HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 ÔN TẬP PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 THPT tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng học sinh lớp 9 ôn tập phần hệ phương trình. Nội dung chủ yếu của sáng kiến là nêu ra các dạng bài tập cơ bản thường gặp trong các đề thi vào lớp 10 THPT, sáng kiến còn giúp học sinh củng cố và nắm chắc kiến thức cơ bản, giúp các em tự tin hơn khi gặp các bài toán về hệ phương trình. Trong mỗi dạng toán tôi đưa ra phương pháp chung, các ví dụ minh họa, hướng giải quyết cụ thể, một số sai lầm học sinh thường gặp và bài tập vận dụng tương ứng cho từng dạng.

PHỊNG GD - ĐT VĨNH TƯỜNG TRƯỜNG THCS LŨNG HỒ BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP ÔN TẬP PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tác giả sáng kiến: Cao Quốc Cường * Mã sáng kiến: 28 Vĩnh Tường, tháng năm 2019 MỤC LỤC STT Mục Trang Lời giới thiệu Tên chuyên đề Tác giả chuyên đề Chủ đầu tư tạo chuyên đề Lĩnh vực áp dụng chuyên đề Ngày chuyên đề áp dụng lần đầu áp dụng thử Mô tả chất chuyên đề Những thông tin cần bảo mật 25 Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề 25 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tác giả 25 11 Danh sách tổ chức/ cá nhân tham gia áp dụng thử chuyên đề lần đầu 27 Tài liệu tham khảo 28 -24 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Các tốn liên quan đến hệ phương trình nội dung quan trọng đề thi vào lớp 10 THPT Qua thực tế giảng dạy, qua việc theo dõi kết học tập học sinh lớp 9, tơi thấy tốn liên quan đến hệ phương trình khơng khó, cịn nhiều học sinh làm sai chưa làm được, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa hình thành kĩ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo vào tốn cụ thể Thực tế giảng dạy tơi thấy có số học sinh tiếp thu chậm, chưa biết vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm tập Các em nhầm lẫn chưa thành thạo dạng tốn hệ phương trình, thời gian dành cho ơn tập dạng tập cịn đa số em chưa giải toán mở rộng, nâng cao đề thi vào lớp 10 THPT Nguyên nhân tồn là: - Do thời gian phân phối chương trình dành cho phần hệ phương trình cịn ít, để làm tập liên quan đến hệ phương trình có chứa tham số địi hỏi học sinh có tu duy, có kỹ tính tốn, phân tích tốt - Một số học sinh nắm kiến thức chưa sâu, số học máy móc, hiểu cách giải hệ phương trình đơn giản chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn q trình làm tập Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 THPT viết sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng học sinh lớp ơn tập phần hệ phương trình" Nội dung chủ yếu sáng kiến nêu dạng tập thường gặp đề thi vào lớp 10 THPT, sáng kiến giúp học sinh củng cố nắm kiến thức bản, giúp em tự tin gặp tốn hệ phương trình Trong dạng tốn tơi đưa phương pháp chung, ví dụ minh họa, hướng giải cụ thể, số sai lầm học sinh thường gặp tập vận dụng tương ứng cho dạng 2.Tên sáng kiến: Hướng học sinh lớp ơn tập phần hệ phương trình 3.Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Cao Quốc Cường - Địa : Trường THCS Lũng Hòa- Vĩnh Tường- Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0982.172.094 Email: caoquoccuongpgdvinhtuong@gmail.com 4.Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Cao Quốc Cường; Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp trường THCS; Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Từ 15 tháng năm 2019; 7.Mô tả chất chuyên đề A.Về nội dung của sáng kiến: Hướng học sinh lớp ôn tập phần hệ phương trình 7.1.Dạng 1: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn * Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn Hệ hai phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng: ax  by  c(1) � �, a x  b, y  c , (2) (1) (2) phương trình bậc hai ẩn � 7.1.1.Phương pháp giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp Quy tắc dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Gồm hai bước sau: Bước 1: Từ phương trình hệ phương trình cho (coi phương trình thứ nhất) ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (là PT ẩn); Bước 2: Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ (phương trình thứ thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước 1) Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Gồm hai bước sau: Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình mới; Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (và giữ ngun phương trình kia) 7.1.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  x  y 1   x  y 3 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2015- 2016) Giải Cách 1: Sử dụng phương pháp  x  y 1    x  y 3  x  y 1  x  y 1  x  y 1  x 1       3( y  1)  y 3  y   y 3  y 0  y 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (1;0) Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số  x  y 1    x  y 3  x  y 2  x 5  x 1  x 1      3x  y 3  x  y 1 1  y 1  y 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1;0) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  x  y    x  y  (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2010- 2011) Giải Cách 1: Sử dụng phương pháp   5y    5y x    x  y   x        x  y     y  y     y  y     5y 15   x   x     4  y   y  Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (    5y  x     y 4 15 ; ) Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số  x  y     x  y   y   y   y   y         15  x  y   x  10   x  15  x  Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (  15 ; ) Nhận xét: Đối với ví dụ giáo viên lên hướng dẫn học sinh giải phương pháp cộng nhanh hệ số x hai phương trình hệ 7.1.3 Bài tập tương tự Giải hệ phương trình sau:  x  y 3  x  y 5 a)   x  y 5  x  y 10 b)   x  (1  ) y 1 e)   (1  ) x  y 1  x  y  0  x  y 14 c)   x  y 3  x  y 14 d)  x   g)  y  x  y  10 0  y  27  y  5x 5   2x  i)   x   y  y  5x   0,2 x  0,1 y 0,3 f)   x  y 5  (2 x  3)( y  4) 4 x ( y  3)  54   ( x  1)(3 y  3) 3 y ( x  1)  12 1  ( x  2)( y  3)  xy 50 j)   xy  ( x  2)( y  2) 32  h)  ( x  20)( y  1)  xy  ( x  10)( y  1)  xy k)  7.2.Dạng 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ hai phương trình bậc hai ẩn 7.2.1.Phương pháp giải: - Tìm điều kiện xác định phương trình hệ (nếu có) - Đặt ẩn phụ điều kiện ẩn phụ (nếu có) - Giải hệ phương trình theo ẩn phụ đặt - Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm hệ 7.2.2.Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:  2( x  y )  3( x  y ) 4 a )  ( x  y )  2( x  y ) 5  2( x  2)  3(1  y )  b)   3( x  2)  2(1  y )  Giải a)Cách 1:  2( x  y )  3( x  y ) 4  x  y  x  y 4  x  y 4 a )     ( x  y )  2( x  y ) 5  x  y  x  y 5  3x  y 5   x   x      3x  y 5    y 5    x    y   13  13  ;   2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) =   Cách 2: Đặt  x  y u   x  y v Khi đó, hệ phương trình cho có dạng:  2u  3v 4  2u  3v 4   v   v 6  v 6         u  2v 5  2u  4v 10  u  2v 5  u  12 5  u    x    x   x  y   x           x  y 6  x  y     y 5  y    13  13  ;   2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) =   b)Cách 1:  2( x  2)  3(1  y )   x    y   x  y      3( x  2)  2(1  y )   x    y   x  y 5  x  y  13x 13  x 1  x 1       x  y 15  x  y    y   