Thông tin tài liệu
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN SƠN DƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Cõu 1.(4 im) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x( x 2)( x x 2) b) Rút gọn biểu thức: A= 2n 2 (1.2) (2.3) (3.4) n(n 1)2 Câu 2.(4 điểm) a) Cho 1 x y z Tính A yz xz xy x2 y2 z b) Tìm tất số x, y, z nguyên thỏa mãn: x2 y2 z2 – xy – 3y – 2z Câu 3: (4 điểm) a) Chứng minh với số nguyên x, y : A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương b) Cho a1 , a2 , , a2016 số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 Chứng minh rằng: A a13 a23 a2016 chia hết cho Câu (6 điểm) Cho điểm M di động đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng AMCD, BMEF a) Chứng minh rằng: AE BC b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Câu (2 điểm) Cho a;b;c ba số đôi khác thỏa mãn: (a b c) a b c Tính giá trị biểu thức: P= a2 b2 c2 a 2bc b 2ac c 2ab Giám thị coi thi không giải thích thêm - SBD: PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN SƠN DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi : Tốn Câu Phần a 2đ Câu (4 điểm) Nội dung x( x 2)( x x 2) ( x x)( x x 2) 2 ( x x) 2( x x) = ( x x 1) 2 ( x 1)4 b 2đ (n 1) n 1 2 n (n 1) n ( n 1) n(n 1) n ( n 2) => B = …=1 (n 1) ( n 1) Ta có : 2n Ta cã a b c a 2đ a b c a b 3aba b c c 3ab c c 3abc (v× a b c nªn a b c ) A yz xz xy xyz xyz xyz x2 y z x y z 1 1 xyz xyz 3 y z xyz x b 2đ a 2đ Câu (4 điểm) 0.5 0.5 0.5 1 th× 1 1 1 Theo gi¶ thiÕt x y z xyz x y z Câu (4 điểm ) Điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + = y2 (x – xy + ) + (z2 – 2z + 1) + ( y2 – 3y + 3) = 4 y (x - )2 + (z – 1)2 + (y – 2)2 = Có giá trị x,y,z là: (1;2;1) a) Chứng minh với số nguyên x, y A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Vậy A số phương b 2đ Dễ thấy a a a(a 1)(a 1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 0.5 Xét hiệu A ( a1 a2 a2016 ) ( a13 a23 a2016 ) (a1 a2 a2016 ) ( a13 a1 ) ( a23 a2 ) (a2016 a2016 ) chia hết cho Mà a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng chia hết cho Do A chia hết cho 0.5 0.5 0.5 C D I H O E F 0,5 A Câu (6 điểm ) a 2đ b 2đ c 1,5đ K M B ∆AME = ∆CMB (c-g-c) EAM = BCM Mà BCM + MBC = 900 EAM + MBC = 900 AHB = 900 Vậy AE BC Gọi O giao điểm AC BD ∆AHC vng H có HO đường trung tuyến 1 HO AC DM 2 ∆DHM vuông H DHM = 900 Chứng minh tương tự ta có: MHF = 900 Suy ra: DHM + MHF = 1800 Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng Gọi I giao điểm AC DF Ta có: DMF = 900 MF DM mà IO DM IO // MF Vì O trung điểm DM nên I trung điểm DF Kẻ IK AB (KAB) IK đường trung bình hình thang ABFD AD BF AM BM AB (không đổi) IK 2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định 0,5 Vậy đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Câu (2 điểm ) (a+b+c)2= a b c ab ac bc 2 a a a a 2bc a ab ac bc (a b)(a c) Tương tự: 0,5 b2 b2 b 2ac (b a )(b c) c2 c2 c 2ac (c a )c b) a2 b2 c2 a 2bc b 2ac c 2ab a2 b2 c2 (a b)(a c) (a b)(b c ) ( a c)(b c) (a b)(a c)(b c) 1 (a b)(a c)(b c) 0,5 0,5 P Lưu ý Học sinh có cách giải khác cho điểm tối đa 0,5 ... chia hết cho 0.5 Xét hiệu A ( a1 a2 a2016 ) ( a13 a23 a2016 ) (a1 a2 a2016 ) ( a13 a1 ) ( a23 a2 ) (a2016 a2016 ) chia hết cho Mà a1 , a2 , a2013 số tự... GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN SƠN DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi : Tốn Câu Phần a 2đ Câu (4 điểm) Nội dung x( x 2)( x x 2) ( x x)( x... DM 2 ∆DHM vuông H DHM = 900 Chứng minh tương tự ta có: MHF = 900 Suy ra: DHM + MHF = 180 0 Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng Gọi I giao điểm AC DF Ta có: DMF = 900 MF DM mà IO DM
Ngày đăng: 04/12/2022, 15:41
Xem thêm:
