Tài liệu hướng dẫn học tập Toán học 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN TÀI LIỆU GIẢNG DẠY TOÁN HỌC Phân loại: Tài liệu hướng dẫn học tập Chủ biên: Ths.Đoàn Thị Diễm Ly Thành viên: Ths.Ngô Lê Hồng Phúc Ths.Nguyễn Vũ Vân Trang Bình Dương, /2018 LỜI MỞ ĐẦU Toán học là một môn học bắt buộc cho sinh viên hệ thường xuyên, liên thông, chính quy chuyên ngành giáo dục tiểu học của trường ĐH Thủ Dầu Một Đây là mợt những mơn học có nhiều kiến thức trừu tượng so với trình độ của sinh viên trường Đa số, các giáo trình sinh viên sử dụng để học tập môn học này từ các quyển giáo trình với các kiến thức trình bày chuyên sâu và xuất lâu Do vậy, nhu cầu biên soạn tài liệu hướng dẫn học tập môn Toán để phù hợp với trình độ và sử dụng cho sinh viên trường là cần thiết Mục tiêu biên soạn nhằm tạo một tài liệu học tập môn “ Toán 2” ngắn gọn, đầy đủ nội dung đề cương chi tiết môn học, đồng thời cung cấp hệ thống bài tập áp dụng phù hợp với chương trình toán Tiểu học hiện để rèn cho người học kỹ vận dụng các kiến thức vào việc giải các bài toán Tiểu học, từ hiểu được vận dụng các kiến thức học vào Toán Tiểu học Tài liệu được chia làm chương, gồm những nội dung: Cấu trúc đại số (phần lý thuyết tham khảo, tổng hợp từ [1], [2], [6]); tập hợp số tự nhiên (phần lý thuyết tham khảo từ [1], [3], [4], [5]); tập hợp số hữu tỉ dương  , tập hợp số hữu tỉ , tập hợp số thực (phần lý thuyết tham khảo từ [1], [2], [4]) Nội dung tài liệu giới thiệu một số kiến thức cấu trúc đại số, xây dựng tập số tự nhiên từ số tập hợp, xây dựng tập hợp số hữu tỷ theo sơ đồ    , xây dựng tập hợp số thực dựa khái niệm số thập phân và vận dụng các kiến thức các tập hợp số vào dạy học các tập hợp số Tiểu học Bên cạnh có trình bày lại lý thuyết, các định lí quan trọng được chứng minh (và một số định lí yêu cầu HS tự tham khảo chứng minh), hệ thống ví dụ giải chi tiết và hệ thống bài tập có hướng dẫn giải đáp số Nhóm tác giả mong muốn sinh viên có thể vận dụng các kiến thức học giải phần chứng minh lại dễ dàng tham khảo các quyển giáo trình được trích dẫn, giải các bài tập Mặc dù cố gắng biên soạn quyển tài liệu này, chắc chắn cịn nhiều thiếu sót Rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của đợc giả để tài liệu được hoàn thiện Bình Dương, tháng năm 2018 Nhóm tác giả MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Chương : CẤU TRÚC ĐẠI SỐ §1 PHÉP TỐN HAI NGÔI 1.1 Nhắc lại khái niệm ánh xạ 1.2 Phép toán hai 10 1.3 Các phần tử đặc biệt 11 § NỬA NHÓM VÀ NHÓM 13 2.1 Nửa nhóm 13 2.2 Nhóm 13 2.3 Nhóm 15 2.4 Đờng cấu nhóm 17 §3 VÀNH VÀ TRƯỜNG 20 3.1.Vành 20 3.2.Trường 26 BÀI TẬP 29 CHƯƠNG : TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN 34 §1 BẢN SỚ CỦA TẬP HỢP 34 1.1 Tập hợp tương đương 34 1.2 Bản số 35 §2 TẬP SỐ TỰ NHIÊN 36 2.1 Tập hợp các số tự nhiên 36 2.2 Phép cộng và phép nhân các số tự nhiên 37 2.3 Quan hệ thứ tự tập 37 §3 LÝ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN 39 3.1 Phép chia hết và phép chia có dư 39 3.2 Ước chung lớn 40 3.3 Bội chung nhỏ 42 3.4 Số nguyên tố và hợp số 43 §4 HỆ GHI SỚ 45 4.1 Hệ ghi số g  phân 45 4.2 Các dấu hiệu chia hết 50 §5 NỘI DUNG VÀ CƠ SỞ TỐN HỌC CỦA VIỆC DẠY HỌC MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SỐ TỰ NHIÊN Ở TIỂU HỌC 51 5.1 Nội dung dạy học số tự nhiên Tiểu học 51 5.2 Cơ sở toán học của việc dạy học một số vấn đề số tự nhiên Tiểu học 52 BÀI TẬP 53 CHƯƠNG 3: TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM  , TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ , TẬP HỢP SỐ THỰC 60 §1.XÂY DỰNG CÁC SỚ HỮU TỈ KHƠNG ÂM CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP SỚ HỮU TỈ 60 1.1 Xây dựng các số hữu tỉ không âm 60 1.2 Các phép toán tập hợp các số hữu tỉ không âm 62 §2 QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ MỚI QUAN HỆ CỦA TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM  TRONG TOÁN TIỂU HỌC 65 2.1 Quan hệ thứ tự tập hợp các số hữu tỉ không âm 65 2.2 Tập hợp số hữu tỉ không âm và phân số chương trình môn Toán Tiểu học 65 §3 TẬP HỢP SỚ THẬP PHÂN KHƠNG ÂM 69 3.1 Phân số thập phân 69 3.2 Số thập phân không âm 69 3.3 Dạng thu gọn của phân số thập phân 70 3.4 Các phép toán số thập phân 70 3.5 Quan hệ thứ tự tập số thập phân 71 3.6 Số thập phân vô hạn tuần hoàn 72 §4 SỚ THẬP PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TIỂU HỌC 73 4.1 Hình thành khái niệm số thập phân 73 4.2 So sánh số thập phân 73 4.3 Các phép toán số thập phân 74 4.4 Giới thiệu các quy tắc tính nhẩm 74 4.5 Giải toán số thập phân 74 §5 TẬP HỢP SỚ HỮU TỈ VÀ TẬP HỢP SỐ THỰC 76 5.1 Tập hợp số hữu tỉ 76 5.2 Tập hợp số thực 77 BÀI TẬP 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 Chương : CẤU TRÚC ĐẠI SỚ §1 PHÉP TỐN HAI NGƠI 1.1.Nhắc lại khái niệm ánh xạ 1.1.1.