi phân cịn được dùng trong  việc phân tích về tài chính, kinh tế. Một ứng dụng quan trọng của vi phân đó là tối ưu  hóa phạm vi, để dễ hình dung ta nói một cách đơn giản đó là tìm điều kiện để giá trị  lớn nhất (hay nhỏ nhất) xảy ra. Điều này rất quan trọng trong kinh doanh (để tiết kiệm  chi tiêu, gia tăng lợi ích) và cả trong kỹ thuật (để giá tiền nhỏ nhất, vật liệu sử dụng ít  nhất).  A Lý thuyết ví dụ minh họa 1.1 Giới hạn dãy số thực Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   Chương Phép tính vi phân hàm biến 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa Một  ánh  xạ f đi  từ  tập  các  số  nguyên  dương  * vào  tập  số  thực    f : *    , theo đó với mỗi số nguyên dương  n  * cho tương ứng với duy nhất  một  số  thực  xn     Mỗi  ánh  xạ  như  vậy  xác  định  một  dãy số thực như  sau:  x1 , x2 , , xn ,  viết gọn là  xn   Số  xn  được gọi là số hạng tổng quát.  Ví dụ 1.  a)  Cho  một  hàm  số  f : *     được xác  định  như  sau:  f  n   xn   3n   Khi  đó  ta có:  x1  4,  x2  7,  x3  10,  x4  13,  x5  16, Như vậy ta có dãy số sau:  4,  7,  10,  13,  16 ,  1  3n,     Với số hạng tổng quát  xn   3n             b)  xn   1, 2, 3,2, 5, , n , là một dãy số với số hạng tổng quát là xn  n      1 1  n   c) an   1, , , , , , ,   là một dãy số với số hạng tổng quát là an  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1     n Chương Phép tính vi phân hàm biến   Định nghĩa Dãy  xn  được gọi là hội tụ số thực L   0, N  N      sao cho  n  N  thì  xn  L    Và khi đó  L gọi giới hạn dãy số  xn  ,  kí hiệu:  lim xn  L  hay  xn  L  khi  n     n   Ví dụ 2.     n n a) Chứng minh rằng  lim 2n     n n  b) Chứng minh rằng  lim c) Chứng minh rằng dãy số sau đây hội tụ về 2017.  1 1 2018,  2017  ,  2017  ,  2017  ,  2017  ,    , 2017  ,     n Giải a)    cho trước  ta cần chỉ ra tồn tại số nguyên  N  sao cho  n  N  thì  1     n   Vậy với mọi  n    cho trước ta chỉ cần chọn  N  là số nguyên lớn hơn  , khi đó  n  N ta có:  xn      Nhận thấy nếu  xn     nghĩa là   n  hay    (đpcm).  n Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   Chương Phép tính vi phân hàm biến b)    cho trước,ta cần chỉ ra tồn tại số nguyên  N  sao cho  n  N  thì  2n 2n 2 2n   , mà    n   Vậy với mọi        Nhận thấy rằng  n 1 n n n  n 1 2 cho trước ta chỉ cần chọn  N    , khi đó  n  N ta có:    n   2n     (đpcm).  n n 1 2   Lưu ý.     là phần nguyên của số   c) Ta có  xn  2017  1  xn  2017   Ta cần chứng minh n n   0,  N  N       sao cho  n  N  thì  xn  2017     n 1 Thật vậy, với mọi    cho trước ta chọn  N    , khi đó  n  N ta có:    n     (đpcm) n Định nghĩa Giới hạn tại vô cực:  lim xn    E  0,  N  E    sao cho  n  N  E  thì  xn  E     n lim xn    E  0,  N  E    sao cho  n  N  E  thì  xn   E     n   Ví dụ 3. Chứng minh rằng  lim a n     (a  1)   n Giải Ta cần chứng minh E  0,  N  E   sao cho  n  N  E   thì  a n  E    Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   Chương Phép tính vi phân hàm biến n n Nhận thấy rằng để a  E  ln a  ln E  n ln a  ln E  n  ln E    ln a ln E  , khi đó n  N  E   ta có:   ln a  Vậy   E   ta chọn  N  E    n ln E  a n  E  (đpcm).  ln a Cách khác: Ta đặt  a   t    t    Ta có  n  n  1 t   t n   nt   Với  mọi  E    cho  trước  nếu  E 1  E  1  nt  E  n   Vậy ta chọn  N  E    , khi đó  n  N  E   ta có:  t  t  a n  1  t    nt  n n E 1   nt  E  a n  E  (đpcm).  t Định nghĩa 4.  Dãy   xn   được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực  a  sao cho  xi  a,  i     Dãy   xn   được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực  a  sao cho  xi  a,  i     Dãy   xn   được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là nếu  tồn tại số thực  a  sao cho  xi  a,  i     Định nghĩa 5.  