ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 THPT bản thân tôi đã chọn chuyên đề: “Ôn thi vào lớp 10 THPT phần hệ phương trình. Trong phần nội dung của sáng kiến chủ yếu là chỉ ra các dạng bài tập cơ bản hay gặp trong các đề thi vào lớp 10 THPT dành cho HS đại trà dùng để củng cố và nắm chắc kiến thức cơ bản, giúp các em tự tin hơn khi gặp dạng toán này. Trong mỗi dạng tôi đưa ra phương pháp chung, các ví dụ, hướng giải quyết cụ thể và bài tập vận dụng tương ứng cho từng dạng.

PHÒNG GD-ĐT VĨNH TƯỜNG TRƯỜNG THCS LŨNG HÒA =====***===== BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Mơn: Tốn Tổ chun mơn : Khoa học tự nhiên Người thực : Vương Thị Phương Hoa Tháng 3,năm 2019 MỤC LỤC STT Mục Trang Lời giới thiệu Tên chuyên đề Tác giả chuyên đề Chủ đầu tư tạo chuyên đề Lĩnh vực áp dụng chuyên đề Ngày chuyên đề áp dụng lần đầu áp dụng thử Mô tả chất chuyên đề Những thông tin cần bảo mật 21 Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề 21 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tác giả 21-23 11 Danh sách tổ chức/ cá nhân tham gia áp dụng thử chuyên đề lần đầu 23 Tài liệu tham khảo 25 -20 BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ Lời giới thiệu a Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học coi chủ lực, trước hết Tốn học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic, … Vì chất lượng dạy học tốn nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại, giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học tốn nói riêng trường THCS tích cực hố hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Trong chương trình Đại số lớp 9, dạng tốn giải hệ phương trình nội dung quan trọng đề thi vào lớp 10 THPT Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, qua việc theo dõi kết học tập học sinh lớp giảng dạy, thấy việc giải hệ phương trình khơng khó, nhiều học sinh làm sai chưa thực được, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa hình thành kĩ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể b.Thực trạng vấn đề Thực tế học sinh trường THCS Lũng Hòa phận học sinh tiếp thu chậm vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm tập hạn chế Các em nhầm lẫn chưa thành thạo dạng tốn hệ phương trình, thời lượng làm tập nên chưa giải dạng toán mở rộng, nâng cao Nguyên nhân học sinh tồn khuyết điểm : + Do thời lượng luyện tập ít, nhà học sinh chưa chăm học, học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm tập, giải tập nhiều + Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu, số học máy móc, hiểu cách đơn giản chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn q trình làm tập Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 THPT thân chọn chuyên đề: “Ôn thi vào lớp 10 THPT phần hệ phương trình" Trong phần nội dung sáng kiến chủ yếu dạng tập hay gặp đề thi vào lớp 10 THPT dành cho HS đại trà dùng để củng cố nắm kiến thức bản, giúp em tự tin gặp dạng toán Trong dạng tơi đưa phương pháp chung, ví dụ, hướng giải cụ thể tập vận dụng tương ứng cho dạng 2.Tên chuyên đề Ôn thi vào lớp 10 THPT phần hệ phương trình 3.Tác giả chuyên đề - Họ tên: Vương Thị Phương Hoa - Địa : Trường THCS Lũng Hòa- Vĩnh Tường- Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0377862824 Email: 4.Chủ đầu tư tạo chuyên đề: - Họ tên: Vương Thị Phương Hoa - Địa : Trường THCS Lũng Hòa- Vĩnh Tường- Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0377862824 Email: 5.Lĩnh vực áp dụng chuyên đề a.Phạm vi áp dụng chuyên đề Đề tài nghiên cứu phạm vi học sinh lớp 9A, 9B, 9C trường THCS Lũng Hòa năm học 2018 – 2019 Ý tưởng chuyên đề phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng, nên thân nghiên cứu qua dạng tập đề thi vào lớp 10 THPT( chủ yếu dạng đề thi tỉnh Vĩnh Phúc) số tập nâng cao dành cho học sinh giỏi b.Vấn đề mà chuyên đề cần giải - Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán - Xây dựng phương pháp giải hệ phương trình * Đối với học sinh đại trà: Vận dụng thành thạo phương pháp giải hệ phương trình bậc hai ẩn ( phương pháp cộng phương pháp thế) * Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư giải hệ phương trình dạng khác Ngày chuyên đề áp dụng lần đầu áp dụng thử: Từ tháng năm 2019 7.Mô tả chất chuyên đề A.Về nội dung chuyên đề Hệ phương trình thi vào lớp 10 7.1.Dạng 1: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn * Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn Hệ hai phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng: ax +by = c (1)  a ' x +b' y = c ' ( 2) (1) ( 2) phương trình bậc hai ẩn 7.1.1.Phương pháp giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp Quy tắc dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Gồm hai bước sau: Bước 1: Từ phương trình hệ phương trình cho( coi phương trình thứ nhất) ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình ( ẩn) Bước 2: Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ ( phương trình thứ thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước 1) Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Gồm hai bước sau: Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ ( giữ ngun phương trình kia) 7.1.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải hệ phương trình x − y =  3 x + y = ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2015- 2016) Giải Cách 1: Sử dụng phương pháp x − y = x = y + x = y + x = y + x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  3 x + y = 3( y + 1) + y = 3 y + + y = 5 y = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (1;0) Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số x − y = 2 x − y = 5 x = x = x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  3 x + y = 3x + y = x − y = 1 − y = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (1;0) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  x − y = −5   x − y = −1 ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2010- 2011) Giải Cách 1: Sử dụng phương pháp − + 5y  x=   x − y = −5  ⇔   x − y = −1 4 − + y − y = −1  − + 5y 15   x = x = − ⇔ ⇔ 4  y = −2  y = −2 − + 5y − + 5y   x = x = ⇔ ⇔ 4 − + y − y = −1 − y = Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( − 15 ;−2 ) Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số  y = −2  x − y = −5  y = −4  y = −2  y = −2  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  15  x − y = −1  x − y = −5 4 x + 10 = −5 4 x = −15  x = − 15 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( − ;−2 ) * Nhận xét: Đối với ví dụ giáo viên lên hướng dẫn học sinh giải phương pháp cộng nhanh hệ số x hai phương trình hệ 7.1.3 Bài tập tương tự Giải hệ phương trình sau: 4 x − y = 6 x − y = a)  2 x + y = 4 x + y = 10 b)   x − (1 + ) y = e)  (1 − ) x + y = 3 x − y + = 5 x + y = 14 c)  0,2 x + 0,1 y = 0,3 f)  3 x + y = (2 x − 3)(2 y + 4) = x( y − 3) + 54  ( x + 1)(3 y − 3) = y ( x + 1) − 12 2 x + y = 3 x − y = 14 d)  x  = g)  y  x + y − 10 =  y + 27  y − 5x +5= − 2x  i)   x + + y = y − 5x  h) 1  ( x + 2)( y + 3) − xy = 50 j)   xy − ( x − 2)( y − 2) = 32  2 ( x + 20)( y − 1) = xy ( x − 10)( y + 1) = xy k)  7.2.Dạng 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ hai phương trình bậc hai ẩn 7.2.1.Phương pháp giải: + Tìm điều kiện xác định phương trình hệ ( có) + Đặt ẩn phụ điều kiện ẩn phụ ( có) + Giải hệ phương trình theo ẩn phụ đặt + Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm hệ 7.2.2.Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: 2( x + y ) + 3( x − y ) = a ) ( x + y ) + 2( x − y ) = 2( x − 2) + 3(1 + y ) = −2 b)  3( x − 2) − 2(1 + y ) = −3 Giải a)Cách 1: 2( x + y ) + 3( x − y ) = 2 x + y + x − y = 5 x − y = a ) ⇔ ⇔ ( x + y ) + 2( x − y ) = x + y + 2x − y = 3 x − y =  x=−  2 x = −1  ⇔ ⇔ x − y =  − − y =    x = − ⇔  y = − 13   13  Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  − ;−   2 x + y = u Cách 2: Đặt  x − y = v Khi đó, hệ phương trình cho có dạng: 2u + 3v = 2u + 3v =  − v = −6 v = v = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  u + 2v = 2u + 4v = 10 u + 2v = u + 12 = u = −7 1   x = − x = −  x + y = −7 2 x = −1   2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x − y = x + y = − 13   − − y = y = −    13  Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  − ;−   2 b)Cách 1: 2( x − 2) + 3(1 + y ) = −2  x − + + y = −2  x + y = −1 ⇔ ⇔  3( x − 2) − 2(1 + y ) = −3 3 x − − − y = −3 3 x − y = 4 x + y = −2 13 x = 13 x = x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 9 x − y = 15  x + y = −1  + y = −1  y = −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (1;−1) Cách 2: x − = u  y +1 = v Đặt Khi đó, hệ phương trình cho có dạng: 2u + 3v = −2 4u + 6v = −4 13u = −13 u = −1 u = −1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  3u − 2v = −3 9u − 6v = −9 2u + 3v = −2 − + 3v = −2 v = ⇔  x − = −1 x = ⇔  y +1 =  y = −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (1;−1) * Nhận xét: Với ví dụ giáo viên hướng dẫn học sinh quan sát làm theo cách bước giải cách học sinh kiểm tra kết hỗ trợ máy tính bỏ túi Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: 1 x −  a ) 3 +  x =1 y =5 y  x − +  b)   −  x − =2 y −1 =1 y −1 Giải 1 x −  a ) 3 +  x =1 y =5 y ĐKXĐ: x ≠ ; y ≠ 1  x = u (u ≠ 0; v ≠ 0) Khi hệ phương trình cho có dạng: Đặt   =v  y 9   u = u = u − v = 4u − 4v = 7u = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  3u + 4v = 3u + 4v = u − v =  −v =1 v =   7 1  x = ⇔ 1 =  y 7   x = ⇔ ( Thỏa mãn điều kiện) y =  7 7 Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  ;  9 2  x − +  b)   −  x − =2 y −1 =1 y −1   x − = u Đặt   =v  y − ĐKXĐ: x ≠ ; y ≠ (u ≠ 0; v ≠ 0) Khi phương trình cho có dạng: 7   u= u=   u + v = u + v = u =      5 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  2u − 3v = 2u − 3v = u + v = 7 + v = v =    19    x − =  x − =  x = ⇔ ⇔ ⇔ ( Thỏa mãn điều kiện)  y −1 = y = =    y − 3  19  ;   3 Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: 3 x − y = −2 a)  2 x + y = 2 x − − y − = b)   x − + y − = Giải 3 x − y = −2 ĐKXĐ: x ≥ ; y ≥ 2 x + y =  x = u (u ≥ 0; v ≥ 0) Khi hệ phương trình cho có dạng: Đặt   y = v  x = 3u − 2v = −2 3u − 2v = −2 7u = u = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔       y = 2u + v = 4u + 2v = 2u + v = v = a)  x = ⇔ ( Thỏa mãn điều kiện) y = Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( 0;1) 2 x − − y − = b)  ĐKXĐ: x ≥ ; y ≥  x − + y − =  x − = u (u ≥ 0; v ≥ 0) Khi hệ phương trình cho có dạng: Đặt   y − = v  x − = 2u − v = 3u = u = u = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   y − = u + v = u + v = 1 + v = v = x − = x = ⇔ ⇔ ( Thỏa mãn điều kiện) y −1 = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( 2;2) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau: 5 x + y = a ) 3 x + y = 5 x + y = xy b)  3x + y = xy ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2005- 2006) Giải 5 x + y = 10 x + y = 16 x = x = x = a ) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3 x + y = 9 x + y = 15 5 x + y = 5 + y = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (1;1) b) Cách 1: 5 x + y = xy  3 x + y = xy 10 x + y = 16 xy  x = xy  x − xy =  x(1 − y ) = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 9 x + y = 15 xy 5 x + y = xy 5 x + y = xy 5 x + y = xy x = x = ⇔ Từ phương trình x(1 − y ) = ⇔  1 − y = y = + Với x = thay vào phương trình x + y = xy ta y = + Với y = thay vào phương trình x + y = xy ta x + = x ⇔ 3x = ⇔ x = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (0;0); (1;1) Cách 2: + Dễ thấy cặp số (0;0) nghiệm phương