Nâng cao kĩ năng giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BÁO CÁO YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CẤP CƠ SỞ I THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: "Nâng cao kĩ giải số tốn hình học không gian phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán Phạm vi áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 11 trường THPT Sơn Thịnh trường THPT khu vực Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ 1/9/2020 đến 25/5/2022 Tác giả: Họ tên : Nguyễn Quỳnh Mai Năm sinh: 15/07/1980 Trình độ chun mơn: Cử nhân sư phạm Toán - Tin học Chức vụ công tác: Tổ trưởng chuyên môn Nơi công tác: Trường THPT Sơn Thịnh – Văn Chấn – Yên Bái Địa liên hệ: Trường THPT Sơn Thịnh – Văn Chấn – Yên Bái Điện thoại: 0912111055 II MÔ TẢ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: "Nâng cao kĩ giải số tốn hình học khơng gian phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11” 1.Tình trạng giải pháp biết: * Lịch sử vấn đề nghiên cứu Trong chương trình tốn THPT nay, lớp 10 học sinh bắt đầu làm quen với phương pháp vectơ, sau dùng vectơ để xây dựng hệ toạ độ mặt phẳng Sang lớp 11 học sinh làm quen với vectơ không gian phát triển từ vectơ mặt phẳng, sử dụng vectơ để nghiên cứu quan hệ không gian Ở lớp 12 vectơ tiếp tục sử dụng để nghiên cứu số quan hệ hình học xây dựng hệ trục toạ độ khơng gian Với khung chương trình đó, thấy vai trị vectơ nghiên cứu tốn học vơ quan trọng Trong đa số học sinh lại khơng để ý nhiều đến mảng kiến thức đó, chưa liên hệ nhiều với tập hình khơng gian Mặt khác, tập hình khơng gian coi tập khó, hình vẽ khơng trực quan, khơng biết cách trình bày lời giải toán cho mạch lạc, logic, địi hỏi học sinh cần phải có độ nhanh nhạy, sáng tạo tư hình khơng gian tìm lời giải đung hướng Cơng cụ vectơ phương pháp tốt để giải số tốn hình khơng gian sách giáo khoa lại chưa sâu vào việc hướng dẫn trình bày lời giải tốn hình học khơng gian phương pháp Do học sinh làm tốn hình nghĩ đến việc sử dụng phương pháp vectơ để hỗ trợ giải toán Dạng trường chuyên, trường có chất lượng tốt khơng phải vấn đề khó, trường THPT Sơn Thịnh với chất lượng đầu vào môn tốn thấp việc tiếp thu vấn đề qua sách giáo khoa tài liệu tham khảo hạn chế, chưa đạt hiệu mong muốn Trước đây, chữa phần hình học khơng gian lớp 11 tơi thường gặp khó khăn việc định hướng cách giải cho học sinh, học sinh tự làm mà chủ yếu giáo viên phải hướng dẫn cách giải sau em theo mà trình bày Tơi có vận dụng phương pháp vectơ vào chữa cho học sinh số nên học sinh chưa khắc sâu cách giải, học sinh chữa biết đó, khơng hình thành phương pháp cụ thể Do đó, khơng tạo thành kỹ năng, học sinh nhanh qn Qua tìm hiểu, tơi thấy vấn đề đưa chung chung, chưa nêu cụ thể phương pháp giải, nhận dạng tốn cho học sinh Trước tình hình với q trình giảng dạy nghiên cứu, tơi tìm hiểu tổng hợp dạng hình học khơng gian lớp 11, phân loại cho dạng nêu ví dụ minh họa cho dạng để học sinh tham khảo Với mong muốn