Dãy   xn   được gọi là đơn điệu tăng nếu  xi  xi 1 ,  i     Dãy   xn   được gọi làđơn điệu giảm nếu  xi  xi 1 ,  i     1.1.2 Các tiêu chuẩn giới hạn dãy số a Tiêu chuẩn hội tụ 1: Nếu  yn  xn  zn ,  n  n0 với  n0  là số tự nhiên lớn hơn 0  nào đó, và lim yn  lim zn  a  thì  lim xn  a   n n  n   Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   Ví dụ 4. Từ  Chương Phép tính vi phân hàm biến  ta có:  n a)  cosn cosn   vì       n n n n b)  1   vì   n    n 2 n c)   1 n 1 n   vì     1    n n n n b Tiêu chuẩn hội tụ (tiêu chuẩn Cauchy): điều kiện cần và đủ để dãy   xn   có giới  hạn là   0,  N  N      : xn p  xn    n  N ,  p     c Tiêu chuẩn hội tụ 3: - Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ.   - Dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.  - Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.  d Tính chất phép tốn: Cho   xn   và   yn   hội tụ, khi đó:  Nếu  yn  xn thì  lim yn  lim xn   n n n n  lim  xn  yn   lim xn  lim yn   n lim  xn yn   lim xn lim yn   n n  xn  yn lim  n n  xn  lim n   với lim yn     n yn  lim n e Một số giới hạn dãy số:  (với   ).                         2.  lim n n p  (với mọi p   ).   n n n 1.  lim  (với   ).  n ln  n lim   p     4.  lim n a0  a1n  a2 n   a p n    n                                                                                                            (với mọi p   ).  5.  lim n    với       6.   lim q n   với   q    n  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 n   Chương Phép tính vi phân hàm biến n 1  7.  lim 1    e   n n   5  Ví dụ 5. Tìm giới hạn  lim n n  6n   2n  n n   n        1 n n   1 5  6n     6 6  Giải lim n  lim  lim   lim   0.1    n n n n  n  n  n      2     n    1   1 7     n 1.2 Giới hạn hàm số x2   không xác định tại  x   Một câu hỏi được đặt ra  x 1 là hàm số này sẽ có giá trị như thế nào khi  x gần sát với 1. Để trả lời câu hỏi này ta  Ta biết rằng hàm số  f ( x)  phân tích như sau:  Với mọi  x   ta có:  x   x  1 x  1 f ( x)    x  1  x 1 x 1 Như  vậy,  đồ  thị  của  hàm  f ( x)   chính  là  đồ  thị  của  hàm  y  x    nhưng  loại  bỏ  đi  điểm  1,2   như hình vẽ.    Mặc dù  f (1)  khơng xác định nhưng rõ ràng nhìn vào đồ thị ta thấy rằng chúng ta có  thể “làm cho giá trị của  f ( x)  càng gần về 2 theo ý muốn bằng cách chọn  x  đủ gần  1”. Ta có bảng số liệu cụ thể sau:  Tài liệu hướng dẫn học tập Tốn cao cấp A1   Chương Phép tính vi phân hàm biến   Một  cách  tổng  quát,  giả  sử I là  một  lân  cận  chứa  x0   f ( x)   xác  định  I \  x0    Nếu  f ( x)  gần với số  L  một cách tùy ý (gần như chúng ta muốn) với tất cả các x  đủ  gần  x0 , thì ta nói  f ( x)  có giới hạn là  L  khi  x  tiến về  x0  và viết:  lim f  x   L   x  x0 Cụ thể ở ví dụ trên ta nói  f ( x)  có giới hạn là   khi  x  tiến về 1  và viết:  x2   2  lim f  x    hoặc  lim x 1 x 1 x  Chú ý. Giới hạn của hàm số khơng phụ thuộc vào việc hàm số đó có xác định tại điểm  đang xét hay khơng, cũng khơng phụ thuộc vào giá trị của hàm số tại điểm đang xét là  bao nhiêu. Ví dụ ta xét ba trường hợp như hình sau:     Ta thấy hàm  f ( x)   khi  x   mặc dù  f  không xác định tại 1. Hàm  g ( x)    khi  x   mặc dù  g (1)   Và chỉ có hàm  h( x)  là có giới hạn khi  x   bằng với  giá trị của nó tại  x  , nghĩa là  lim h( x )   h(2)  Những hàm số như  h( x)  được  x 1 gọi là hàm số liên tục mà chúng ta sẽ nói sau ở mục sau, mục 1.3.  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến    xy ,  khi   x, y    0,     f  x, y    x  y 0          , khi  x, y  0,      Giải.  Ta có  f  M   f  0,     f  x, y   Lại có, x ,lim y M   xy lim  x , y   0,0  x  y2  (bài tập 1.1.câu b.).  Vậy hàm số đã cho liên tục tại  M  0,    2.2 Xét tính liên tục của hàm số sau tại  M  0,  :   xy ,  khi   x, y    0,   f  x, y    x  y   0          , khi   x, y    0,   Giải.  Ta có  f  M     Tuy nhiên, lim f  x, y    x , y  M xy , giới hạn này không tồn tại (bài tập 1.2.câu a.).   x , y (0,0) x  y lim Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại  M  0,    2.3 Xét tính liên tục của hàm số sau tại  M  0,  :   x2 y ,  khi   x, y    0,   f  x, y    x  y   1          , khi   x, y    0,   Giải.  