trình + Với x ≠ ; y ≠ : Chia hai vế phương trình hệ cho xy ta được: 3 x +   2 +  x =8 y =5 y 1  x = u Đặt   =v  y Khi hệ có dạng: x + y  xy =  y+ z =  yz  z + x =   zx 1 x + y =  1 ⇔ + = y z 1  + = z x Đặt 1 = u , = v , = w ta có hệ y x z Cộng vế với vế phương trình hệ ta được: 11 ( + + )= 2 6 11 11 11 Suy u = − = ; v = − = ; w = − = 6 6 Do x = ; y = ; z = u+v+w= Vậy hệ phương trình có nghiệm : (1 ;2 ;3) 7.2.3 Bài tập tương tự Bài 1: Giải hệ phương trình sau: 3( x + y ) + = 2( x − y ) 2( x + y ) = 3( x − y ) − 11 b)  2( x + y ) + 3( x − y ) = ( x + y ) + 2( x − y ) = 2(3 x − 2) − = 5(3 y + 2) 4(3 x − 2) + 7(3 y + 2) = −2 d)  a)  3(2 x + y ) + = 2(3 x − y ) 2(2 x + y ) = 3(3 x − y ) − 11 c)  Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 1 1  x + y = 12  a)   + 15 =  x y   x + y + y + 2x =  b)   − =1  x + y y + x  x + y = 13 d)  3 x − y = −6 2( x − x ) + y + = g)  3( x − x) − y + = −7  3x x +1 − y + =  c)   2x − =  x + y + 3 x + y = 16 e)  2 x − y = −11 5 x − − y + = h)  2 x − x + + y + y + = 13 Bài 3: Giải hệ phương trình sau: 2 x − 11 y = −7 xy a ) 10 x + 11 y = 31xy  x + y = 18 3 x + y = 10 f)  4 x + y = 16 xy b)  4 x − y = −24 xy 11  u + v =   v + w =   w + u =  Bài 4: Giải hệ phương trình sau:  xy x + y = −   yz =− b)  y+ z  zx =−  z + x 6( x + y ) = xy  a) 12( y + z ) = yz 4( z + x) = zx  7.3.Dạng 3: Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Thông thường tập dạng có cấu trúc chung sau: ax + by = c số hệ số hai phương a ' x + b ' y = c ' Cho hệ phương trình  trình có chứa tham số a) Giải hệ phương trình với giá trị tham số cho trước b) Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm nhất? Vơ nghiệm? Vơ số nghiệm? c) Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ thức cho trước 7.3.1.Phương pháp giải: * Đối với câu a: + Bước 1: Thay giá trị tham số vào hệ phương trình + Bước 2: Giải hệ phương trình ( dạng 1, dạng trên) * Đối với câu b: Cách 1: Dựa vào mối quan hệ số a,b,c a’,b’,c’ Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng phương pháp ta thu phương trình ( ẩn) Số nghiệm hệ phương trình số nghiệm phương trình thu * Đối với câu c: + Bước 1: Sử dụng phương pháp cộng phương pháp ta thu phương trình ( ẩn) Số nghiệm hệ phương trình số nghiệm phương trình thu + Bước 2: Biểu diễn x, y theo tham số + Bước 3: Thay x, y vào hệ thức cho giải để tìm điều kiện tham số + Bước 4: Kết luận 7.3.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hệ phương trình mx + y = ( m tham số có giá trị thực)  x − y = −3 (I)  a) Giải hệ phương trình (I) với m =1 b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình (I) có nghiệm ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2009- 2010) 12 Giải a) Thay m =1 vào hệ phương trình (I) ta có: 1   x= x=   x + y = x + y = x =      4 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   x − y = −3  x − y = −3 x + y = 1 + y = y =   Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm ( ; ) b) Cách 1: Hệ phương trình ( I ) có nghiệm ⇔ m ≠ ⇔ m ≠ −1 −4 Vậy với m ≠ −1 hệ phương trình có nghiệm Cách 2: mx + y = 2mx + y = ⇔   x − y = −3  x − y = −3 Cộng vế với vế hai phương trình ta được: 2mx + x = −1 ⇔ 2(m + 1) x = −1 (*) Hệ phương trình ( I ) có nghiệm ⇔ Phương trình ( * ) có nghiệm ⇔ m +1 ≠ ⇔ m ≠ −1 Vậy với m ≠ −1 hệ phương trình có nghiệm  x + my = 2m Ví dụ 2: Cho hệ phương trình  với m tham số mx + y = − m a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm nhất? Vô nghiệm? Vô số nghiệm? Giải a) Thay m = vào hệ phương trình ta có: x + y = x + y = − x =  x = −2  x = −2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   x + y = −1  x + y = −2 x + y = − + y = y = Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm là: ( − 2;3) b) Từ phương trình mx + y = − m suy y = − m − mx : Thay vào phương trình x + my = 2m ta được: x + m(1 − m − mx) = 2m ⇔ x + m − m − m x = 2m ⇔ (1 − m ) x = m + m (2*) * Hệ phương trình có nghiệm ⇔ Phương trình ( 2* ) có nghiệm ⇔ − m ≠ ⇔ m ≠ ⇔ m ≠ ±1 Vậy với m ≠ ±1 hệ phương trình có nghiệm * Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔ Phương trình ( 2* ) vô nghiệm 13  m = ±1 1 − m =  ⇔ ⇔ m ≠ ⇔ m = m + m ≠   m ≠ −1  Vậy với m = hệ phương trình vơ nghiệm * Hệ phương trình vơ số nghiệm ⇔ Phương trình ( 2* ) có vơ số nghiệm  m = ±1 1 − m =  m = ±1  ⇔ ⇔ ⇔ m = ⇔ m = −1 m + m = m(m + 1) = m = −1  Vậy với m = −1 hệ phương trình có vơ số nghiệm mx − y = với m tham số 2 x + my = Ví dụ 3: Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m =1 b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x + y = ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2016- 2017) Giải a) Thay m =1 vào hệ phương trình ta có: 5   x= x=   x − y = 3x =   3 ⇔ ⇔ ⇔  2 x + y = x − y = 5 − y = y =   5 2 Vậy với m =1 hệ phương trình có nghiệm là:  ;  3 3 b) Từ phương trình mx − y = suy y = mx − : Thay vào phương trình x + my = ta được: x + m(mx − 1) = ⇔ 2x + m2 x − m = ⇔ (m + 2) x = m + (3*) Hệ phương trình ( I ) có nghiệm ⇔ Phương trình ( 3* ) có nghiệm ⇔ m + ≠ với m Vậy với m hệ phương trình cho ln có nghiệm m+4 4m − y = 2 m +2 m +2 x + y = Theo đề m + 4m − ⇔ + =2 m + m2 + ⇔ 5m + = 2m + ⇔ 2m − 5m + = ⇔ (m − 2)(2m − 1) = Khi đó, x = 14 m = m − = ⇔ ⇔ m = m − =   Vậy với m = m = hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y) thỏa x + y = mãn mx − y = Ví dụ 4: Cho hệ phương trình  ( m tham số) 2 x + 3my = a) Giải hệ phương trình m =1 b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều x kiện > y < Giải a) Thay m =1 vào hệ phương trình ta có: x − y = 3x − y = 5 x = 10 x = ⇔ ⇔ ⇔  2 x + y = 2 x + y = x − y = y = Vậy với m =1 hệ phương trình có nghiệm là: ( 2;1) b) Từ phương trình mx − y = suy y = mx − : Thay vào phương trình x + 3my = ta được: x + 3m(mx − 1) = ⇔ x + 3m x − 3m = ⇔ (3m + 2) x = 3m + (4*) Ta có 3m + ≠ với m ( m ≥ nên 3m + > với m) Vậy với m hệ phương trình cho ln có nghiệm 3m + 7m − y = 2 3m + 3m + Theo đề x > y <  3m +   3m + > m > 3m + > ⇔ ⇔ ⇔ 7m − <  7m − < m <   3m + Khi đó, x = −7 −7 ⇔ kiện x − y = − m (1) , m tham số Ví dụ 5: Cho hệ phương trình  2 x + y = 3(m + 2) Vậy với a)Giải hệ phương trình (1) với m = b)Tìm tất giá trị m để hệ (1) có nghiệm c)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y , ( x; y ) nghiệm hệ (1) ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2017- 2018) Giải a) Thay m = vào hệ phương trình ta có: 15 x − y = x − y = 5 x = 25 x = x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  2 x + y = 12 4 x + y = 24 x − y = 5 − y = y = Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm là: ( 5;2) b) Từ phương trình x + y = 3(m + 2) suy y = 3(m + 2) − x : Thay vào phương trình x − y = − m ta được: x − 2[3(m + 2) − x] = − m ⇔ x − 2[3m + − x ] = − m ⇔ x − 6m − 12 + x = − m ⇔ x = 5m + 15 ⇔ x = m+3 Ta có ≠ với m Vậy với m hệ phương trình cho ln có nghiệm c) Theo câu b) x = m + y = m 9 ⇒ A = x + y = ( m + 3) + m = m + 6m + + m = 2m + 6m + = 2(m + ) + ≥ với m 2 Dấu “ = ” xảy ⇔ m = − Vậy với m = − biểu thức A = x + y đạt giá trị nhỏ 2 * Nhận xét: Đối với câu b) học sinh giải theo cách cách Cách 2: Ta có: −2 ≠ suy hệ phương trình ln có nghiệm với m Vậy với m hệ phương trình cho ln có nghiệm Cách 3: x − y = − m x − y = − m 5 x = 5m + 15 x = m + ⇔ ⇔ ⇔  2 x + y = 3(m + 2) 4 x + y = 6m + 12 x − y = − m y = m Vậy với m hệ phương trình cho ln có nghiệm 2mx − y = −2 , m tham số 5 x − 2my = − 2m Ví dụ 6: Cho hệ phương trình  a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b) Tìm m ngun để hệ phương trình có nghiệm (x; y) cho x y nguyên Giải a) Từ phương trình 2mx − y = −2 suy y = 2mx + : Thay vào phương trình 2m(2mx + 2) = − 2m ⇔ 25 x − 4m x − 4m = 15 − 10m ⇔ (25 − 4m ) x = 15 − 6m ⇔ (4m − 25) x = 6m − 15 x − 2my = − 2m ta được: x − 16 Hệ phương trình cho có nghiệm ⇔ Phương trình (4m − 25) x = 6m − 15 có nghiệm ⇔ 4m − 25 ≠ ⇔ m ≠ ± 5 6m − 15 3(2m − 5) b) Với m ≠ ± x = 4m − 25 = (2m + 5)(2m − 5) = 2m + 2m + y= = 1− 2m + 2m + Để x; y ∈ Z ⇔ 2m + ∈ Ư (3) = { ± 1;±3} ⇒ m ∈ {−4;−3;−2;−1} Kết hợp với điều kiện m ≠ ± m nguyên ta m ∈ {−4;−3;−2;−1} thỏa mãn đề Vậy với m ≠ ± hệ phương trình cho có nghiệm 7.3.3 Bài tập tương tự Bài 1: Cho hệ phương trình 2 x + ay = −4  ax − y = a) Giải hệ phương trình với a =1 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2012- 2013) Bài 2: Cho hệ phương trình mx − y = 2m  ( m tham số) 4 x − my = m + a) Giải hệ phương trình m =1 b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x − y = 13 c) Tìm giá trị nguyên m để x; y nguyên Bài 3: Cho hệ phương trình mx + y =  ( m tham số ) 4 x + my = a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn điều kiện x > y > Bài 4: Cho hệ phương trình (m − 1) x − my = 3m −  ( m tham số có giá trị thực) 2 x − y = m + a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) cho biểu thức S = x + y đạt giá trị nhỏ Bài 5: Cho hệ phương trình bậc hai ẩn x, y tham số m 17 2 x + y =   x + y = m + 3m + a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình có nghiệm ( x0 ; y ) thỏa mãn điều kiện x0 = y c) Xác định giá trị nguyên tham số m để hệ phueoeng trình cho có nghiệm (a; b) , với a b số nguyên ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2004- 2005) 2mx + y = (với m tham số) 8 x + my = m + Bài 6: Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m = -1 b) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình có nghiệm ( x;y) thỏa mãn điều kiện x − y > c)Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m d)Tìm giá trị m để biểu thức P = y − x đạt giá trị nhỏ nhất, ( x; y ) nghiệm hệ phương trình cho 7.4 Dạng 4: Giải biện luận hệ phương trình 7.4.1.Phương páp giải: ax + by = c a ' x + b ' y = c ' Cho hệ phương trình bậc hai ẩn  Để giải biện luận hệ phương trình ta làm sau: Bước 1: Từ hai phương trình hệ sử dụng phương pháp cộng ta thu phương trình ( ẩn) Bước 2: Giải biện luận phương trình mới, từ đến kết luận giải biện luận hệ phương trình cho * Chú ý: Số nghiệm hệ phương trình số nghiệm phương trình 7.4.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hệ phương trình với tham số a (a + 1) x − y = a +   x + ( a − 1) y = a) Giải hệ phương trình với a = b) Giải biện luận hệ phương trình Giải a) Thay a = vào hệ phương trình ta có: 5   x= x=   3 x − y = 4 x =   4 ⇔ ⇔ ⇔  x + y = x + y =    +y=2 y =   18 5 3 Vậy với a = hệ phương trình có nghiệm là:  ;  4 4 b) Từ phương trình (a + 1) x − y = a + suy y = (a + 1) x − (a + 1) : Thay vào phương trình x + ( a − 1) y = ta được: x + ( a − 1) x − (a − 1) = ⇔ a x = a + (1*)  a2 +1 x =  a2 * Nếu a ≠ hệ phương trình có nghiệm  y = a +1  a2 * Nếu a = ( 1*) có dạng x = : vô nghiệm Hệ cho vô nghiệm Kết luận + Nếu a ≠ hệ phương trình có nghiệm ( + Nếu a = hệ phương trình vơ nghiệm a2 +1 a +1 ; ) a2 a Ví dụ 2: Giải biện luận hệ phương trình mx + 2my = m +   x + (m + 1) y = Giải Từ phương trình x + (m + 1) y = suy x = − (m + 1) y : Thay vào phương trình mx + 2my = m + ta được: m[2 − (m + 1) y ] + 2my = m + ⇔ 2m − m(m + 1) y + 2my = m + ⇔ ( m − m) y = m − ⇔ m(m − 1) y = m − (2*) m ≠ * Nếu m(m − 1) ≠ ⇔  hệ phương trình có nghiệm m ≠ 1   y = m  x = m −  m m = * Nếu m(m − 1) = ⇔  m = - Nếu m = phương trình (2*) có dạng: y = −1 : vơ nghiệm ⇒ Hệ phương trình vơ nghiệm - Nếu m = phương trình (2*) có dạng: y = : vơ số nghiệm ⇒ Hệ phương trình vơ số nghiệm Kết luận + Nếu m ≠ m ≠ hệ phương trình có nghiệm ( + Nếu m = hệ phương trình vơ nghiệm + Nếu m = hệ phương trình vơ số nghiệm 19 m −1 ; ) m m 7.4.3 Bài tập tương tự Bài 1: Cho hệ phương trình 2 x + my = −4  mx − y = a) Giải hệ phương trình