TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP A1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP A1 Biên soạn ThS Nguyễn Thị Linh ThS Huỳnh Ngọc Diễm ThS Bùi Thị Ngọc Hân Bình Dương, 032018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC T.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP A1 Biên soạn: ThS Nguyễn Thị Linh ThS Huỳnh Ngọc Diễm ThS Bùi Thị Ngọc Hân Bình Dương, 03/2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP A1 Bình Dương, 03/2018 Chương Phép tính vi phân hàm biến Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN   Vi tích phân (vi phân và tích phân) nghiên cứu về những đại lượng biến thiên,  được sử dụng rộng rãi trong các ngành khoa học và kỹ thuật, xuất phát từ những vấn  đề  mà  chúng  ta  đã  được  học  (như  vận  tốc,  gia  tốc,  dòng  điện  trong  mạch,…).  Nếu  những đại lượng thay đổi một cách liên tục, chúng ta cần phép vi tích phân để tìm hiểu  xem chuyện gì đã xảy ra với đại lượng ấy. Vi tích phân được nghiên cứu độc lập bởi  một  nhà  khoa  học  người  Anh  tên  Issac  Newton  và  một  nhà  khoa  học  người  Đức  là  Gottfried Leibnitz.        Ở  chương  này  chúng  ta  sẽ  tìm  hiểu  về  phép  tính  vi  phân,  cịn  phép  tính  tích  phân ta sẽ đề cập ở chương 2. Nhìn chung, vi phân là phép tính giúp chúng ta tìm tốc  độ thay đổi của đại lượng này so với đại lượng khác (nhiệt độ thay đổi trong thời gian  nhất định, vật tốc của 1 vật thể rơi tự do trong khoảng thời gian nhất định, sự gia tăng  dân số trong khoảng thời gian nhất định, …).    Có rất nhiều ứng dụng của phép vi phân trong khoa học và kỹ thuật đặc biệt là  trong ngành Vật lí (vận tốc, gia tốc của vật thể chuyển động thẳng hay chuyển động  cong, khảo sát trạng thái chuyển động của vật thể,…). Vi phân cịn được dùng trong  việc phân tích về tài chính, kinh tế. Một ứng dụng quan trọng của vi phân đó là tối ưu  hóa phạm vi, để dễ hình dung ta nói một cách đơn giản đó là tìm điều kiện để giá trị  lớn nhất (hay nhỏ nhất) xảy ra. Điều này rất quan trọng trong kinh doanh (để tiết kiệm  chi tiêu, gia tăng lợi ích) và cả trong kỹ thuật (để giá tiền nhỏ nhất, vật liệu sử dụng ít  nhất).  A Lý thuyết ví dụ minh họa 1.1 Giới hạn dãy số thực Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   Chương Phép tính vi phân hàm biến 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa Một  ánh  xạ f đi  từ  tập  các  số  nguyên  dương  * vào  tập  số  thực    f : *    , theo đó với mỗi số nguyên dương  n  * cho tương ứng với duy nhất  một  số  thực  xn     Mỗi  ánh  xạ  như  vậy  xác  định  một  dãy số thực như  sau:  x1 , x2 , , xn ,  viết gọn là  xn   Số  xn  được gọi là số hạng tổng quát.  Ví dụ 1.  a)  Cho  một  hàm  số  f : *     được xác  định  như  sau:  f  n   xn   3n   Khi  đó  ta có:  x1  4,  x2  7,  x3  10,  x4  13,  x5  16, Như vậy ta có dãy số sau:  4,  7,  10,  13,  16 ,  1  3n,     Với số hạng tổng quát  xn   3n             b)  xn   1, 2, 3,2, 5, , n , là một dãy số với số hạng tổng quát là xn  n      1 1  n   c) an   1, , , , , , ,   là một dãy số với số hạng tổng quát là an  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   n   Chương Phép tính vi phân hàm biến   Định nghĩa Dãy  xn  được gọi là hội tụ số thực L   0, N  N      sao cho  n  N  thì  xn  L    Và khi đó  L gọi giới hạn dãy số  xn  ,  kí hiệu:  lim xn  L  hay  xn  L  khi  n     n   Ví dụ 2.     