Ta có  f  M     Tuy nhiên, lim f  x, y   x , y M   x2 y   (bài tập 1.1.câu d.).   x , y (0,0) x  y lim f  x, y   f  0,    Ta thấy  x , ylim (0,0)   Vậy hàm số đã cho không liên tục tại  M  0,      Bài Tính đạo hàm riêng vi phân tồn phần Để tính được đạo hàm riêng (cấp 1, cấp 2 hoặc cấp cao hơn) ta cần nắm vững  các  cơng  thức  tính  đạo  hàm  các  hàmthơng  dụng,  các  quy  tắc  tính  đạo  hàm  và  cơng  thức tính đạo hàm hàm hợp. Và cần nhớ, khi ta tính đạo hàm riêng theo biến này thì tất  cả các biến khác có trong hàm số ta xem là hằng số. Các bạn sinh viên thường bị bối  rối và mắc sai lầm ở bước nhận dạng hàm hợp để chọn cơng thức đạo hàm chophù hợp  và chính xác, cộng với việc bị lẫn lộn giữa biến đang lấy đạo hàm và các biến khác có  trong hàm số. Vì vậy, các bạn cần làm nhiều ví dụ từ dễ đến khó để tránh sai lầm và  tính được thuần thục.  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   202 Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến   Các  hàm  số  có  các  đạo  hàm  riêng  liên  tục  thì  có  f xy''  f yx''   (theo  Định lý Schwarz). Do vậy, đây cũng là một cơ sở để ta kiểm tra xem việc tính tốn các đạo  hàm riêng có đúng khơng.  Để tính được vi phân tồn phần của (cấp 1, cấp 2 hoặc cấp cao hơn)các hàm số  ta cần tính các đạo hàm riêng và thay vào các cơng thức vi phân tồn phần sau:  _ Cơng thức vi phân cấp 1:  df  f x' dx  f y' dy   _ Công thức vi phân cấp 2:  d f  f x'' dx  f xy'' dxdy  f y'' dy   2 _ Công thức vi phân cấp n: d n f  d  d n 1 f      3.1 Tính các đạo hàm riêng cấp 1 và vi phân tồn phần của các hàm số sau:  a z    Giải.  x2  y2 ;  x2  y a z x'  dz  x x xy 2  y2  4xy b z  sin  x  y  ;  c z  e x  cos x  x sin y  ;   y2  2 ;  z y'  4 x y x  y2  d z  arctan x  y x y    ydx  xdy    b z x'  x cos  x  y  ;  z x'  y cos  x  y    dz   xdx  ydy  cos  x  y    c zx'  e x  cos x  x sin y   e x  sin y  sin x  ;  z 'y  xe x cos y   dz  e x  cos x  sin x   x  1 sin ydx  x cos ydy     x  y   x  y  x y  x y  x  y 2 y y x  d z x'   ;    2 2 2 x  y x  y x  y  x  y     1 2  x y  x  y  x y   '    x  y   x  y  x y  x y  x  y 2x x  y   z 'y     2 2 2 x  y x  y  x  y   x  y 1 2  x y  x  y  x y   y x xdy  ydx   dz  dx  dy  x  y2 x  y2 x  y2 '   3.2 Tính các đạo hàm riêng và vi phân tồn phần cấp 2 của các hàm số sau:  a z  xe y  x y ;      b z  cos  xy    Giải a zx'  e y  xy ;  z 'y  xe y  x ;  zx''  y ;  zxy''  e y  x ;  z ''y  xe y ;  z ''yx  e y  x   Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   203 Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến   d z  ydx   e y  x  dxdy  xe y dy   ' '' '' b z x   y sin  xy  ;  zx2   y cos  xy  ;  zxy   sin  xy   xy cos  xy  ;  z 'y   x sin  xy  ;  z ''y   x cos  xy  ;  z ''yx   sin  xy   xy cos  xy    d z   y cos  xy  dx  sin  xy   xy cos  xy   dxdy  x cos  xy  dy     Bài 4.Tính gần giá trị biểu thức Để tính gần đúng giá trị biểu thức ta cần làm các bước sau:  Xác định hàm số tương ứng với biểu thức và các giá trị  x0 , y0 , x, y   Tính giá trị hàm sơ và các đạo hàm riêng cấp một của hàm số tại điểm  ( x0 , y0 ) rồi thay vào cơng thức vi phân tồn phần sau:  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )  f x' ( x0 , y0 ) x  f y' ( x0 , y0 ) y     Áp dụng vi phân để tính gần đúng giá trị của biểu thức sau:  A 2 1, 02    0, 05    Giải Ta có  A  1, 02    0, 05   1  0, 02     0, 05    2 2 Xét hàm số  f  x, y   x2  y   Ta  thấy  1  0, 02     0, 05  2  f ( x0  x, y0  y )   với  x0  1,  y0  0, x  0, 02   và  y  0, 05   Mà   f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )  f x' ( x0 , y0 )x  f y' ( x0 , y0 )y                                 f 1,0   f x' 1,  0, 02  f y' 1,  0, 05 Với  f x'  2x 33  x2  y  2 ,  f y'  2y 33  x2  y2      Vậy  1  0, 02     0, 05   12  02   0, 02   0, 05  1, 013   2   Bài Tính đạo hàm hàm hợp Phương pháp: Để tính được đạo hàm các hàm số hợp ta có hai cách:  Cách 1: (Trực tiếp) Thay biểu thức của biến số trung gian vào cơng thức cho hàm số  rồi tính đạo hàm được u cầu.  