giúp em tự tin gặp hình học khơng gian, xóa bỏ tâm lý sợ gặp tập dạng này, mạnh dạn đưa sáng kiến là: "Nâng cao kĩ giải số tốn hình học không gian phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11” Với sáng kiến này, hy vọng giúp em học sinh lớp 11 trường tự tin gặp tốn hình học, chuyển tốn coi tốn khó tốn đơn giản có “cơng thức” giải cụ thể Dần dần hướng học sinh thoát khỏi phương pháp tư lối mòn, phát triển, mở rộng khả tư vấn đề theo nhiều hướng hiệu Trong năm gần đây, tỉ lệ học sinh đỗ vào trường đại học, cao đẳng trường tơi cao Tuy nhiên, em có học lực giỏi đỗ vào trường tốp giữa, điểm mơn tốn em chưa cao, số điểm cịn chưa nhiều Tơi mong muốn qua đề tài này, giúp ích phần cho học sinh giỏi trường tăng điểm số mơn Tốn kì thi THPT Quốc gia cao nhằm nâng cao chất lượng mơn học nói riêng chất lượng nhà trường nói chung Giúp em vào trường tốp cao mà em mong muốn * Các giải pháp thực hiện: - Chữa tập khóa (chỉ chữa số bài) - Giới thiệu phương pháp để học sinh nhà tự tìm hiểu qua tài liệu, sách báo, internet + Ưu điểm: Học sinh bước đầu biết đến việc sử dụng vectơ để giải tập hình học khơng gian Phát huy tính tự giác học sinh + Hạn chế: Để giải tập hình học không gian lớp 11, sách giáo khoa hướng dẫn cách sử dụng kiến thức hình học khơng gian đơn thuần, điều khó nhiều học sinh, địi hỏi em phải linh hoạt, nhìn nhận vấn đề tổng qt, khơng có cơng thức hay định hướng chung *Khảo sát thực trạng: SKKN áp dụng lớp 11A năm học 2020 – 2021 trường THPT Sơn Thịnh Và tiếp tục thực lớp 11C năm học 2021-2022 trường THPT Sơn Thịnh - Văn Chấn - Yên Bái Kiểm tra trước tác động: Trên lớp 11C năm học 2020-2021 lớp 11C năm học 2021-2022 Đề kiểm tra: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Giả sử M, N trung điểm cạnh AA1, B1C1 Chứng minh: MN // (DA1C1) Hướng dẫn: Cách 1: Sử dụng phương pháp vectơ: Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở phiên dịch giả thiết, kết luận: Đặt: DA = a, DC = c, DD1 = b Theo ta có: D + M trung điểm AA1: DM = + N trung điểm B1C1: DN = ( DA + DA1 ( ) DB1 + DC1 + MN / / ( DA1C1 )  MN = xDC1 + yDA1 C (1) B A ) (2) (3) M D1 C1 Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ N A1 Từ (1), (2): MN = DN − DM = Suy ra: ( ) ( 1 −a + 2c + b = c − a + c + b 2 MN = DC1 − DA1 ) (4) Bước 3: Chuyển ngơn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian Từ (4) kết luận : MN // (DA1C1) Cách 2: Sử dụng kiến thức hình học khơng gian cổ điển: Gọi I, H lượt trung điểm AD CD MI / / A1 D  MI / /(DA1C1 ) (1) B1 IH / / A1C1  IH / /(DA1C1 ) (2)  ( IH  MI )  (MNHI ) D (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: C B A  ( MNIH ) / /(DA1C1 ) M D1 C1 MN  (MNHI ) Mà N A1 B1 Vậy nên MN/ /(DA1C1 ) Kết cụ thể lớp 11C năm học 2020 - 2021, thu sau: Lớp Kết kiểm tra 15’ Số HS Khá Giỏi 11C 38 Trung bình Yếu-Kém SHS % SHS % SHS % SHS % 0% 21,1% 17 44,7% 13 34,2% Kết cụ thể lớp 11C năm học 2021-2022 (trước thực nghiệm) Lớp Kết kiểm tra 15’ Số HS Khá Giỏi 11C 44 Trung bình