Ánh xạ Định nghĩa 1.1 Một ánh xạ f từ tập hợp X đến tập hợp Y là một quy tắc cho phần tử x thuộc X tương ứng với một phần tử xác định y thuộc Y, kí hiệu y = f(x) Ta viết: f : X Y hay x f ( x) f X  Y x f ( x) X gọi là tập nguồn hay miền xác định và Y gọi là tập đích hay miền giá trị của ánh xạ f Vậy f : X Y (1)  x  X , y  Y : y  f ( x) là ánh xạ   x f ( x) x1 , x2  X , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) (2) Lưu ý Mỗi phần tử x của X có mợt và một phần tử f(x) phần tử y của Y chưa chắc có xX thỏa y=f(x) Ví dụ 1.1 Giả sử X ={1, 2, 3, 4} và Y = {x, y, z, t} Cho các tương ứng từ X đến Y lược đồ hình bên dưới X Y X Y ▪1 °x ▪1 °x ▪2 °y ▪2 °y ▪3 °z ▪3 °z ▪4 °t ▪4 °t ▪ B Y ▪a °x ▪b °y ▪c °z ▪d °t ▪ a) b) ▪ ▪ X ▪ ▪ ▪ c) Hình ▪ ▪ Trong đó, hình 1a), phần tử của X khơng có phần tử tương ứng Y, tương ứng này khơng thỏa điều kiện (1) của định nghĩa ánh xạ; Hình 1b), phần tử của X ứng với hai phần tử x, t của Y nên tương ứng ▪ này không thỏa điều kiện (2) của định nghĩa ánh ▪ ▪ xạ; Tương ứng hình 1c) là ánh xạ vì phần tử thuộc X xác định một và một phần tử tḥc Y Ví dụ 1.2 Mợt người có quy ước giữa màu sắc trang phục làm với các ngày tuần sau: Hai xanh Ba vàng xanh Tư Năm trắng Sáu xanh đỏ Bảy Rõ ràng tương ứng xác định một ánh xạ từ tập A={hai, ba, tư, năm, sáu, bảy} đến tập hợp B={xanh, vàng, trắng, đỏ} Ví dụ 1.3 Với X  Y  Tương ứng f:  , x x2 là ánh xạ từ đến vì x  xác định một và một y  thỏa y = x+2 1.1.2 Mợt sớ ánh xạ đặc biệt • Ánh xạ hằng: là ánh xạ từ X vào Y cho mọi phần tử x thuộc X cho ảnh một phần tử y0 thuộc Y Tức là, với y0 Y cho trước ta có ánh xạ hằng: f : X Y x y0 • Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ f từ X vào chính X cho với mọi phần tử x X, ta có f(x) = x, kí hiệu 1X hay idX Cụ thể, ta có: id X : X  X x x • Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập A  X vào X cho f(x)= x với mọi x  A 1.1.3 Ảnh và tạo ảnh Định nghĩa 1.2 Cho f : X  Y là một ánh xạ, x  X tùy ý, A là tập X và B là tập của Y Khi đó, ta định nghĩa: a) f(x) là ảnh của x qua ánh xạ f hay giá trị của ánh xạ f điểm x; x được gọi là nghịch ảnh hay tạo ảnh của y với y là giá trị của ánh xạ f điểm x b) Tập của Y gồm tất các ảnh của mọi phần tử thuộc A gọi là ảnh của A qua ánh xạ f, ký hiệu là f(A) Vậy f ( A)   f (a) | a  A c) Tập của X gồm tất các tạo ảnh của mọi phần tử thuộc B gọi là tạo ảnh toàn phần B qua ánh xạ f, ký hiệu là f 1 ( B) Vậy : f 1 ( B)   x  X | f ( x)  B Nếu B là tập có mợt phần tử {b}, thì ta viết f 1 (b) thay cho f 1 ({b}) và f 1 (b)   x  X | f ( x)  b Ví dụ 1.4 Cho A = {-1, 0, 1}; B = {-1, - 2}; C = {3} và ánh xạ f:  x 3x  Khi f(A) = {-1, , 5}; f(B) = {-1, - 4}; f(C) = {11} 1 4   1  và f 1 ( A)  -1, - ,-  ; f 1 ( B)  1,   ; f 1 (C )  f 1 (3)    3 3   3 1.1.4 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh Định nghĩa 1.3 Ánh xạ f : X  Y được gọi là đơn ánh với mọi y thuộc Y tồn nhiều một x thuộc X cho y= f(x) Từ định nghĩa ta suy ra: Ánh xạ f : X  Y là đơn ánh và x1 , x2  X , x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ), hay Ánh xạ f : X  Y là đơn ánh và x1 , x2  X , f ( x1 )  f ( x2 ) thì x1  x2 Lưu ý Nếu ánh xạ f được cho dưới dạng y=f(x) thì ta có thể chứng minh f là đơn ánh cách xét phương trình y=f(x), x xem là ẩn và y là tham số Nếu phương trình này có khơng quá một nghiệm x  X với mọi y  Y thì f là một đơn ánh Ví dụ 1.5 Ánh xạ đồng id X : X  X x x là một đơn ánh Ánh xạ f:  x3 x là một đơn ánh, vì x1 , x2  , x1  x2 thì x13  x23 Ánh xạ f : \ 0  x x là một đơn ánh, vì với x1 , x2  Ánh xạ \ {0}, x1  x2 thì 1  x1 x2  f: x x2 là đơn ánh vì –2 và có mợt ảnh là 4, nói cách khác, tồn x1 , x2  , x1  x2 mà f ( x1 )  f ( x2 ) Định nghĩa 1.4 Ánh xạ f : X  Y được gọi là toàn ánh f ( X )  Y , tức là, với mọi y thuộc Y tồn ít một x thuộc X cho y = f(x) Lưu ý Nếu phương trình y=f(x) ln có nghiệm x  X với mọi y  Y thì f là một toàn ánh Ví dụ 1.6 Ánh xạ đồng idX là một toàn ánh