SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi: TỐN (chun) Thời gian : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC x x 1 x 1 x3 x P : 2x x x 1 x x 1 x 1 Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức với x 0, x x 3P 2P Rút gọn biểu thức P tìm tất số tự nhiên x để giá trị biểu thức số nguyên tố Câu (1,5 điểm) m x n 3m x m 0, a) Cho phương trình với m, n tham số Tìm tất m; n cặp số nguyên cho phương trình cho có nghiệm kép P : y x2 Oxy , , với O gốc tọa độ Tìm tọa độ b) Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol hai điểm A, B P cho tam giác OAB vuông O khoảng cách từ O đến AB lớn Câu (2 điểm) a) Giải phương trình : x 10 x 11 x 2 x 14 x y 31x y 90 xy 66 x y x y y 1 y y b) Giải hệ phương trình : Câu (2 điểm) a3 b2 a b a; b a) Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn b) Cho phương trình x x k 3k 0, với k tham số Khi phương trình cho có hai nghiệm x1; x2 Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 2 Q x12 x2 x1 k 10 x22 x2 O Câu (1,5 điểm) Cho đường tròn , bán kính R điểm A nằm đường trịn A; R Đường tròn cắt đường tròn (O) hai điểm B C Gọi M trung điểm AB, tia MO cắt (O) điểm D Tia BO cắt AD E O điểm thứ hai F Tính độ dài đoạn thẳng DE diện tích tứ giác ACFE theo R Câu (1,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn AB AC , trực tâm H nội tiếp đường tròn (O) Gọi M trung điểm BC K hình chiếu H AM Tia AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BKC điểm thứ hai N Chứng minh tứ giác ABNC hình bình hành ĐÁP ÁN Câu (1,5 điểm) Cho x 0, x biểu x x 1 x 1 x3 x P : 2x x x 1 x 1 x x 1 với thức x 3P 2P Rút gọn biểu thức P tìm tất số tự nhiên x để giá trị biểu thức số nguyên tố Ta có x x 1 x 1 x3 x P : 2x x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x x 1 x 3 x 1 x x Thay P x 2x x 3 x2 x 3 x 1 x x 1 x x 3 x x x x x 1 x x 3P x x vào biểu thức 2P ta : x 3P 2P x x x 1 x x 2 x x x 1 x x 3P x x 2 2P Do biểu thức số nguyên tố nên số nguyên tố x x 2 p Ta đặt (là số nguyên tố) Vì x x 1 x (tm) x 2p p x 1 x 1 x 1 x (tm) x 2 p p thỏa đề Vậy Câu (1,5 điểm) x 4;9 x 2 2p m x n 3m x m 0, a) Cho phương trình với m, n tham số Tìm tất m; n cặp số ngun cho phương trình cho có nghiệm kép ĐKXĐ: m n 3m 25m m2 Ta có : Để phương trình có nghiệm kép n 3m 25 m n 3m 25 m 2 25 m số phương Đặt 25 m a a ¢ m 5; n 15 *) a m 5; n 15 *) a m 24(ktm) *) a m 21( ktm) m 4; n 12 *) a m 4; n 12 *) a 25 m n Vậy m; n 3;9 ; 3; 9 ; 4;12 ; 1; 12 ; 0;0 P : y 2 x , với O gốc tọa độ Tìm tọa b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol độ hai điểm A, B P cho tam giác OAB vuông O khoảng cách từ O đến AB lớn Câu (2 điểm) a) Giải phương trình : x 10 x 11 x (*) Điều kiện : x 4 x Phương trình (*) tương đương với : 2x x 2x x x x x 14 