n n a) Chứng minh rằng  lim 2n     n n  b) Chứng minh rằng  lim c) Chứng minh rằng dãy số sau đây hội tụ về 2017.  1 1 2018,  2017  ,  2017  ,  2017  ,  2017  ,    , 2017  ,     n Giải a)    cho trước  ta cần chỉ ra tồn tại số nguyên  N  sao cho  n  N  thì  1     n   Vậy với mọi  n    cho trước ta chỉ cần chọn  N  là số nguyên lớn hơn  , khi đó  n  N ta có:  xn      Nhận thấy nếu  xn     nghĩa là   n  hay    (đpcm).  n Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   Chương Phép tính vi phân hàm biến b)    cho trước,ta cần chỉ ra tồn tại số nguyên  N  sao cho  n  N  thì  2n 2n 2 2n   , mà    n   Vậy với mọi        Nhận thấy rằng  n 1 n n n  n 1 2 cho trước ta chỉ cần chọn  N    , khi đó  n  N ta có:    n   2n     (đpcm).  n n 1 2   Lưu ý.     là phần nguyên của số   c) Ta có  xn  2017  1  xn  2017   Ta cần chứng minh n n   0,  N  N       sao cho  n  N  thì  xn  2017     n 1 Thật vậy, với mọi    cho trước ta chọn  N    , khi đó  n  N ta có:    n     (đpcm) n Định nghĩa Giới hạn tại vô cực:  lim xn    E  0,  N  E    sao cho  n  N  E  thì  xn  E     n lim xn    E  0,  N  E    sao cho  n  N  E  thì  xn   E     n   Ví dụ 3. Chứng minh rằng  lim a n     (a  1)   n Giải Ta cần chứng minh E  0,  N  E   sao cho  n  N  E   thì  a n  E    Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   Chương Phép tính vi phân hàm biến n n Nhận thấy rằng để a  E  ln a  ln E  n ln a  ln E  n  ln E    ln a ln E  , khi đó n  N  E   ta có:   ln a  Vậy   E   ta chọn  N  E    n ln E  a n  E  (đpcm).  ln a Cách khác: Ta đặt  a   t    t    Ta có  n  n  1 t   t n   nt   Với  mọi  E    cho  trước  nếu  E 1  E  1  nt  E  n   Vậy ta chọn  N  E    , khi đó  n  N  E   ta có:  t  t  n a n  1  t    nt  n E 1   nt  E  a n  E  (đpcm).  t Định nghĩa 4.  Dãy   xn   được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực  a  sao cho  xi  a,  i     Dãy   xn   được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực  a  sao cho  xi  a,  i     Dãy   xn   được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là nếu  tồn tại số thực  a  sao cho  xi  a,  i     Định nghĩa 5.  Dãy   xn   được gọi là đơn điệu tăng nếu  xi  xi 1 ,  i     Dãy   xn   được gọi làđơn điệu giảm nếu  xi  xi 1 ,  i     1.1.2 Các tiêu chuẩn giới hạn dãy số a Tiêu chuẩn hội tụ 1: Nếu  yn  xn  zn ,  n  n0 với  n0  là số tự nhiên lớn hơn 0  nào đó, và lim yn  lim zn  a  thì  lim xn  a   n n  n   Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   Chương Phép tính vi phân hàm biến Ví dụ 4. Từ   ta có:  n a)  cosn cosn   vì       n n n n b)  1   vì   n    n 2 n c)   1 n 1 n   vì     1    n n n n b Tiêu chuẩn hội tụ (tiêu chuẩn Cauchy): điều kiện cần và đủ để dãy   xn   có giới  hạn là   0,  N  N      : xn p  xn    n  N ,  p     c Tiêu chuẩn hội tụ 3: - Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ.   - Dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.  - Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.  d Tính chất phép tốn: Cho   xn   và   yn   hội tụ, khi đó:  Nếu  yn  xn thì  lim yn  lim xn   n n lim  xn  yn   lim xn  lim yn   n n n  lim  xn yn   lim xn lim yn   n n  xn  yn lim  n n  xn  lim n   với lim yn     n yn  lim n e Một số giới hạn dãy số:  (với   ).                         2.  lim n n p  (với mọi p   ).   n n n 1.  lim  (với   ).  n ln  n lim   p     4.  