BÀI tập CHUYÊN đề học PHẦN TOÁN CAO cấp a3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN KHOA MÔI TRƯỜNG & KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP A3 Nhóm thực : Nhóm Lớp : MTH-204-CIS Giảng viên giảng dạy : ThS PHAN QUÝ Đà Nẵng, 11/2021 download by : skknchat@gmail.com STT Họ Tên Nguyễn Duy Nhật Tân (Nhóm trưởng) Trần Quang Dũng Phan Trọng Huy Nguyễn Lam Trường Huỳnh Tấn Phát Trần Văn Nhân Nguyễn Văn Thành Nam Võ Đại Duy Trần Anh Quân 10 Nguyễn Đắc Trung 11 Nguyễn Văn Tấn 12 Huỳnh Văn Thuận 13 Nguyễn Anh Quốc 14 Đỗ Anh Duy 15 Nguyễn Vĩnh Long 16 Đặng Thị Hồng Nhung 17 Trần Thị Thu Hiền 18 Lê Gia Bảo 19 Lê Hồng Hải 20 Thái Quang Hịa 21 Trần Đức Duy Ghi chú: -A,B mục lớn download by : skknchat@gmail.com A XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỪ THỰC TẾ Bài toán 1: Trộn hai bể Bể T1 T2 ban đầu chứa 100 gal nước.Trong T1 hoàn toàn nước trong bể T2 thả 150 lb phân bón vào Tuần hồn chất lỏng với tốc độ 2gal/phút Gọi t thời gian lượng phân bón bể T1 T2 thay đổi Hỏi thấy bể T1 có lượng phân bón nửa số lại bên T2? download by : skknchat@gmail.com Bài tốn 2: Mạch điện Tìm I1 I2 mạch.Giả sử thời điểm t=0 I1=0 I2=0 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài toán 1: Bể T1 T2 ban đầu chứa 100 gal nước.Trong T1 hoàn toàn nước trong bể T2 thả 150 lb phân bón vào Tuần hồn chất lỏng với tốc độ 2gal/phút Gọi t thời gian lượng phân bón bể T1 T2 thay đổi Hỏi thấy bể T1 có lượng phân bón nửa số lại bên T2? download by : skknchat@gmail.com Bài làm Với bể thời gian lượng phân bón thay đổi lấy lượng vào(inflow) trừ cho lượng ra(outflow).Nên có: y1’= Lượng vào/ phút- lượng /phút= y 1’ Tương tự với bể 2: y2’= Lượng vào/ phút- lượng ra/phút = y2 Tương đương với : y1’=-0.02 y1 +0.02 y2 y2’=0.02 y1 -0.02 y2 Ta có: + + λ1=0 λ2= 25 −1 100 = -0.04 Với λ1=0 chọn nghiệm p1=1 p2=1 y11=1 e0 =1 y21=1 e0 =1 Với λ2= y12= -1 y22= Từ ta có y1= C1 - download by : skknchat@gmail.com y2=C1+ e−0.04 t C2 Nhìn vào biểu đồ cho ta thấy với y1(0)=0 y2(0)=150 Nên ta lại có: C1-C2=0 C1+C2=150 =>C1=C2=75 Vậy y1= 75 y2=75+ Nhìn vào giả thiết: Hỏi thấy bể T1 có lượng phân bón nửa số cịn lại bên T2 Lượng phân bón ban đầu T2 150lb để giả thiết T1 có 50lb T2 có 100lb Nên: 75 - e−0.04 t 75 =50 => t =27,47 Vậy cần 27,47 phút để thấy bể T1 có lượng phân bón nửa số cịn lại bên T2 Bài tốn 2: Tìm I1 I2 mạch.Giả sử thời điểm t=0 I 1=0 I2=0 Với nửa bên trái: -Điện áp giảm cuộn cảm: V=L download by : skknchat@gmail.com -Điện áp qua cuộn cảm: R1 (I1- I2)=4(I1- I2) (I1- I2 I1 I2 chạy ngược chiều qua cuộn cảm) Theo định luật Kirchhoff: Tổng điện áp mạch điện áp chung Nên ta có : I1’+4(I1- I2) =12 => I1’=12- I1 +4 I2 (1) Với nửa bên phải: -Điện áp qua cuộn cảm: +R2 I2=6 I2 + R1 (I2- I1)=4(I2- I1) -Điện áp qua tụ điện: Theo định luật Kirchhoff: Tổng giá trị điện áp dọc theo vòng Ta có: I2+4 I2-4 I1+4 10.I2-4I1 + Từ (1) ta có => I2’ =-1,6 I1 + 1,2 I2 + 4.8 Vậy: - I1’=-4I1 + 4I2 + 12 - I2’ =-1.6 I1 + 1.2 I2 + 4.8 Ta có: + λ1=−2 + λ2=−4/5=-0.8 Với λ1=−2 chọn p1=2 p2=1 I11=2 e−2 t I21=1 e−2 t = e−2 t Với λ2=-0.8 chọn p1=1.25 p2=1 I12=1.25 e−0.8 t I22=1 e−0.8t = e−0.8t Vậy I1=2 e−2 t C1 + 1.25 e−0.8 t C2 I2= e−2 t C1+ e−0.8t C2 Lại xét phương trình đặc trưng: - a1 + a2 + 12=0 -1.6 a1 + 1.2 a2 + 4.8=0 => a1=3 a2 =0 Vậy I1=2 e−2 t C1 + 1.25 e−0.8 t C2 +3 I2= e−2 t C1+ e−0.8t C2 Theo giả thiết: Giả sử thời điểm t=0 I1=0 I2=0 download by : skknchat@gmail.com Ta có: 2C1 + 1.25.C2 + =0 C1 + C2 =0 =>C1=-4 C2=4 Vậy : I1=-8 e−2 t + e−0.8 I2=-4.C1+ e−0.8t t +3 C ÁP DỤNG Bài tập : (Huỳnh Văn Thuận) y1’ = y1 + 2y2 y2’ = 2y1 + y2 det(A – λ I) = |1−2 λ2−2 λ−3=0 [λ =−1 λ - Với λ1=−1 2=3 ta có hệ phương trình: [ Ta chọn nghiệm: Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=−1 là: download by : skknchat@gmail.com −2 p 1+2 p 2=0 {2 p 1−2 p 2=0 Ta chọn nghiệm: Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=3 {x =1e t t là: =e3 Tóm lại nghiệm tổng qt hệ phường trình vi phân là: Bài tập : (Huỳnh Văn Thuận) y1’ = -y1 + 4y2 y2’ = 3y1 - 2y2 λ det(A – - Với −1−(−5) [ p 1+4 p 2=0 {3 p 1+3 p 2=0 Ta chọn nghiệm: Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=−5 là: - Với [ −13−2 {3 p 1−4 p2=0 download by : skknchat@gmail.com − p 1+4 p =0 p1 = Ta c họn nghiệ m: { p2 =1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với x = e2 t { y = e2 t Tóm lại nghiệm tổng quát hệ phường trình vi phân là: −5t x =−C1 e { y=C1 e−5 t +C2 e2 t Bài tập : (Trần Anh Quân) {y ' =4 y + y y'2=4 y1 + y2 Lời giải: Ta có phương trình đặc trưng: det ( A – λ I )=0 [4−4 λ 4− λ ]=0 λ2−8 λ+12=0 [ λ=6 (nghi ệm đ ơn) λ=2(nghi ệm đ ơn) ta có hệ phương trình: Với λ=6 [4−46 −16 {− p + p =0 ][pp ]=[00] 2 p1−2 p2=0 −2 p1+ p2 =0 Ta chọn nghiệm {pp ==12 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=6 6.t {xy==1.2.ee t là: L ực đàn hồồi: F= k Δl Theo đị nh luật II Newton: F= m Do đó: k Δl = mg Xét khồối m1: Ta có gia tồốc đạ o hàm cấốp 2ủc m1 m1.y1’’ = -(k1+k2)y1 -k2y2 