Cách 2: (Gián tiếp) Tính các đạo hàm và đạo hàm riêng rồi thay vào các cơng thức của  đạo hàm hàm hợp:  dz z dx z dy 1. Trường hợp một biến độc lập:      dt x dt y dt Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   204 Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến   dz z z dy     dx x y dx z z x z y z z x z y    2. Trường hợp hai biến độc lập:          u x u y u v x v y v Nhận xét.  Nếu  bạn  sinh  viên  nào  thành thạo trong  việc tính  đạo  hàm  riêng  thì  dùng  cách 1 tính nhanh hơn và khơng cần nhớ cơng thức tính đạo hàm hàm hợp. Nhưng tính  theo cách 2 thì thơng thường các hàm thành phần sẽ đơn giản hơn nên sẽ dễ tính đạo  hàm. Hơn nữa, với một số hàm hợp khi tính theo cách 2 sẽ nhanh và ít sai sót hơn.   dz 5.1. Cho  z  xy , trong đó  x  cos t ,  y  sin t  Tính   dt dz y 5.2. Cho  z  arctan , trong đó   y   x  Tính   với  x  0, x    x dx 2 5.3 z  3x  y với  x  2s  7t ,  y  5st  Tính các đạo hàm của z theo s, t Giải.  5.1.Cách 1:  z  xy  cos t sin t   dz d   cos t sin t  dt dt        sin t sin t  cos t.2sin t cos t         2sin t cos2 t  sin t z z dx dy Cách 2: Ta có   y ,     sin t ,    xy,    cos t   dt dt x y Vậy   dz z dx z dy   dt x dt y dt       y   sin t   xy.cos t       sin t   sin t   2cos t sin t.cos t         2sin t cos2 t  sin t 5.2. Ta có  Vậy  z  x 1 1 dy  y  z ,       ,     y   x  y  y  x dx  x 1   1    x x dz z z dy 2 y  x  x      dx x y dx  x2  y   x 5.3 Ta có  z z x x y y  x   2s  7t  ,    y  10st,    2,    7,    5t,    5s   x y s t s t Vậy   z z x z y z z x z y    24s  84t  50st  và     84s  294t  50s 2t   s x s y s t x t y t Bài 6.Cực trị tự - Cực trị có điều kiện - GTLN & GTNN hàm hai biến     Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   205 Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến   Phương  pháp  giải  các  bài  toán  này  đã  được  trình  bày  chi  tiết  kèm  các  ví  dụ  cụ  thể  trong phần 4.8 và 4.9.    Để giải các dạng tốn này các bạn sinh viên cần nhận ra đúng dạng và áp dụng  đúng các bước trong phương pháp đã trình bày.   Tuy nhiên, nhiều sinh viên dù đã nắm rõ phương pháp của từng dạng nhưng lại  khơng biết cách giải hệ phương trình, chúng ta cần để ý kĩ bước này vì nếu bước này  sai thì cả bài giải sai (dù các bước khác đúng). Sau đây, chúng ta xétthêm một số ví dụ  tham khảo nữa. Hi vọng rằng qua các ví dụ này các bạn sẽ hiểu rõ hơn và khơng cịn  sai sót ở bước giải hệ phương trình nữa.    6.1 Tìm cực trị của hàm số  f  x, y   x3  xy  x  y   Giải.  ● Tính các đạo hàm riêng:  f x'  x  y  10 x ;      f y'  xy  y  y  x  1 ;  f x''2  12 x  10 ;    f y''2   x  1 ;    f xy''  y    f x'  6 x  y  10 x  0   (1)    '  f y   y  x  1  0   (2) ● Xét hệ phương trình    y0    x  1 Phương trình (2)     x0 TH1: y   thay vào (1) ta có    5  x     y2 TH2: x  1  thay vào (1) ta có       y  2     Do đó, hàm số có 4 điểm dừng là  M1  0;0  ,  M   ;0  ,  M  1;2  M  1; 2    ● Đặt  A  f x''  12 x  10 ; B  f xy''  y ;  C  f y''   x  1   2   B  AC  y   x  1 x  5   ● Tại  M1  0;0  :    20  ,  A  10   nên hàm số đạt cực tiểu tại  M1  0;0   và  f  0,0     5 40     ● Tại  M   ;0  :       và  A  10   nên hàm số đạt cực đại tại  M   ;0    3       125 và  f   ;0       27 ● Tại  M  1;2  :    16   nên hàm số khôngđạt cực trị tại  M  1;2    ● Tại  M  1; 2  :    16   nên hàm số khôngđạt cực trị tại  M  1; 2    Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   206     6.2 Tìm cực trị của hàm số  z  x3 y   Giải Ta có  zx'  3x y ,  z 'y  3x3 y   Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến Hàm số có các điểm dừng là   0, y0   (với  y0  tùy ý) và   x0 ,   (với  x0  tùy ý).  z x''  xy ,  z xy''  x y ,  z ''y  x y   Tại   0, y0   thì  A  B  C   nên     Do đó,   0, y0   là điểm nghi ngờ có cực trị.  