I. ĐỊNH LÍ VIÉT DẠNG 1 CÁC NGHIỆM THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG Bài toán thường gặp Tìm m để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) thỏa mãn một biểu thức đối xứng đối với Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) • có hai nghiệm • có hai nghiệm phân biệt Bước 2. Biến đổi biểu thức đối xứng đối với về tổng và tích Bước 3. Sử dụng định lý Viet, ta có , và thay vào biểu thức chứa tổng và tích ở trên. Giải ra , đối chiếu điều kiện ở bước 1.
CHỦ ĐỀ – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÝ VI-ET I ĐỊNH LÍ VIÉT DẠNG CÁC NGHIỆM THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG ax + bx + c = ( a ≠ ) x1 , x Bài tốn thường gặp Tìm m để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x1 , x thỏa mãn biểu thức đối xứng x1 , x Bước Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x1 , x ⇔ ∆ ≥ ∆ ' ≥ ax + bx + c = ( a ≠ ) • có hai nghiệm x1 , x ⇔ ∆ > ∆ ' > ax + bx + c = ( a ≠ ) • có hai nghiệm phân biệt x1 , x x1 + x x1.x Bước Biến đổi biểu thức đối xứng tổng tích b c x1 + x = − x1x = x1 + x a a Bước Sử dụng định lý Viet, ta có , thay vào biểu thức chứa tổng tích x1 x m Giải , đối chiếu điều kiện bước Một số phép biến đổi thường gặp • x12 + x 2 = x12 + x 2 + 2x1x – 2x1x = ( x1 + x ) – 2x1x ( ) ( • x13 + x 23 = Hoặc x13 + x 23 = • x14 + x = • x15 + x (x ) (x ) x16 + x 26 = Hoặc • x17 + x • x1 – x ( x1 + tính • x16 + x = x ) ( x 12 + x 2 – x x ) = ( x1 + tính 2 ( ) + x 22 ( ) + x 22 (x ) • x1 + x 2 (x = ( ) x1 – x = (x 2 = ( x1 – (x xét tích + x 22 )( (x + x 23 ) + x ) ( x14 + x ) + | x | ) = x1 + x + x1 x ( x1 + – 2x12 x 2 ) xét tích = ( x1 + x ) – 4x1x 2 – 2x13 x 23 (x ) + x 2 ) ( x13 + x 23 ) + x 2 x14 + x – x12 x 2 x2 ) (x + 2x12 x 2 – 2x12 x 2 = x13 + x 23 x14 + x xét = x + x + x1x = 2 + x 23 xét x ) ( x1 + x ) – 3x1x x ) – 3x1x ( x1 + x ) x12 + x 2 x13 + x 23 ( x1 + x ) – 2x1x + x1x 2 ) 2 A = A2 , A ± B = Chú ý : (A ± B ) , A B = A.B x − ( m + 3) x + m + = Ví dụ Cho phương trình ( x1 − 1) ( x2 − 1) = x1 , x2 thỏa mãn Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Lời giải ∆′ = − ( m + 3) − ( m + 3) = ( m + ) − m − = 6m + Có x1 , x2 ∆′ > ⇔ 6m + > ⇔ m > −1 ∆′ > ⇔ 6m + > ⇔ m > −1 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ( x1 − 1) ( x2 −1) = ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Có (*) b c x1 + x2 = − = m + x1 x2 = ( ) a a = m2 + Theo định lý Viét, ta có , 2 ( m + 3) − ( m + 3) + = ⇔ ( 2m − 1) = Thay vào (*) ta ⇔ 2m − = ±3 ⇔ m = −1 m=2 (loại), (thỏa mãn) m=2 Vậy giá trị cần tìm x − ( m − 3) x + ( m − 1) = m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 T = x1 + x2 x1 , x2 cho biểu thức đạt giá trị nhỏ Lời giải 2 ∆′ = − ( m − 3) − −2 ( m − 1) = ( m − 3) + 2m − = m − 4m + = ( m − ) + > ∀m Có x1 , x2 Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt T = x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 Có b c x1 + x2 = − = m − x1 x2 = = −2 m − ( ) ( ) a a Theo định lý Viét, ta có , T Thay vào ta T = −2 ( m − 3) − −2 ( m − 1) = 4m − 20m + 32 = ( 2m − ) + ≥ ⇒ MinT = Vậy m= 2 m= giá trị cần tìm x − ( m + 1) x + 4m − m = m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt A = x1 − x2 x1 , x2 cho biểu thức đạt giá trị nhỏ Lời