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 6;7 14 2 x 14 x y 31x y 90 xy 66 1 2 2 x y x y y 1 y y b) Giải hệ phương trình : Xét phương trình (2) ta có x y x y y 1 y y x y x y y y x y 1 y y Thay y vào (1) ta : x 28 x 124 x 180 x 66 x x 11 x x x x x 11 x x 6x Vậy Câu (2 điểm) x; y 5; ; 6; a b2 a b a; b a) Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn Ta có a b a b a b3 ab * a b a ab b ab 2 2 Trường hợp 1: a b ab a ab b a b a 2, b 1(tm) a 1, b 2(ktm) a 1; b 2(tm) a 2; b 2(ktm) Trường hợp 2: a b Gọi d a, b ta có a dm1 m1; m2 m2 m1 b dm2 Thay vào (*) ta : d d m d m d m1m2 d m m m m1m2 3 m1 m2 m1m2 3 3 2 3 3 Từ ta có : m1 m2 m1m2 3 Nếu m1m2 m1 m2 ( ktm) a3 b2 a b Do m1m2 hay a 0; b , Ta lại có VT mà VP , trường hợp khơng có cặp số ngun a; b thỏa đề a; b a; b 2;1 ; 1; 2 Vậy cặp số nguyên thỏa đề 2 b) Cho phương trình x x k 3k 0, với k tham số Khi phương trình cho có hai nghiệm x1; x2 Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Q x12 x2 x1 k 10 x22 x2 ' k 3k 2 k Theo định lý Vi-et ta có x1 x2 x2 x1 x1 x2 3k Thay Q vào ta : x1 x2 x2 k 10 x1 1 x22 x2 k 11 x2 1 11 Vậy Qmin k 2; x1 x2 Ta xét x12 x2 x1 k 10 x12 x1 x1 x2 k 10 2 Vì x1 nghiệm phương trình x1 x1 3k k 2 Thế vào 3k k k 10 k 4k 21 Xét x2 x2 tương tự x2 nghiệm phương trình : x22 x22 10 3k k Q k 4k 21 k 3k 10 k k k k 3 Q Max Q k k k 3 k k 6 29 12 O Câu (1,5 điểm) Cho đường trịn , bán kính R điểm A nằm đường tròn A; R Đường tròn cắt đường tròn (O) hai điểm B C Gọi M trung điểm AB, tia MO cắt (O) điểm D Tia BO cắt AD E O điểm thứ hai F Tính độ dài đoạn thẳng DE diện tích tứ giác ACFE theo R Ta có AO AC OC AOC mà AOF 2ABF 2.60 120 COF AOFC hình thoi, AF cắt OC I trung điểm AF Ta có : R AF 3R AI cos AOI AO sin 60.R S AOFC OC AF R 2 Ta có : 1 BH AE OM AB 2 1 sin 75 AB AH HE sin 60.OB AB 2 sin 75 R cos 75 sin 75 R 3 S AEFC S AFOC S AOE R sin 75.R cos 75 sin 75 2 Ta có EOD ∽ EDB ED EO.EB S AOE S ABE S ABO Ta có : OA OB AB OAB nên BOA 60 BDA 30 BEA 180 OBA DAB 180 60 180 30 45 Kẻ BH AE BHE vuông cân BE BH Ta có : sin BAH sin 180 30 BH sin 75 BH sin 75 AB R.sin 75 AB BE sin 75.R EO BE R R ED sin 75 R sin 75 sin 75 , trực tâm H nội tiếp đường Câu (1,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn tròn (O) Gọi M trung điểm BC K hình chiếu H AM Tia AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BKC điểm thứ hai N Chứng minh tứ giác ABNC hình bình hành AB AC Cần chứng minh ABNC hình bình hành cần chứng minh MA MN Ta có BKCN nội tiếp MK MN MB.MC MC Thật vậy, gọi A1 , B1 , C1 chân đường cao từ A, B, C lên BC , AC , AB Ta có BB1C vng có M trung điểm BC nên MB MC MB1 Suy cần chứng minh MB1 MK MA Ta có AHKB1 nội tiếp ( AKG AB1 H ) AKB1 AHB1 A1 HB1C nội tiếp AK1 B AHB1 B1CM MB1C 180 AKB1 180 MB1C MKB1 MB1 A MKB1 ∽ MB1 A MK MA MB12 dfcm