Ánh xạ f:  x3 x là một toàn ánh, vì phương trình x3  y ln có nghiệm x  y với mọi y  Ánh xạ f : \ 0  x x là toàn ánh, vì phương trình  y, y  x có nghiệm và y  Định nghĩa 1.5 Ánh xạ f : X  Y được gọi là song ánh f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, tức là, với mọi y  Y tồn phần tử x  X cho y=f(x) Vậy f là một song ánh và f là tương ứng một-một giữa hai tập hợp Lưu ý Nếu phương trình y = f(x) có nghiệm x  X với mọi y  Y thì f là một song ánh Ví dụ 1.7 Ánh xạ đồng idX là mợt song ánh vì là vừa là đơn ánh vừa toàn ánh Cho A ={1, 2, 3} và B = {x, y, z} là hai tập hợp Khi đó, giữa A và B tờn song ánh A B x y z Tương tự, ánh xạ f:  x x3 cũng là mợt song ánh • Minh họa bằng lược đồ Venn ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ Đơn ánh ▪ không toàn ánh ▪ Song ánh Toàn ánh không đơn ▪ ánh ▪ 1.1.5 Tích ánh xạ ▪ Định nghĩa 1.6 Cho hai ánh xạ f : X  Y và g : Y  Z Khi đó, ánh xạ X Z x ▪ go ( f ( x)) được gọi là tích của ánh xạ f và ánh xạ g, kí hiệu g f ▪hay gf Ví dụ 1.8 Cho các ánh xạ f :  ,x x, g :  ,x 2x 1 Khi đó, ánh xạ tích g f và f g được xác định bởi: g f ( x)  g ( f ( x))  g (2 x)  x  1, và f g ( x)  f ( g ( x))  f (2 x  1)   x  1  x  Nhận xét a) Phép tích ánh xạ khơng có tính giao hoán, nghĩa là g f  f g b) Nếu f : X  Y là một ánh xạ bất kì thì ta ln có f id X  idY f  f Định lí 1.1 Giả sử f : X  Y , g : Y  Z là các ánh xạ Khi i) Nếu f, g là đơn ánh thì ánh xạ tích g f là một đơn ánh ii) iii) Nếu f, g là hai toàn ánh thì ánh xạ tích g f là một toàn ánh Nếu f, g là hai song ánh thì ánh xạ tích g f là một song ánh Chứng minh Giả sử g f : X  Z là ánh xạ tích của hai ánh xạ f và g i) Với mọi x1 , x2  X , giả sử x1  x2 Do f là đơn ánh, ta suy f ( x1 )  f ( x2 ) Mặt khác, g là đơn ánh nên g ( f ( x1 ))  g ( f ( x2 )) hay g f ( x1 )  g f ( x2 ) Vậy g f là đơn ánh ii) Vì g là toàn ánh, nên với mọi z  Z , tồn y  Y cho g(y) = z Mặt khác, f cũng là toàn ánh, nên với mọi y  Y , có x  X cho y = f(x) Suy ra, với mọi z  Z, tồn x  X cho g f (x) = g(f(x)) = g(y) = z Vậy g f là toàn ánh iii) Suy từ i) và ii).■ 1.1.6 Ánh xạ ngược Định nghĩa 1.7 Cho f : X  Y và g : Y  Z là hai ánh xạ thỏa g f  id X và f g  idY Khi đó, g được gọi là ánh xạ ngược của f, kí hiệu g = f -1 Nhận xét • Từ định nghĩa, ta suy f cũng là ánh xạ ngược của g • Khơng phải bất kì ánh xạ nào cũng có ánh xạ ngược Định lí sau cho điều kiện tồn ánh xạ ngược Định lí 1.2 Ánh xạ f : X  Y có mợt ánh xạ ngược và f là song ánh Chứng minh Bạn đọc tham khảo chứng minh [2] Nhận xét Nếu f : X  Y , x được xác định y f ( x) có ánh xạ ngược là f 1 : Y  X thì ánh xạ f 1 f 1 ( y)  x , với f(x) = y Ví dụ 1.9 Ta có tương ứng sau là song ánh: f:  x x3 Ta có f ( x)  x  y  x y Do f có ánh xạ ngược là: f 1 : y  y Dễ dàng kiểm tra được f f 1  id và f 1 f  id Mẫu số của phân số cần tìm là 156 – 65 = 91 65 Vậy phân số cần tìm là 91 Dạng 2: Các bài toán so sánh phân số Khi giải các bài toán dạng này, ta thường vận dụng các quy tắc rút gọn phân số và các quy tắc so sánh phân số trình bày phần Ngoài ra, ta có thể bổ sung mợt số phương pháp khác Chẳng hạn: Tính chất 2.4: (quy tắc so sánh hai phân số có tử số) Trong hai phân số có tử số, phân số nào có mẫu số lớn nhỏ Tính chất 2.5: (quy tắc so sánh bắc cầu) Nếu c e a e a c  và  thì  d f b f b d §3 TẬP HỢP SỚ THẬP PHÂN KHƠNG ÂM 3.1 Phân sớ thập phân Các phân số 7 , , , có mẫu là các lũy thừa của 10 với số mũ là một số tự 10 100 1000 nhiên Các phân số dạng này hay gặp phép đo các đại lượng Để tiện lợi tính toán, đo đạc và sử dụng thì người ta đưa một cách biểu diễn riêng cho các phân số loại này Định nghĩa 3.1: Cho a được gọi là phân số thập phân, b dạng lũy thừa số 10 b với số mũ tự nhiên  b n , n  Ví dụ 3.1: Phân số Phân số nói  55 47 , , , 10 100 1000 2 là phân số thập phân là phân số thập phân Ta  25 25 100 là phân số được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân 25 3.2 Số thập phân không âm Số hữu tỉ r gọi là số thập phân khơng âm, có mợt đại diện là phân số thập phân (hay nói cách khác, phân số đại diện của biểu diễn được dưới dạng thập phân) Tập tất các số thập phân không âm ta kí hiệu là 10 a biểu diễn được dưới dạng phân số thập phân và b mẫu số b của khơng có ước nguyên tố nào khác và Định lí 3.1 Phân số tối giản 69 Ví dụ 3.2: các phân số ,  125 40 10 vì 125  53 , 40  23.5 3.3 Dạng thu gọn của phân số