lim n a0  a1n  a2 n   a p n    n                                                                                                            (với mọi p   ).  6.   lim q n   với   q    5.  lim n    với       n  n Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   Chương Phép tính vi phân hàm biến n 1  7.  lim 1    e   n n  n n  6n   2n  n  5  Ví dụ 5. Tìm giới hạn  lim n   n        1 n n   1 5  6n     6 6  Giải lim n  lim  lim   lim   0.1    n n n n  n  n  n      2     n    1   1 7     n 1.2 Giới hạn hàm số x2   không xác định tại  x   Một câu hỏi được đặt ra  x 1 là hàm số này sẽ có giá trị như thế nào khi  x gần sát với 1. Để trả lời câu hỏi này ta  Ta biết rằng hàm số  f ( x)  phân tích như sau:  Với mọi  x   ta có:  x   x  1 x  1 f ( x)    x  1  x 1 x 1 Như  vậy,  đồ  thị  của  hàm  f ( x)   chính  là  đồ  thị  của  hàm  y  x    nhưng  loại  bỏ  đi  điểm  1,2   như hình vẽ.    Mặc dù  f (1)  khơng xác định nhưng rõ ràng nhìn vào đồ thị ta thấy rằng chúng ta có  thể “làm cho giá trị của  f ( x)  càng gần về 2 theo ý muốn bằng cách chọn  x  đủ gần  1”. Ta có bảng số liệu cụ thể sau:  Tài liệu hướng dẫn học tập Tốn cao cấp A1   Chương Phép tính vi phân hàm biến   Một  cách  tổng  quát,  giả  sử I là  một  lân  cận  chứa  x0   f ( x)   xác  định  I \  x0    Nếu  f ( x)  gần với số  L  một cách tùy ý (gần như chúng ta muốn) với tất cả các x  đủ  gần  x0 , thì ta nói  f ( x)  có giới hạn là  L  khi  x  tiến về  x0  và viết:  lim f  x   L   x  x0 Cụ thể ở ví dụ trên ta nói  f ( x)  có giới hạn là   khi  x  tiến về 1  và viết:  x2   2  lim f  x    hoặc  lim x 1 x 1 x  Chú ý. Giới hạn của hàm số khơng phụ thuộc vào việc hàm số đó có xác định tại điểm  đang xét hay khơng, cũng khơng phụ thuộc vào giá trị của hàm số tại điểm đang xét là  bao nhiêu. Ví dụ ta xét ba trường hợp như hình sau:     Ta thấy hàm  f ( x)   khi  x   mặc dù  f  không xác định tại 1. Hàm  g ( x)    khi  x   mặc dù  g (1)   Và chỉ có hàm  h( x)  là có giới hạn khi  x   bằng với  giá trị của nó tại  x  , nghĩa là  lim h( x )   h(2)  Những hàm số như  h( x)  được  x 1 gọi là hàm số liên tục mà chúng ta sẽ nói sau ở mục sau, mục 1.3.  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1   Chương – Phép tính tích phân hàm biến   3  Do đó I  lim   ln a     a 1  2  2 4.3 I  1 sin dx   x x  2 Ta có I   2 Tính  J   a 1 sin dx  lim x x a  0 2  a 1 sin dx  lim J   x x a  0 1 dx sin dx  bằng cách đặt t    dt  , đổi cận x x x x   x  a  t  , x   t   Khi đó J    sin tdt  cos x   cos   a  a a a  1  Do đó I  lim   cos   (không xác định).  a a 0  x dx 4.4 I    x3 Ta có I   a Tính  J     x dx  x3 x dx  x3 a  lim  a 1 x dx  x3  lim J   a 1  bằng cách đặt t   x3   x   t  1, x  a  t   a  Khi đó J   3 dt  x dx , đổi cận 1 a3  dt  a3 2  t    a   3 t 2   a     Do đó I  lim   a 1  3  e ln xdx   x ln x 4.5 I   e e ln xdx ln xdx  lim   lim J   Ta có I   a 1 a 1 x ln x a x ln x e Tính  J   a ln xdx dx  bằng cách đặt t  ln x  dt  , đổi cận x x ln x x  a  t  ln a, x  e  t  1. Khi đó  J5   ln a t t dt  5 41 5 5 t ln a dt  t t ln a   ln a ln a   5  Do đó I  lim   ln a ln a     a 1  9  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 125   Chương – Phép tính tích phân hàm biến   x3dx 4.6 I      x2 a x3dx Ta có I    x2 a x xdx Tính  J   9 x  lim  a 3 x xdx  x2  lim J   a 3  bằng cách đặt t   x  x   t  xdx   dt , đổi