y  Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = 1; 1  x  u  y  v Cách 2: Đặt  Khi đó, hệ phương trình cho có dạng:  2u  3v   4u  6v  13u  13  u   u         3u  2v   9u  6v   2u  3v     3v   v 0  x    x 1   y  0  y  Theo cách đặt ta có:  Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = 1; 1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: 1  x  y 1  a )   5  x y  x 2  b)     x  2 y 1 y Giải 1  x  y 1  a )   5  x y ĐKXĐ: x 0 ; y 0 1  x u (u 0; v 0) Khi hệ phương trình cho có dạng: Đặt   v  y 9   u  u     u  v 1  4u  4v 4  7u 9 7        3u  4v 5  3u  4v 5  u  v 1   v 1 v 2   1  x    2  y 7   x    (Thỏa mãn điều kiện)  y 7  7 7 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) =  ;   2  x 2  b)     x  2 y 1 y   x  u Đặt   v  y  ĐKXĐ: x 2 ; y 1 (u 0; v 0) Khi phương trình cho có dạng: 7   u  u     u  v 2  3u  3v 6  5u 7 5        2u  3v 1  2u  3v 1  u  v 2   v 2  v 3   7   x     3  y  5 19    x    x     (Thỏa mãn điều kiện) y 1  y 8   3  19  ;   3 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) =  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:  x    x  y  a)  b)   x  y 1 y  1  x   y  2 Giải  x  y  a)   x  y 1  x u Đặt   y v ĐKXĐ: x 0 ; y 0 (u 0; v 0) Khi hệ phương trình cho có dạng:  x 0  3u  2v   3u  2v   7u   u 0          y 1  2u  v 1  4u  2v 2  2u  v 1  v 1  x 0   (Thỏa mãn điều kiện)  y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) =  0;1  x   y  1 b)  ĐKXĐ: x 1 ; y 1  x   y  2  x  u Đặt   y  v (u 0; v 0) Khi hệ phương trình cho có dạng:  x  1  2u  v 1  3u 3  u 1  u 1       y  1  u  v 2  u  v 2 1  v 2  v 1  x  1  x 2   ( Thỏa mãn điều kiện)  y  1  y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) =  2;2 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau:  x  y 8 a )  x  y 5  x  y 8 xy b)   x  y 5 xy (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2005- 2006) Giải  x  y 8 10 x  y 16  x 1 a )     x  y 5  x  y 15  x  y 8  x 1  x 1     y 8  y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = 1;1 b) Cách 1:  x  y 8 xy 10 x  y 16 xy  x  xy  x  xy 0       x  y 5 xy  x  y 15 xy  x  y 8 xy  x  y 8 xy  x(1  y ) 0    x  y 8 xy  x 0  x 0   Từ phương trình x(1  y ) 0   1  y 0  y 1 - Với x 0 thay vào phương trình x  y 8 xy ta y 0 - Với y 1 thay vào phương trình x  y 8 xy ta x  8 x  x 3  x 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = (0;0); (1;1) Cách 2: - Ta thấy cặp số (0;0) nghiệm phương trình - Với x 0 ; y 0 : Chia hai vế phương trình hệ cho xy ta được: 3 x   2  x 8 y 5 y 1  x u Đặt   v  y Khi hệ có dạng:  3u  5v 8  6u  10v 16  v 1  v 1  v 1        2u  3v 5  6u  9v 15  2u  3v 5  2u  5  u 1 1  x 1  x 1   ( Thỏa mãn điều kiện)  y 1  1  y Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = (0;0); (1;1) Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: Khi xét trường hợp đường thẳng (a) // đường thẳng (b) học sinh xét điều kiện  m 1 10  Quên điều kiện  Nên dẫn tới kết luận sai m = 2 HPT m m vô nghiệm  mx  y  n 0 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:  (**)   x  y   x  y  1 0 (x,y ẩn m,n tham số) Tìm giá trị m, n để hệ phương trình vơ nghiệm   mx  y  n 0  mx  y  n 0    x  y  0   Bài làm: Ta có     mx  y  n 0  x  y   x  y  1 0   x  y  0    y mx  n1 I      y   x  2     y mx  n 3   1  II   y  x   4 2  Gọi a, b, c, d đường thẳng có phương trình biểu diễn tương ứng PT (1), (2), (3), (4).Hệ PT trình(**) vô nghiệm hệ PT (I) hệ PT (2) vô  a // b  nghiệm    c // d  m  1; n   m  ; n   2 Vậy không tồn m, n để hệ vô nghiệm  mx  y   x  y  m Ví dụ 3: Cho hệ phương trình:  Tìm m để hệ PT có nghiệm (x,y) thoả mãn y2 = x  mx  y    x  y  m Bài làm:Ta có  y  mx     (1  m) x 1  m* Để hệ PT có nghiệm  PT (*) có nghiệm  m 1 (I) Khi x 1  m 0 Để y2 = x    m  1 1   Thoả mãn ĐK  y  m   m   hệ PT có nghiệm  (I) Vậy m = m = - hệ PT có nghiệm thoả mãn y2 = x x  my 3m1  mx  y m  2   Ví dụ 4: Cho hệ phương trình:  Tìm m để hệ PT có nghiệm thoả mãn x2 - 2x – y > Bài làm: Từ PT(1) ta có x = 3m – my (*) vào PT(2) ta có : m(3m – my) – y = m2 -  y(m2 + 1) = 2m2 +  y = thay y = vào (*) ta có x = m  x m  y 2 Vậy hệ PT có nghiệm  14 m   Để x2 – 2x – y >  m2 – 2m – >   m  1     m    (m  1) x  y 3m  41  x  (m  1) y m 2 Ví dụ 5: Cho hệ phương trình:  Tìm m để hệ PT có nghiệm thoả mãn: x + y = Bài làm: Rút x từ PT(2) vào PT(1) ta có: y(m2 – 2m) = m2 – 4m + (*) để hệ PT có nghiệm  PT(*) có  m 0  m 2 nghiệm  m2 – 2m 0   có nghiệm hệ PT (I) Với m thoả mãn điều kiện (I) ta 3m   x  m  m  y m  Để x + y = ta có 3m  m   2  2m 4  m 2 (Không thoả mãn ĐK (I)) Vậy khơng tìm m m giá trị m để hệ PT có nghiệm thoả mãn: x + y =  ax  y b1 2  x  y 1  Ví dụ 6: Cho hệ phương trình:  (a,b tham số) Tìm giá trị a để hệ PT có nghiệm (x, y) với b Bài làm: Rút y từ PT(1) vào PT(2) ta có: x2 - 4(b – ax)2 =  (1 – 4a2)x2 + 8abx – 4b2 - = (3)  4bx 4b  1 *Nếu – a 0  a  PT(3)   2   4bx 4b  Các phương trình vô nghiệm b = *Nếu  4a 0  a  Để hệ PT cho có nghiệm với b  PT(3) có nghiệm với b  ' 4b   4a 0 Với  b   4a 0  a < ( Do a  ) Kết luận : Vậy a  hệ PT có nghiệm (x,y) với b Những sai lầm thường gặp: Khi làm em thường nhầm lẫn ( hoặc, ) Các em cần ý để hệ PT (**) vơ nghiệm hệ PT (I) hệ PT (2) vô nghiệm 15 Khi làm 3, 4, sau tìm giá trị m nhiều em không kiểm tra điều kiện m để hệ PT có nghiệm Vì nhiều em tìm kết m = Khi làm nhiều em quên không xét trường hợp  4a 0 Vì nhiều em kết sai a  Ví dụ 7: Cho hệ phương trình  mx  y 1 (m tham số có giá trị thực)  x  y  (I)  a) Giải hệ phương trình (I) với m =1 b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình (I) có nghiệm ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2009- 2010) Giải a) Thay m =1 vào hệ phương trình (I) ta có:  x  y 1  x  y 2      x  y   x  y   x 1    x  y 1   x      y 1    x    y 5  8 Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm (x; y) = ( ; ) b) Cách 1: Hệ phương trình (I) có nghiệm  m   m   Vậy với m   hệ phương trình có nghiệm Cách 2:  mx  y 1  2mx  y 2    x  y   x  y  Cộng vế với vế hai phương trình ta được: 2mx  x   2(m  1) x  (*) Hệ phương trình (I) có nghiệm  Phương trình (*) có nghiệm  m  0  m  Vậy với m   hệ phương trình có nghiệm 16  x  my 2m với m tham số  mx  y 1  m Ví dụ 8: Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm nhất? Vơ nghiệm? Vô số nghiệm? Giải a) Thay m = vào hệ phương trình ta có:  x  y 4  x  y 4   3x 6  x   x         x  y   x  y   x  y 4    y 4  y 3 Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm là:   2;3 b) Từ phương trình mx  y 1  m suy y 1  m  mx : Thay vào phương trình x  my 2m ta được: x  m(1  m  mx) 2m  x  m  m  m x  2m  (1  m ) x m  m (*) * Hệ phương trình có nghiệm  Phương trình (*) có nghiệm   m 0  m 1  m  1 Vậy với m  1 hệ phương trình có nghiệm * Hệ phương trình vơ nghiệm  Phương trình (*) vơ nghiệm  m 1 1  m 0       m 0  m 1  m  m 0   m   Vậy với m 1 hệ phương trình vơ nghiệm -Hệ phương trình vơ số nghiệm  Phương trình (*) có vơ số nghiệm  m 1 1  m 0  m 1       m 0  m    m  m 0  m(m  1) 0   m   Vậy với m  hệ phương trình có vơ số nghiệm  mx  y 1 với m tham số  x  my 4 Ví dụ 9: Cho hệ phương trình  17 a) Giải hệ phương trình m =1 b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x  