m1.y1’’+ (k1+k2)y1 +k2y2=0 y1’’= Tương tự khồối m2: m2y’’=k2(y1-y2) m2k2’’-k2y1+k2y2=0 y2’’= Ta có: Từ (1) (2) kêốt ợh p k1=3, k2=2, m1=1, m2=1 tacó: {yy 21 =2=−5y 1−2 y 1+2 y y2 '' '' [yy 21 ' '] = [−25 '' Ta có: y’’=Ay Đặt λ=ω2 Mà theo ra: y=x eωt -> λ x = A x -> det ( A-> λ =-1 λ =-6 Với λ =-1 ta có: −4 [ −1][xx 21] Chọn {xx 21==21 => x= [21] Với λ =-6 ta có: −1 [ ]x download by : skknchat@gmail.com {xx12==−12 => x= [−12] Chọn λ Vậy nghiệm pt là: { y 1=C 1∗e 2=2C 1∗e √ω t √ ω1 t −2C 2∗e −C 2∗e √ω 2t √ω t vớ i ω 12=−1, ω 22=−6 y vớ i vớ i ω 12 =− 1, ω 22=−6 Bài tập 22: (Nguyễn Đắc Trung) { y '= y y'2=−9 y1 Lời giải: Ta có phương trình đặc trưng: det ( A – λ I )=0 [0 − − λ λ2 +1=0 λ=i 0− λ ]=0 [ λ=−i Với λ=i {−i p [0−−1i +p =0 − p1− i p2=0 p1+i p2=0 Ta chọn nghiệm {pp ==−1i Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=i x =−i ei t {y =1.e Với λ=−i i t ta có hệ phương trình: là: download by : skknchat@gmail.com { [ 0−−(−1 i p +1 p =0 −1 p1 +i p2=0 p1−i p2=0 Ta chọn nghiệm {p =i p =1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=−i là: Tóm lại nghiệm tổng quát phương trình vi phân là: { x =−i C1 ei t +i C e−i t −i t i.t y=C1 e +C2 e Bài tập 23: (Nguyễn Đắc Trung) {y ' ' =2 y + y y 2=5 y1−2 y2 Lời giải: Ta có phương trình đặc trưng: det ( A – λ I )=0 [2−5λ ] −2 − λ = λ2−9=0 [λ=−3λ=3 Với λ=3 [ { − p− p 2−53 =0 p1−5 p2=0 p1 − p2=0 Ta chọn nghiệm download by : skknchat@gmail.com {pp ==11 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=i p1+ là: p2 =0 Ta chọn nghiệm { p2 p1 =−1 5= Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=−i − là: x = e−3.t { y = e−3 t Tóm lại nghiệm tổng quát phương trình vi phân là: x =C1 { y=C1 e3 t +C2 e−3.t Bài tập 24: (Nguyễn Văn Tấn) y1’ = 1y1 + 3y2 y2’ = y1(0)= 12, y2(0)= Giải: download by : skknchat@gmail.com det(A – - Với [ 1 { p1+1 p2=0 Ta chọn nghiệm: Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với - Với [ 1 { − p1 +3 p2=0 p1−1 p2=0 Ta chọn nghiệm: Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với { t t y =3 e2 =3 e2 Tóm lại nghiệm tổng quát hệ phường trình vi phân là: {y =9 C +3 C e 1 y2 =C1 +C 2 2t e2t Thay y1(0)= 12, y2(0)= ta được: download by : skknchat@gmail.com { 12=9 C1 +3 C2 e2t 2=C1 +C2 e2 {C t = C12 = Bài tập 25: (Nguyễn Văn Thành Nam) {y = ' y ' y 2= y1 Lờ i giải: Ta có phương trình đặc trưng: det ( A – λ I )=0 [0−1 λ ] 0− λ =0 λ2−1=0 [λ=−1λ=1 Với λ=¿ [ 0−11 {− p + p =0 p1 −1 p2=0 p − p2=0 Ta chọn nghiệm {pp ==11 