cận x   t  9, x  a  t   a  Khi đó  J6   9a    t  dt   9a  t 9 2     9a  t dt   t  t t      9  t     a2   a2    Do đó I  lim 18  9  a    a   a   18   a 3    18  9  a  x5 dx 4.7 I      x2 a x dx Ta có I    x2 a x xdx Tính  J   4 x  lim  a 2 x xdx  x2  lim J   a 2  bằng cách đặt t   x  x   t  xdx   dt , đổi cận x   t  4, x  a  t   a  Khi đó    3  16  t   4a 2  t  t dt   16 t  t   4 4  t   t       256  16  a   a2    a2     15 256  256   a2    a2   Do đó I  lim  16  a       a2  15  15 J7   4 a2 4  t  x5 dx 4.8 I    x3 Ta có I   a Tính  J   dt   4 a2   a x5 dx  x3 x3 x dx 8 x  lim  a2 x5 dx  x3 a x x dx  lim  a 2  x3  lim J   a 2  bằng cách đặt t   x3  x   t   dt  x dx , đổi cận x   t  8, x  a  t   a  Khi   Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 126   Chương – Phép tính tích phân hàm biến   J8   8 a3 8  t  dt   8a   t  8 1 32   a   t  dt   16 t  t   3 8  t    64 16 2  a3   a3   9 16  64 2  a3  Do đó I  lim  a 2  9  dx 4.9 I   (4  x) 3 8  a   64       Ta có  dx I9   (4  x)  2 dx (4  x)  b dx (4  x)  lim  b dx (4  x)  lim  a 4 a dx (4  x)    lim J  lim K b 4 a 4 b Tính  J   dx (4  x)  bằng cách đặt t   x  dt  dx , đổi cận b x   t  2, x  b  t   b  Khi đó J    dt t2  3 t 4b  3  3  b   Tương tự  K  3  3  a       Do đó I  lim 3  3  b  lim 3  3  a    b 4 4.10 I10  x dx   x2 3 a4   Ta có  I10  x dx    x dx  x 3  x  lim  J10  lim K10 3 a  3  x dx  x2  lim   a  3  a x dx  x2 b  lim  b 3 x dx  x2   b 3 Tính  J10   a x dx  x2  bằng cách đặt x  3sin t  dx  3cos tdt , đổi cận a x  a  t  arcsin , x   t   Khi đó  J10   arctan  cos 2t 9  9  dt   t  sin 2t  a 2  arcsin  9sin t a arctan 3 9sin t.cos tdt a  a a  sin  2arcsin   arcsin  3 Tương tự  K10  arcsin b  sin  arcsin b    3    Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 127   Chương – Phép tính tích phân hàm biến   Do đó  9  9 a a b  b  I10  lim   sin  arcsin   arcsin   lim  arcsin  sin  2arcsin   a   3   3  b 3       9 9     4 Bài Xét hội tụ tích phân suy rộng   Tích phân suy rộng (loại 1 và loại 2) có một điểm khác so với tích phân thơng  thường là có xét đến sự hội tụ của tích phân. Nếu xét sự hội tụ của tích phân bằng định  nghĩa thì ta phải tính tích phân bằng định nghĩa sau đó suy ra tích phân hội tụ hay phân  kỳ. Tuy nhiên, có một số tích phân khơng dễ dàng tính được bằng định nghĩa do đó để  xét sự hội tụ của tích phân ngồi cách sử dụng định nghĩa ta có thể dùng các tiêu chuẩn  so sánh để xét. Sau đây là một số ví dụ minh họa cho các bài tốn xét sự hội tụ của tích  phân bằng cách sử dụng định lý về tiêu chuẩn so sánh.   5.1 I1   2 cos xdx x3  cos x  dx  ,  x  Ta có  3/  Mà tích phân    hội tụ (Theo kết quả Ví dụ 26). Do  3/ x x 2x  đó tích phân   2  5.2 I  Ta có  1  cos x cos xdx  hội tụ.  dx  hội tụ. Vậy  I1   32 32 x 2 x  x2  dx   x3   x2 dx  x    Mà tích phân   phân kỳ (Theo kết quả Ví dụ 26).   x x x  Do đó tích phân  I   5.3 I  1  x2  dx  phân kỳ.   x3 dx   x  3x     1 dx dx Ta có   x    Mà tích phân      hội tụ (Theo   x  3x 3x x 3x  kết quả Ví dụ 26). Do đó tích phân  I  dx   x  3x  hội tụ.    5.4 I  3 dx   x ( x  1)( x  2) Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 128   Chương – Phép tính tích phân hàm biến   Ta có   1 dx  / x    Mà tích phân   /  hội tụ (Theo kết quả  x( x  1)( x  2) x x  Ví dụ 26). Do đó tích phân  I  3 dx  hội tụ.   x( x  1)( x  2) dx   x  sin x 5.5 I   