y 2 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2016- 2017) Giải a) Thay m =1 vào hệ phương trình ta có: 5   x x    x  y 1  3x 5   3        x  y 4  x  y 1   y 1  y 2   5 2 Vậy với m =1 hệ phương trình có nghiệm là:  ;  3 3 b) Từ phương trình mx  y 1 suy y mx  : Thay vào phương trình x  my 4 ta được: x  m(mx  1) 4  x  m x  m 4  (m  2) x m  (*) Hệ phương trình (I) có nghiệm  Phương trình (*) có nghiệm  m  0 với m Vậy với m hệ phương trình cho ln có nghiệm Khi đó, x  m4 4m  y  2 m 2 m 2 Theo đề x  y 2  m  4m   2 m2  m2   5m  2m   2m  5m  0  (m  2)(2m  1) 0  m 2  m  0     m  m     18 Vậy với m 2 m  hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn x  y 2  mx  y 1 ( m tham số)  x  3my 7 Ví dụ 10: Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m =1 b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x  y  Giải a) Thay m =1 vào hệ phương trình ta có:  x  y 1  3x  y 3  x 10  x 2       x  y 7  x  y 7  x  y 1  y 1 Vậy với m =1 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1) b) Từ phương trình mx  y 1 suy y mx  : Thay vào phương trình x  3my 7 ta được: x  3m(mx  1) 7  x  3m x  3m 7  (3m  2) x 3m  (4*) Ta có 3m  0 với m (vì m 0 nên 3m   với m) Vậy với m hệ phương trình cho ln có nghiệm Khi đó, x  3m  7m  y  2 3m  3m  Theo đề x  y    3m   m  3m    m            m  7m    7m   m    3m    m  hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn y  x  điều kiện Vậy với  x  y 3  m (1) , m tham số  x  y 3(m  2) Ví dụ 11: Cho hệ phương trình  a)Giải hệ phương trình (1) với m = b)Tìm tất giá trị m để hệ (1) có nghiệm 19 c)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  y , ( x; y ) nghiệm hệ (1) (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2017- 2018) Giải a) Thay m = vào hệ phương trình ta có:  x  y 1  x  y 1  x 25       x  y 12  x  y 24  x  y 1  x 5  x 5     y 1  y 2 Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm là:  5;2  b) Từ phương trình x  y 3(m  2) suy y 3(m  2)  x Thay vào phương trình x  y 3  m ta được: x  2[3(m  2)  x] 3  m  x  2[3m   x] 3  m  x  6m  12  x 3  m  x 5m  15  x m  Ta có 0 với m Vậy với m hệ phương trình cho ln có nghiệm c) Theo câu b) x m  y m 9  A  x  y  m  3  m m  6m   m 2m  6m  2(m  )   với 2 m; Dấu “ = ” xảy  m  Vậy với m  biểu thức A  x  y đạt giá trị nhỏ 2 Nhận xét: Đối với câu b) học sinh giải theo cách cách Cách 2: Ta có:   suy hệ phương trình ln có nghiệm với m Vậy với m hệ phương trình cho ln có nghiệm Cách 3:  x  y 3  m  x  y 3  m  x 5m  15  x m         x  y 3(m  2)  x  y 6m  12  x  y 3  m  y m Vậy với m hệ phương trình cho ln có nghiệm  2mx  y  ( m tham số)  x  2my 3  2m Ví dụ 12: Cho hệ phương trình  20 a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b) Tìm m ngun để hệ phương trình có nghiệm (x; y) cho x y nguyên Giải a) Từ phương trình 2mx  y  suy y  x  2my 3  2m ta được: x  2mx  Thay vào phương trình 2m(2mx  2) 3  2m  25 x  4m x  4m 15  10m  (25  4m ) x 15  6m  (4m  25) x 6m  15 Hệ phương trình cho có nghiệm  Phương trình (4m  25) x 6m  15 có nghiệm  4m  25 0  m   Vậy với m   hệ phương trình cho có nghiệm 6m  15 3(2m  5) b) Với m   x  4m  25  (2m  5)(2m  5)  2m  y 2m  1  2m  2m  Để x; y  Z  2m   Ư (3) =  1;3}  m  { 4; 3; 2; 1} Kết hợp với điều kiện m   m nguyên ta m  { 4; 3; 2; 1} thỏa mãn đề 7.3.3 Bài tập tương tự Bài 1: Cho hệ phương trình  x  ay    ax  y 5 a) Giải hệ phương trình với a =1; b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2012- 2013) Bài 2: Cho hệ phương trình 21  mx  y 2m  ( m tham số)  x  my m  a) Giải hệ phương trình m =1; b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x  