Ta  thấy  trong  lân  cận  của   0, y0    có  những  điểm   x, y0    mà  z  x, y0    z  0, y0    và  cũng  có  những  điểm   x, y0    mà  z  x, y0    z  0, y0   Vì  vậy,   0, y0    không  là  điểm  cực trị của hàm số đã cho.  Tương tự,   x0 ,   cũng khơng là điểm cực trị của hàm số.  Vậy hàm số khơng có cực trị.  Chú ý. Đa số các bạn sinh viên khi giải bài này chỉ tìm ra một điểm dừng duy nhất là   0,0     6.3 Tìm cực trị của hàm số  f  x, y   xy với điều kiện ràng buộc:    x, y    x  1  y     Giải.    ● Lập hàm Lagrange: L  x, y,    f  x, y     x, y   xy    x  1  y     L'x  y  2  x  1  0             (1)  ● Giải hệ phương trình   L'y  x  2 y  0                     (2)    2   x, y    x  1  y   0  (3) x + Khi  y   thì từ (2) ta rút ra      Thay vào (1) ta được:  y  x  x  1   2y Thay vào (3) và giải ra được  x   hoặc  x    Nếu  x   thì  y   (loại).  Nếu  x   thì  y   3 3 3 3  Ta được hai điểm dừng là   ,   và   ,    ứng với   2  2 3  và      2 + Khi  y   phương trình (2) cho  x   Ta có điểm dừng là   0,0   ứng với       3 3 3 3 Vậy hàm số có 3 điểm dừng là  M  0,0  ,  M1  ,    và  M  ,     2 2  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   207 Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến   Ta  thấy  hàm  số  f  x, y   xy   dương  tại  những  điểm  thuộc  nửa  trên  của  đường  tròn  C :  x  y    và âm tại những điểm thuộc nửa dưới của C. Hàm f liên tục trên tập  đóng và bị chặn C nên sẽ đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên C. Giá trị bé nhất  chỉ có thể đạt tại nửa đường trịn dưới và giá trị lớn nhất chỉ có thể đạt tại nửa đường  trịn trên. Vậy  M1  là điểm cực tiểu có điều kiện và  M  là điểm cực đại có điều kiện,  cịn  M  khơng là điểm cực trị có điều kiện vì ở lân cận của nó trên đường trịn  f   ở  nửa đường trịn trên và  f   ở nửa đường trịn dưới. Vì vậy, ta có:  f   3 3  và  f max    4 Chú ý. Khi gặp bài này các bạn sinh viên thường sai ở chỗ rút     x  mà không xét  2y  Hai trường hợp  y   và  y    C Bài tập đề nghị Bài 1. Tính các giới hạn sau (nếu có):  1.1 lim xy  y  x , y ( 1,2)  x  y  1  x2  y 1.2 1  cos y  ;   x , y (0,0) y2 lim ;  x2  y ;   x , y (0,0) x  y x3  y 1.5 lim ;   x , y (0,0) x  y x sin xy 1.7 lim ;   x , y (0,0) y 1.3 1.9 lim 1.4 sin  x  y  x y ;   x , y  (  ,  ) x  y lim 1.6 x2  y2 ;   x , y (0,0) x  y 1.8 sin xy ;   x , y (0,0)   xy lim lim   x2  y2 Bài Xét tính liên tục của các hàm số sau tại  M  0,  :  lim  x , y  (0,0)  sin  xy  ,  khi xy   2.1 f  x, y    xy   1          , khi xy    x3 y ,  khi   x, y    0,0   2.2 f  x, y    x6  y   0          , khi   x, y    0,0     xy 3 ,  khi   x, y    0,   2.3 f  x, y    x  y 0          , khi  x, y  0,      Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   208    cos x  cos y ,  khi x  y   2.4 f  x, y    x  y   0          , khi x  y   Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến Bài 3. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 và vi phân tồn phần của các hàm số sau:  3.1 z  x  y  xy ;  3 y 3.4 z  x x ;    3.7 z  ln x  x  y ;  y x x2  y2 3.2 z  ;  x  y2 3.3 z  e 3.5 yx y ;  3.6 z  x y  xy ;  3.8 z  arctan y ;  x sin ;  3.9 z  arcsin yx   x Bài 4. Chứng minh rằng  4.1. Hàm  z  ln( x  xy  y )  thỏa phương trình  x y x 4.2 Hàm  z  xy  xe  thỏa phương trình  x z z  y  ;  x y z z  y  xy  z   x y Bài 5. Tính các đạo hàm riêng và vi phân cấp 2 của các hàm số sau:  5.2 z  xy  y ;  5.1 z  ln( x  y ) ;  5.3 z  arctan x y    xy Bài Áp dụng vi phân để tính gần đúng giá trị của các biểu thức sau:  6.1 A  1, 04 2,03   6.2 B  1, 04  1,99  ln 1, 02    6.3 C  ln   1, 03  0, 98    Bài Tìm các đạo hàm của các hàm số hợp sau đây bằng hai cách (trực tiếp và gián  tiếp):  7.1 z  eu  v2 , trong đó  u  cos x,  v  x  y   x 7.2 z  ln  x2  y  , trong đó  u  xy,  v    y  7.3 f  x, y   ln  sin  x  2  , trong đó  x  3t ,  y  t    y  Bài 8. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn  y  y  x  ,  z  z  x, y  cho bởi các phương trình  sau đây:  8.1 x3 y  y x  a ;           8.2 xe y  ye x  e xy  ;               8.3 x3  y  z  3xzy  ;  y x 8.4 ln x  y  a arctan  Tính  y ',  y ''   x y z 8.5 z   y  z  Chứng minh rằng:  x z x'  z 'y    Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   209 Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến   Bài 9. Giải các bài tốn thực tế sau bằng cách ứng dụng vi phân tồn phần để tính gần  đúng:  9.1. Một tấm thép có dạng hình chữ nhật với chiều rộng 1m và chiều dài 2m. Khi bị  ảnh hưởng bởi nhiệt độ, tấm thép này bị thay đổi (có thể dãn nở thêm, co lại): chiều rộng thay đổi 2mm, chiều dài thay đổi 3mm. Hãy ước lượng, phần diện tích  tăng hoặc giảm ấy?  9.2. Khi đo bán kính đáy và chiều cao của một khối gỗ dạng hình trụ,ta được bán kính  r  0,5m   và  chiều  cao  h  2m   Biết  sai  số  khi  đo  bán  kính  là  0, 2cm ;  sai  số  khi  đo  chiều cao là  0, 3cm ;  Hãy tính sai số tuyệt đối lớn nhất khi tính thể tích của khối gỗ  trên.  9.3. Khi đo các kích thước một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật ta được các  số liệu theo chiều rộng, chiều dài và chiều cao như sau: a  2m ,  b  3m và  c  5m  Biết  sai số mỗi lần đo có thể tới  0,1cm  Tính sai số tuyệt đối lớn nhất khi tính thể tích của  bể chứa nước trên.  Bài 10. Tìm cực trị của các hàm số sau:  10.1 f   x  x2  xy  y ; 10.2 f  ( x  1)  y ; 10.3 f  x  xy  y  x  y ;    10.4 f  x  xy  y  3x  y ;   10.5 f  x3 y (6  x  y ) , với  x  0, y  ; 10.6 f  4( x  y )  x  y ; 10.7 f  x  xy  y  x  y  ; 10.8 f  x  y  xe y ; 10.9 f  x3  y3  xy  27 ;    10.10 f  x3  y  3xy ;   10.11 f  x  y  x  xy  y Bài 11 Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau:  11.1 f  xy  với điều kiện  x  y  ;  11.2 f  x  y  với điều kiện  x  y  ;  x y 11.3 f  x  y  với điều kiện    ;  11.4 f  1 1   với điều kiện      x y x y Bài 12 Tính GTLN và GTNN của các hàm số trên miền D:  12.1 f ( x, y)  x  xy  y  x  y , miền D đóng giới hạn bởi hình tam giác có các  đỉnh:  O(0;0) ,  A(3;0) ,  B(0; 3)   12.2 f ( x, y)  x  y  x  y , miền đóng D giới hạn bởi các đường thẳng  x  ;  y  ; và  x  y    12.3 f ( x, y)   xy  x  y , miền D đóng giới hạn bởi các đường  y  x ,  y    Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   210 Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến   12.4 f ( x, y)  x  xy  x  x , D là miền đóng giới hạn bởi các đường thẳng  x  ;  x  ;  y   và  y    12.5 f ( x, y)  x  y  x y  , D là miền đóng giới hạn bởi các đường thẳng  x  ;  x  1 ;  y   và  y  1   12.6 f ( x, y )   x  y ,  D là miền trịn đóng  ( x  1)  ( y  1)    12.7 f ( x, y)  x  y , D là miền trịn đóng  x  y    12.8 f ( x, y)  x3  y  3xy , với  D  0  x  2,     y  2     12.9 f ( x, y)  x  y , với  D  ( x, y )   |  x  y       Đáp số tập chương 4  Bài 1.  1.1 5 ;  1.2 1.6 Khơng có;  Bài 2.1. Liên tục; ; 1.3 Khơng có; 1.7. 0;   1.8. -3;  7.1 z  e ' x    cos2 x  x  y b 1,05.  1.5. 0;   1.9. 1.  2.2 Khơng liên tục; Bài HD: Tính các đạo hàm riêng  Bài a 1,08.  Bài 1.4 0; 2.3 Liên tục; 2.4 Liên tục.  z z  và   rồi thay vào phương trình.  x y c 0,005.     cos x sin x  x z '  ecos   ,  y 2  x  x2  y '  y  1 7.2 z  ,  z y    x y  y  1  4y   ' x 7.3 6t  5t 3t df cot    dt  t  1 t  t 1 Bài 8. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn  y  y  x  ,  z  z  x, y  cho bởi các phương trình  sau đây:  y  3x  y  x2  yz ' y  xz e y  ye x  ye xy ' z   z   ,    y '  8.1 y '  ;   8.2 ;  8.3 ;  x y xe y  e x  xe xy z  xy z  xy x  y2  x2  a  1 x  y   x  ay 8.4 y '     ,    y ''  ax  y  ax  y  y z 8.5. Tính  z x' ,  z y'  rồi thay vào phương trình:  x z x'  z 'y    Bài 10 10.1 f max  13  tại  M (4; 2) ;  10.2 f   tại  M (1;0) ;  10.3 f  1  tại  M (1;0) ;  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   211   10.4 f  9  tại  M (0;3) ;  Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến 10.5 f