Ta có sin x  x x  0  Khi đó  x  sin x  x x  0  Mà tích phân  1 dx dx dx 0 x  0 x phân kỳ (Theo kết quả Ví dụ 29). Do đó  I  0 x  sin x phân kỳ.  xdx 5.6 I   Ta có    x3 x  x3   x3 1 dx , x  [0;1)  Mà tích phân   hội tụ (Theo kết  1 x 1 x  quả Ví dụ 29). Do đó  I   5.7 I   sin x  cos x Ta có  x3 sin x  cos x  x3 xdx  x3 hội tụ.   dx     sin  x   4      x3    sin  x   4 dx 1   5 , x   0;1  Mà tích phân   Mặt khác,  hội tụ  5 1 x  x3  x3 1 x (Theo kết quả Ví dụ 29). Do đó  I   5.8 I8   sin x e x 1 sin x  cos x  x3  dx hội tụ.  dx   sin x Ta có x  0 : sin x  x , e x   x , khi đó   e x 1 Mà tích phân   5.9 I   15 x2 x  x     15 x x dx hội tụ (Theo kết quả Ví dụ 29). Do đó  I8   sin x e x 1 dx hội tụ.  x  dx    x4 Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 129   Chương – Phép tính tích phân hàm biến   Ta có x x 1 dx hội     , x   0;1  Mà tích phân   1 x 1 x  x  x4  x4 tụ (Theo kết quả Ví dụ 29). Do đó  I    5.10 I10   2 sin xdx   x a  Ta có  I10  x  dx hội tụ.   x4 sin xdx sin xdx  lim J10     x  alim   a  x 2 1   du   dx sin xdx u  Tính  J10    bằng cách đặt   x x x  Khi đó  x 2  dv  sin xdx  v  -cos x  a a a cos x cos x cos a cos x J10   dx   dx  Do đó    3/ 2  x x 2x x 2a a  x 2 a   a a  cos a cos x cos a cos x  cos a cos x  I10  lim    / dx   lim  lim  / dx  lim   / dx a  2a a a  2a a a  2a a 2 x a   x  x   2   cos a cos a   a    Mặt khác theo Bài tập  Mà  lim   vì   a  a a 2a a 2a a  5.1ta có tích phân     sin xdx cos x hội tụ. Vậy tích phân  hội tụ.  I10   dx 3/2 x x 2   Bài Bài tập ứng dụng     6.1 Tính diện tích, thể tích, độ dài cung   Các bài tốn ứng dụng hình học của tích phân xác định để tính diện tích, thể  tích sinh viên đã được học khá nhiều ở phổ thơng. Do đó ở đây chúng ta chỉ xét một  vài bài tốn liên quan tới vấn đề này.  6.1.1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:  a)  y  x  x   và  y   x  x    Hồnh độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình:  x  x2  2x    x2  x   2x2  x         x  Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 130   Chương – Phép tính tích phân hàm biến   2  64   S   x  x  dx   x3  x  x   3     b)  y  x  x  3, y  6 x  7, x    Hồnh độ giao điểm của đường cong và đường thẳng là nghiệm của phương trình:  x2  2x   6 x   x2  4x    x  2     Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:    S  2  x3 0 56   x  x  dx    x  x     2  c)  x  a sin t , y  b sin 2t , t   0;     2 Đặt  x  a sin t    t  , y  b sin 2t    t   với   t     Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:     S    '  t    t  dt   a cos t.b sin 2t dt  ab  cos t.sin t.dt  ab   0   6.1.2 Tính độ dài cung của đường cong trong các trường hợp sau:  a)  y  x , từ  x   đến  x    ' Ta có:  y  x , y  27 l    xdx  12 x  và độ dài cung đường  cong là  13  13       đến  x  2  cos x Ta có:  y  ln  sin x  , y '   và độ dài cung đường  cong là  sin x b)  y  ln  sin x  , từ  x   l   1  cos x dx  ln   2 sin x c)  x  t  t , y  t  2, t   0; 3   Độ dài cung cần tìm là:     l t  2    2t  dt   5t  2t  1dt  10 10  14 14 10 ln     25 10 5 6.1.3 Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 131   Chương – Phép tính tích phân hàm biến   a) Tính diện tích  mặt trịn xoay, tạo nên khi quay xung quanh trục  Ox, cung parabol  y  x , với   x    Diện tích mặt trịn xoay quay xung quanh Ox là:  S  2   xdx   5 1     b) Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2y  x   và  x  y   , khi quay quanh trụcOx.  