thập phân Như biết: số thập phân có mợt cách biểu diễn là phân số thập phân Cách biểu diễn này có nhược điểm là cồng kềnh, không tiện lợi thực hành tính toán Vì vậy, ta thường biểu diễn các số thập phân dưới dạng thu gọn: 351  3,51 ( đọc 100 là ba đơn vị nguyên và năm mươi mốt phần trăm ba phẩy năm mươi mốt.Vậy dạng thu gọn của số thập phân là dạng viết khơng có mẫu số của phân số thập phân theo quy tắc: – Bỏ mẫu số đồng thời dùng dấu phẩy phân chia các chữ số của tử số thành hai nhóm: nhóm thứ đứng bên phải dấu phẩy, có số chữ số số chữ số mẫu số; nhóm thứ hai gờm các chữ số cịn lại của tử số, đứng bên trái dấu phẩy – Nếu số chữ số của tử số ít hay số chữ số mẫu số thì ta viết thêm những chữ số vào trước tử số trước dùng dấu phẩy phân chia – Số đứng bên trái dấu phẩy gọi là phần nguyên, nhóm các chữ số đứng bên phải dấu phẩy gọi là phần thập phân của số thập phân Chẳng hạn, số thập phân 35,0048 có phần nguyên là số 35, phần thập phân là nhóm các chữ số 0048 Như vậy, số thập phân có hai cách biểu diễn: dạng phân số và dạng thu gọn 3.4 Các phép toán số thập phân Mỗi số thập phân là một số hữu tỉ Vì vậy, xây dựng các phép toán số thập phân cách ta đưa phép toán tương ứng với số hữu tỉ Chẳng hạn: Ví dụ 3.3 Cho a  1,88; b  1,5 Tính tổng a+b a  b  1,88  1,5  188 150 338    3,38 Vậy a  b  3,38 100 100 100 Nhận xét: Xây dựng phép cộng các số thập phân theo quy trình có ưu điểm là đảm bảo tính hệ thống và chặt chẽ phương diện lí thuyết, có nhược điểm là cờng kềnh và dài dòng thực hành tính toán Vì vậy, thực hành phép cộng các số thập phân ta thường áp dụng quy tắc dưới Quy tắc 3.1 Muốn cộng một số thập phân với một số thập phân làm sau: 1) Làm cho số chữ số phần thập phân của chúng (bằng cách viết thêm chữ số vào hàng thiếu) 2) Viết số nọ dưới số cho các dấu phẩy thẳng cột 70 3) Cộng cộng hai số tự nhiên 4) Đặt dấu phẩy tổng thẳng cột với dấu phẩy của các số hạng Cũng tương tự ta có quy tắc thực hành phép trừ Quy tắc 3.2 Muốn trừ một số thập phân với một số thập phân ta làm sau: 1) Làm cho số chữ số phần thập phân của chúng (bằng cách viết thêm chữ số vào hàng thiếu); 2) Viết số trừ dưới số bị trừ cho các dấu phẩy thẳng cột; 3) Trừ trừ hai số tự nhiên; 4) Đặt dấu phẩy hiệu thẳng cột với dấu phẩy của số bị trừ và số trừ Quy tắc 3.3 Quy tắc thực hành phép nhân Muốn nhân một số thập phân với một số thập phân ta làm sau: 1) Nhân nhân hai số tự nhiên; 2) Ta đếm xem phần thập phân của hai thừa số có chữ số rồi dùng dấu phẩy tách tích nhiêu chữ số kể từ phải sang trái Quy tắc 3.4 Quy tắc thực hành phép chia Muốn chia một số thập phân cho một số thập phân ta làm sau: 1) Bỏ dấu phẩy số chia đồng thời dời dấu phẩy số bị chia từ trái qua phải số chữ số số chữ số phần thập phân của số chia (trường hợp số chữ số phần thập phân của số chia nhiều số bị chia thì ta viết thêm chữ số vào hàng thiếu); 2) Chia chia hai số tự nhiên, chia hết chữ số phần nguyên của số bị chia, đặt dấu phẩy thương rồi tiếp tục chia 3) Khi chia hết các chữ số phần thập phân của số bị chia, dư, ta viết thêm chữ số vào bên phải số dư rồi tiếp tục chia 3.5 Quan hệ thứ tự tập số thập phân Mỗi số thập phân là một số hữu tỉ không âm Vì vậy, xây dựng quan hệ thứ tự tập số 10 ta đưa so sánh các số hữu tỉ không âm Chẳng hạn: Ví dụ 3.4 Cho a  1,88; b  1,5 So sánh a và b a 188 15 150 188 150 ;b      a  b 100 10 100 100 100 Tương tự đối với phép cộng, xây dựng quan hệ thứ tự tập số thập phân theo cách có ưu điểm phương diện lí thuyết có nhược điểm thực hành so sánh Vì vậy, so sánh các số thập phân người ta thường vận dụng một hai quy tắc sau: Quy tắc 3.5: Muốn so sánh một số thập phân với một số thập phân ta làm sau: 1) Làm cho số chữ số phần thập phân của chúng (bằng cách viết thêm chữ 71 số vào hàng thiếu) 2) Bỏ dấu phẩy, ta nhận được hai số tự nhiên 3) So sánh hai số tự nhiên vừa nhận được, số nào lớn thì số thập phân ứng với lớn Nếu hai số tự nhiên thì hai số thập phân cũng Quy tắc 3.6 Muốn so sánh hai số thập phân ta làm sau: 1) So sánh phần nguyên với phần nguyên, số nào có phần nguyên lớn lớn hơn; 2) Nếu phần nguyên của chúng thì ta so sánh chữ số phần mười, số nào có chữ số phần mười lớn lớn hơn; 3) Nếu phần mười của chúng thì ta so sánh chữ số phần trăm và tiếp tục gặp hàng lớn hơn; 4) Nếu phần nguyên và các chữ số phần thập phân của chúng thì hai số 3.6 Sớ thập