max  108  tại  M (3;2) ;  10.6 f max   tại  M (2; 2) ;  10.7 f   tại  M ( 1;1) ;  10.8 Tại  M (1;0) f không đạt cực trị;  10.9 Tại  M (0;0) f không đạt cực trị;  tại  M (3;3) f đạt cực tiểu;  10.10 Tại  M (0;0)  f không đạt cực trị;  tại  M (1;1) fđạt cực tiểu;  10.11 Tại  M (1; 1)  và tại  M (1;1) f đạt cực tiểu; tại  M (0; 0)  có  s  rt   Hơn nữa  f (0;0)  ,  f ( x; x)  x ( x  2)   khi   x   và  f ( x;  x)  x   khi  x   Nên f không đạt cực trị tại  M (0; 0)   Bài 11 11.1 f max   tại  M (1 2;  1 2) ; 11.2 f max   tại  M (1;  2) ; 11.3 f  36 13  tại  M (18 13;  12 13) ; 11.4 f  1  tại  M ( 1; 1) ,  f max   tại  M (1;1) Bài 12 12.1 f max  f (0; 3)  f ( 3;0)  6;    f  f ( 1; 1)  1 12.2 f max  f (1;1)  ,   f  f (1 2;1 2)  12.3 f max  f (2; 4)  ,  f  f ( 2; 4)  9 12.4 f max  f (1;2)  17;   f  f (1;0)  3 12.5 f max  f (1;1)  7;    f  f (0;0)  12.6 f max  2  2 ;   f  2  2 12.7 f max  f (  2; 0)  ;  f  f (0; 2)  4 12.8 f max  f (2; 1)  13;    f  f (0; 1)  f (1;1)  1 12.9 f max  f ( 2; 2)  2;    f  f ( 2;  2)   Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   212   TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Viết Đông, Bài tập Tốn cao cấp tập 1, NXB Giáo dục, 2002.  [2] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Bài tập Tốn cao cấp tập 2, NXB Giáo dục, 2007.  [3] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tốn cao cấp tập 2, NXB Giáo dục, 2007.  [4] Trần Ngọc Hội, Bài giảng Tốn cao cấp A1, Trường Đại học Cơng nghệ Sài Gịn (Lưu  hành nội bộ), 2009.  [5]  Trần  Văn  Thạch,  Bài giảng Toán cao cấp A1,  Trường  Đại  học  Thủ  Dầu  Một  (Lưu  hành nội bộ), 2013.  [6] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm, Phép tính vi phân tích phân hàm số nhiều biến số, NXB ĐH Sư phạm, 2005.  [7] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm, Bài tâpPhép tính vi phân tích phân hàm số nhiều biến số, NXB ĐH Sư phạm,2005.  [8] Đỗ Văn Nhơn, Giáo trình Tốn cao cấp A2, ĐH Cơng nghệ thơng tin, NXB ĐHQG  TPHCM, 2013.  [9] Vũ Gia Tê, Giải tích 1, Học viện cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng, Hà Nội, 2007.  [10]  Trần  Đức  Long  –  Nguyễn  Đình  Sang  –  Hồng  Quốc  Tồn,  Giáo trình Giải tích (Chuỗi số, Chuỗi hàm), NXB ĐHQG Hà Nội, 2004.  [11] Nguyễn Hữu Khánh, Bài giảng vi tích phân A2, Trường Đại học Cần thơ (Lưu hành  nội bộ), 2003.  [12] Lê Trọng Tường – Nguyễn Thị Thanh Hương, Cơ học, NXB ĐH Sư phạm, 2004.  [13] Lê Bá Long, Bài giảng tốn kĩ thuật, Học viện cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng, Hà  Nội, 2013.  [14]  George  B.  Thomas,  Jr.,  Thomas’Calculus early transcendentals,  Massachusetts  Institute of Technology, 2014.      Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   213   MỤC LỤC CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1  A Lý thuyết ví dụ minh họa 1  1.1. Giới hạn của dãy số thực   1  1.1.1. Các định nghĩa   2  1.1.2. Các tiêu chuẩn về giới hạn của dãy số  . 5  1.2. Giới hạn của hàm số   7  1.2.1.Các định nghĩa   9  1.2.2. Một số tính chất   17  1.2.3. Vô cùng bé – Vô cùng lớn   21  1.3. Hàm số liên tục  . 25  1.3.1. Hàm số liên tục tạimột điểm   25  1.3.2.Hàm số liên tục trên một khoảng   26  1.4. Đạo hàm và vi phân  . 28  1.4.1. Đạo hàm   29  1.4.2. Vi phân   34  1.4.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao   36  1.4.4. Ứng dụng của phép tính vi phân  37  B Bài tập có lời giải 40  Bài 1. Chứng minh sự hội tụ hay phân kỳ của dãy số.   40  Bài 2. Tìm giới hạn của hàm số   44  Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm   63  Bài 4. Khảo sát sự liên tục của hàm số   65  Bài 5. Tính đạo hàm và vi phân cấp 1   66  Bài 6. Tính đạo hàm và vi phân cấp cao  . 70  Bài 7. Khai triển Taylor và khai triển Maclaurin   72  Bài 8. Bài tập ứng dụng   78  C Bài tập đề nghị 85  CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 93  A Lý thuyết ví dụ minh họa 93  2.1. Tích phân bất định   93  2.1.1. Khái niệm tích phân bất định   93  2.1.2. Các phương pháp tích phân  . 