Yếu-Kém SHS % SHS % SHS % SHS % 0% 20,5% 17 38,6% 18 40,9% Nhận xét: Qua kết kiểm tra cho thấy, số học sinh đạt loại giỏi chiếm tỉ lệ ít, học sinh yếu chiếm tỉ lệ cao Nguyên nhân em không tìm hướng giải theo cách thơng thường, cụ thể khơng tìm đường thẳng nằm mp(DA1C1) song song với MN Hoặc có em tìm cách giải lập luận khơng chặt chẽ, thiếu tính logic nên điểm số khơng cao Từ thực trạng nghiên cứu làm sáng kiến kinh nghiệm “Nâng cao kỹ giải số tốn hình khơng gian phương pháp vectơ cho sinh lớp 11” Nội dung giải pháp đề nghị cơng nhận sáng kiến: a) Mục đích giải pháp: Giúp học sinh lớp 11 giải số tốn liên quan đến hình học khơng gian, mà việc vận dụng trực tiếp phương pháp học lớp 11 trở nên khó khăn, dễ mắc sai lầm Nêu phương pháp giải, phân dạng loại thường gặp có ví dụ minh họa tập áp dụng Giải pháp thực tiết ôn tập chương II, ôn tập chương III hình hoc 11 tiết tự chọn chủ đề quan hệ song song quan hệ vng góc khơng gian Giúp học sinh lớp 11 giải thêm dạng coi khó chương trình tốn THPT, từ nâng cao khả tư cho học sinh b) Nội dung giải pháp: Giải pháp bao gồm ba phần : Phần I – Đặt vấn đề, Phần II – Nội dung, Phần III – Kết luận khuyến nghị, nội dung sáng kiến tập trung vào đề xuất dạng tập thường gặp hình học khơng gian lớp 11 là: Phần chứng minh quan hệ song song, phần chứng minh quan hệ vng góc phần tính góc – tính khoảng cách Mỗi phần lại phân loại tập cụ thể có ví dụ minh họa tập áp dụng cho loại - Hướng dẫn quy trình chung để giải tốn hình học không gian phương pháp véctơ, gồm bước sau: Bước Lựa chọn số véctơ mà ta gọi “ hệ véctơ sở’’; “phiên dịch” giả thiết, kết luận tốn hình học không gian cho “ngôn ngữ” véctơ Đây bước quan trọng toán, yêu cầu chọn vectơ sở ta phải chọn hệ gồm vectơ không đồng phẳng Các vectơ sở chọn phải tính tích vơ hướng, chọn ưu tiên chọn cặp vectơ nhân vơ hướng lại nhằm đơn giản tốn Bước Thực phép biến đổi hệ thức véctơ theo hệ vectơ sở theo cầu toán Bước Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học khơng gian tương ứng - Hướng dẫn vận dụng vào dạng tốn hình học không gian cụ thể sau: * Phần chứng minh quan hệ song song: Bài toán Chứng minh hai đường thẳng song song: AB // CD với AB = kCD Bài toán Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: AB//(P)  AB = xa + yb ( a, b không phương thuộc mặt phẳng (P)) Bài toán Chứng minh hai mặt phẳng song song  AB = x A ' B ' + y A ' C ' (ABC) / / ( A ' B ' C ' )    AC = x1 A ' B ' + y1 A ' C ' Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Giả sử E tâm mặt ABB1A1; N, I trung điểm CC1 CD Chứng minh : EN//AI Lời giải Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở phiên dịch giả thiết, kết luận: Đặt AB = a, AD = b, AA1 = c Theo ra: B C + I trung điểm CD ta có: I 1 AI = ( AD + AC ) = ( AD + AD + AB ) 2 = D A N E AB + AD (1) B1 + E tâm mặt ABB1A1 ta có: A1 C1 D1 AE = ( AA1 + AB ) (2) 2 + N trung điểm CC1 ta có: AN = ( AC + AC1 ) = ( AB + AD + AB + AD + AA1 ) = AB + AD + AA1 (3) + Chứng minh: EN / / AI  chứng minh EN = k AI Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ 2 Từ (2), (3) ta có: EN = AN − AE = AB + AD = a + b (5) Từ (1) ta có: AI = a + b (6) Từ (5), (6) ta có: EN = AI (7) Bước 3: Chuyển ngơn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian Từ (7) kết luận: Vì EN AI đường thẳng phân biệt nên EN // AI Ví dụ 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N lần trọng tâm tam giác ABA1 ABC Chứng minh : MN//(AA1C1) Lời giải Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở phiên dịch giả thiết, kết luận: Đặt AB = a, AC1 = b, AA1 = c Theo ra: + M trọng tâm tam giác AM = C1 A1 ABA1 ta có: AH = ( AB + AA1 ) (1) 3 B1 H M + N trọng tâm tam giác ABC ta có: 1 AN = AP = ( AB + AC ) = ( AB + AC1 − AA1 ) (2) 3 C A N B P + Chứng minh: MN / / ( AA1C1 )  MN = xAC1 + y AA1 Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ 3 Từ (1), (2) ta có: MN = AN − AM = ( AB + AC1 − AA1 ) − ( AB + AA1 ) 1 MN = (a + b − c) − (a + c) = b − c 3 3 MN = AC1 − AA1 (3) 3 Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học khơng gian Từ (3) kết luận: MN//(AA1C1) Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N, P trung điểm AB, CC’ A’D’ Chứng minh: (MNP) // (A’BC’) Lời giải: Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở phiên dịch giả thiết, B kết luận .M Đặt: AB = a, AD = b, AA ' = c Ta có A ' B = a − c ; A ' C ' = a + b ; BA ' = c − a ; BC ' = b + c Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ C D A B’ ( ) 1 PN = PD ' + D ' C ' + C ' N = b + a − c = A ' B + A ' C ' (1) 2 1 MP = MA + AA ' + A ' P = − a + b + c = BA ' + BC ' (2) 2 ( ) A’ C’ P Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véctơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian Từ (1)  PN / / ( A ' BC ') (3) Từ (2)  MP / / ( A ' BC ') (4) N Từ (3) (4) suy (MNP) // (A’BC’) D’ Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E, F trọng tâm tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1 Chứng minh : MN // EF Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Giả sử M, N trung điểm cạnh AA1, B1C1 Chứng minh: MN // (DA1C1) Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E trung điểm BB1, CC1, AA1 G trọng tâm tam giác A1B1C1 Chứng minh: a) (MGC1)//(BA1N) b) (A1GN)//(B1CE) * Phần chứng minh quan hệ vng góc: Bài tốn Chứng minh hai đường thẳng vng góc: AB CD vng góc với AB.CD = Bài tốn Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng:  AB.a = AB ⊥ (P)     AB.b = ( a, b không phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P)) Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAD nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh: AM ⊥ BP Lời giải Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở phiên dịch giả thiết, kết luận Đặt HA = a, HN = b, HS = c S Ta có: a.c = 0, b.c = 0, a.b = M Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ AM = ( ) ( ) 1 AS + AB = b + c − a ; 2 A B N H 10 D P C Chọn vectơ hệ sở: S AD = a;AB = b;SA = c a.b = b.c = c.a =   a = b = a; c = a M Khi đó:  Biểu diễn SB; AC qua hệ vectơ sở: SB = SA + AB = b + c   1 AC = AB + AD = a + b  2 ( A D N ) B C Lấy điểm M thuộc SB; N thuộc AC cho: ( ) SM = xSB = x b + c = x.b + x.c   1 AN = y.AC = y.a + y.b  2 Ta có: 1  MN = MS+ SA + AN = −x(b + c) + c + y  a + b   2 1  MN = y.a +  y − x  b + (1 − x ) c 2   MN.AC = MN đoạn vng góc chung AC SB :   MN.SB = 1  1    y.a + y − x  y − x =   b =  y.a +  y − x  a = 2 4 2   2     1  y − x  b2 + − x c =  y − x  a2 + − x 2a2 =  y − 3x + = 2 ( ) ( )           x =  2 2  a 10  MN = a − b + c  MN =  a − b + c  =  5 5  5 y =  Vậy khoảng cách hai đường thẳng AC SB MN = 14 a 10 Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Cạnh đáy có độ dài a, biết góc đường thẳng AB’ BC’ 600 Tính khoảng cách đường thẳng AB’ BC’ theo a Lời giải Chọn hệ vectơ sở là: AB = a;AC = b;AA ' = c a.b = 0; b.c = 0; a = b = a  Khi đó:  a2 a.b =  B C A H K Biểu diễn AB'; BC' qua hệ vectơ sở: B' C' AB' = AA ' + A ' B' = a + c BC' = BB' + B'C' = −a + b + c A' Dựa vào góc vectơ AB'; BC' ( )( ) a2 AB '.BC' = a + c −a + b + c = −a + a.b + c = − + c2 2 AB ' = a2 + c2 BC' = ( ) −a + b + c = a2 + b2 + c2 − 2a.b = a2 + c2 (  cos( AB';BC' ) = cos AB';BC'  c = a 2; ) a2 AB'.BC'  = = a +c AB' BC' c2 − c=0 (loai) Vậy AA’ = a hay c = a ( ) ( ) AH = xAB ' = x a + c  Lấy điểm H  AB'; K  BC' cho :  BK = yBC' = y −a + b + c  ( ) ( ) HK = HA + AB + BK = −x a + c + a + y −a + b + c = − ( x + y − 1) a + yb + ( y − x ) c HK AB ' = Để HK đoạn vng góc chung AB’ BC’ thì:  HK BC' = 15 (1)  a2 − x + y − a2 + a.b.y + y − x c2 = − ( x + y − 1) a + y + ( y − x ) 2a2 =  ( ) ( )     2 2 ( x + y − 1) a + yb + ( y − x ) c − ( x + 2y − 1) a.b = ( x + y − 1) a2 + ya2 + ( y − x ) 2a2 − ( x + 2y − 1) a =     −3x + y = −1  x =   − x + y = y =   Thay x, y vào (1) ta được: HK = ( ) 1 4b − c  HK = 9 ( ) 4b − c = a 16b2 + c2 = Ví dụ Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a ; AD = a Hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABCD) trung với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 600 Tính khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng ( A’BD) theo a Lời giải Chọn hệ vectơ sở: OD = a;A 'B' = b;A 'O = c Khi đó:  a.b == a.a.cos60 = a ;a.c = 0; b.c =   a = b = a; c = a  Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD M B' A' trung điểm AD Ta có: C' D' A 'O ⊥ (ABCD)    A ' M ⊥ AD OM ⊥ AD  M (A’ADD’) (ABCD) : A ' MO = 600  A 'O = OM.tan600 = a B A Vậy góc hai mặt phẳng  c= O D C a Vì B’D’ // (A’BD) nên khoảng cách từ B’ đến (A’BD) khoảng cách B’D’ A’B 16 Biểu diển B' D '; A ' B qua hệ vectơ sở: B' D' = 2.a ; A ' B = A ' O + OB = −a + c Gọi điểm H  B' D '; K  A ' B cho: ( ) B' H = x.B' D' = 2x.a   A 'K = y.A ' B = y −a + c ( HK = HB' + B' A ' + A ' K = −2xa + b + y −a + c = ( −2x − y ) a + b + yc ) (1)  HK.B' D ' = Để HK đoạn vng góc chung B’D’ A’B :   HK.A ' B =  a2 −2 2x + y a2 + 2a.b = − 2x + y a + =0 ( )  )  (    2 2 ( 2x + y ) a − a.b + yc =  2x + y a2 − a + y 3a = ( )    −2(2x + y) + = 4x + 2y = x = 1/     3y 7y   = 2x + = y = 2x + y − +   2 Thay x, y vào (1) ta được:   a HK = − a + b  HK = HK =  − a + b  = 2   HK = d (B’;(A’BD))= a Vậy khoảng cách B’D’ A’B bằng a hay khoảng cách từ B’ đến (A’BD) a Ví dụ : Cho hình S.ABC đáy tam giác ABC với cạnh 1, cạnh SA vng góc vng góc với đáy, SA = Mặt phẳng ( ) song song với đường thẳng SB AC, mặt phẳng (  ) song song với đường thẳng SC AB Tính giá trị góc hai mặt phẳng ( ) (  ) Lời giải: Đặt: AS = a, AB = b, AC = c Giả sử m, n véc tơ khác tương ứng vng góc hai mặt phẳng ( ) (  ) , cịn  góc hai mặt phẳng ( ) (  ) 17 Thế thì: cos = m.n m.n S Đặt: m = xa + yb + zc Ta có: ( )( )    SB.m =  b − c xa + yb + zc = m ⊥ ( )       AC.m = c( xa + yb + zc) =  y = −23 6 x − y − z =     y + 2z =  x = − z A C B Số phương trình bé số ẩn, điều chứng tỏ m ⊥ ( ) không xác định Chọn z = −1  x = 1, y = nên m = a + 4b − 2c véc tơ vng góc với ( ) ⃗⃗⃗⃗ 𝑛⃗ = 𝑡 = − 𝑢 𝑆𝐶 ⃗ Tương tự : 𝑛⃗ = 𝑡𝑎 + 𝑢𝑏 + 𝑣𝑐 ⊥ (𝛽) ⇔ { ⇔{ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 𝑛⃗ = 𝑣 = −2𝑢 Chọn : u = −2  v = 4, t =  n = a − 2b + 4c , : cos = m.n = m.n Nhận xét: Còn số tốn tính khoảng cách khác dùng phương pháp khác hữu hiệu phương pháp tọa độ dùng cơng thức tính thể tích mà tơi trình bày sáng kiến khác 18 Bài tập tự luyện: Bài Cạnh đáy lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 a, điểm O O1 tương ứng trọng tâm đáy ABC A1B1C1 Độ dài hình chiếu đoạn thẳng AO1 đường thẳng B1O 5a Hãy tính đường cao lăng trụ Bài Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c Tính cosin góc cạnh đối diện Bài Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA1=h Tính cosin góc: a) Giữa AB1 BC1 b) Giữa AB B1C Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ Bài Cho tứ diện SABC cạnh BD đường cao tam giác ABC Tam giác BDE nằm mặt phẳng tạo với cạnh AC góc  , biết điểm S E nằm phía mặt phẳng (ABC) Tính SE Bài tập trắc nghiệm: Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Góc đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) 600 Khoảng cách hai đường thẳng GC SA bằng: A a 5 B a C a 10 D a Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Khi tan góc đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng: A 85 17 B 10 17 C 19 22 D 22 Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Khi cos góc đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng: A 330 110 B 33 11 C 11 D 33 22 Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, SA = a M trung điểm cạnh BC Khi tan góc hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng: A 11 110 B 110 11 C 110 33 D 110 11 Câu Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đơi vng góc, AB = a, AC = a a 33 diện tích tam giác SBC Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng: A a 330 33 B a 330 11 C a 110 33 D 2a 330 33 Câu Cho hình chóp tam giác S ABC có SA vng góc với mặt đáy, tam giác ABC vng cân B, BA = BC = a , góc mp(SBC ) với mp( ABC ) 600 