phân vô hạn tuần hoàn Trong mục này, số hữu tỉ có thể biểu diễn một số thập phân theo nghĩa rộng Trước hết ta bắt đầu bài toán cụ thể Ví dụ 3.4.Tìm các số thập phân là xấp xỉ của số hữu tỉ 13 11 thì ta được số 1,18 100 thì ta được số 1,181 - Nếu sai số không vượt quá 1000 - Nếu sai số không vượt quá - Nếu sai số không vượt quá thì ta được số 1,1818 10000 Cứ tiếp tục quá trình ta được kết quả: không bao giờ được một số thập phân “xấp xỉ” mà lại a  Ta viết: a  13 11 13  1,181818  1,(18) 11 và gọi 1,(18) là số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn với chu kì 18 (số viết dấu ngoặc để chu kì của số thập phân đó) 285 Ta nhận được kết sau: 22 - Nếu sai số không vượt quá thì ta được số 12,954 1000 Ta tiếp tục xét số hữu tỉ b  72 - Nếu sai số không vượt quá 106 thì ta được số 12,95454 Ta nhận được số thập phân vô hạn tuần hoàn, chu kì (là 54) không bắt đầu từ chữ số thập phân thứ (bằng 9) mà bắt đầu từ chữ số thập phân thứ hai Những số ta gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp Trong trường hợp này ta viết: b 285  12,9  54  22 Một cách tổng quát, giả sử số hữu tỉ a là số thập phân b Ta thực hiện liên tiếp phép chia a cho b (bằng cách thêm chữ số vào bên phải số dư sau phép chia và lại tiếp tục chia) Ta thấy sau một số bước (tối đa là b bước) ta gặp lại số dư r nào mà ta gặp bước trước Khi quá trình lặp lại Các thương bợ phận lặp lại một cách tuần hoàn Số thập phân nhận được có vơ số chữ số phần thập phân, có mợt nhóm chữ số phần thập phân lặp lặp lại một cách tuần hoàn Nhóm chữ số lặp lại được gọi là chu kì của số thập phân vơ hạn t̀n hoàn §4 SỚ THẬP PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TIỂU HỌC 4.1 Hình thành khái niệm sớ thập phân Thơng qua thao tác cụ thể, khái niệm “số thập phân” được hình thành cho học sinh thông qua hai đường: – Số thập phân là cách viết khơng có mẫu số của phân số thập phân – Số thập phân là cách viết thu gọn thay cho cách biểu diễn số đo của các phép đo đại lượng đơn vị đo phức hợp Thông qua các ví dụ số thập phân, sách giáo khoa rút cho học sinh nhận xét: số thập phân có hai phần, phần nguyên là một số đứng bên trái dấu phẩy, phần thập phân là mợt nhóm các chữ số đứng bên phải dấu phẩy Phần nguyên và phần thập phân được phân cách dấu phẩy Chẳng hạn 12,048 (12 là phần nguyên, 048 là phần thập phân) và đọc là mười hai phẩy không bốn tám 4.2 So sánh số thập phân Tương tự đối với phân số, so sánh hai số thập phân ta hướng tới hai tình huống: – Rút kết luận số này lớn (hoặc bé hơn) số – Rút kết luận hai số cách sử dụng quy tắc Muốn so sánh hai số thập phân ta có thể làm sau: – So sánh các phần nguyên của hai số so sánh hai số tự nhiên, số thập phân 73 nào có phần nguyên lớn thì lớn hơn; – Nếu phần nguyên của hai số thì so sánh phần thập phân, lần lượt từ hàng phần mười, hàng phần trăm, hàng phần nghìn, đến một hàng nào mà số thập phân nào có hàng tương ứng lớn thì lớn hơn; – Nếu phần nguyên và phần thập phân của hai số thì hai số Đờng thời sách giáo khoa cũng giới thiệu quy tắc: – Nếu viết thêm (hoặc xóa đi) chữ số bên phải phần thập phân của một số thập phân thì được một số thập phân 4.3 Các phép tốn về sớ thập phân Khi dạy bốn phép tính số thập phân, sách giáo khoa Toán sử dụng cách trình bày thống nhất: từ một bài toán thực tế, hình thành cho học sinh ý nghĩa phép toán Qua phân tích các thao tác đối với bài toán nêu trên, rút cho học sinh quy tắc thực hành phép tính Chẳng hạn, xuất phát từ bài toán: “May áo hết 1,54m vải, may quần hết 1,72m vải Hỏi may áo và quần hết mét vải?” Sách giáo khoa dẫn dắt học sinh đến với ý nghĩa của phép cộng số thập phân Từ phân tích lời giải của bài toán rút cho học sinh quy tắc (xem quy tắc 3.1, 3.2, 3.3, 3.4) Tương tự đối với phân số, các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối, của bốn phép tính số thập phân, sách giáo khoa dành cho học sinh tự rút thông qua những bài tập cụ thể 4.4 Giới thiệu quy tắc tính nhẩm – Nhân một số thập phân với 10, 100, 1000, – Chia một số thập phân cho 10, 100, 1000 4.5 Giải tốn về sớ thập phân Các bài toán số thập phân Tiểu học có thể phân thành dạng bản: – Các bài toán cấu tạo số thập phân (tìm một số thập phân cho biết một số điều kiện số đó) – Các bài toán so sánh số thập phân – Các bài toán rèn kĩ thực hành bốn phép tính số thập phân (tính giá trị biểu thức cách hợp lí tìm