Hsg toán 9 2223 tứ kỳ

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN TỨ KỲ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9, VÒNG II Năm học 2022 – 2023 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút (Đề thi này gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) 1[.]

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN TỨ KỲ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9, VÒNG II Năm học 2022 – 2023 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a a2 P  1 a  a 1  a  1 1) Rút gọn biểu thức: với   a  3 2) Cho x, y , z số dương thỏa mãn: z  x  y 3xy  z Tính giá trị biểu thức: Câu (2,0 điểm) M  2025   x  y  x2  1) Giải phương trình: x2  x 1 x3 2) Giải phương trình: Câu (2,0 điểm)  x2 2022  z 2022 15  x 40 1) Cho hai số nguyên x y, thỏa mãn liên tiếp x  y  2  xy  x  y  Chứng minh x y hai số phương  x; y  thỏa mãn  x  y   30 y x 2) Tìm cặp số tự nhiên Câu (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H Trên đoạn thẳng AD lấy điểm  M cho BMC 90 Gọi S , S , S2 diện tích tam giác BAC, BMC, BHC S  SS2 a) Chứng minh rằng: b) Gọi K , P hình chiếu D BE ,CF Chứng minh KP//EF 2) Trên cạnh BC ,CA , AB tam giác ABC lấy điểm M , N , P Đặt S1 ,S2 ,S3 ,S diện S1.S2 S3  S3 64 tích tam giác ANP, BMP, CMN, ABC Chứng minh rằng: Câu (1,0 điểm) Cho số a , b , c dương, thỏa mãn a  b  c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c P   b  ab c  bc a  ca Hết -* Lưu ý: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay làm Họ tên thí sinh: SBD: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP - VỊNG II Năm học 2022 - 2023 MƠN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Đáp án Câu (2 điểm) Điểm P 1) Rút gọn biểu thức: a a   a2  a 1  a  1 với   a  0,25 Ta có a  a2 a2   a    a  a    a      a 1    a  1  a  1 2 1 a  Do a2  a 1 0,25 a 1  a  a 1 0,25 a a   a 1  0 a 1 với   a   a   ; a  a a P  a 1  a  a 1 a 1 Suy 0,25 3 2) Cho x, y , z số dương thỏa mãn: z  x  y 3xy  z 2022  z 2022 Tính giá trị biểu thức:  z  x3  y  z x  y   z 3xyz  x  y  z 3xy  z  z 3 xyz  z Ta có  2  xyz  x3  y  z 0   x  y  z    x  z    y  z    x  y   0   M  2025   x  y  x  y  z 0  x  y  z   x  y  Vì x, y , z số dương nên Suy M  2025   x  y  (2 điểm) 2022 x2   z 2022  2025 45 x2  x  1 2 * Với 0,25 0,25 0,25  x2  x2  15 0    x 1  x 1  x2 a a  2a  15 0   a  1 16 Đặt x  , PT trở thành  a 3  Giải  a  a 3   z 2022 0,25 15 1) Giải phương trình: ĐK: x  x2 x x2 x x2   15  x  x  15  x 2 x   x  1 x 1  x  1 x  x   x  15 0    x x 1  x 1  2022 0,25 x2 3  x  3x  0 x 1 0,25 0,25 Giải * Với x  21 a   0,25 x2   x  x  0 x 1  5 Giải Đối chiếu với điều kiện kết luận nghiệm x3  x 40 2) Giải phương trình:  x ĐK:  x     x  x x3  x2  x 40  x  x  x 40  x  x3  x  x x  0    x3   x   0,25  x 2  x  *  x 0  x 0   *    2  x 4  x 4  x Giải x 2 Đối chiếu kết luận x 2 nghiệm phương trình x  y  2  xy  x  y  1) Cho hai số nguyên x y, thỏa mãn Chứng minh x y hai số phương liên tiếp x  y  2  xy  x  y   x  y   xy  x  y 0 Ta có  x  y   xy  x  y 4 x  (2 điểm) 0,25  2   x  y  1 4 x   x  y  1 22 x Do x , y số nguyên nên x số phương Đặt x a với a số tự nhiên, ta có: a 2  y   2a   a  y  2a  y  a  1  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 y  a  1 Vì x a nên x y hai số phương liên tiếp 0,25 x; y  x  y   30 y  x   2) Tìm cặp số tự nhiên thỏa mãn Ta có:  x  y   30 y  x   x  y  30 y  x 30 y  30 x 30  x  y  (*)  x 0 x  y 0    y 0 + Nếu  x 0  Thử lại thấy  y 0 thỏa mãn đề 0,25 0,25   x  y  30  32 25 x  y  + Nếu , từ (*)  x 0  x 1  x  y   x  y 1     y 1  y 0  0;0  ,  1;0  Thử lại kết luận có hai cặp số thỏa mãn 0,25 0,25 (3 điểm) 1) Vẽ hình: a) Chứng minh rằng: S1  SS2 Ta có tam giác BMC vng M, đường cao MD nên MD BD.CD AD BD    AD.DH BD.CD ∽ CDH CD DH Mặt khác ADB (g.g) 1 1  MD AD.DH   MD.BC   AD.BC DH.BC 2 2  Do S12 S.S2  S1  SS2 Suy b) Gọi K , P hình chiếu D BE ,CF Chứng minh KP//EF Gọi I , Q hình chiếu D AB , AC AE AH  EQ DH Ta có HE//DQ nên 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 AF AH  HF//DI nên FI DH AE AF  EQ FI  IQ//EF (1) Do AF BD  Lại có: DI//EC nên FI DC BD BK  DK//EC nên DC KE BI BK  Do IF KE  IK//EF (2) Tương tự ta có PQ//EF (3) Từ (1), (2) (3) suy bốn điểm I, K, P, Q thẳng hàng Do KP//EF 2) Trên cạnh BC ,CA , AB tam giác ABC lấy điểm M , N , P Đặt S1 ,S2 ,S3 ,S diện tích tam giác ANP, BMP, CMN, ABC Chứng minh rằng: S1.S2 S3  S 64 0,5 0,25 Câu (1,0 điểm) Kẻ BH ⊥ AC , PK ⊥ AC ( K , H ∈ AC ) PK AP  Ta có PK//BH nên BH AB S1 PK.AN AP.AN   S BH.AC AB.AC Lại có S1 BP.BM S3 CM.CN  ;  Tương tự ta có: S AB.BC S CA.BC S1.S2 S3 AP.AN BP.BM CM.CN AP.BP CM.BM AN.CN   AB.AC AB.BC CA.BC AB2 BC2 CA Suy S 1 2 AP.BP    AP  BP    AP  BP     AP  BP   AB2   4 Lại có CM.BM AN.CN AP.BP  ;   CA 4 Tương tự ta có: BC2 Suy AB S1.S2 S3 AP.BP CM.BM AN.CN   64 AB2 BC2 CA Do S S1.S2 S3  S3 64 Suy Cho số a , b , c dương, thỏa mãn a  b  c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c P   b  ab c  bc a  ca a a a  b2   b  1             b b2  a b  b2  a  b  a  b a b3  ab b b  a Ta có: Tương tự: b 1 c 1   ;   c  bc c b a  ca a c 0,25 1 1 1 11 1            4a a a b c 4a b c Ta có  1 1 1 1 1 a b c P             b  ab c  bc a  ca  a b c   a b c  Vậy a b c 3  P      1  b  ab c  bc a  ca  a  b  c  Hay 0,5  0,5 0,25 0,5  Ghi chú: HS làm cách khác so với đáp án câu cho điểm tối đa Hết