de chon hsg toan 8 nam 2015 2016 phong gddt huyen son duong tuyen quang

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN SƠN DƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Cõu 1.(4 im) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x( x 2)( x x  2)  b) Rút gọn biểu thức: A= 2n      2 (1.2) (2.3) (3.4) n(n  1)2 Câu 2.(4 điểm) a) Cho 1    x y z Tính A  yz xz xy   x2 y2 z b) Tìm tất số x, y, z nguyên thỏa mãn: x2  y2  z2 – xy – 3y – 2z   Câu 3: (4 điểm) a) Chứng minh với số nguyên x, y : A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương b) Cho a1 , a2 , , a2016 số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 Chứng minh rằng: A  a13  a23   a2016 chia hết cho Câu (6 điểm) Cho điểm M di động đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng AMCD, BMEF a) Chứng minh rằng: AE  BC b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Câu (2 điểm) Cho a;b;c ba số đôi khác thỏa mãn: (a  b  c)  a  b  c Tính giá trị biểu thức: P= a2 b2 c2   a  2bc b  2ac c  2ab Giám thị coi thi không giải thích thêm - SBD: PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN SƠN DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi : Tốn Câu Phần a 2đ Câu (4 điểm) Nội dung x( x  2)( x  x  2)   ( x  x)( x  x  2)  2  ( x  x)  2( x  x)  = ( x  x  1) 2  ( x  1)4 b 2đ (n  1)  n 1   2 n (n  1) n ( n  1) n(n  1) n ( n  2) => B = …=1 (n  1) ( n  1) Ta có : 2n   Ta cã a  b  c  a 2đ a  b  c  a  b   3aba  b   c  c  3ab c   c  3abc (v× a  b  c  nªn a  b  c ) A yz xz xy xyz xyz xyz      x2 y z x y z  1 1  xyz      xyz 3 y z  xyz x b 2đ a 2đ Câu (4 điểm) 0.5 0.5 0.5 1 th× 1 1 1 Theo gi¶ thiÕt        x y z xyz x y z Câu (4 điểm ) Điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + = y2 (x – xy + ) + (z2 – 2z + 1) + ( y2 – 3y + 3) = 4 y (x - )2 + (z – 1)2 + (y – 2)2 = Có giá trị x,y,z là: (1;2;1) a) Chứng minh với số nguyên x, y A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t  Z) A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z  Z nên x2  Z, 5xy  Z, 5y2  Z  x2 + 5xy + 5y2  Z 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Vậy A số phương b 2đ Dễ thấy a  a  a(a  1)(a  1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 0.5 Xét hiệu A  ( a1  a2   a2016 )  ( a13  a23   a2016 )  (a1  a2   a2016 )  ( a13  a1 )  ( a23  a2 )   (a2016  a2016 ) chia hết cho Mà a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng chia hết cho Do A chia hết cho 0.5 0.5 0.5 C D I H O E F 0,5 A Câu (6 điểm ) a 2đ b 2đ c 1,5đ K M B ∆AME = ∆CMB (c-g-c)  EAM = BCM Mà BCM + MBC = 900  EAM + MBC = 900  AHB = 900 Vậy AE  BC Gọi O giao điểm AC BD ∆AHC vng H có HO đường trung tuyến 1  HO  AC  DM 2  ∆DHM vuông H  DHM = 900 Chứng minh tương tự ta có: MHF = 900 Suy ra: DHM + MHF = 1800 Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng Gọi I giao điểm AC DF Ta có: DMF = 900  MF  DM mà IO  DM  IO // MF Vì O trung điểm DM nên I trung điểm DF Kẻ IK  AB (KAB)  IK đường trung bình hình thang ABFD AD  BF AM  BM AB (không đổi)  IK    2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định 0,5 Vậy đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Câu (2 điểm ) (a+b+c)2= a  b  c  ab  ac  bc  2 a a a   a  2bc a  ab  ac  bc (a  b)(a  c) Tương tự: 0,5 b2 b2  b  2ac (b  a )(b  c) c2 c2  c  2ac (c  a )c  b) a2 b2 c2   a  2bc b  2ac c  2ab a2 b2 c2    (a  b)(a  c) (a  b)(b  c ) ( a  c)(b  c) (a  b)(a  c)(b  c)  1 (a  b)(a  c)(b  c) 0,5 0,5 P Lưu ý Học sinh có cách giải khác cho điểm tối đa 0,5 ... chia hết cho 0.5 Xét hiệu A  ( a1  a2   a2016 )  ( a13  a23   a2016 )  (a1  a2   a2016 )  ( a13  a1 )  ( a23  a2 )   (a2016  a2016 ) chia hết cho Mà a1 , a2 , a2013 số tự... GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN SƠN DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi : Tốn Câu Phần a 2đ Câu (4 điểm) Nội dung x( x  2)( x  x  2)   ( x  x)( x...  DM 2  ∆DHM vuông H  DHM = 900 Chứng minh tương tự ta có: MHF = 900 Suy ra: DHM + MHF = 180 0 Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng Gọi I giao điểm AC DF Ta có: DMF = 900  MF  DM mà IO  DM