thành phần chưa biết của phép tính ) – Điền chữ số thay cho các chữ phép tính số thập phân – Toán tỉ số phần trăm 74 Dạng 1: Các bài toán cấu tạo số thập phân Khi giải các bài toán dạng này, ta có thể dùng phương pháp liệt kê, phương pháp thử chọn, phương pháp tìm hai số biết hiệu và tỉ tổng và tỉ số của chúng Ngoài ra, có thể bổ sung thêm mợt số tính chất sau: Tính chất 4.1: Khi rời dấu phẩy của một số thập phân từ trái sang phải một, hai, ba, hàng thì số tăng gấp 10, 100, 1000, lần Ví dụ 4.1 Khi bỏ quên dấu phẩy của mợt số thập phân có mợt chữ số phần thập phân thì số tăng thêm 888,3 đơn vị Tìm số thập phân Giải: Khi bỏ quên dấu phẩy của mợt số thập phân có mợt chữ số phần thập phân thì số tăng gấp 10 lần Hiệu số phần nhau: 10-1=9 (phần) Số thập phân là: 888,3 :9 = 98,7 Ví dụ 4.2 Các chữ số phần mười, phần trăm và phần nghìn của số thập phân có ba chữ số phần thập phân theo thứ tự là ba số chẵn liên tiếp Tích các chữ số phần thập phân phần nguyên của số Các chữ số phần nguyên và phần thập phân khác Tìm số thập phân Giải: Phần thập phân của số thập phân có thể là: 024; 246; 468; 420; 642; 864 Phần thập phân 024 246 468 420 642 864 Phần nguyên 48 192 48 192 Số thập phân 0,024 48,246 192,468 0,420 48,642 192,864 Kết luận Loại Loại Chọn Loại Loại Chọn Vậy số thập phân cần tìm là 192,468 và 192,864 Dạng 2: Các bài toán so sánh số thập phân Ví dụ 4.3 Viết tất các số thập phân có chữ số (gồm phần nguyên và phần thập phân) mà các chữ số của chúng Sau đó: a) Sắp xếp các số theo thứ tự từ bé đến lớn b) Từ lớn đến bé Giải : Các số thiết lập được là: 9,999; 99,99; 999,9 a) Xếp các số theo thứ tự từ bé đến lớn 9,999; 99,99; 999,9 b) Xếp theo thứ tự từ lớn đến bé 999,9; 99,99; 9,999 Dạng 3: Các bài toán rèn kĩ thực hành bớn phép tính sớ thập phân 75 Khi giải các bài toán dạng này, ta thường vận dụng các quy tắc thực hành bốn phép tính, các tính chất của bốn phép tính, quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép tính và các quy tắc nhân, chia nhẩm, Ngoài các quy tắc nhân, chia nhẩm với 10; 100; 1000; ta có thể bổ sung thêm: – Quy tắc nhân (hoặc chia) một số với 0,5 – Quy tắc nhân (hoặc chia) một số với 0,25 Dạng 4: Các bài toán điền sớ vào phép tính Các bài toán dạng này thường gặp hai loại: – Vận dụng quy tắc thực hành bốn phép tính để giải – Dùng phân tích cấu tạo số để giải Dạng 5: Toán tỉ số phần trăm Các bài toán dạng này ta thường gặp loại sau: – Cho hai số a và b Tỉm tỉ số phần trăm của a và b – Cho b và tỉ số phần trăm của a và b Tìm a – Cho a và tỉ số phần trăm của a và b Tìm b – Một số nội dung phối hợp Ví dụ 4.4 Lãi suất tiết kiệm là 0,65% một tháng Cô Thuỷ gửi tiết kiệm 12 000 000 đờng Hỏi sau mợt tháng có tất tiền lãi và tiền gửi? Giải: Số tiền lãi Thuỷ có sau mợt tháng là: 12 000 000 : 100 x 0,65 = 78 000(đ) Số tiền gửi và tiền lãi Thuỷ có là 12 000 000 + 78 000 = 12 078 000(đ) Đáp số: 12 078 000 đờng §5 TẬP HỢP SỚ HỮU TỈ VÀ TẬP HỢP SỚ THỰC 5.1 Tập sớ hữu tỉ 5.1.1 Sự cần thiết phải xây dựng tập số hữu tỉ Trong các chủ đề trước, mở rộng tập số tự nhiên hữu tỉ không âm  Nếu dừng lại tập số hữu tỉ không âm: để được tập số – Nhiều phép trừ không thực hiện được – Biểu diễn số đo của hai phép đo đại lượng ngược chiều gặp khó khăn, chẳng o o hạn, đợ cao và chiều sâu, lỗ và lãi, nhiệt độ C và dưới C, Do nhu cầu phát triển của toán học và các ngành khoa học kĩ thuật khác, người ta 76 mở rộng tập số hữu tỉ không âm  thêm những số mới để khắc phục hạn chế nêu 5.1.2 Xây dựng tập số hữu tỉ Trên tích Đê-các   ta định nghĩa quan hệ hai sau: Với (r; s) và (r'; s')    , ta định nghĩa (r; s) ~ (r'; s') r + s' = r' + s Từ định nghĩa ta dễ dàng suy "~" là một quan hệ tương đương xác định tập   theo quan hệ tương   Áp dụng định lí tập thương, ta có thể phân chia tập đương "~" và nhận được tập thương Ta gọi tập thương tập     / ~ / ~ là tập số hữu tỉ và kí hiệu là Mỗi phần tử của ta gọi là một số hữu tỉ 5.1.3 Các phép tốn tập sớ hữu tỉ với hai phép toán cợng và nhân nói Từ định nghĩa ta dễ dàng suy tập là một trường Ta gọi là trường số hữu tỉ Trên tập hợp số hữu tỉ, các phép toán cộng, trừ, nhân, chia cũng tương tự tập hợp  5.1.4 Quan hệ thứ tự tập số hữu tỉ ( Tương tự 5.1.5 Số thập phân (trong   ) Mỗi số thập phân không âm r cũng là mợt số hữu tỉ, ta có r  Từ ta mở rợng khái niệm số thập phân tập số hữu tỉ được gọi là