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=i là: 1.t {xy==1.1.ee 1.t Với λ=−1 download by : skknchat@gmail.com [ 0−(−1 {1 p + p =0 p1+1 p2=0 p1+ p2=0 Ta chọn nghiệm {p 1=−1 p2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=i x =−1 e−1 t {y=1 e − là: 1.t Tóm lại nghiệm tổng quát phương trình vi phân là: { x =C1 et −C2 e−t y=C { et +C2 e−t Thay y1(0)= 0, y2(0)= ta được: 0=C1 e0−C2 e−0 2=C1 e0 +C2 e−0 {C =1 C2=1 Bài tập 26: (Trần Đức Duy) { y'1=−2 y1+2 y2 y'2=−2 y1−2 y2 Lời giải: Ta có phương trình đặc trưng: det ( A – λ I )=0 [−−2−2λ ] −2 − λ =0 λ2+4 λ+8=0 download by : skknchat@gmail.com 2i p +2 p =0 { p1−i p2=0 Ta chọn nghiệm { là: p =i p2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=−2−2 i x=i e(− −2 i)t {y=1 e (− − ) 2i t Với λ=−2+2i ta có hệ phương trình: [−−22i − i p 1+2 p2=0 {−2 p −2i p =0 p1+i p2=0 Ta chọn nghiệm { là: p1=−i p2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=−2+2i x =(−i) e(−2 +2 i)t { y=1 e { (− + 2i ) t Tóm lại nghiệm tổng qt phương trình vi phân là: x =C1 i e(−2−2 i)t +C2 (−i).e −(2+2 i)t y=C1 e(− −2 i ) t−C2 e(−2+2 i)t Bài tập 27: (Trần Đức Duy) { y'1=−6 y1−1 y2 y'2=−9 y1−6 y2 download by : skknchat@gmail.com Lời giải: Ta có phương trình đặc trưng: det ( A – λ I )=0 [−−6−9 λ − − 6− λ ]=0 λ2 +12 λ+27=0 [λλ==−−39 Với λ=−9 ta có hệ phương trình: [−39 − { p− p ][pp ]=[00] 12 =0 −9 p1+3 p2=0 {p −31 p =0 Ta chọn nghiệm {p = 1 p2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=−9 x= { e là: (−9).t y = e(−9).t Với λ=−3 ta có hệ phương trình: [−−93 p −p =0 {(−3) −9 p −3 p =0 1 2 {p + 13 p =0 Ta chọn nghiệm {p =3 −1 p2=1 Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ứng với λ=−3 là: download by : skknchat@gmail.com { x =( −1 ) e y=1 e(−3 ).t Tóm lại nghiệm tổng quát phương trình vi phân là: { y=C e(−9)t +C2 e(−3)t download by : skknchat@gmail.com ... nửa số lại bên T2? download by : skknchat@gmail.com Bài tốn 2: Mạch điện Tìm I1 I2 mạch.Giả sử thời điểm t=0 I1=0 I2=0 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài toán 1: Bể T1 T2 ban đầu chứa 100 gal nước.Trong T1... Hịa 21 Trần Đức Duy Ghi chú: -A,B mục lớn download by : skknchat@gmail.com A XÂY DỰNG BÀI TỐN TỪ THỰC TẾ Bài tốn 1: Trộn hai bể Bể T1 T2 ban đầu chứa 100 gal nước.Trong T1 hoàn toàn nước trong... 1.25.C2 + =0 C1 + C2 =0 =>C1=-4 C2=4 Vậy : I1=-8 e−2 t + e−0.8 I2=-4.C1+ e−0.8t t +3 C ÁP DỤNG Bài tập : (Huỳnh Văn Thuận) y1’ = y1 + 2y2 y2’ = 2y1 + y2 det(A – λ I) = |1−2 λ2−2 λ−3=0 [λ =−1 λ