Thể tích vật thể trịn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường trên là:   x2  2x  1 128 V        dx    x  x  x  12 x  dx  2  3 15     c)  Tính  thể  tích  vật  thể  trịn  xoay  tạo  bởi  hình  phẳng  giới  hạn  bởi  các  đường   y  x   0, x  , khi quay quanh trục Oy.  Thể tích vật thể trịn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường trên là:   V   4 y  2   dy    y  y  16 dx  184   2 2   6.1.4 Một thùng rượu có bán kính hai đáy là 30   và ở giữa là 40  (như hình vẽ).  Chiều cao thùng  rượu  là 1   Hỏi  thùng  rượu  có  thể  chứa  tối  đa  bao  nhiêu  lít?  Biết  rằng cạnh bên hơng thùng rượu là đường parabol có đỉnh ngay chính giữa thùng.    Giải   Ta đặt thùng rượu nằm ngang. Theo bài tốn ta có đường cong bên hơng thùng rượu  như hình vẽ, là một parabol có đỉnh là   0,40   và đi qua hai điểm   50,30  ,   50,30    Trước hết ta sẽ tìm phương trình của parabol này. Do parabol có đỉnh là   0, 40   nên dễ  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 132   Chương – Phép tính tích phân hàm biến   thấy phương trình parabol có dạng:  y  ax  40  và do parabol đi qua điểm   50,30    nên ta tìm được  a    Từ đó ta có phương trình parabol là:  250 y x  40   250 Thể tích thùng rượu cũng chính là thể tích khối trịn xoay mà hàm  y   x  40 ,  250 50  x  50 , xoay quanh trục  Ox  Vậy thể tích thùng rượu đó là:  50 50  x4  80   V     x  40  dx      x  1600  dx  425162 cm3   250   50  250 50  62500 Mà ta đã biết  1 cm3 tương đương với  1 ml  Vậy thùng rượu có thể chứa được khoảng  425,162 l   6.2 Tính qng đường, vận tốc   Ở  bài  Đạo  hàm,  ta  đã  biết  cách  xác  định  vận  tốc  tức  thời  theo  phương  trình  ds  s (t )   Và  gia  tốc  tức  thời  là:  chuyển  động  bằng  công  thức  v  dt dv d s a   s(t )   dt dt Từ đó ta có cơng thức tính qng đường khi biết biểu thức của vận tốc:  s   vdt   Và cơng thức tính vận tốc khi biết biểu thức của gia tốc:  v   adt   6.2.1 Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc (theo  cm / s )  2 là:  a  20/ 1  2t  với   tính bằng giây. Tìm hàm vận tốc   theo  , biết rằng khi  = 0  v  30 (cm / s)   Giải Ta có:  v   adt   20 1  2t  dt  10 C   2t Khi   = 0 thì v  30   cm / s   nên ta tìm được  C  20   Vậy hàm vận tốc   theo   là:  10  20 (cm / s)    2t 6.2.2 Một tia lửa được bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc ban đầu là  15 (m / s)   Hỏi sau  2,5 s tia lửa ấy có chiều cao là bao nhiêu?  Giải v Tài liệu hướng dẫn học tập Tốn cao cấp A1 133   Chương – Phép tính tích phân hàm biến   Tia lửa chịu sự tác động của trọng lực hướng xuống nên ln có gia tốc là  9,8 m / s   Ta có:  v   adt   9,8dt  9,8t  C   Khi   = 0 thì v  15   m / s   nên ta tìm được  C  15  Vậy ta có biểu thức vận tốc là:   v  9,8t  15   Từ đó ta có biểu thức tính qng đường là:  s   vdt    9,8t  15  dt  4,9t  15t  K   Mà theo đề bài ta có khi   = 0 thì s   nên ta có  K    Vậy sau  2,5 s  tia lửa ấy có chiều cao là:   s  4,9t  15t t  2,5  6,875  m    6.3 Tính cơng lực biến thiên  Ở chương trình phổ thơng ta đã biết cơng thức tính cơng của một lực  F  khơng   đổi tác dụng lên một vật làm vật dịch chuyển tịnh tiến một vectơ d  là:    A  F d  F d cos     Với    là góc giữa lực  F  và vectơ dịch chuyển  d   Xét trường hợp lực biến đổi phụ thuộc vào vị trí của chất điểm và làm vật dịch chuyển  theo quỹ đạo là đường thẳng. Chọn trục  Ox  trùng với quỹ đạo của vật. Giả sử lực  F   là cường độ của lực phụ thuộc vào tọa độ  x  (như hình 1).       Hình 1  Để tính cơng mà lực thực hiện được khi gây ra dịch chuyển của vật từ điểm đầu x1  đến  điểm cuối x2  ta khơng thể áp dụng cơng thức trên được nữa vì bây giờ lực biến thiên  theo tọa độ của vật.  Để giải quyết bài tốn này ta chia độ dịch chuyển ra nhiều khoảng nhỏ  x bằng nhau  để có thể coi lực  F  gần như là khơng đổi trong khoảng  x  đó. Ta kí hiệu  F  x   là giá  trị trung bình của lực  F  trong khoảng  x  thì cơng mà lực thực hiện được khi làm vật  dịch chuyển một khoảng  x là:  A  F  x .x   Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 134   Chương – Phép tính tích phân hàm biến    A  có giá trị bằng diện tích hình chữ nhật gạch chéo trên hình 2.     Hình 2  Giá trị gần đúng của cơng do lực  F  thực hiện trên cả qng đường từ  x1  đến  x2 có thể  tính bằng cách lấy tổng tất cả các cơng thành phần   A :  A   A   F  x .x   Nếu ta chia các khoảng  x  càng bé, nghĩa là cho  x   ta được giá trị chính xác của  cơng  A  là:  A  lim  F ( x).x   x 0 Và theo định nghĩa của tích phân ta có cơng  A  chính là:  x2 A   F ( x)dx   x1 Dĩ nhiên công thức này cũng đúng cho trường hợp lực  F  khơng đổi ( F  là hàm hằng) 6.3.1 Một lực 1200 N nén lị xo từ chiều dài tự nhiên là 18 cm xuống cịn 16 cm. Hỏi  cơng sinh ra là bao nhiêu nếu ta tiếp tục nén lị xo từ 16 cm xuống 14 cm?  Giải Nhắc lại: Lực  F  dùng để kéo căng hay nén lị xo đi một khoảng  x  đơn vị so với trạng  thái ban đầu là:  F  kx , với  k  là hằng số lị xo (mỗi lị xo có hằng số  k  khác nhau).  Theo đề bài ta có hằng số  k của lị xo đã cho là:  1200 k  600 N / cm   Khi đó  F  600 x   Vậy cơng sinh ra khi ta tiếp tục nén lị xo từ 16 cm xuống 14 cm là:  x2 A   F ( x)dx   600 xdx  300 x x1  3600 N cm   6.3.2 Một điện tích  q1    đặt tại  một  điểm cố  định.  Đưa  một  điện  tích  q2    vào  điện trường của  q1  tại một điểm cách  q1  một khoảng  r  Dưới tác dụng của lực điện  trường  do  q1 gây  ra,  điện  tích  q2   dịch  chuyển  từ  vị  trí  r1   đến  r2   Tính  cơng  của  lực  tương tác giữa hai điện tích điểm trên.  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 135   Chương – Phép tính tích phân hàm biến   Giải Nhắc lại: Lực tương tác tĩnh điện giữa hai điện tích tỉ lệ thuận với tích điện tích của  chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Và ta có:  kq q F  r   12   r   Lưu  ý  rằng  r ở  đây  luôn  thay  đổi  nên  F là  hàm  số  phụ  thuộc  vào  r Thay  vào  cơng  thức tính cơng ta có:  r2 r2 1 1 1r dr   kq1q2      r r1 r  r1 r2  r1 r1 Đây chính là cơng thức để tính lực tĩnh điện giữa hai điện tích điểm trong vật lý.  A   F  r  dr  kq1q2  C Bài tập đề nghị Bài Tính các tính phân sau:  1.1 x3   x  1 1.2  dx  HD: Chia đa thức. ĐS: x2  2x   3ln x   C   x 1 2x  dx  HD:Đổi biến. ĐS: 2 x   ln x 1.3  x x  8.dx  HD: Đặt  t  x3   ĐS: 2x   C 2x   5 x  8  C  18 sin x dx     cos x  cos x HD: Biến đổi  sin x sin x sin x   cos x  cos x dx    cos x   cos x  1 dx   cos x  cos x dx ,đặt  t  cos x   1.4  ĐS: ln 2cos x  C 2cos x  cos x  sin x  sin x  sin x sin x  sin x dx  HD: Biến đổi   1.5  dx   dx ,                cos x cos x 2cos x  1 đặt  t  cos x  ĐS:  cos x ln 2 cos x  C cos x  1.6  cos2 x.sin x.dx  HD: Dùng cơng thức hạ bậc, nhân 2 biểu thức sau đó dùng  cơng thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.   