95  2.1.3. Tích phân các hàm hữu tỷ  . 97  2.1.4. Tích phân các hàm vơ tỉ   100  2.1.5. Tích phân các hàm lượng giác  . 101  2.2. Tích phân xác định   103  2.2.1. Định nghĩa tích phân xác định.   103  2.2.2. Tính chất.   103  2.2.3. Công thức Newton-Leibnitz.   104  2.2.4. Các phương pháp tính tích phân xác định   104  2.3. Ứng dụng hình học của tích phân xác định   104  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   214   2.3.1. Diện tích hình phẳng trong hệ tọa độ vng góc   104  2.3.2. Độ dài cung đường cong phẳng  . 106  2.3.3. Diện tích của mặt trịn xoay   106  2.3.4. Tính thể tích vật thể   107  2.4. Tích phân suy rộng   108  2.4.1. Tích phân suy rộng với cận ở vơ cực (loại 1)   108  2.4.2. Tích phân của hàm khơng bị chặn (loại 2)  . 111  2.4.3. Hội tụ tuyệt đối  . 113  B Bài tập có lời giải 114  Bài 1. Tính các tích phân bất định   114  Bài 2. Tính các tích phân xác định   118  Bài 3. Tính các tích phân suy rộng loại 1   120  Bài 4. Tính các tích phân suy rộng loại 2   123  Bài 5. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng   128  Bài 6. Bài tập ứng dụng   130  C Bài tập đề nghị 136  CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUỖI 140  A Lý thuyết ví dụ minh họa 140  3.1. Các khái niệm cơ bản   140  3.1.1. Chuỗi số  140  3.1.2. Chuỗi không âm   143  3.1.3. Chuỗi đan dấu  . 148  3.1.4. Chuỗi có dấu bất kỳ   149  3.2. Chuỗi hàm số   150  3.3. Chuỗi lũy thừa  . 151  3.4. Chuỗi Taylor  . 152  3.5. Chuỗi Fourier   154  B Bài tập có lời giải 158  Bài 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số bằng định nghĩa   158  Bài 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số bằng cách sử dụng các định lý   161  Bài 3. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số   169  C Bài tập đề nghị 172  CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 176  A Lý thuyết ví dụ minh họa 176  4.1.Khái niệm hàm nhiều biến   176  4.1.1.Định nghĩa   176  4.1.2. Đồ thị của hàm số hai biến số  . 177  4.2. Giới hạn của hàm số hai biến số   179  4.3. Sự liên tục của hàm số hai biến số  . 181  4.4. Đạo hàm và vi phân của hàm số hai biến số   182  4.4.1. Đạo hàm riêng cấp một   182  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   215   4.4.2. Đạo hàm riêng cấp cao   183  4.4.3. Vi phân toàn phần cấp một   184  4.4.4. Vi phân toàn phần cấp cao   186  4.5. Đạo hàm của hàm số hợp . 186  4.5.1. Trường hợp một biến độc lập   186  4.5.2. Trường hợp hai biến độc lập   187  4.6. Đạo hàm của hàm số ẩn  . 188  4.6.1. Hàm ẩn một biến   188  4.6.2. Hàm ẩn hai biến   188  4.7. Công thức Taylor của hàm số hai biến số.   188  4.8. Cực trị của hàm số hai biến số  . 189  4.8.1.Định nghĩa cực trị   189  4.8.2. Phân loại cực trị   190  4.8.3. Cực trị tự do   190  4.8.4. Cực trị có điều kiện  . 193  4.9. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hai biến số  . 195  B.Bài tập có lời giải 199  Bài 1. Giới hạn của hàm hai biến   199  Bài 2. Sự liên tục của hàm hai biến   201  Bài 3. Tính đạo hàm riêng và vi phân tồn phần   202  Bài 4.Tính gần đúng giá trị biểu thức   204  Bài 5. Tính đạo hàm các hàm hợp   204  C Bài tập đề nghị 208  TÀI LIỆU THAM KHẢO 213 Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   216 ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP A1 Bình Dương, 03/2018 Chương Phép tính vi phân hàm biến...  là VCL? ?cấp? ?cao? ?nhất trong các VCL 3 VCL? ?cấp? ?cao? ?nhất trong các VCL  ; −2  Do đó  lim → +2 − −2 +2 − −2 +1 = lim → d) Khi  → 0 ta có   − cos + → + tan = sin = lim → Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao. .. → 0. Từ đó suy ra  ∆ = ( ) ∆ + ∆ ( )  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   34 Chương Phép tính vi phân hàm biến Dễ thấy ∆ ( ) là một VCB? ?cấp? ?cao? ?hơn VCB ∆  khi ∆  dần về 0, ta viết lại biểu