số hữu tỉ r  là 10 ) 10 - r  10 sau: số thập phân r Tập tất các số thập phân ta kí hiệu 5.2 Tập số thực 5.2.1 Sự cần thiết phải xây dựng tập số thực Cho đến nay, mở rộng các tập hợp số theo sơ đồ sau    thì: nhiều phép khai không thực hiện được, nhiều Nếu dừng lại tập số hữu tỉ phương trình không tìm được nghiệm hữu tỉ, số đo của nhiều phép đo đại lượng không biểu diễn được Vì những lí đây, ta phải mở rộng tập số hữu tỉ thêm những số mới để đáp ứng yêu cầu phát triển của toán học và các ngành khoa học khác 5.2.2 Xây dựng tập sớ thực Có nhiều cách xây dựng tập số thực, dưới ta trình bày cách xây dựng tương đối đơn giản: mở rộng tập số thập phân để được tập số thực Trong các tiểu chủ đề trước, xét hai loại số thập phân: số thập phân (có 77 hữu hạn chữ số phần thập phân) và số thập phân vô hạn tuần hoàn Ngoài hai loại số thập phân nói trên, ta cịn gặp mợt loại “số thập phân” thứ ba: là những số thập phân có vơ số chữ số phần thập phân, các chữ số phần thập phân không lặp lặp lại theo bất kì một quy luật nào Mỗi số thập phân ta gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn Mỗi số thập phân vô hạn không tuần hoàn ta gọi là một số vô tỉ Tập tất các số vô tỉ ta kí hiệu là I Tập tất các số hữu tỉ và các số vô tỉ tạo thành tập số thực, kí hiệu là Như vậy:   I , với I là tập hợp số vô tỉ Ví dụ 5.1 0,712; –4,008; 13,9 là các số thập phân 3,9545454 = 3,9(54) –2,(18) là các số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,4142135 –2,6457513 là các số thập phân vơ hạn khơng t̀n hoàn (hay cịn gọi là các số vô tỉ) Mỗi số 0,72; –4,008; 13,9; 3,9(54); –2,(18); 0,4142135…; –2,6457513… là một số thực 5.2.3 Các phép tốn tập sớ thực Theo định nghĩa số thực, số thực x có dạng : x  a, x1 x2 x3 xk a là một số nguyên và xk  0,1, 2,3,  Giả sử x và y là hai số thực, đó: x  a, x1 x2 x3 xk và y  b, y1 y2 y3 yk a) Tổng gần cấp k của x và y là số: A  x  y  a, x1 x2 x3 xk  b, y1 y2 y3 yk b) Hiệu gần cấp k của x và y là số: B  x  y  a, x1 x2 x3 xk  b, y1 y2 y3 yk c) Tích gần cấp k của x và y là số: C  x y  a, x1 x2 x3 xk b, y1 y2 y3 yk d) Thương gần cấp k của x và y là số: D  x : y  a, x1 x2 x3 xk : b, y1 y2 y3 yk Ví dụ 5.2 Cho x = 0,9545454 và y = –7,2 Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần cấp của x và y Ta có : x  y  0,954  7, 200  6, 246 x  y  0,954  7, 200  8,154 x y  0,954  7, 200   6,8688  6,869 x : y  0,954 :  7, 200   0,1325  0,133 78 BÀI TẬP 3.1.Xác định tập hợp các phân số xác định số hữu tỉ a)r  b)r  c)r  d )r  Lưu ý: SV tự làm 3.2.Cho hai số hữu tỷ lần lượt có phân số đại diện là 13 10 và Tính tổng, hiệu, tích, 90 39 thương của chúng Lưu ý: SV tự làm 3.3.Thực hiện các phép tính sau một cách nhanh 1 1 1  + + + + 32 16 64 5 5 5 b)      18 54 162 486 2 2 2 c)       12 24 48 96 192 63 910 b Đáp số: a 64 243 a) c 127 96 3.4.Điền số thích hợp vào chỗ chấm a)  13    C  C     35   35   11     C     16   16   11    C  C     21   21  b) C  c) Lưu ý: SV tự làm 3.5.Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn 200, chia tử và mẫu ) cho ta được phân số tối giản Tìm phân số (Đáp sớ: 40 3.6.Khi nhân tử và mẫu của một phân số tối giản với ta được mợt phân số có tổng của tử và mẫu 12 Tìm phân số tối giản (Đáp số: ) 3.7.Khi nhân tử và mẫu của một phân số tối giản với ta được mợt phân số có tích của tử và mẫu 100 Tìm phân số tối giản (Đáp sớ: ) 3.8.Tìm một phân số phân số Biết tổng của tử số và mẫu số 180 79 80 ) 100 3.9.Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn 210 Tổng của tử số và mẫu số 15 ) 29 Tìm phân số (Đáp sớ: 14 3.10 So sánh hai phân số sau: (Đáp số: 439 429 361 238 và ; c) và 441 451 357 295 439 429 361 238 b) < ; c) > Đáp số: a) < ; 441 451 357 295 a) và ; b) 3.11.Một ki-ốt bán vải, buổi sáng bán được vải, buổi chiều bán được vải Phần vải bán buổi chiều nhiều phần vải bán buổi sáng là m Hỏi buổi bán được mét vải Đáp số: Buổi sáng 16m, buổi chiều 21m 3.12.Một tiệm buôn sau bán lần thứ được vải, lần thứ hai được vải, thì lại 13 m Hỏi vải lúc đầu dài mét Đáp số: 35m 3.13.Tổng độ dài vải trắng và vải xanh là 55 m Biết độ dài vải trắng độ dài vải xanh Hỏi dài mét Đáp số: vải trắng 22m, vải xanh 33m 3.14 Tổng số học sinh của lớp 4A và lớp 4B là 88 học sinh Biết lớp 4A thì số học sinh của số học sinh của lớp 4B Hỏi lớp nào có nhiều học sinh hơn, và nhiều Đáp số: 4A 40 học sinh, 4B 48 học sinh 3.15.Hãy tìm mợt phân số có tổng của tử số và mẫu số 66 và phân số sau rút 24 ) gọn thì được phân số (Đáp số: 42 3.16.Hỏi phải cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số được một phân số mới sau rút gọn được phân số một số tự nhiên nào để 23 (Đáp số: 33) 80 3.17.Tìm một số tự nhiên x cho lấy tử số và mẫu số của phân thức x thì được mợt phân số mới 31 trừ số 59 (Đáp số: 24) 41 Tìm số tự nhiên x cho trừ x vào tử số và trừ x mẫu số thì 89 được phân số mới có giá trị (Đáp số: 5) 3.18 Cho phân số 23 Tìm số tự nhiên x cho cộng x vào tử số và trừ x mẫu thì 82 được phân số mới có giá trị (Đáp số: 7) 3.19.Cho phân số 3.20.Lan mang 45 trứng bán Lần thứ bán được được số trứng Lần thứ hai bán số trứng lại sau lần thứ Hỏi số trứng cịn lại ? (Đáp sớ: 18) 3.21.Biểu diễn số hữu tỉ sau dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn: 30 40 17 229 ; ; ; 11 572 99 Lưu ý: SV tự làm 3.22.Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng số hữu tỉ không âm: a) 0,(7) b) 10,(09) c) 5,(243) d) 1,4(72) e) 23,00(54) f) 2,11(6) Lưu ý: SV tự làm 3.23.Cho bốn chữ số 0, 1, 2, Hãy viết các số thập phân lớn 12, cho chữ số cho xuất hiện cách viết một lần Sau xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn Đáp số: 12,03 < 12,30 < 13,01 < 13,10 < 20,13 < 20,31 < 21,03 < 21,30 < 23,01 < 23,10 < 31,02 < 31,20 < 32,01 < 32,10 3.24.Cho năm chữ số 0, 4, 5, 6, Hãy viết các số thập phân nhỏ 50, cho chữ số cho xuất hiện cách viết mợt lần.Sau xếp chúng theo thứ tự từ lớn đến bé Hướng dẫn: tương tự 3.23 3.25.Khi lùi dấu phẩy của một số thập phân từ phải qua trái mợt hàng thì số giảm 11,07 đơn vị Tìm số thập phân Đáp sớ: 1,23 (Tương tự ví dụ 4.1) 3.26.Khi bỏ quên dấu phẩy của một số thập phân có hai chữ số phần thập phân thì số tăng lên 537,57 đơn vị Tìm số thập phân Đáp sớ: 5,43 (Tương tự ví dụ 4.1) 3.27.Phần nguyên của một số thập phân là số có hai chữ số có tổng các chữ số Bớt 81 phần nguyên ta được số có hai chữ số giống Đọc các chữ số của số thập phân theo thứ tự ngược lại (từ phải sang trái) thì số khơng thay đổi Tìm số thập phân Đáp sớ: 45,54 3.28.Điền chữ số thích hợp thay cho * vào biểu thức: 0,06 < 0,0*9 < 0,071 Lưu ý: SV tự làm 3.29.Tìm x biết rằng: a)14, 25  ( x  4,15)  1, 25  5,35 b)2  1,58 :  x  0,   1,9 Đáp số: a.3,5 b.16,2 3.30.Có mợt bình đựng 80g nước muối loại 8% muối Phải đổ thêm vào bình gam nước để được một bình nước muối chứa 5% muối? Đáp số: 48g 3.31.Tính giá trị biểu thức một cách hợp lí: 250.1,8  25.12,8  292.2,5     97  225 Lưu ý: SV tự làm 3.33.Cho một số thập phân, dời dấu phẩy của số sang bên trái hai chữ số ta được số thứ hai Lấy số ban đầu trừ số thứ mới ta được hiệu 261,657 Hãy tìm số thập phân ban đầu Đáp số: 264,3g (Tương tự ví dụ 4.1) 3.34.Trong một phép trừ, biết tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu là 65,4 Số trừ lớn hiệu là 4,3 Tìm số bị trừ, số trừ của phép trừ đó? Đáp sớ: SBT là 32,7, số trừ là 18,5 3.35.Khi thực hiện phép trừ một số tự nhiên cho một số thập phân mà phần thập phân có mợt chữ số, bạn Bình chép thiếu dấu phẩy nên tiến hành trừ hai số tự nhiên và tìm được kết là 164 Em viết phép trừ ban đầu, biết hiệu của phép trừ là 328,7 Đáp số: 347 - 18,3 = 328,7 (Tương tự ví dụ 4.1) 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1].Trần Diên Hiển(chủ biên) – Bùi Huy Hiền(2003), Giáo trình tập hợp số, NXB Giáo dục [2].Trần Diên Hiển – Nguyễn Tiến Tài – Nguyễn Văn Ngọc(2003), Giáo trình Lí thuyết số, NXBĐHSP [3].Trần Diên Hiển – Nguyễn Văn Ngọc(2003) Giáo trình Tốn cao cấp NXB ĐHSP [4].Trần Diên Hiển – Nguyễn Xuân Liêm(1996), Cơ sở lí thuyết tập hợp và lơgíc tốn, NXB Giáo dục [5].Đỗ Đình Hoan và tập thể tác giả (2003), Toán 1, 2, 3, 4, 5, NXB Giáo dục [6] Hoàng Xuân Sính (1996), Đại số đại cương, NXB Giáo dục 83 ... hệ nhị phân + 02 12 02 02 02 12 12 1 02 Bảng nhân hệ nhị phân  02 12 02 02 02 12 02 12 4 .2 Các dấu hiệu chia hết Để đơn giản ta giới hạn việc trình bày hệ thập phân 4 .2. 1 Dấu hiệu chia... học sau: Cách 2: Ta có: 428  306  122 306  122  184; 184  122  62 122  62  60 62  60  Vậy UCLN ( 428 , 306)  Nhận xét: Nếu a, b  cho b a thì UCLN (a, b)  b 3 .2. 3 Tính chất của... rồi chuyển kết sang hệ bát phân 540 728  324 68  22 586  17 02  24 288  573408 48 Ví dụ 4.5 Tính 324 68  758 Giải 324 68  758 20 4768 27 2 128 _ 3 126 168 Giải thích các bước thực hiện: