Đại số tổ hợp - Chương 2 Đại số 11

Tổng hợp kiến thức, bài tập Đại số tổ hợp, một số kinh nghiệm giải các dạng toán

Khi đó công việc có thể thực hiện theo : n1n2n3 n k cách

Ví dụ : Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thủy Cần chọn một đường để đi từ A đến B Hỏi có mấy cách chọn ?

Giải

Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 2 phương án : đường bộ hoặc đường thủy

Đường bộ : 3 đường có 3 cách chọn

Đường thủy : 2 đường có 2 cách chọn

Và 2 phương án này độc lập với nhau Vậy theo qui tắc cộng ta có tất cả:

3 + 2 = 5 cách chọn

Ví dụ : Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia, 5 loại nước ngọt Một thực khách cần chọn đúng một loại thức uống Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Giải Thực khách có 3 phương án chọn :

 Tổng quát :

Một công việc nào đó có thể bao gồm kcông đoạn A A A1, 2, 3 ,A k Nếu công đoạn A1 có n1

cách thực hiện và ứng với mỗi cách trong công đoạn A1có n2 cách thực hiện công đoạn A2, ứng với mỗi cách trong công đoạn A2có n3 cách thực hiện công đoạn A3,…, ứng với mỗi cách trong công đoạn A k1có nk cách thực hiện công đoạn A k

Khi đó công việc có thể thực hiện theo : n n n1 .2 3 n kcách

TỔ HỢP – XÁC SUẤT

Vậy theo nguyên lí nhân có tất cả :3.4 12 cách đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn

Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có thể được tạo thành từ các chữ số

B là tập hợp chứa các xâu nhị phân có độ dài là 10 kết thúc bởi 11

kết quả cần tính là :

AB  A B  AB

với

8 8 6

A B

Bài 3 Một trường phổ thơng cĩ 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên tốn Thành lập một đồn gồm hai người sao cho cĩ một học sinh chuyên tốn và một học sinh chuyên tin Hỏi cĩ bao nhiêu cách lập một đồn như trên?

Bài 4 Cĩ 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc Cần chọn một người đàn ơng và một người đàn bà phát biểu

ý kiến Tính số cách chọn sao cho :

a) Hai người đĩ là vợ chồng

b) Hai người đĩ khơng là vợ chồng

Bài 5 Một người cĩ 7 cái áo trong đĩ cĩ 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đĩ cĩ hai cà vạt màu vàng Hỏi người đĩ cĩ bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:

a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?

b/ Đã chọn áo trắng thì khơng chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a/ 35 b/ 29

Bài 6 Một cơ gái cĩ 6 cái áo, 5 quần dài, 3 cái nĩn, 2 kẹp tĩc, 3 đơi giày, 2 áo khốc; mỗi loại đều khác nhau Một bộ trang phục gồm : áo, quần, kẹp, giày, áo khốc; thời gian để thay một bộ trang phục là 1 phút 30 giây Hỏi cơ cĩ thể cĩ tất cả bao nhiêu bộ trang phục và thời gian ngắn nhất để thử chúng?

Bài 7 Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Cĩ bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết rằng:

d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau?e/ Gồm 5 chữ số viết khơng lặp lại?

f/ Gồm 5 chữ số viết khơng lặp lại chia hết cho 5?

ĐS: a/ 25 b/ 20 c/ 15 d/ 8 e/ 120 f/ 24

Bài 12 Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 3 chữ số:

a/ Khác nhau?

b/ Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số lớn hơn 300?

c/ Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số chia hết cho 5?

d/ Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số chẵn?

e/ Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số lẻ?

ĐS: a/ 100 b/ 60 c/ 36 d/ 52 e/ 48

Bài 14 Hỏi tỉnh Tiền Giang cĩ thể cĩ tất cả bao nhiêu bảng số xe trên 50 phân khối ?

Bài 15 Một lớp cĩ 40 học sinh đăng kí choi ít nhất một trong hai mơn thể thao bĩng đá và cầu lơng Cĩ 30 em đang kí bĩng đá, 25 em đang kí cầu lơng Hỏi cĩ bao nhiêu em đang kí cà hai mơn?

Bài 16 Trong một lớp cĩ 30 học sinh, trong đĩ cĩ 18 em giải Tốn, 14 em giỏi Văn và 10 em khơng gỏi mơn nào Hỏi cĩ bao nhiêu em giỏi cả Tốn lẫn Văn?

HỐN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP

I HỐN VỊ :

 Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử n 1 Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần

tử của tập hợp A được gọi là một hốn vị của n phần tử đĩ

Nhận xét : Hai hốn vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp Chẳng hạn hai hốn vị abc và acb của 3 phần tử a, b, c là khác nhau

 Số các hốn vị : Kí hiệu P n là số các hốn vị của n phần tử :

cảP 3 1.2.33! 6 cách sắp

Các hốn vị đĩ là : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

Ví dụ : Cĩ bao nhiêu số cĩ 4 chữ số đơi một khác nhau lập từ các số 2, 6, 7, 9 ?

Giải Mỗi số được thành lập là một hốn vị của 4 phần tử Vậy ta cĩ tất cả là :

 Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử n 1 Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau

từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

III TỔ HỢP :

 Định nghĩa : Cho tập A có n phần tử n 1 Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi

là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

- Chú ý : Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1k n.Tuy vậy tập hợp không

có phần từ nào là tập rỗng nên ta qui ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng

n C

5!

103! 5 3 !

Đại số 11 – Chương II Giải

a) Mỗi đoàn đại biểu được lập là một tổ hợp chập 5 của 10 Vì vậy số đoàn đại biểu có thể có là :

5 10

10!

2525!(10 - 5)!

b) Chọn 3 người từ 6 người nam : có C63 cách chọn

Chọn 2 người từ 4 người nữ : có C42 cách chọn

Theo nguyên tắc nhân có tất cả C C 63 42 120 cách lập đoàn

IV CÁC CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP :

1 Trong bài toán đếm thì ta ưu tiên đếm các trường hợp có điều kiện đặc biệt (trường hợp

số 0 đứng đầu trong bài toán đếm số, các điều kiện ràng buộc khác của bài toán… )

2 Phân biệt hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp :

Ta thường bị lẫn lộn giữa tổ hợp và chỉnh hợp, điểm khác nhau cơ bản là sắp xếp có thứ

tự hay không Để phân biệt ta làm như sau : đầu tiên ta đưa ra một đáp án của bài toán sau đó ta đảo vị trí các phần tử trong đáp án , nếu :

 Tạo nên đáp án mới  có thứ tự  chỉnh hợp

 Không tạo nên đáp án mới  không có thứ tự  tổ hợp

Ví dụ : Một lớp có 37 người, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ 3 người để :

a) Phân công trực nhật lớp

b) Bầu ban cán sự : 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quĩ

Phân tích

Giả sử ba bạn được chọn theo thứ tự là A, B, C

Đối với câu a : nếu ta đổi lại tổ được chọn là B, C, A ta thấy tổ này vẫn không thay đổi so với tổ ban đầu  tổ hợp

Đối với câu b : theo cách chọn thì A : lớp trưởng, B : lớp phó, C : thủ quĩ, nếu ta đổi lại tổ được chọn là B, C, A ta được ban cán sự mới là B : lớp trưởng, C : lớp phó, A : thủ quĩ tổ này đổi khác so với tổ ban đầu  chỉnh hợp

 Dựa vào công thức liên hệ tổ hợp và chỉnh hợp : A n k k C! n k ta còn có thể giải bài toán đếm bằng cách " chọn và sắp "

Lấy lại ví dụ ở trên : Một lớp có 37 người, chọn ra một tổ 3 người để :

a) Phân công trực nhật lớp

b) Bầu ban cán sự : 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quĩ

Giải a) Đầu tiên ta chọn 3 người tùy ý trong 37 người có : 3

37

C cách Sau đó ta sắp 3 người được chọn để thành lập 1 tổ : có 1 cách sắp duy nhất

- Lấy ra k phần tử trong

n phần tử để sắp xếp

- Các phần tử xếp có thứ tự

- Các phần tử chỉ xuất hiện một lần

- Lấy ra k phần tử trong n phần tử để sắp xếp

- Các phần tử xếp không

có thứ tự

Đại số 11 – Chương II b) Đầu tiên ta chọn 3 người tùy ý trong 37 người có : 3

37

C cách Sau đó ta sắp 3 người được chọn vào 3 chỗ để thành lập 1 tổ : có 3! cách sắp

Vậy ta có tất cả : 3! 3

37

C = 46620 (cách)

3 Khi giải bài toán đếm người ta có thể giải theo hai cách chính sau đây :

 Tính trực tiếp : tính thẳng yêu cầu bài toán nêu ra

 Tính gián tiếp : đôi khi tính trực tiếp yêu cầu bài toán trở nên khó khăn, phức tạp, có nhiều khả năng có thể xảy ra người ta thường nghĩ ngay đến phương pháp tính gián tiếp Cách tính gián tiếp dựa trên nguyên lí

“ Đếm những cái không cần đếm ( dễ dàng ) để biết những cái cần đếm (phức tạp) ”