giải 2 ∆′ = − ( m + 1) − ( 4m − m ) = ( m + 1) − 4m + m2 = 2m − 2m + > ∀m Có x1 , x2 Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt 2 A2 = x1 − x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 Có b c x1 + x2 = − = m + x1 x2 = ( ) a a = 4m − m Theo định lý Viét, ta có , 2 A = x1 − x2 Thay vào ta 2 A = x1 − x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 A = ( m + 1) − ( 4m − m 2 ⇒ A ≥ ⇒ Min A = Vậy ) 1 = 8m − 8m + = m − ÷ + ≥ 2 m= m= giá trị cần tìm x1 , x2 x + mx − = m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 + x2 = Lời giải x1 , x2 ac = −3 < ∀m Có phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt b c x1 + x2 = − x1 x2 = a = −m a = −3 Theo định lý Viét, ta có , (x + x2 ) = x12 + x22 + x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 Xét = m − ( −3) + −3 = m2 + 12 x1 + x2 = ⇔ m + 12 = 16 ⇒ m = ±2 Do m = ±2 Vậy giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình x1 + x2 = mãn x + mx + 2m − = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa Lời giải ∆ = ( −m ) − ( 2m − ) = m − 8m + 16 = ( m − ) Có 2 x1 , x2 ∆′ > ⇔ m ≠ Phương trình có hai nghiệm phân biệt b c x1 + x2 = − x1 x2 = a =m a = 2m − Theo định lý Viét, ta có , (x + x2 ) = x12 + x22 + x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 Xét = m − ( 2m − ) + 2m − = m − 4m + + m − = ( m − ) + m − + x1 + x2 = ⇒ ( m − ) + m − + = Nên ( m − ) + m − − = ⇒ m − = ⇒ m = 1, m = Vậy m = 1, m = (thảo mãn) giá trị cần tìm DẠNG 2: KẾT HỢP ĐỊNH LÝ VIÉT ĐỂ GIẢI CÁC NGHIỆM x1 , x2 Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) ax + bx + c = ( a ≠ ) x1 , x2 ⇔ ∆ ≥ ( ∆′ ≥ ) có hai nghiệm ax + bx + c = ( a ≠ ) x1 , x2 ⇔ ∆ > ( ∆′ > ) có hai nghiệm phân biệt b c x1 + x2 = − x1 x2 = a a Bước 2: Sử dụng định lý Vi ét, ta có , (*) b x1 + x2 = − x1 , x2 m a Bước 3: Giải hệ biểu thức cho để tìm theo c x1 x2 = x1 , x2 m a Bước 4:Thay vừa tìm vào để giải x1 , x2 x2 − x − m2 − = m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt phân x2 = −5 x1 biệt thỏa mãn Lời giải 2 ∆′ = ( −2 ) − ( − m − 1) = m + > ∀m Có x1 , x2 Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt b c x1 + x2 = − x1 x2 = a =4 a = −m − Theo định lý Viét, ta có , x = − x ⇒ −5 x1 + x1 = ⇒ x1 = −1 ⇒ x2 = x1 + x2 = Giải hệ c x1 x2 = x1 = −1 x2 = m = ⇔ m = ±2 a = −m2 − Thay , vào , ta m = ±2 Vậy giá trị cần tìm x − ( k − 1) x − 4k = x1 , x2 k Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt 3x1 − x2 = phân biệt thỏa mãn Lời giải 2 ∆′ = − ( k − 1) − ( −4k ) = ( k − 1) + 4k = ( k + 1) Có x1 , x2 k ≠ −1 Do phương trình cho có hai nghiệm phân biệt b c x1 + x2 = − x1 x2 = = −4k a = 2k − a Theo định lý Viét, ta có , 3x1 − x2 = k 3k − ⇒ x1 = 2k ⇒ x1 = ⇒ x2 = 2 x1 + x2 = 2k − Giải hệ k 3k − c x1 = ⇒ x2 = x1 x2 = 2 a = −4k Thay vào , ta k 3k − × = −4k ⇔ 3k + 12k = ⇔ k = 0, k = −4 2 (thỏa mãn) k = 0, k = −4 Vậy giá trị cần tìm x1 , x2 x2 − 6x + m + = m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt phân x2 = x1 biệt thỏa mãn Lời giải ∆′ = ( −3) − ( m + 3) = − m Có x1 , x2 ∆′ > ⇔ − m > ⇔ m < Do phương trình cho có hai nghiệm phân biệt b c x1 + x2 = − x1 x2 = a =6 a = m+3 Theo định lý Viét, ta có , Giải hệ x2 = x12 ⇒ x12 + x1 − = ⇒ x1 = −3 ⇒ x1 = x + x = x1 x2 = m + ⇒ m = −30 thay