Đang tải... (xem toàn văn)
II. HỆ CHỨA THAM SỐ Bài toán thường gặp: Cho hệ chứa tham số m. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước Bước 1 Dùng phương pháp thế, cộng, trừ để đưa hệ đã cho về phương trình bậc nhất một ẩn Bước 2: Lập luận: Hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình Ax = B có nghiệm duy nhất A ≠ 0 Bước 3: Giải nghiệm (x; y) theo m và xử lý điều kiện của bài toán. Chú ý: Hệ vô nghiệm khi phương trình Ax = B vô nghiệm Hệ vô số nghiệm khi phương trình Ax = B vô số nghiệm Đối với hệ: khi a’ , b’ , c’ ≠ 0 thì ta có các điều kiện sau: +) Hệ có nghiệm duy nhất khi +) Hệ vô nghiệm +) Hệ vô số nghiệm
I HỆ KHÔNG CHỨA THAM SỐ DẠNG 1: HỆ ĐA THỨC BẬC NHẤT ĐỐI VỚI X VÀ Y Cách giải Rút gọn hệ phương trình bậc hai ẩn dạng: Ví dụ Giải hệ phương trình: Có ax + by = c a ' x + b ' y = c ' ( x + ) ( y + ) = xy + 216 ( x + ) ( y − ) = xy − 50 Lời giải ( x + ) ( y + ) = xy + 216 xy + x + y + 16 = xy + 216 ⇔ xy − x + y − 10 = xy − 50 ( x + ) ( y − ) = xy − 50 x + y = 200 x + y = 100 7 x = 140 x = 20 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −5 x + y = −40 −5 x + y = −40 x + y = 50 y = 30 Vậy: ( x ; y ) = ( 20 ; 30 ) Ví dụ Giải hệ phương trình: Ta có: 2( x + 1) + 3( x + y ) = 15 4( x − 1) − ( x + y ) = Lời giải ( x + 1) + ( x + y ) = 15 2 x + + x + y = 15 ⇔ ( x − 1) − ( x + y ) = 4 x − − x − y = 5 x + y = 13 10 x + y = 26 19 x = 38 x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3 x − y = 9 x − y = 12 3 x − y = y =1 Vậy: ( x ; y ) = ( 2; 1) Ví dụ Giải hệ phương trình: 3 ( x + 1) + ( x + y ) = 4 ( x + 1) − ( x + y ) = ( 3) Lời giải Cách 1: (Giải trực tiếp) 3 ( x + 1) + ( x + y ) = 3 x + + x + y = ⇔ ( x + 1) − ( x + y ) = 4 x + − x − y = Ta có: 5 x + y = 5 x + y = 11x = 11 x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3 x − y = 6 x − y = 10 5 x + y = y = −1 ( x; y ) = ( 1; −1) Vậy: Cách 2: Đặt ẩn phụ a = x + 3a + 2b = 3a + 2b = 11a = 22 a = ⇒ ( 3) : ⇔ ⇔ ⇔ b = x + y 4a − b = 8a − 2b = 18 3a + 2b = b = −1 Đặt: x +1 = x = ⇒ ⇔ x + y = −1 y = −1 Vậy: ( x ; y ) = ( ; -1) DẠNG 2: HỆ CHỨA PHÂN THỨC Bước 1: Đặt điều kiện cho hệ phương trình Bước 2: Giải cách đặt ẩn phụ quy đồng giải trực tiếp Ví dụ Giải hệ phương trình: x −1 + − x − 1 =2 y+2 =1 y+2 x ≠ 1, y ≠ −2 Điều kiện: Cách 1: Đặt ẩn phụ 1 a= ,b = x −1 y+2 Đặt hệ phương trình trở thành 2a + b = 6a + 3b = 14a = a = ⇔ ⇔ ⇔ 8a − 3b = 8a − 3b = 2a + b = b = Suy = x − x −1 = x = ⇔ ⇔ y + = y = −1 =1 y + ( x ; y ) = ( ; −1) Lời giải ( thoả mãn điều kiện) Vậy: Cách 2: (Giải trực tiếp) Có x −1 + − x − 1 14 =2 + =6 =7 y+2 x −1 y + x − ⇔ ⇔ − =1 =1 − =1 x − y + x − y + y+2 x −1 = x = ⇔ ⇔ y + = y = −1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x;y) = (3; – 1) Ví dụ Giải hệ phương trình x + y + 3(y + 1) = − 5( y + 1) = −1 x + y Lời giải Điều kiện: x + y ≠ Cách 1: (Đặt ẩn phụ) = a; y+ = b x+ y Đặt hệ cho trở thành a + b = a + b = 10 11b = 11 b = ⇔ ⇔ ⇔ 2a − 5b = −1 2a − 5b = −1 2a − 5b = −1 a = Suy y = =2 ⇔ x+ y y +1 = x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = ( ; 0) Cách 2: (Giải trực tiếp) 11(y + 1) = 11 x + y + 3(y+ 1) = x + y + 6(y + 1) = 10 ⇔ ⇔ − 5( y + 1) = −1 − 5( y + 1) = −1 x + y − 5( y + 1) = −1 x + y x + y Có y = =2 ⇔ x+ y ⇔ y +1 = x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = ( ; 0) Ví dụ Giải hệ phương trình x +1 − 3x + x + = −3 (1) y+2 4y = (2) y+2 Lời giải Điều kiện: x ≠ – 1; y ≠ – Trước hết ta khử x , tử phương trình (2) hệ 2 x + − y + = −3 x + − y + = −3 ⇔ 3x + y = 3x+3 − + y + − = x + y + x + y+2 Có 2 x + − y + = −3 x + − y + = −3 ⇔ ⇔ 3 − + − = + =5 x + x + y + y+2 Cách 1: (Đặt ẩn phụ) 1 = a; =b x +1 y+2 Đặt hệ cho trở thành a − b = − a − b = −12 7a = −7 a = −1 ⇔ ⇔ ⇔ 3a +8b = 3a +8b = 3a +8b = b = x + = −1 x = −2 ⇔ y = −1 =1 y + Suy (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (– ; – 1) Cách 2: (Giải trực tiếp) = −7 x + − y + = −3 x + − y + = −12 x + ⇔ ⇔ 8 + =5 + =5 + =5 x + y + x + y + x + y + Có x + = −1 x = −2 ⇔ ⇔ y = −1 =1 y + (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (– ; – 1) DẠNG 3: HỆ CHỨA CĂN Bước 1: Đặt điều kiện xác định hệ Bước 2: Giải cách đặt hai ẩn phụ cho gọn giải trực tiếp Ví dụ Giải hệ phương trình 2 x + + y − = 3 x + − y − = −1 Lời giải Điều kiện: x ≥ – ; y ≥ Cách 1: (Đặt ẩn phụ) x + = a; y − = b Đặt (điều kiện a ≥ ; b ≥ )hệ cho trở thành a + b = a + b = 16 13a = 13 a = ⇔ ⇔ ⇔ (TM) 3a − 2b = −1 9a − 6b = −3 3a − 2b = −1 b = x + = x +1 = x = ⇔ ⇔ y − = y = y − = Suy Vậy (x ; y) = (0; 6) Cách 2: (Giải trực tiếp) 2 x + + y − = 4 ⇔ 3 x + − y − = −1 9 Có 13 x + = 13 ⇔ ⇔⇔ 3 x + − y − = −1 (thỏa mãn điều kiện) x + + y − = 16 x + − y − = −3 x +1 = x = ⇔ y−2 =2 y = (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (0; 6) Ví dụ Giải hệ phương trình 3x − + y + = + y+1 = 3x − Lời giải x≠ ; y ≥ −1 Điều kiện: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt = a; 3x − y+ = b điều kiện b ≥ hệ cho trở thành b = (TM) a + 3b = 3a + 9b = 4b = ⇔ ⇔ ⇔ 3a+ 5b = 3a+ 5b = 3a+ 5b = a = x = 3x − = ⇔ y +1 = y = − − Suy (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (2; ) Cách 2: (Giải trực tiếp) 4 y + = x − + y+ = 3x − + y+ = ⇔ ⇔ + y+ = + y+ = + y+ = 3x − x − 3x − Có x = y+ = ⇔ ⇔ −3 =1 y = − x − 4 (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (2; ) Ví dụ Giải hệ phương trình Điều kiện: 21 2x − y − x + y = 7− x− y + =1 x − y x+ y x − y > 0, x + y ≠ Lời giải x, y Trước hết ta khử tử phương trình sau hệ: 21 21 2x − y − x + y = 2x − y − x + y = ⇔ ⇔ 7 + −1 = + =2 x − y x + y x − y x + y Hệ Cách (Đặt ẩn phụ) a a= , b= x+ y 2x − y a > 0, b ≠ Đặt (điều kiện: ), hệ trở thành 13 a= a − b = a − b = 13 a = 2 ⇔ 2⇔ ⇔ 3a + b = 9a + 3b = 9a + 3b = b = (thỏa mãn) 2x − y = 2 x − y = x = ⇔ ⇔ x + y = 14 y = = x + y Suy (thỏa mãn điều kiện) ( x; y ) = ( 6; 8) Vậy Cách (Giải trực tiếp) 21 21 13 13 = 2x − y − x + y = 2x − y − x + y = 2x − y ⇔ ⇔ 21 21 + =2 + =6 + =6 x − y x + y x − y x + y x − y x + y Có 2x − y = 2 x − y = x = ⇔ ⇔ ⇔ y = x + y = 14 =1 x + y (thỏa mãn điều kiện) ( x; y ) = ( 6; 8) Vậy DẠNG 4: HỆ THỨC CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI Bước Đặt điều kiện xác định hệ Bước Giải cách đặt hai ẩn phụ cho gọn giải trực tiếp Ví dụ Giải hệ phương trình x + + y − = 3 x + − y − = Lời giải y ≥ Điều kiện: Cách (Đặt ẩn phụ) a = x + , b = y −1 a ≥ 0, b ≥ Đặt (điều kiện: ), hệ cho trở thành a + 4b = 7a = a = a + 4b = ⇔ ⇔ ⇔ b = a + 4b = 3a − 2b = 6a − 4b = (thỏa mãn điều kiện) x + = x + = ±1 x = −1 x = −3 ⇔ ⇔ , y=2 y=2 y − = y − = Suy (thỏa mãn điều kiện) x = −1 x = − , y=2 y=2 Vậy Cách (Giải trực tiếp) x + + y − = x + + y − = 7 x + = ⇔ ⇔ 3 x + − y − = 3 x + − y − = 6 x + − y − = Có x + = x + = ±1 x = −1 x = −3 x = −1 x = −3 ⇔ ⇔ ⇔ , , y=2 y=2 y − = y − = y=2 y=2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy Ví dụ Giải hệ phương trình x − + y −1 = + =3 x − − y Lời giải x ≥ 0, x ≠ 9, y ≠ x − + y −1 = ⇔ + =3 x − y − 1 − y = y −1 Điều kiện: Do nên hệ Cách (Đặt ẩn phụ) a= ,b = y −1 x −3 a ≠ 0, b > Đặt (điều kiện: ), hệ cho trở thành 2a + b = a = ⇔ b =1 a +b = (thỏa mãn điều kiện) x −3 = x − = x = ⇔ ⇔ y − = ±1 ⇔ x = 25 ; x = 25 =1 y − = y − y =1 y = Suy (thỏa mãn điều kiện) Cách (Giải trực tiếp) Có = x − + y −1 = x −3 ⇔ + = = ⇔ x = 25 ; x = 25 x − − y y − y =1 y = Vậy (thỏa mãn điều kiện) x = 25 x = 25 ; y = y=0 Ví dụ Giải hệ phương trình x − + y + = x + y + = −1 Lời giải y ≥ −3 Điều kiện: Cách (Đặt ẩn phụ) x − + y + = x − + y + = ⇔ x + y + = −1 x − + y + = −3 Có a = x − 2; b = y + b≥0 Đặt (điều kiện: ), hệ trở thành a + 2b = a + 2b = ⇔ ⇔ a − 2a = 15 a + b = −3 2a + 2b = −6 Trường hợp 1: Xét a≥0 a0⇔ >0 m−2 m−2 m−2 a) Có ⇔ m−2 m a) y x b) Cả số nguyên 15 c) Biểu thức d) Biểu thức S = x2 + y T = xy đạt giá trị nhỏ đạt giá trị lớn mx − y = 2m − m x − my = − 3m Bài Cho hệ phương trình với tham số ( x; y ) m Tìm để hệ có nghiệm tìm nghiệm ( x; y ) Với nghiệm trên: y x m a) Tìm hệ thức liên hệ không phụ thuộc vào y m x b) Tìm nguyên để số nguyên S = x2 + y m c) Tìm để biểu thức đạt giá trị nhỏ T = xy m d) Tìm để biểu thức đạt giá trị lớn 16