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Tính khoảng cách hai đường thẳng AI với BC A a B a C a D a Câu Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vng O, OB = a, OC = a Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng (OBC), OA = a , gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách h hai đường thẳng AB OM A h = a B h = a C h = a 15 D h = a 15 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Tính góc  hai mặt phẳng ( SBC ) ( SDC ) 20 A  = 900 C  = 300 B  = 600 D  = 450 Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = a Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) vuông góc với mặt đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) a Tính góc  tạo hai đường thẳng SB AC A  = 450 C  = 300 B  = 900 D  = 600 Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Tính cơsin góc  đường thẳng BM mặt phẳng ( ABC ) A cos  = 21 B cos  = 10 C cos  = 14 D cos  = Khả áp dụng giải pháp: Sáng kiến áp dụng Ôn tập chương II Ôn tập chương III- Hình học 11 ban tự chọn - chủ đề quan hệ song song, quan hệ vng góc góc- khoảng cách Việc áp dụng sáng kiến bước đầu đạt kết tốt, điều phản ánh rõ qua kết lớp 11A năm học 2020 - 2021 kiểm tra lớp 11C năm học 2021-2022 Điều góp phần nâng cao chất lượng học sinh lớp nói riêng học sinh tồn trường nói chung Thơng qua sáng kiến áp dụng rộng rãi đối tượng học sinh lớp 11 tất lớp trường THPT Sơn Thịnh trường THPT địa bàn tỉnh Yên Bái Hiệu quả, lợi ích thu được: Giải pháp áp dụng lớp 11A năm học 2020 – 2021 lớp 11C năm học 2021-2022 trường THPT Sơn Thịnh - Văn Chấn - Yên Bái *Kết thực nghiệm 1: 21 Sau thực xong Phần ôn tập chương III.Vectơ không gian Quan hệ vng góc khơng gian, tơi tiến hành cho học sinh kiểm tra 15 phút lớp 11C (lớp đối chứng) lớp 11A ( lớp thực nghiệm) năm học 2020-2021 Đề bài: Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC cạnh , cạnh bên SC vng góc với đáy có độ dài M,N trung điểm BC, AB Hãy tìm số đo góc SM CN Đáp án Nội dung đáp án Ta chọn hệ véc tơ sở Điểm S CA = a, CB = b, CS = c a.b = 16 ; c.b = ; c.a = SM = CM − CS = b − c CN = (a + b) 1  1  SM CN =  b − c   (a + b)  = 12 2  2  2,0 P 1,0 A C N M 1,0 B 4 2 SM = +   =   1,0 CN = 1,0 Gọi góc  góc SM CN Ta có: 1,0 cos = SM CN SM CN = 2,0 12 = 2 3.2 1,0   = 45 22 Kết cụ thể lớp 11C năm học 2020-2021(Lớp đối chứng) Lớp Kết kiểm tra 15 phút Số HS 11C Khá Giỏi Trung bình Yếu-Kém SHS % SHS % SHS % SHS % 0% 21,1% 17 44,7% 13 34,2% 38 Kết cụ thể lớp 11A năm học 2020-2021 (Lớp thực nghiệm) Lớp Kết kiểm tra 15 phút Số HS Giỏi 11A Khá Trung bình Yếu-Kém SHS % SHS % SHS % SHS % 15,8% 14 36,8% 11 28,9% 18,4% 38 Biểu đồ so sánh chất lượng (lớp đối chứng 11C) (lớp thực nghiệm 11A) năm học 2020-2021 trường THPT Sơn Thịnh - Văn Chấn - Yên Bái 44,70% 45% 40% 36,80% 34,20% 35% 28,90% 30% 25% 21,10% 18,40% 20% 15,80% 15% 10% 5% 0% 0% Giỏi Khá Trung bình Lớp 11C 23 Lớp 11A Yếu - Kém *Kết sau thực nghiệm 2: Sau thực xong Phần ôn tập chương II.Quan hệ song song không gian, tiến