ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN Thời gian: 150 phút Bài 1: (1 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + − x b) − x − 28 x − 27 Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình −2 −3 x + − = a) Bài (1 điểm) b) x2 − + = x −1 x −1 x + x + x −1 >0 x +1 x Với giá trị Bài (2 điểm) Hai người làm chung cơng việc 12 ngày xong Năng suất làm việc ngày người thứ hai người thứ Hỏi làm riêng, người làm xong công việc Bài (3,5 điểm) E, F ABCD a Cho hình vng có cạnh Gọi trung điểm AB, BC CE DF cạnh M giao điểm CE DF a) Chứng minh vng góc với CM CE =a CF b) Chứng minh ∆MDC a c) Tính diện tích theo Bài (0,5 điểm) 1 x + = A = x3 + x x Cho Tính giá trị biểu thức ĐÁP ÁN Bài a) x − + x = ( x + 1) b) − x − 28 x − 27 = − ( x + 1) ( x + 27 ) Bài a) − −3 x + − = ⇔ −3x + = −1 −3 x + ≥ 0∀x (khẳng định sai ) Vậy phương trình cho vơ nghiệm x2 − + = x −1 x −1 x + x +1 x ≠1 b) ĐKXĐ: x + x + x − ( x − 1) ⇔ + = x3 − x −1 x −1 2 x + x + + x − ( x − 1) ⇔ = x3 − x −1 ⇔ 3x − 3x = ⇔ x ( x − 1) = x = (tm) ⇔ x = (ktm) S = { 0} Vậy Bài x − > x > ⇔ ⇒ x >1 x + > x > − x −1 + >0⇒ x − < x < x +1 ⇔ ⇒ x < −1 x + < x < − Vậy Bài x >1 x < −1 Gọi x (ngày) thời gian để người thứ hoàn thành công việc x Một ngày người thứ làm (công việc) 3x Một ngày người thứ hai làm (công việc) + x 3x Một ngày hai người làm chung (công việc) + = ⇔ x = 20 x x 12 Theo ta có phương trình 20 Vậy người thứ làm xong ngày 30 Người thứ hai làm xong ngày Bài ( x > 0) · · ∆BEC = ∆CFD ( c.g.c ) ⇒ ECB = FDC a) ∆CDF vuông C M Hay CE ⊥ DF · · · · ⇒ DFC + FDC = 900 ⇒ DFC + ECB = 900 ⇒ ∆CMF vuông · · · CMF = CBE = 900 MCF b) Xét có: ; chung ⇒ ∆CMF : ∆CBE ( g − g ) CM CF CM CE ⇒ = ⇒ = BC BC CE CF ∆CMF Mà BC = a ∆CBE đó: CM CE =a CF ∆CMD : ∆FCD ( g g ) ⇒ c) Do đó: Mà: CD CM = FD FC S∆CMD CD CD = ÷ ⇒ S∆CMD = ÷ S∆FCD S∆FCD FD FD 1 S∆FCD = CF CD = CD 2 S ∆CMD = Vậy: Trong CD CD FD ∆DCF theo Pitago ta có: 1 DF = CD + CF = CD + BC ÷ = CD + CD = CD 4 2 S∆MCD Do đó: Bài CD 1 = CD = CD = a 5 CD 4 1 1 1 1 A = x + = x + 3.x + 3.x + = x + ÷ − x + ÷ = 33 − 3.3 = 18 x x x x x x ... ĐÁP ÁN Bài a) x − + x = ( x + 1) b) − x − 28 x − 27 = − ( x + 1) ( x + 27 ) Bài a) − −3 x + − = ⇔ −3x + = −1 −3 x + ≥ 0∀x (khẳng định sai )... CD = CD = a 5 CD 4 1 1 1 1 A = x + = x + 3.x + 3.x + = x + ÷ − x + ÷ = 33 − 3.3 = 18 x x x x x x