với m = b) Giải biện luận hệ phương trình cho với tham số m Bài 2: Cho hệ phương trình (m − 1) x − my = 3m −  ( m tham số) 2 x − y = m + a) Giải hệ phương trình với m = −3 b) Giải biện luận hệ phương trình cho với tham số m B.Về khả áp dụng chuyên đề * Các giải pháp áp dụng: Để thực tốt kĩ giải số dạng tập hệ phương trình ơn thi vào lớp 10 thành thạo, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: + Củng cố lại phép tính, phương pháp giải hệ phương trình + Ngay từ đầu chương III- Đại số giáo viên cần ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức hệ phương trình như: Các phương pháp để giải hệ phương trình, cách đốn nhận số nghệm hệ phương trình, kĩ sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra nghiệm hệ phương trình Khi gặp tốn tổng qt hệ phương trình, học sinh cần: +Quan sát đặc điểm toán + Nhận dạng toán + Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá tốn theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào toán, sử dụng thành thạo kĩ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tòi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác * Để giải vấn đề sử dụng phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 9, tài liệu ôn thi vào lớp 10, đề thi vào lớp 10 tỉnh Nghiên cứu qua thực hành giải tập học sinh Nghiên cứu qua theo dõi, kiểm tra, đánh giá qua kiểm tra 20 Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập đối tượng học sinh 8.Những thông tin cần bảo mật Không 9.Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề : Phòng học, bảng, bàn ghế, học sinh, đồ dùng học tập… 10.Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tác giả: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tác giả: Trên số dạng tốn hệ phương trình mà học sinh lớp hay gặp em thi vào lớp 10 THPT Nếu học sinh nắm phương pháp giải sở để HS giải tốn về: giải tốn có lời văn cách lập hệ phương trình mà trước em cho khó giải phương pháp số học, toán đồ thị hàm số có liên quan đặc biệt sở vững để học sinh học tiếp phần hệ phương trình cấp THPT Qua giảng dạy chuyên đề giúp cho học sinh nắm vững vận dụng cách giải góp phần nâng cao hiệu giảng dạy giáo viên rèn học sinh khả tư toán học, độ linh hoạt, sáng tạo kỹ thực hành học sinh Cụ thể kết kiểm tra dạng tốn giải hệ phương trình thống kê qua giai đoạn lớp 9A, 9B, 9C năm học 2018 – 2019 sau: a) Chưa áp dụng giải pháp Kiểm tra khảo sát chất lượng đầu học kỳ II Thời gian Học kỳ II ( Tuần 22) Chưa áp dụng giải pháp TS HS Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 120 57 47,5% * Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm kỹ giải toán liên quan đến hệ phương trình, kĩ giải hệ phương trình yếu, chưa xác định yêu cầu hướng giải vấn đề, làm chưa có phương pháp nên kết học tập chưa cao b) Áp dụng giải pháp Lần 1: Kiểm tra 15 phút Thời gian Học kỳ II ( Tuần 24) Kết áp dụng giải pháp (lần 1) 21 TS HS Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 120 71 59,17% * Nhận xét: Học sinh hệ thống, nắm kiến thức hệ phương trình, đa số học sinh giải câu a toán Tuy nhiên, số học sinh giải yêu cầu ý b,c mắc, chưa biết phân tích để tìm phương pháp giải Lần 2: Kiểm tra tiết Thời gian Học kỳ II ( Tuần 26) Kết áp dụng giải pháp (lần 2) TS HS Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 120 93 77,5% * Nhận xét: Đa số học sinh nắm vững kiến hệ phương trình, vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, phân tích, biết dựa vào tốn biết cách giải truớc đó, linh hoạt biến đổi vận dụng phương pháp giải hệ, trình bày giải hợp lý có hệ thống logic, số học sinh q yếu, chưa thực tốt 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức nhân Rèn cho học sinh thành thạo kĩ giải hệ phương trình ơn thi vào lớp 10 nội dung quan trọng,là sở móng cho việc học tốn đại số sau này.Vì giáo viên cần : - Thường xuyên nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo - Sàng lọc nội dung hay, tâm đắc biên soạn thành tài liệu riêng cho thân - Luôn trao đổi học hỏi đồng nghiệp, lựa chọn phương án giảng dạy hiệu - Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh q trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại số 9, chương trình ơn thi vào lớp 10 đề cập - Giáo viên phải định hướng vạch dạng tốn có liên quan mà đề thi thường hướng tới, rèn cho học sinh kĩ phân tích tốn tìm tòi lời giải - Tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi suy mê hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học tốn Bên cạnh giáo viên cần lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh.Cụ thể : * Đối với học sinh yếu kém: Là trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp vận dụng tốt phương pháp giải hệ phương trình bản, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên yêu cầu em xa nội dung sách giáo khoa *Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa 22 dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi say mê hứng thú học, kích thích khơi dậy tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức * Đối với học sinh giỏi: Ngoài việc nắm phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp giải hệ nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hố vấn đề Qua tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách tồn diện cho q trình tự nghiên cứu em Nếu thực tốt phương pháp trình giảng dạy học tập chất lượng học tập môn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh giỏi, đồng thời tuyển chọn nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, tỉnh,  Tóm lại Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách giải tốn hệ phương trình ơn thi vào lớp 10, học rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hố hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài tốn học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo học sinh học tốn Mặc dù thân có nhiều cố gắng, nhiên chuyên đề không tránh khỏi thiếu sót hạn chế, mong đồng chí giáo viên cụm góp ý xây dựng chuyên đề tơi hồn thiện 11.Danh sách tổ chức /cá nhân tham gia áp dụng thử chuyên đề lần đầu STT Tên tổ chức/cá nhân Địa Lê Thị Thanh Hương Trường THCS Lũng Hòa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Toán Trần Thị Thanh Tâm Trường THCS Lũng Hòa Tốn Lũng Hòa, ngày… tháng….năm 2019 XÁC NHẬN CỦA BGH Lũng Hòa, ngày 15 tháng năm 2019 Người viết chuyên đề Vương Thị Phương Hoa 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1)Sách giáo khoa tốn – Tập Tác giả:Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận 2) Sách tập toán – Tập Tác giả:Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận 3) Sách ôn tập đại số – Nhà xuất giáo dục Tác giả: Nguyễn Ngọc Đam- Vũ Dương Thụy 4) Sách dạy học toán THCS theo hướng đổi lớp 9-Tập 24 Tác giả: Tôn Thân-Vũ Hữu Bình- Bùi Văn Tun 5) Sách dạng tốn phương pháp giải toán 9- Tập Tác giả :Tơn Thân-Vũ Hữu Bình- Nguyễn Hữu Thanh-Bùi Văn Tun 6) Sách nâng cao phát triển toán lớp 9- Tập Tác giả: Vũ Hữu Bình 7) Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT -Tỉnh Vĩnh Phúc 8) Một số đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh 25 ... thức hệ phương trình như: Các phương pháp để giải hệ phương trình, cách đốn nhận số nghệm hệ phương trình, kĩ sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra nghiệm hệ phương trình Khi gặp tốn tổng qt hệ phương. .. vào lớp 10 THPT thân chọn chuyên đề: “Ơn thi vào lớp 10 THPT phần hệ phương trình" Trong phần nội dung sáng kiến chủ yếu dạng tập hay gặp đề thi vào lớp 10 THPT dành cho HS đại trà dùng để củng... phương trình thứ nhất) ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình ( ẩn) Bước 2: Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ ( phương trình thứ thường thay hệ thức