y 13 ; c) Tìm giá trị nguyên m để x; y nguyên Bài 3: Cho hệ phương trình  mx  y 3  ( m tham số )  x  my 6 a) Giải hệ phương trình với m 2 ; b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn điều kiện x  y  Bài 4: Cho hệ phương trình  (m  1) x  my 3m   (m tham số)  x  y m  a) Giải hệ phương trình với m = 2; b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) cho biểu thức S  x  y đạt giá trị nhỏ Bài 5: Cho hệ phương trình bậc hai ẩn x, y tham số m  x  y 2   x  y m  3m  a) Giải hệ phương trình với m = 0; b) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình có nghiệm ( x0 ; y ) thỏa mãn điều kiện x0  y ; c) Xác định giá trị nguyên tham số m để hệ phương trình cho có nghiệm (a; b) , với a b số nguyên (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2004- 2005)  2mx  y 2 (với m tham số)  x  my m  Bài 6: Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m = -1; b) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình có nghiệm ( x;y) thỏa mãn điều kiện x  y  ; 22 c)Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m; d)Tìm giá trị m để biểu thức P  y  x đạt giá trị nhỏ nhất, ( x; y ) nghiệm hệ phương trình cho  mx  y 2  x  my 5 Bài 7: Cho hệ phương trình:  Tìm m để hệ PT có nghiệm thoả mãn : x + y < x  my m   m  1 x  2my 2m   Bài : Cho hệ phương trình:   Tìm giá trị m để hệ PT có vơ số nghiệm   a  1 x  y a   x   a  1 y 2 Bài 9: Cho hệ phương trình:  Tìm giá trị a để hệ PT có nghiệm thoả mãn điều kiện : x – y =  a  1 x  y 4a  ax   a  3 y 3a   Bài 10: Cho hệ phương trình:  Tìm giá trị a để hệ PT có vơ số nghiệm 7.4 Dạng 4: Giải biện luận hệ phương trình 7.4.1.Phương páp giải:  ax  by c  a ' x  b ' y c ' Cho hệ phương trình bậc hai ẩn  Để giải biện luận hệ phương trình ta làm sau: Bước 1: Từ hai phương trình hệ sử dụng phương pháp cộng ta thu phương trình (là phương trình bậc ẩn, (ký hiệu PT *)) Bước 2: Giải biện luận phương trình *, từ đến kết luận giải biện luận hệ phương trình cho Chú ý: Số nghiệm hệ phương trình số nghiệm phương trình * 7.4.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hệ phương trình với tham số a  (a  1) x  y a    x  (a  1) y 2 a)Giải hệ phương trình với a = 2; b)Giải biện luận hệ phương trình 23 Giải a) Thay a = vào hệ phương trình ta có: 5    x   x   x  y 3  x 5        x  y 2  x  y 2   y 2  y 3    4   Vậy với a = hệ phương trình có nghiệm (x; y) =  ;  b) Từ phương trình (a  1) x  y a  suy y (a  1) x  (a  1) ,Thay vào phương trình x  (a  1) y 2 ta được: x  (a  1) x  (a  1) 2  a x a  (*)  a 1 x   a2 a  - Nếu hệ phương trình có nghiệm   y  a 1  a2 - Nếu a 0 (*) có dạng x 1 : vô nghiệm; Hệ cho vô nghiệm Kết luận a 1 a 1 - Nếu a 0 hệ phương trình có nghiệm ( ; ) ; a a - Nếu a 0 hệ phương trình vơ nghiệm  mx  2my m   x  (m  1) y 2 Ví dụ 2: Giải biện luận hệ phương trình:  Giải Từ phương trình x  (m  1) y 2 suy x 2  (m  1) y Thay vào phương trình mx  2my m  ta được: m[2  (m  1) y ]  2my m   2m  m(m  1) y  2my m   (m  m) y m   m(m  1) y m  (*)  m 0 - Nếu m(m  1) 0   hệ phương trình có nghiệm  m 1  m 0 - Nếu m(m  1) 0    m 1 24   y  m   x m   m - Nếu m 0 phương trình (*) có dạng: y  , PT vô nghiệm  Hệ phương trình vơ nghiệm; - Nếu m 1 phương trình (*) có dạng: y 0 , PT vơ số nghiệm  Hệ phương trình vơ số nghiệm Kết luận - Nếu m 0 m 1 hệ phương trình có nghiệm ( m 1 ; ); m m - Nếu m 0 hệ phương trình vơ nghiệm; - Nếu m 1 hệ phương trình vơ số nghiệm 7.4.3 Bài tập tương tự Bài 1: Cho hệ phương trình  x  my    mx  y 5 a) Giải hệ phương trình với m = b) Giải biện luận hệ phương trình cho với tham số