Các từ cần lưu ý : “có ít nhất 1”, "có tối đa 1", ”A và B không đứng cạnh nhau”, “không đồng thời có mặt”, " bắt đầu bởi"…

Ví dụ : Có bao nhiêu cách xếp 5 người thành một hàng ngang sao cho A không đứng cạnh B

Phân tích

Gọi các vị trí trong hàng theo thứ tự là 1, 2, 3, 4, 5

Nếu ta đếm trực tiếp : xuất phát từ A, trong mỗi trường hợp của A sẽ xuất hiện nhiều trường hợp khác nhau của B lúc này việc tính toán trở nên khó khăn

Nếu ta đếm gián tiếp : đếm phần không cần đếm “A, B luôn đứng cạnh nhau” xem như A, B là một chỗ, ta lấy cách xếp 5 người tùy ý trừ đi trường hợp “A, B luôn đứng cạnh nhau” sẽ thu được kết quả bài toán Việc đếm gián tiếp trong trường hợp này dễ dàng hơn nhiều

là một vách ngăn và tạo nên 7 vị trí để xếp 2 thầy Xếp 2 thầy vào 7 vị trí: có A cách 72

2! cách

Khi đó ta xếp thứ tự 6 học sinh và phần tử A thành một hàng, có : 7! Cách

Vậy theo qui tắc nhân có tất cả : 2!.7! cách

Đại số 11 – Chương II

IV MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG MẮC PHẢI TRONG KHI GIẢI TOÁN :

1 Sai lầm 1 : nhầm lẫn giữa tổ hợp và chỉnh hợp

* Bài toán 1 :

"Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam Cần chọn ra 6 học sinh gồm 3 nam và 3 nữ

để ghép thành 3 đôi diễn văn nghệ Hỏi có bao nhiêu cách ghép ? "

Lời giải 2 : lời giải sai chọn ra 6 học sinh thỏa yêu cầu bài toán hoàn toàn đúng nhưng bài toán chưa dừng lại ở đó mà cần đưa ra kết quả là số cách ghép đôi

Lời giải 3 : lời giải sai nhầm lẫn trong bước cuối là chỉ chọn ra 1 đôi nam và nữ ( đề bài yêu cầu chọn ra 3 đôi )

Lời giải 4 : là lời giải đúng

2 Sai lầm 2 : Sai lầm trong việc chọn các phần tử còn lại :

* Bài toán 2 :

" Một nhóm học sinh gồm các bạn A, B, C, D, E Cần chọn ra 3 bạn hỏi có bao nhiêu cách chọn "

Lời giải 1 :

- Đầu tiên chọn 1 bạn : có 5 cách chọn

- Chọn tiếp 1 bạn trong 4 bạn còn lại : có 4 cách chọn

- Cuối cùng chọn 1 bạn trong 3 bạn còn lại : có 3 cách chọn

Vậy theo qui tắc nhân ta có tất cả : 5.4.3 = 60 cách chọn

Lời giải 2 :

- Đầu tiên chọn 1 bạn : có 5 cách chọn

Đầu tiên chọn một bạn trong 5 bạn ta có 5 cách chọn

- Giả sử lần đầu ta chọn A, lần 2 ta chọn B, lần 3 ta chọn C thì kết quả 3 bạn được chọn là A,

B, C

- Giả sử lần đầu ta chọn B, lần 2 ta chọn A, lần 3 ta chọn C thì kết quả 3 bạn được chọn là B,

A, C Do yêu cầu bài toán là chỉ cần chọn ra 3 bạn không phân biệt bạn nào trước bạn nào sau nên kết quả A, B, C và B, A, C là như nhau, vì vậy cách chọn sẽ bị trùng

Lời giải 2 : lời giải sai, chọn 2 bạn trong 4 bạn còn lại ta dùng chỉnh hợp là chính xác nhưng ở đây

ta đã ấn định thứ tự cho vị trí thứ nhất nên kết quả là sai

Lời giải 3 : lời giải đúng

- Bước 2 : chọn 4 bạn còn lại trong 43 bạn có C434 cách chọn

Khi đó 6 bạn được chọn luôn thỏa mãn điều kiện có ít nhất 2 bạn nữ

Vậy có tất cả : C152 C434 = 12958050 cách chọn

Phân tích Lời giải 1 +2 : đều là lời giải đúng

Lời giải 3 : là lời giải sai Thoạt tiên ta có cảm giác đây là lời giải hay, chính xác, ngắn gọn nhưng trong lời giải mắc phải sai lầm Chọn 2 bạn nữ và 4 bạn nam ta dùng tổ hợp là chính xác nhưng kết quả lại sai