hành cho học sinh kiểm tra 15 phút lớp 11C ( lớp thực nghiệm) năm học 2021-2022 Đề bài: Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABD, M điểm nằm đoạn CD cho MC = Chứng minh MG // (ABC) MD Đáp án: Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tuyệt đối Điểm Nội dung A - Hình vẽ: 1,0 G Đặt: AB = a, AC = b, AD = c Vì B ( ) ( MC 1 1 =  CM = CD = AD − AC = c − b MD 3 ) I C D 1,5 M 1,5 Gọi I trung điểm BD Khi đó: AI = ( ) ( 1 AB + AD = a + c 2 ) ( ) ( 2 1 GM = − AI + AC + CM = − a + c + b + c − b 3 2 = − a + b = − AB + AC 3 3 ) 1,5 1,5 Vậy MG // (ABC) 2,0 1,0 24 Kết cụ thể lớp 11C năm học 2021-2022 (trước thực nghiệm) Lớp Kết kiểm tra 15’ Số HS 11C Khá Giỏi 44 Trung bình Yếu-Kém SHS % SHS % SHS % SHS % 0% 20,5% 17 38,6% 18 40,9% Kết cụ thể lớp 11C năm học 2021-2022 (sau thực nghiệm) Lớp Kết kiểm tra 15’ Số HS Giỏi 11C 44 Khá Trung bình Yếu-Kém SHS % SHS % SHS % SHS % 6,8% 14 31,8% 19 43,2% 18,2% Biểu đồ so sánh kết trước thực nghiệm sau thực nghiệm lớp 11C năm học 2021-2022 trường THPT Sơn Thịnh - Văn Chấn - Yên Bái Trước thực nghiệm Sau thực nghiệm 43,20% 45% 40,90% 38,60% 40% 31,80% 35% 30% 25% 20,50% 18,20% 20% 15% 6,80% 10% 5% 0% 0% Giỏi Khá Trung bình 25 Yếu - Kém Nhận xét: Từ kết cho thấy, qua việc áp dụng giải pháp nâng cao kỹ giải số tốn hình khơng gian phương pháp vectơ vào thực tế giảng dạy, chất lượng học sinh giỏi tăng lên rõ rệt, tỉ lệ học sinh yếu giảm đáng kể hai kết khảo sát Nguyên nhân toán liên quan đến chứng minh quan hệ song, quan hệ vng góc, tính góc, khoảng cách trước thường coi khó nên gặp học sinh thường bỏ qua, có làm khơng kết Sau tiếp cận với giải pháp dùng vectơ học sinh tỏ hào hứng với dạng tập hơn, tâm gặp dạng tập có phương pháp giải tốt Những người tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến lần đầu (khơng có) Các thơng tin cần bảo mật (khơng có) Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến Điều kiện để áp dụng giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn lớp 11 trường THPT Tài liệu gửi kèm: (khơng có) Tơi cam đoan nội dung báo cáo viết, có gian dối khơng thật báo cáo, tơi xin chịu trách nhiệm hồn tồn theo qui định pháp luật Văn Chấn, ngày 05 tháng 02 năm 2022 Người báo cáo Nguyễn Quỳnh Mai XÁC NHẬN CỦA TRƯỜNG THPT SƠN THỊNH 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Hình học 11 - Nâng cao, Cơ Tác giả: Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân - Nhà xuất bản: Giáo dục Bài tập nâng cao số chuyên đề Hình học 11 Tác giả: Trần Văn Tân - Nhà xuất bản: Giáo dục Phương pháp dạy học mơn tốn - Tác giả : Phạm Gia Đức – Nguyễn Mạnh Cảng – Bùi Huy Ngọc – Vũ Dương Thụy - Nhà xuất bản: Giáo dục Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11 - Tác giả : Trần Văn Hạo – Văn Như Cương – Ngô Thúc Lanh - Nhà xuất bản: Giáo dục Tâm lý học lứa tuổi, sư phạm - Nhà xuất bản: Đại học sư phạm Tài liệu Internet 27 PHỤ LỤC * Phụ lục : Hình ảnh dạy thực nghiệm lớp 11C năm học 2021-2022 Trường THPT Sơn Thịnh 28