Phương pháp thế là một trong những phương pháp có ứng dụng nhiều trong việc tính giá trị biểu thức, chứng minh, giải phương trình, hệ phương trình, … Đặc biệt đối với giải hệ phương trình không mẫu mực thì phương pháp thế là phương pháp được sử dụng linh hoạt, có hiệu quả. Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp thế cần lưu ý rằng phương trình thu được phải các phương trình giải được. Phương pháp thế gồm: Phép thế đơn; Phép thế nhóm; Phép thế hằng số.
GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC BNG PHNG PHP TH Giỏo viờn: Nguyn Duy Hong n v: Trng THCS Tam Dng, Tam Dng i tng bi dng: Hc sinh gii lp Phng phỏp th l mt nhng phng phỏp cú ng dng nhiu vic tớnh giỏ tr biu thc, chng minh, gii phng trỡnh, h phng trỡnh, c bit i vi gii h phng trỡnh khụng mu mc thỡ phng phỏp th l phng phỏp c s dng linh hot, cú hiu qu Tuy nhiờn s dng phng phỏp th cn lu ý rng phng trỡnh thu c phi cỏc phng trỡnh gii c Phng phỏp th gm: Phộp th n; Phộp th nhúm; Phộp th hng s Phộp th n: a) C s phng phỏp Ta rỳt mt n t mt phng trỡnh h v th vo phng trỡnh cũn li b) Nhn dng Phng phỏp ny thng hay s dng h cú mt phng trỡnh l bc nht i vi mt n no ú * Nu mt phng trỡnh h cú bc nht i vi tt c cỏc n thỡ rỳt tựy ý mt n thay vo phng trỡnh cũn li (1) x y Bi Gii h phng trỡnh 2 x y y (2) Li gii 3y T (1) ta cú x th vo (2) ta c 2 3y y 2y 3(25 30 y y ) y y 16 23 y 82 y 59 y 1, y 31 59 Vy nghim ca h phng trỡnh l 1;1 ; ; 23 23 59 23 * Nu mt phng trỡnh h cú bc nht i vi mt n thỡ rỳt n ú thay vo phng trỡnh cũn li Trong trng hp ny phc hn bi biu thc thay vo khụng phi bc nht 3 x (6 y ) x xy (1) Bi Gii h phng trỡnh (2) x x y Li gii Phng trỡnh (2) l bc nht vi y nờn t (2) suy y x x thay vo phng trỡnh (1) ta c x3 (6 x x 3) x x( x x 3) x4 x3 x x x( x x x 6) x( x 2)( x x 3) (*) Vỡ x x ( x 1) mi x nờn phng trỡnh (*) cú nghim x 0; T ú tỡm c nghim ca h phng trỡnh l (0; 3); (2;9) x x y x y x (1) Bi Gii h phng trỡnh (2) x xy x Phõn tớch Phng trỡnh (2) l bc nht i vi y nờn ta dựng phộp th Li gii TH 1: Vi x = khụng tha (2) TH 2: Vi 6x x2 x 0, (2) y , 2x th vo (1) ta 6x x2 6x x2 x 2x x 2x x x x (6 x x ) x x (6 x x ) x x ( x 4) x 4 2 17 Do x nờn h phng trỡnh cú nghim nht 4; 2 Bi Gii h phng trỡnh x y xy (1) xy 3x (2) c Li gii 3x 3x 3x 2 x x Từ (2) x 0, y , thay vào (1) ta có: x x x 2 7x 23x 16 Giải ta x x = 16 Từ x x y ; Từ x 16 7 x y 7 7 7 ; ; Vậy hệ có nghiệm (x; y) (1; 1); (-1; -1); ; 7 7 Bi dng: Gii cỏc h phng trỡnh sau: x y 1) x y (1 xy ) x y 2) 2 x y x x y 3) ( x 1) y xy 4( y 2) x y 4) x xy y x 8) x y x y 9) x y y 10 xy 3x y 58 10) x y x y x xy y x y 5) 2 x xy y x y x y 6) x y 11) 2 x y 3x y x (5 y ) x xy x 12) x x y x (6 y ) x xy 13) 2 x x y x y xy 7) x y 12 Phộp th nhúm: a) C s phng phỏp: Ta rỳt mt biu thc t mt phng trỡnh h v th vo phng trỡnh cũn li b) Nhn dng: Phộp th nhúm c dựng h phng trỡnh cú mt nhúm th ging x y xy y Bi Gii h phng trỡnh y( x y )2 x y (1) (2) Li gii T (1) x y y xy Th vo (2) ta cú y( x y )2 2(4 y y xy ) y y y ( x y) 2( x y ) 15 ( x y) 2( x y ) 15 Vi y = thỡ x2 + = (loi) x y x y Vi ( x y ) 2( x y ) 15 Nu x + y = -5, th vo (1) ta cú x x x x x x x 46 vụ nghim Nu x + y = 3, th vo (1) ta cú x x2 x x x x x2 x x Vy h phng trỡnh cú nghim (1; 2); ( 2;5) (1) x ( x y 1) Bi Gii h phng trỡnh ( x y ) (2) x2 Li gii K: x T (1) suy