x sin10 x sin x sin16 x sin x    C ĐS:  40 24 128 32 1.7  sin  ln x  dx  HD: Dùng tích phân từng phần 2 lần.   Tài liệu hướng dẫn học tập Tốn cao cấp A1 136   Chương – Phép tính tích phân hàm biến   x sin  ln x   x cos  ln x  C 6x  dx    1.8  x  4x  6x  2x  dx  3 dx   HD: Phân tích   2 x  4x  x  4x   x  2  ĐS: ĐS: 3ln x  x   1.9    dx    x2 arctan C 5 x4 dx  HD: Sử dụng đồng nhất thức phân tích  x  x  11x  3 x x4 1/   3/ dx       dx  ĐS: ln  x  11x   x 1 x  x    x  1  x  3  x  2 1 x 4 x3 dx  HD: Đặt  x  t  ĐS:  x  4 x  4ln  x  C 1.10  1 x Bài Tính các tích phân xác định sau:  63 2.1 x dx  HD: Dùng phương pháp tích phân đổi biến, đặt  t   x và biến đổi  1 x  x  t  , sau đó đổi cận ta được tích phân mới theo t. ĐS: 324.   2.2  sin x.cos x.dx         HD: Biến đổi   sin x.cos x.dx    cos x 2cos x  sin xdx , sau đó đặt  0 t  cos x đổi cận ta được tích phân theo t. ĐS:  xdx 2.3  1  x  2.4  x  HD: Đặt  t   x2 , đổi cận ta được tích phân theo biến t. ĐS:  x dx  HD: Biến đổi   x  x dx   x  x xdx , đặt  t   x2  x2   t , đổi cận rồi tính tích phân theo t. ĐS: Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 15 137   Chương – Phép tính tích phân hàm biến       cos x  sin x  sin x sin x dx  HD: Biến đổi   dx   dx , đặt  t  cos x ,  2.5   cos x  cos x  cos x 3 đổi cận rồi tính tích phân theo t. ĐS: 3ln  3ln  3  3ln  ln 2.6 e x  1dx  HD: Đặt  t  e x   dt  e x dx   dt  dx , đổi cận  t 1 t  dt  ĐS:   t 1 x   t  0, x  ln  t  , ta được   e2 2.7  x.e dx  HD: Sử dụng tích phân từng phần. ĐS:  4 x 2 2.8  sin  x  dx  HD: Đặt  t  x ta được tích phân từng phần. ĐS: 2 dx  27 u  ln  x  1  du  x   ĐS: 48ln  2.9  x ln  x  1 dx  HD: Đặt   2  dv  xdx  v  x   u  x  du  dx 4 x sin x  2ln dx  HD:  2.10  sin x  ĐS: cos x dv  dx  v     cos x cos x Bài Tính các tích phân suy rộng sau:   3.1 dx  ĐS: ln   x x2   3.3      3.2  3.4  xdx 1  x  ĐS:     x 1 3.7  x3 e2 dx  ĐS:  25 14     3.5  ĐS: dx   ĐS:  arctan x  x  10    dx  1 x x ln xdx 1  x  32   32   ĐS: 0     e1/ x dx  ĐS:  e x 1 3.6        3.8    dx (2  x)  ĐS: 10 e 5 10 3.9   ĐS: 3.10   x  1 ln xdx  ĐS: e  e6      9     x ln x Bài Xét sự hội tụ của các tích phân sau:  dx  4.1 x dx  ĐS: Hội tụ.  3x Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 138   Chương – Phép tính tích phân hàm biến    dx  4.2 x  x  1  x  1 2  x dx  4.3  x  1  x  3   4.4  ĐS: Hội tụ . ĐS: Phân kỳ sin xdx  ĐS: Hội tụ  x2  xdx   x cos x  ĐS: Phân kỳ 4.5 2 4.6 e x 1 0  cos xdx  ĐS: Phân kỳ 4.7 dx  x  x2 4.8 x  1 x5 4.9 . ĐS: Hội tụ dx  ĐS: Hội tụ dx   x  1 x    ĐS:Phân kỳ.  4.10 e tan x  0 ln 1  x3 dx  ĐS: Phân kỳ.  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 139   ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP A1 Bình Dương, 03/2018 Chương Phép tính vi phân hàm biến... → 0. Từ đó suy ra  ∆ = ( ) ∆ + ∆ ( )  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 34   Chương Phép tính vi phân hàm biến Dễ thấy ∆ ( ) là một VCB? ?cấp? ?cao? ?hơn VCB ∆  khi ∆  dần về 0, ta viết lại biểu ...  là VCB? ?cấp? ?thấp nhất trong các VCB3 VCBcấp thấp nhất trong các VCB  ; −2  Do đó  lim ;2 ;2 = +∞  d) Khi  → 0 ta có   − cos + + tan = sin Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 + + tan ~ ;3 + ~3   24