vào (thỏa mãn) x1 = ⇒ x2 = x1 x2 = m + ⇒ m = • Với thay vào (thỏa mãn) m = −30; m = Vậy giá trị cần tìm x1 , x2 x − 3x − m + = m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa x1 + x2 = mãn Lời giải 2 ∆ = ( −3) − ( − m + 1) = 4m + > ∀m Có Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = 3, x1 x2 = − m2 + Theo định lý Viét, ta có: x1 + x2 = ⇔ x1 + x2 = x1 ≥ 0, x2 ≥ Trường hợp 1: Xét x1 + x2 = x2 = 0, x1 = x1 ≥ 0, x2 ≥ Kết hợp (thỏa mãn ) 2 x1 x2 = −m + = −m + ⇔ m = ±1 Thay vào x1 + x2 = ⇔ − x1 − x2 = −3 x1 ≤ 0, x2 ≤ Trường hợp 2: Xét x1 + x2 = x2 = −6, x1 = x1 ≤ 0, x2 ≤ Kết hợp (không thỏa mãn ) x1 + x2 = ⇔ x1 − x2 = x1 > 0, x2 < Trường hợp 3: Xét x1 + x2 = x2 = 0, x1 = x1 > 0, x2 < Kết hợp (không thỏa mãn ) x1 + x2 = ⇔ − x1 + x2 = x1 < 0, x2 > Trường hợp 4: Xét x1 + x2 = x2 = 2, x1 = x1 < 0, x2 > Kết hợp (không thỏa mãn ) m = ±1 Vậy giá trị cần tìm x − ( m − 3) x − = x1 , x2 m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm số ngun Lời giải • Với x1 = −3 ⇒ x2 = ∆ = − ( m − 3) − ( −5 ) = ( m − ) + 20 > 2 ∀m Có Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt Cách 1: (Theo định lý Viét) x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có: Từ b c = m − 3, x1 x2 = = −5 a a x = −1 x1 = −5 x1 = x = x1 x2 = −5, x1 , x2 ∈ ¢ ⇒ ; ; ; x2 = x2 = x2 = −5 x2 = −1 x1 x2 = m − ⇒ m = 7; m = −1 Thay vào m = 7; m = −1 Vậy giá trị cần tìm ∆ Cách 2: (Sử dụng phải số phương) x1 + x2 = m − ∈ ¢ Từ ∆ = ( m − 3) + 20 x1 , x2 ∈ ¢ Do để trước hết phải số phương 2 * ⇒ ( m − 3) + 20 = n , n ∈ ¥ ⇒ ( m − − n ) ( m − + n ) = −20 m −3−n < m −3+ n Mà ( m − − n ) ( m − + n ) = −20 ( m − − n ) + ( m − + n ) = 2m − tổng m − − n; m − + n chẵn tích chẵn nên phải chẵn, đó: m − − n = −2 m = ⇔ m − − n = 10 n = * thử lại thỏa mãn m − − n = −10 m = −1 ⇔ m − − n = n = * thử lại thỏa mãn m = 7, m = −1 Vậy giá trị cần tìm x1 , x2 x − 20 x + m + = m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm số ngun tố Lời giải ∆ ' = ( −10 ) − 1( m + ) = 95 − m Có x1 , x2 ∆ ' > ⇔ 95 − m > ⇔ m < 95 Phương trình có hai nghiệm phân biệt b c x1 + x2 = − = 20, x1 x2 = = m + a a Theo định lý Viét, ta có: x1 + x2 = 20 x1 , x2 Từ số nguyên tố, suy ra: x1 = x1 = 17 x1 = x1 = 13 ; ; ; x2 = 17 x2 = x2 = 13 x2 = x1 x2 = m + ⇒ m = 46, m = 86 Thay vào (thỏa mãn) m = 46, m = 86 Vậy giá trị cần tìm DẠNG 3: GIẢI CÁC NGHIỆM DỰA VÀO ∆ ∆, ∆ ' LÀ BÌNH PHƯƠNG x1 , x2 ∆' Khi tính mà bình phương biểu thức ta giải theo cách tìm hai nghiệm Giải theo cách cần ý phải xét hai trường hợp −b + ∆ −b − ∆ x1 = ; x2 = 2a 2a Trường hợp 1: Xét −b − ∆ −b + ∆ x1 = ; x2 = 2a 2a Trường hợp 2: Xét x − ( m + 1) x + 4m = x1 , x2 m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa x1 = −3 x2 mãn Lời giải ∆ ' = − ( m + 1) − 1.4m = ( m + 1) − 4m = m − 2m + = ( m − 1) Có x1 , x2 ∆ ' > ⇔ ( m − 1) > ⇔ m ≠ Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ ' = ( m − 1) Vì nên hai nghiệm phương trình x = ( m + 1) ± ( m − 1) ⇔ x = 2, x = 2m x1 = 2, x2 = 2m Trường hợp 1: Xét = −3.2m ⇔ m = − Trường hợp 2: Xét 2m = −3.2 ⇔ m = −3 Vậy x1 = −3x2 ta (thỏa mãn) x1 = 2m, x2 = m = −3, m = − thay vào thay vào x1 = −3x2 ta (thỏa mãn) giá trị cần tìm x1 , x2 Chú ý: Bài ta giải theo cách kết hợp định lý Viét để giải dạng 2 