x y v thay vo phng trỡnh (2), ta cú x x 3 x 2 x2 x x x Vy h phng trỡnh cú nghim (1;1); (2; ) 2 x x y x y x Bi Gii h phng trỡnh x xy x Li gii x x x xy x 2x H x2 x 2 x xy x 6x x xy 2 x2 6x x Khi ú x x ( x 4) x 17 Vỡ x nờn h phng trỡnh cú nghim nht 4; x 3y x x2 y Bi Gii h phng trỡnh y y 3x x2 y (1) (2) Li gii K: x y T (2) ta cú y ( x y ) ( y x ) Nu y = thỡ x = (loi) Nu y thỡ x y y 3x y( x y ) Th vo (1), ta cú x y y 3x 3x y 3( y x) y 3x y 3x 3( y x) y y Vi y = 3x thỡ x = y = (loi) Vi y = -1 thỡ x = hoc x = Vy h phng trỡnh cú nghim (0; 1); (3; 1) Bi dng: Gii cỏc h phng trỡnh sau: x x y y 1) x xy y x x y y 2) x xy y x y xy 3) 2 x y ( x 1)(2 y 1) x y ( x 1)(3 y 2) x y 4) xy 3x y xy ( x y ) y x xy (2 xy ) y x 12) 2 x y x y 13) 2 x y x y xy y x y 14) 2 xy y x y x y xy ( x y ) xy 15) 2 x y xy ( x 1) xy x xy x 16) 2 xy x xy x 5) 2 x y x 12 y 2y x y 6) x xy y x ( x y )( x y ) 2 (2 x y )( x y ) 7) ( x y 1)( x y 1) 12 8) x y ( x 1)(3 y 1) 11 xy x y xy x y 9) x y xy (2 x y ) xy x y xy (3 x y ) xy 10) x y xy x y 11) 2 x y xy x y xy x y 17) 2 x y x y xy y ( x y 1) 3x 18) 2 y ( y xy x) x x y (1 xy ) 19) xy x y x y x y 20) 2 x y x y x y 2( x y ) 21) y ( y x) x 10 3x y 6x y 11 22) 2 x 15y 6x 15y 33 Phộp th hng s: a) C s phng phỏp: T mt phng trỡnh ta rỳt mt s bng mt biu thc thay vo phng trỡnh cũn li b) Nhn dng: Phộp th hng s nhm mc ớch a phng trỡnh v phng trỡnh tớch hoc phng trỡnh ng cp x y x Bi Gii h phng trỡnh 3 x y 1 Li gii Th s t (2) v (1) ta c: x y x y x y x y x xy y 2 x xy y (3) Phng trỡnh (3) x y y vụ nghim Vi x y x3 y x y 34 2 34 34 ; 2 Vy h phng trỡnh cú nghim nht x; y 3 (1) x y x y Bi Gii h phng trỡnh vi x, y l s hu t x 19 xy 15 y (2) Li gii x3 y x y Th s t (2) v (1) ta c 2 3 (6 x 19 xy 15 y )( x y ) x y (*) a (*) v phng trỡnh x3 5x y 61xy 62 y l phng trỡnh ng cp bc Xột y = thỡ x = (loi) Xột y khỏc 0, t t x vi t l s hu t, ta c 5t 5t 61t 62 y Gii phng trỡnh vi t hu t, ta cú c t = Kt qu (x,y) l (2; 1), (-2; -1) x y Bi Gii h phng trỡnh 5 x y 11( x y ) Li gii Ta cú x y ( x y )( x y ) x y ( x y ) Khi ú ta cú 5( x3 y ) x y ( x y ) 11( x y ) ( x y ) 5( x y ) xy x y 11 10 10 10 10 ; ; ; 2 2 Vi x+ y = ta c Vi 5( x y ) xy x y 11 t 5t 14 vi t = xy Gii phng trỡnh c t = hoc t = -7 x y x y Nu t = thỡ x y x y Nu t = -7 thỡ x y x y (loi) Kt qu (x, y) l (1; 2), (2;1), (-1; -2), (-2;-1) Bi dng: Gii cỏc h phng trỡnh sau: x2 y2 7) 10 10 4 x y x y x3 y3 1) xy ( x y ) x 3x y 20 2) x y xy 8) x y 31 x3 y y 3xy x( x y ) 3) 3 x y 18 y 27 x y x y 41 9) 2 xy ( x y ) 10 x y 4) 8 10 10 x y x y x y 4 2 x y x y 20 xy 81 10) x y 5) 3 2 x y x y 3 x y xy ( x y ) 11) 5 x y 6) 5 x y 30 xy 32 x y x y 3 x y 12) 5 2 x y x y TI LIU THAM KHO Chuyờn Bi dng HSG toỏn THCS Nõng cao v phỏt trin toỏn Bỏo Toỏn hc tui th, Toỏn hc tui tr Cỏc ngun trờn mng Internet ... 2 7x 23x 16 Giải ta x x = 16 Từ x x y ; Từ x 16 7 x y 7 7 7 ; ; Vậy hệ có nghiệm (x; y) (1; 1); (-1; -1); ; 7 7 Bi dng: Gii cỏc h phng trỡnh sau: x y 1) x y (1... = hoc t = -7 x y x y Nu t = thỡ x y x y Nu t = -7 thỡ x y x y (loi) Kt qu (x, y) l (1; 2), (2;1), (-1; -2), (-2;-1) Bi dng: Gii cỏc h phng trỡnh sau: x2 y2 7) 10 10 4... ) 7) ( x y 1)( x y 1) 12 8) x y ( x 1)(3 y 1) 11 xy x y xy x y 9) x y xy (2 x y ) xy x y xy (3 x y ) xy 10) x y xy x y 11) 2 x y xy x y xy x y 17)