Nguyên nhân sai lầm : cách đếm bị trùng :

Đại số 11 – Chương II Công việc chia thành hai công đoạn : Công đoạn 1 : chọn 2 nữ nữ không biệt thứ tự là đúng,

ta coi hai bạn nữ làm thành nhóm 1; ứng với mỗi cách chọn ở Công đoạn 1 có C434 thực hiện Công đoạn 2 nhưng trong khi thực hiện cách chọn đã bị trùng (do kết quả cuối cùng không phân biệt thứ tự )

Chẳng hạn :

- Giả sử 2 bạn nữ được chọn là A, B; sau đó chọn tiếp 4 bạn là C,D, E, F giả sử rằng trong 4 bạn vừa được chọn có bạn F là nữ Vậy 6 bạn là : A, B, C, D ,E ,F

- Giả sử trường hợp khác 2 bạn nữ được chọn là A, F; sau đó chọn tiếp 4 bạn là C,D, E, B Vậy

6 bạn là : A, F, C, D ,E , B Nhóm này trùng với nhóm ở trường hợp trên

3 Sai lầm 3 : Xét thiếu các trường hợp trong bài toán giải bằng phương pháp gián tiếp

* Bài toán 4 :

“ Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra ? ”

Giải

 Loại 1 : chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có C1020 cách

 Loại 2: chọn 10 câu ko thoả mãn đầu bài ( có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó)

- Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có C1610 cách

- Trường hợp 2 : chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có C1310 cách

- Trường hợp 3 : chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có C1110 cách

Lời giải 1 :

 Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có C207 cách

 Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu

- Trường hợp 1 : chọn 7 câu dễ trong 9 câu có C97cách

- Trường hợp 2 : chọn 7 câu trung bình có 1 cách

- Trường hợp 3 : chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có C167cách

- Trường hợp 4 : chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có C137 cách

- Trường hợp 5 : chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có C117 cách

A-B

Đại số 11 – Chương II

Lời giải 2 :

 Loại 1 : chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu cĩ C207 cách

 Loại 2 : chọn 7 câu khơng thỏa yêu cầu

- Trường hợp 1 : chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu cĩ C167 cách

- Trường hợp 2 : chọn 7 câu dễ và khĩ trong 13 câu cĩ C137 cách

- Trường hợp 3 : chọn 7 câu trung bình và khĩ trong 11 câu cĩ cách

Vậy cĩ 7  7 7 7

C  C C C  đề kiểm tra

Lời giải 3 :

 Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu cĩ C207 cách

 Loại 2: chọn 7 câu khơng thỏa yêu cầu

- Trường hợp 1 : 7 câu chọn ra chỉ cĩ 1 loại : C97C77( là một loại dễ hoặc trung bình )

- Trường hợp 2 : 7 câu chọn ra cĩ đủ hai loại :

Lời giải 2 : lời giải sai, tương tự Lời giải 1, thiếu liệt kê các trường hợp bị trùng nhau, ví dụ ở Loại

2 : Trường hợp 1 và Trường hợp 2 số lần đếm bị trùng nhau ( 7 câu tồn dễ đều xuất hiện trong 2 trường hợp)

Lời giải 3 : lời giải đúng

Bài 1 Cĩ bao nhiêu hốn vị của tập hợp  a b c d e f, , , , ,  mà phần tử cuối là a?

Bài 2 Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Hỏi trong các số

đĩ cĩ bao nhiêu số:

a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Khơng bắt đầu bằng chữ số 1?

c) Bắt đầu bằng 23? d) Khơng bắt đầu bằng 345?

Bài 3 Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9 Hỏi trong các số

đĩ cĩ bao nhiêu số:

a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Khơng bắt đầu bởi chữ số 1?

c/ Bắt đầu bởi 19? d/ Khơng bắt đầu bởi 135?

Bài 9 Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:

a/ Cĩ 5 người trong nhĩm muốn ngồi kề nhau?

b/ Cĩ 2 người trong nhĩm khơng muốn ngồi kề nhau?

Bài 12 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số cĩ 6 chữ số khác nhau Hỏi trong các số

đã thiết lập được, cĩ bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 khơng đứng cạnh nhau? ĐS: 480

Bài 13 Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phĩ và 1 thư ký

a/ Cả 11 cầu thủ cĩ khả năng như nhau? (kể cả thủ mơn)

b/ Cĩ 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá

Bài 18 Một cuộc khiêu vũ cĩ 10 nam và 6 nữ Người ta chọn cĩ thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp

Bài 19 Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí

Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

a/ Người đĩ cĩ 6 pho tượng khác nhau?

b/ Người đĩ cĩ 4 pho tượng khác nhau?