x1 , x2 x + x + 4a − a = a Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa x1 = x2 − mãn Lời giải Có ∆ ' = 2 − ( 4a − a ) = a − 4a + = ( a − ) x1 , x2 ∆ ' > ⇔ ( a − 1) > ⇔ a ≠ 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ ' = ( a − 2) Vì nên hai nghiệm phương trình x = −2 ± ( a − ) ⇔ x = a − 4, x = − a x1 = x22 − x1 = a − 4, x2 = −a Trường hợp 1: Xét thay vào 2 a − = ( − a ) − ⇔ = a − a − ⇔ a + a − 2a − = ta ⇔ ( a − ) ( a + 1) = ⇔ a = a = −1 (loại), (thỏa mãn) x1 = x22 − x1 = −a, x2 = a − Trường hợp 2: Xét thay vào ta 2 − a = ( a − ) − ⇔ = a − a + 10 ⇔ a − 2a − 5a + 10 = ⇔ ( a − ) ( a − 5) = ⇔ a = Vậy a = −1, a = (loại), a=5 (thỏa mãn) giá trị cần tìm x1 , x2 Chú ý: Bài ta giải theo cách kết hợp định lý Viét để giải dạng 2 x1 , x2 x − (2m + 5) x − 2m − = m Ví dụ Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = thỏa mãn Lời giải ∆ = − ( 2m + ) − 4.1.(−2m − 6) = ( 2m + ) + 8m + 24 = ( 2m + ) Có 2 ∆ > ⇔ ( 2m + ) > ⇔ m ≠ − x1 , x2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt 2m + ± ( 2m + ) x= ⇔ x = 2m + 6, x = −1 Phương trình có hai nghiệm x1 + x2 = x1 = 2m + 6, x2 = −1 Trường hợp 1: Xét thay vào ta 2m + + −1 = ⇔ 2m + = ⇔ 2m + = ±6 ⇔ m = 0, m = −6 (thỏa mãn) x1 + x2 = x1 = −1, x2 = 2m + Trường hợp 2: Xét thay vào ta 10 −2 − m = ( −2 + m ) + ( −2 + m ) ⇔ ( m − ) − ( m − ) + m + = ⇔ ( m − 2) 2 ( m − + ) + ( m + ) = ⇔ ( m + ) ( m − ) + 1 = ⇔ m = −2 ( thỏa mãn) m = ±2 Vậy giá trị cần tìm Ví dụ 4: Cho parabol (P): y=x2 đường thẳng d: y = (2m-1)x -m2 +m Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân x1 = x2 biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P): x = ( 2m − 1) x − m + m ⇔ x − ( 2m − 1) x + m − m = (*) ∆ = − ( 2m − 1) − 4.1( m − m ) = ( 2m − 1) − 4m + 4m = > ∀m 2 Có Do (*) ln có hai nghiệm phân biệt nên d ln cắt (P) hai điểm phân biệt Có ∆ =1 Để tồn x= nên hai nghiệm (*) x1 , x2 ta cần có 2m − ± ⇔ x = m, x = m − m ≥ x1 ≥ 0, x2 ≥ ⇔ ⇔ m ≥1 m − ≥ x1 = x2 ⇔ x1 = x2 Khi Trường hợp 1: Xét x1 = m, x2 =m -1 thay vào x1 =2x2 ta m= 2(m-1) ⇔ m =2 (thỏa mãn) Trường hợp 2: Xét x1 = m-1, x2 =m thay vào x1 =2x2 ta m -1 = 2m ⇔ m = -1 (loại ) Vậy m = giá trị cần tìm Chú ý: Bài ta cần lưu ý điều kiện m ≥ trình giải y = x2 d: y = ( m− 3) x − m+ VD5 Cho parabol (P): đường thẳng Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân x1, x2 biệt có hồnh độ độ dài hai cạnh tam giác vng cân Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm d (P): x = (m− 3)x − m+ ⇔ x2 − (m− 3)x + m− = (*) Cã ∆= [ −(m− 3)] − 4.1.(m− 4) = (m− 3)2 − 4m+ 16 = (m 5)2 d cắt (P) hai điểm phâ n biệt Ph ơng trì nh (*) cã hai nghiƯm ph© n biƯt ⇔ ∆ >0 ⇔ (m - 5)2 > ⇔ m ≠ 35 Theo định lý Viét, ta có x1 + x2 = − Do x1, x2 b c = m− 3, x1x2 = = m− a a độ dài hai cạnh tam giác nên x +x > m− > ⇔ ⇔ ⇔ m > m− > x1x2 > Vì x1>0, x2 > ∆ =(m− 5)2 nên hai nghiệm phương trình (*) m− 3± (m− 5) x= ⇔ x = 1,x = m− Do x1 ≠ x2 nªn x1,x2 x1 tam giác vng cân Giả sử độ dài cạnh huyền, x21=x22 +x22 ⇔ x1 = x2 Trường hợp 1: x2 độ dài hai cạnh góc vng độ dài cạnh góc vng theo định lí Pytago ta có XÐt x1=1,x2 = m − 4, Thay vµo x1= x2 ta đợ c 1= 2(m 4) ⇔ m = + (tháa m· n) XÐt x1=m - 4, x2 = 1, thay vµo x1= 2x2 ta đợ c Trng hp 2: m - = 2.1 ⇔ m = 2(m− 4) (tháa m· n) VËy m = + ,m = 2(m− 4) giá trịcần tì m Chỳ ý: Ta cú thể nhận xét a+ b+ c = để hai nghiệm phương trình (*) 36 x = 1, x = m− DẠNG 4: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARAPOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B LIÊN QUAN ĐẾN TUNG ĐỘ A, B yA xA yB xB Dạng ta cần tính theo tính theo theo hai cách: 2 (P): VìA,B (P): y =ax nên yA =axA ,yB =axB2 Cách 1: Tính theo d: V×A,B ∈ d: y = mx + n nªn yA = mxA + n, yB = mxB + n Cách 2: Tính theo (P) : y =x2 d: y=2mx - m2 + m + (P) m d Ví dụ 1: Cho paraboara đường thẳng Tìm để cắt hai A(x1:y1), B(x2 ;y2 ) y1+y2 +2x1+2x2 =22 điểm phân biệt thỏa mãn Lời giải: d (P): Xét phương trình hồnh độ giao điểm x =2mx - m2 +m +1 ⇔ x2 - 2mx +m2 - m - 1=0 (*) Cã ∆ ' =(-m)2 − 1.(m2 - m - 1) = m + (P) nh (*) cã hai nghiƯm ph© n biệt Ph ơng trì ct ti hai im phân biệt ⇔ ∆ ' > ⇔ m + > ⇔ m > −1 d Theo ® Þnh lý ViÐt, ta cã x1+x2 = - b c = 2m, x1x2 = = m2 -m-1 a a V×A, B (P): y=x2 nên y1=x12,y2 =x22 Do đ ó y1 +y2 +2x1 +2x2 = 22 ⇔ x21+x22 + 2x1 +2x2 = 22 ⇔ ( x1 +x2 ) − 2x1x2 + 2( x1+x2 ) = 22 Thay x1+x2 = 2m, x1x2 = m2 -m-1 Ta đợ c ( 2m) − 2( m2 -m-1) + 2.2m = 22 ⇔ m2 +3m-10=0 ⇔ (m-5)(m-2)=0 ⇔ m=-5 (lo¹i), m=2 (tháa m· n) Vậy m=2 giá trịcần tì m d : y = ( 2m + 1) x − 2m Ví dụ Cho parabol (P): đường thẳng Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân A ( x1 , y1 ) ; b ( x2 , y2 ) T = y1 + y2 − x1 x2 biệt Sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P): x = (2m + 1) x − 2m ⇔ x − (2m + 1) x + 2m = (*) y=x2 ∆ = [ −(2m + 1) ] − 4.1.2 m = (2m + 1) − 8m = (2 m − 1) 2 Có 37 d cắt (P) hai điểm phân biệt ⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ >0 ⇔ (2m− 1)2 > ⇔ m ≠ x1+x2 =- b c = 2m + 1, x1x2 = = 2m a a Theo định lí Vi-et ta cú VìA,B (P): y =x2 nên y1=x12 ,y2 =x22 Do ® ã T =x21+x22 − x1x2 = ( x1 +x2 ) − 3x1x2 Thay x1+x2 = 2m + 1, x1x2 = 2m vào T ta đợ c 3 T=(2m+ 1)2 − 3.2m = 4m2 − 2m+ = (2m− )2 + ≥ 4 VËy MinT = 1 2m - = ⇔ m = (tháa m· n) 4 (P) : y =x2 Ví dụ 3: Cho parabol đường thẳng A(x1:y1 ), B(x2 ;y2 ) y1- y2 >4 biệt thỏa mãn d: y=2mx - m2 + (P) m d Tìm để cắt hai điểm phân Lời giải: Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P): x2 =2mx - m2 +1 ⇔ x2 - 2mx +m2 - =0 (*) ∆ ' = ( -m) − 1.(m2 − 1) = > ∀m Có ,do Phương trình (*) ln có hai nghiệm cắt (P) hai điểm phân biệt x =m ± ⇔ x =m - 1, x =m +1 ∆' = Do nên hai nghiệm (*) 2 XÐt x1=m - 1, x2 =m +1 ⇒ y1=( m - 1) , y2 =( m+1) Trường hợp 1: 2 nª n y1- y2 >4 ⇔ ( m+1) − ( m-1) > ⇒ m > Vậy m >1 hoặ c m ⇔ − m > ⇔ m < x1+x2 = − b c = −2, x1x2 = = m − a a Theo định lí vi-et ta có: V×A,B ∈ (P): y =- x2 nªn y1=-x12 ,y2 =-x22 Do : x1y1- x2y2 - x1x2 =-4 ⇔ -x13+x23 -x1x2 = −4 ⇔ x13-x32 +x1x2 = ⇔ (x1 − x2 )(x12 +x22 +x1x2 ) + x1x2 = ⇔ (x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1x2 + x1x2 = Thay x1 + x2 = 2, x1x2 = m 1, ta đợ c : (x1 − x2 ) ( −2) − m+ 1 + m− = ⇔ (x1 − x2 )(5− m) + m− = ⇔ (x1 − x2 − 1)(5− m) = ⇔ m = (lo¹i), x1 − x2 = x1 − x2 = 1 ⇒ x1 = − x = − 2 x1 x2 = m − x1 + x2 = −2 Giải hệ , , thay vào ta = m −1 ⇔ m = 4 (thỏa mãn) m= Vậy giá trị cần tìm 39 DẠNG 5: BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI, DIỆN TÍCH Ghi nhớ số công thức khoảng cách - Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm A ( a ; ) ∈ Ox OA = x A = a +) Nếu B ( 0; b ) ∈ Oy OB = yB = b +) Nếu M ( a ; b) OM = a + b +) Nếu - Khoảng cách hai điểm trục Ox Oy AB = xA − xB A, B ∈ Ox AB //Ox +) Nếu (hoặc ) MN = yM − yN M , N ∈ Oy MN //Oy +) Nếu (hoặc ) A ( x A ; y A ) , B ( xB ; y B ) - Khoảng cách hai điểm (Công thức cần chứng minh sử dụng) AH = xA − xB BH = y A − yB AB = AH + BH = ( x A − xB ) + ( y A − yB ) 40 ( P ) : y = x2 d : y = mx + Ví dụ 1: Cho Parabol đường thẳng a) Chứng minh d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai phía Oy b) Gọi M, N hình chiếu vng góc A, B trục hồnh Tính độ dài MN theo S∆OAM = S∆OBN m c) Gọi H, K hình chiếu vng góc A, B trục tung Tính độ dài đoạn HK theo AB ≥ m + ∀m m d) Tính độ dài đoạn AB theo chứng minh S∆OAB = 2m + ∆OAB m m e) Tính diện tích theo tìm để (đvdt) m ∆OAB f) Chứng minh với , vuông O Lời giải ( P) d a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm : 2 x = mx + ⇔ x − mx − = (*) ∆ = ( − m ) − 4.1 ( −2 ) = m + > ∀m Có nên (*) ln có hai nghiệm phân biệt ( P) d A B Do ln cắt hai điểm phân biệt , b c x A + xB = − = m xA xB = = −2 < a a Theo định lý Viét, ta có , x A xB = −2 < ⇒ xA , xB Oy A B Vì trái dấu nên , thuộc hai phía ( P) Oy d A B Vậy ln cắt hai điểm , thuộc hai phía b) Có 2 MN = xA − xB ⇒ MN = xA − xB = ( x A − xB ) − x A xB = m + ⇒ MN = m + Vậy MN = m + 41 tìm m m để Do ∆OAM Do Vậy ∆OBN M N vng , nên 1 1 S∆OAM = AM OM = x 3A S ∆OBN = BN ON = xB3 2 2 ; 3 S ∆OAM = S ∆OBN ⇔ xA = xB ⇔ x3A = xB3 ⇔ x A = xB 2 , ⇔ x A = xB (loại), S∆OAM = S∆OBN m=0 c) Có x A = − xB ⇔ x A + xB = ⇔ m = (thỏa mãn) HK = y A − yB = x A − xB2 = ( x A + xB ) ( x A − xB ) = m ( x A − xB ) HK = m ( x A + xB ) − x A xB = m ( m + ) HK = m m + Vậy d) Có AB = = ( xA − xB ) ( x A − xB ) I 2 (m + ( y A − yB ) = + 1) = (m d ( x A − xB ) + ) ( m + 1) ≥ + ( mxA + − mxB − ) (m + 8) Oy ⇒ I ( 0; ) ⇒ OI = yI = e) Gọi giao điểm H K A B Gọi , hình chiếu vng góc , trục tung nên AH = x A BK = xB , S∆OAB = S∆OAI + S∆OBI = ( OI AH + OI BK ) = x A + xB 42 = m − ( −2 ) + 2 = m + ⇒ x A + xb = m + Vậy S ∆OAB = m + 2m + > ⇔ m > − S ∆OAB = 2m + ⇔ m + = 2m + Có (điều kiện ) ⇔ m + = 4m + 4m + ⇔ 3m + 4m − = ⇔ 3m − 3m + m − = 2 ⇔ 3m ( m − 1) + ( m − 1) ⇔ ( m − 1) ( 3m + ) = ⇔m=− m =1 (loại), (thỏa mãn) S = m + m =1 ∆OAB Vậy (đvdt) m>− Chú ý Câu ta cần lưu ý đến điều kiện trình giải 2 2 2 OA = x A + y A OB = xB + yB f) Ta có , 2 AB = ( x A − xB ) + ( y A − y B ) = x A2 + xB2 − x A xB + y A2 + yB2 − y A y B OA + OB − AB = x A xB + y A yB = ( xA xB + x x Xét 2 2 A B ) = x A xB ( xA xB + 1) = ( −2 ) ( −2 + 1) = ≠ OA2 + OB ≠ AB ∆OAB O nên vuông (đpcm) ( P) : y = x d : y = −2 x + Bài 2: Cho Parabol đường thẳng xA > a) Tìm tọa độ giao điểm A, B d (P) với vẽ d, (P) ∆ABC b) Tìm tọa độ điểm C thuộc cung AB (P) cho diện tích lớn S MAB = M ∈ Oy c) Tìm tọa độ điểm để (đvdt) E ( 3;0 ) F ∈ ( P) EF d) Cho điểm Tìm tọa độ điểm cho độ dài ngắn Lời giải ( P) d a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm : 2 x = −2 x + ⇔ x + x − = ⇔ x + x + − = Do x = ⇒ y = 12 ⇔ ( x + 1) = ⇔ x + = ±2 ⇔ x = −3 ⇒ y = ( −3) = 43 A ( 1;1) B ( −3;9 ) Vậy , d : y = −2 x + * x y * ( P ) : y = x2 x −2 −1 y 1 b) Có A(1; 1) , B(-3; 9) cố định nên độ dài đoạn AB không đổi, SABC lớn khồng cách từ C đến đường thẳng d lớn nhất, C tiếp điểm đường thẳng d1//d2 d1 tiếp xúc với (P) Gọi phương trình d1: y = ax + b ad1 = ad ⇒ d1 : y = −2 x + b (b ≠ 3) bd1 = bd Do d1//d2 nên ta có: Xét phương trình hoành độ giao điểm d1 (P): x2 = – 2x + b ⇔ x2 + 2x – b = (*) d1 tiếp xúc với (P) ⇔ (*) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = + b = ⇔ b = – (thỏa mãn) Khi xc nghiệm kép (*): xc = – ⇒ yc = (– 1)2 = Vậy C(1; –1) điểm cần tìm c) Gọi N giao điểm d Oy ⇒ N(0; 3) Do M ∈ Oy ⇒ xM = ⇒ M(0; yM), yM ≠ (do M ≠ N) ⇒ MN = yM – yN = yM – Kẻ AH ⊥ Oy H, BK ⊥ Oy K thì: AH = xA = 1 = 1, BK = xB = –3 = Vì A B thuộc hai phía Oy nên: 44 S MAB = S MAN + S MBN = 1 MN AH + MN BK = yM − 2 (đvdt) Do SAMB = ⇒ yM – = ⇒ yM – = ± ⇒ yM = 5, yM = (thỏa mãn) Vậy M(0; 1) M(0; 5) Do F ∈ ( P ) ⇒ yF = xF2 ⇒ F ( xF ; xF2 ) d) Có : ( EF = ( xE − xF ) + ( y E − y F ) = ( − xF ) + − xF2 2 ) = xF4 + xF2 − xF + = xF4 − xF2 + + xF2 − xF + = ( xF2 − 1) + ( xF − 1) + ≥ ⇒ EF ≥ Vậy MinEF = ⇔ xF = hay F (1;1) HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ I ĐỊNH LÍ VIÉT Bài Cho phương trình x2 – 2(m + 3)x + m2 +3 = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn: (2x1 - 1)( 2x2 - 1) = Bài Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – (m – 1) = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa T = x12 + x22 mãn cho biểu thức đạt giá trị nhỏ Bài Cho phương trình x – 2(m + 1)x + 4m – m2 = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 cho biểu thức A = x1 – x2 đạt giá trị nhỏ Bài Cho phương trình x2 + mx – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn: x1 + x2 = Bài Cho phương trình x2 – mx + 2m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = Bài Cho phương trình: x2 – 4x – m2 – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn x2 = 5x1 Bài Cho phương trình: x2 – 2(k – 1)x – 4k = Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn 3x1 – x2 = Bài Cho phương trình: x2 – 6x + m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x2 = x12 Bài Cho phương trình x2 – 3x – m2 + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = Bài 10 Cho phương trình: x2 – (m – 3)x – = Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 số nguyên Bài 11 Cho phương trình: x2 – 20x + m + = Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 số nguyên tố Bài 12 Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x1 = – 3x2 Bài 13 Cho phương trình: x2 + 4x + 4a – a2 = Tìm a để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 phân biệt thỏa x1 = x22 − mãn Bài 14 Cho phương trình x2 – (2m + 5)x – 2m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 45 Bài 15 Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa + =1 x1 x2 mãn Bài 16 Cho phương trình x2 – mx – = Chứng minh với m, phương trình ln có hai nghiệm phân x + x1 − 16 x22 + x2 − 16 H= − x1 x2 biệt x1, x2 giá trị biểu thức không phụ thuộc vào m Bài 17 Cho phương trình x2 – 2x + m – = Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 x1 x + 2 = x2 + x1 + x1 + x2 + thỏa mãn Bài 18 Cho phương trình x2 + 2mx – 2m – = Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 x1 x2 + P= x1 − 2mx2 + − 2m cho đạt giá trị nhỏ II HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ VIET Bài Cho phương