m Bài 2: Cho hệ phương trình  (m  1) x  my 3m   (m tham số)  x  y m  a) Giải hệ phương trình với m  ; b) Giải biện luận hệ phương trình cho với tham số m B.Về khả áp dụng chuyên đề Để học sinh làm tốn liên quan đến hệ phương trình giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: - Củng cố lại quy tắc biến đổi, phương pháp giải hệ phương trình - Dựa vào mối quan hệ hệ số để đoán nhận số nghiệm hệ phương trình, kĩ sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra nghiệm hệ phương trình Khi gặp tốn tổng qt hệ phương trình, học sinh cần: -Quan sát đặc điểm toán; -Nhận dạng tốn; -Chọn lựa phương pháp giải thích hợp 25 Xây dựng học sinh thói quen trước làm cần quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá tốn, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào toán, sử dụng thành thạo kĩ giải tốn 8.Những thơng tin cần bảo mật: Không 9.Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Áp dụng cho học sinh lớp 10.Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tác giả: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tác giả: Sáng kiến nêu số dạng toán hệ phương trình mà học sinh lớp thường gặp em thi vào lớp 10 THPT Nếu học sinh nắm phương pháp giải sở để HS giải toán giải tốn cách lập hệ phương trình, tốn đồ thị hàm số, toán hệ phương trình có chứa tham số Kết áp dụng sáng kiến vào thực tế : a) Chưa áp dụng sáng kiến Kiểm tra tiết Thời điểm TS Chưa áp dụng giải pháp Trung bình trở lên HS Số lượng Tỉ lệ (%) 80 35 43,75% Nhận xét: Học sinh biết sử dụng phương pháp phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình dạng bản, không làm giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ hệ phương trình có chứa tham số b) Áp dụng giải sáng kiến Lần 1: Kiểm tra tiết Thời điểm TS Kết áp dụng sáng kiến (lần 1) Trung bình trở lên HS Số lượng Tỉ lệ (%) 80 45 56,25% Nhận xét: Học sinh giải thành thạo hệ phương trình dạng bản, biết sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình phức tạp, học sinh mắc nhiều sai lầm giải tốn hệ phương trình có chức tham số Lần 2: Kiểm tra tiết Thời điểm TS 26 Trung bình trở lên Kết áp dụng sáng kiến (lần 2) HS Số lượng Tỉ lệ (%) 80 72 90% Nhận xét: Học sinh giải thành thạo hệ phương trình dạng bản, biết sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình phức tạp, giải tốn hệ phương trình có chứa tham số 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức nhân Năm học 2018-2019 nhà trường áp dụng sáng kiến để giảng dạy, bồi dưỡng cho học sinh lớp 9, nhà trường dự kiến năm học nhà trường tiếp tục áp dụng sáng kiến này; 11.Danh sách tổ chức /cá nhân tham gia áp dụng thử chuyên đề lần đầu STT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Lê Thị Thanh Hương Trường THCS Lũng Hịa Tốn Trần Thị Thanh Tâm Trường THCS Lũng Hịa Tốn Vĩnh Tường, ngày 15 tháng 02 năm 2020 Vĩnh Tường, ngày 15 tháng 02 năm 2020 Thủ trưởng đơn vị Tác giả sáng kiến Bùi Quang Ba Cao Quốc Cường TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT -Tỉnh Vĩnh Phúc 2) Một số đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh 3)Sách giáo khoa tốn – Tập 27 Tác giả:Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận 4) Sách tập toán – Tập Tác giả:Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận 5) Ôn tập đại số – Nhà xuất giáo dục Tác giả: Nguyễn Ngọc Đam- Vũ Dương Thụy 6) Các dạng toán phương pháp giải toán 9- Tập Tác giả :Tơn Thân-Vũ Hữu Bình- Nguyễn Hữu Thanh-Bùi Văn Tuyên 7) Nâng cao phát triển tốn lớp 9- Tập Tác giả: Vũ Hữu Bình 8) Tạp chí Tốn tuổi thơ Nhiều tác giả - nhà xuất giáo dục 28