trình x2 – 2mx + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = Bài Cho phương trình x2 – (2m + 5)x + 2m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 M= x1 − x2 mà biểu thức đạt giá trị nhỏ Bài Cho phương trình x2 – 5x + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 cho 2x1 = x2 Bài Cho phương trình x2 – (m + 5)x + 3m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 : + Là độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền + Là độ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông cân Bài Cho phương trình x2 + (m + 2)x – m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x1 < ≤ x2 Bài Cho phương trình x2 + (m – 2)x + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x1 ≤ < x2 Bài Cho phương trình x2 + 2mx + 4m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn x1 x2 x1 < x2 d) Giả sử Tìm m để ( P ) : y = x2 y = mx − m + Bài Cho parabol d: Tìm m để (d) (P) cắt hai điểm phân biệt có x1 + x2 = x1 , x hoành độ thỏa mãn P ( ) : y = x2 y = 2(m − 1) x + − 2m Bài Cho (d): Tim m để d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x 10 độ dài hai cạnh hình chữ nhật có độ dài đường chéo ( P ) : y = x2 y = mx + m + Bài Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt x1 , x 2 x1 − 3x2 = có hồnh độ thỏa mãn ( P ) : y = x2 y = 2( m + 1) x + Bài Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân x1 + x2 = x1 , x biệt có hồnh độ thỏa mãn: ( P ) : y = x2 y = −4 x + m − Bài Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân x1 , x x2 = x1 + x1 biệt có hồnh độ thỏa mãn: 47 Bài 10 Cho parabol ( P ) : y = x2 phân biệt có hồnh độ đường thẳng (d): x1 , x y = (2m − 1) x − m + m Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm x1 = 2.x2 thỏa mãn: ( P ) : y = x2 y = (m − 3) x − m + Bài 11 Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm x1 , x phân biệt có hoành độ độ dài hai cạnh tam giác vuông cân ( P ) : y = x2 y = 2mx − m + m + Bài 12 Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) y1 + y2 + x1 + x2 = 22 phân biệt thỏa mãn: P : y = x2 ( ) y = (2m + 1) x − 2m Bài 13 Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) T = y1 + y2 − x1 x2 biệt cho biểu thức : đạt giá trị nhỏ P : y = − x ( ) y = 2mx − m2 + Bài 14 Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) y1 − y2 > biệt thỏa mãn: ( P ) : y = − x2 y = 2x + m −1 Bài 15 Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) x1 y1 + x2 y2 − x1.x2 = −4 biệt mà ( P ) : y = x2 y = mx + Bài 16 Cho parabol đường thẳng (d): a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai phía Oy b) Gọi M, N hình chiếu vng góc A, B trục hồnh Tính độ dài đoạn MN theo m tìm m để c) S∆OAM = S ∆OBM Gọi H, K hình chiếu vng góc A, B trục tung Tính độ dài đoạn HK theo d) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo AB ≥ m + m chứng minh S∆OAB = 2m + ∆OAB m m e) Tính diện tích theo tìm để (đvdt) m ∆OAB f) Chứng minh với , vuông O ( P) : y = x y = −2 x + Bài 17 Cho parabol đường thẳng (d): a) b) c) Tìm tọa độ giao điểm A, B (d) (P) với xA > ∀m m , vẽ (d) (P) hệ trục tọa độ ∆ABC Tìm tọa độ điểm C thuộc cung AB (P) cho diện tích lớn M ∈ Oy S ∆MAB = Tìm tọa độ điểm để (đvdt) 48 d) Cho điểm E (3;0) Tìm tọa độ điểm F ∈( P) cho độ dài 49 EF ngắn