SKKN giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp véctơ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Cơng Hn I THƠNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy mơn Tốn – Hình học 11 Tác giả: Họ tên: Dương Cơng Hn Giới tính: Nam Ngày tháng năm sinh: 18/01/1985 Trình độ chun mơn: Thạc sỹ Tốn Chức vụ, đơn vị cơng tác: tổ Tốn – Tin Đồng tác giả: Khơng Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Không Đơn vị áp dụng sáng kiến Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: II BÁO CÁO MÔ TẢ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy mơn Tốn – Hình học 11 Mơ tả chất sáng kiến 3.1 Tình trạng giải pháp biết: * Thực trạng việc học mơn tốn, giải tập tốn học sinh THPT * Cơ sở việc nghiên cứu: từ thực trạng việc dạy học chương “Véctơ khơng gian Quan hệ vng góc khơng gian ” phân mơn Hình học * Về chương trình: Hình học 11 3.1.1 Đặt vấn đề: Một nhiệm vụ chương trình hình học cải cách giáo dục phổ thông “Bồi dưỡng kỹ vận dụng phương pháp véctơ vào việc nghiên cứu số hình hình học, số quan hệ hình học Việc sử dụng vectơ để giải tốn hình học” Chính việc giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vectơ để giải toán cần thiết phù hợp với xu cải cách giáo dục SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân Mặt khác đứng trước tốn hình học khơng gian học sinh dùng phương pháp hình học tổng hợp (lớp 11) để giải mà chưa nghĩ đến việc dùng phương pháp véctơ để giải chúng Vì lí tơi chọn đề tài : “GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ” 3.1.2 Cơ sở lý luận: Các yêu cầu giải tốn hình học khơng gian phương pháp véc tơ Học sinh cần nắm số định lí: Định lí hai véctơ phương; Định lí phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương mặt phẳng; Định lí phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng không gian Học sinh cần có kỹ biến đổi biểu thức véc tơ, phân tích véc tơ theo hệ véc tơ cho trước ghi nhớ số toán KIẾN THỨC CƠ BẢN a) Định nghĩa véctơ: +) Véctơ đoạn thẳng có hướng điểm A điểm đầu; B điểm cuối +) Cho điểm A, B ta có véctơ B +) Khi A trùng B ta có véctơ khơng A b) Tính chất: D 1) 2) Với điểm A, B, C ta có: 3) ABCD hình bình hành: A 4) M AB  M, A, B thẳng hàng  O C B với điểm O bất kì: 5) M trung điểm AB  với điểm O bất kì: 6) G trọng tâm tam giác ABC  7) G trọng tâm tứ giác ABCD tứ diện ABCD ta có: 8) 10) Nếu 11) 12) 9) khơng phương và khơng đồng phẳng khơng gian 3.2 Nội dung giải pháp: 3.2.1.Quy trình chung để giải tốn hình học không gian phương pháp véctơ Bước 1.Lựa chọn số véctơ mà ta gọi “ hệ véctơ sở’’; “phiên dịch” giả thiết, kết luận tốn hình học khơng gian cho “ngơn ngữ” véctơ Bước Thực yêu cầu tốn thơng qua việc tiến hành phép biến đổi hệ thức véctơ theo hệ vectơ sở Bước Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học khơng gian tương ứng SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân 3.2.2 Một số dạng toán sử dụng phương pháp Dạng Phần quan hệ song song Bài toán Hai đường thẳng phân biệt AB CD song song với Bài tốn Cho hai vé tơ khơng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) Khi :AB//(P) Bài tốn Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) (MNP) Khi đó: Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 Giả sử M, N, E, F trọng tâm tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1 Chứng minh : MN // EF Lời giải: Bước1:Chọn hệ véc tơ sở B1 N Theo ra: +M trọng tâm tam giác AA1B1: A1 (1) C1 M +N trọng tâm tam giác A1B1C1: (2) F +E trọng tâm tam giác ABC: B (3) E +F trọng tâm tam giác BCC1: A C (4) + Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ Từ (1), (2): (5) Từ (3), (4): (6) (7) Từ (5), (6): Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian Từ (7) : MN // EF Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.Giả sử M, N trung điểm cạnh AA1, B1C1 Chứng minh: MN // (DA1C1) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân Lời giải: Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở B1 + M trung điểm AA1: (1) + N trung điểm B1C1: (2) + Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ N C1 D1 A1 (3) M C B Từ (1), (2): D A Suy ra: (4) Bước 3: Chuyển ngơn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học không gian Từ (4) : MN // (DA1C1) Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 Gọi M, N trung điểm cạnh AA 1, CC1 G trọng tâm tam giác A1B1C1 Chứng minh: (MGC1) // (AB1N) Lời giải: Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở B1 G + M trung điểm AA1: (1) + N trung điểm CC1: C1 A1 (2) + G trọng tâm tam giác A1B1C1: M (3) N B (4) + A C Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ Ta có: Từ (5) (6) , khơng đồng phẳng nên ta có: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Cơng Hn Ta có: Từ (8) (9): Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học khơng gian (11) Từ (7) : Từ (10) : (12) Từ (11) (12) : Bài tập vận dung Bài Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Giả sử E tâm mặt ABB 1A1; N, I trung điểm CC1 CD Chứng minh : EN//AI Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N lần trọng tâm tam giác ABA1 ABC Chứng minh : MN//(AA1C1) Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 Giả sử M, N, E trung điểm BB 1, CC1, AA1 G trọng tâm tam giác A1B1C1 Chứng minh: (MGC1)//(BA1N) (A1GN)//(B1CE) Dạng Phần góc khoảng cách Bài tốn Góc hai đường thẳng AB CD tính theo cơng thức: Bài toán Khoảng cách hai điểm A B : Bài toán Cho điểm M đường thẳng l có véctơ phương cách từ M đến l Phương pháp giải: Đặt Khi đó: , gọi N hình chiếu M lên l , điểm A thuộc l Tính khoảng SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Cơng Hn Khoảng cách cần tìm : Bài tốn Cho (ABC), điểm M khơng thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) góc MA (ABC) Phương pháp giải: Đặt , , gọi N hình chiếu M lên (ABC) Khi : Do nên Khi cho biết x,y ta tìm khoảng cách từ M đến (ABC) góc AM (ABC) góc , cịn Nếu AM (ABC) Bài toán Cho đường thẳng chéo nhau, d qua A1 có véc tơ phương ; đường thẳng d2 qua A2 có véc tơ phương Tính khoảng cách góc hai đường thẳng Phương pháp giải: + Góc hai đường thẳng : +Đoạn vng góc chung P1P2 ( P1 thuộc d1, P2 thuộc d2), đó: Do Khoảng cách cần tìm: Ví dụ Cạnh đáy lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 a, điểm O O1 tương ứng trọng tâm dáy ABC A 1B1C1.Độ dài hình chiếu đoạn thẳng AO1 đường thẳng B1O Hãy tính đường cao lăng trụ Lời giải: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân Chọn hệ véc tơ sở C1 A1 O1 Giả sử Ta có: N B1 Suy ra: A C O M Vì: B nên Ví dụ Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC với cạnh 1, cạnh SA vuông góc vng góc với đáy, Mặt phẳng song song với đường thẳng SB AC, mặt phẳng song song với đường thẳng SC AB Tính giá trị góc hai mặt phẳng Lời giải: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân Chon hệ véc tơ sở S Giả sử véc tơ khác , tương ứng vng góc hai mặt phẳng , cịn góc hai mặt phẳng Thế thì: Đặt C A B Ta có: Số phương trình bé số ẩn, điều chứng tỏ Chọn nên khơng xác định véc tơ vng góc với Tương tự : Chọn : Khi : Bài tập vân dụng Bài Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c Tính cosin góc cạnh đối diện Bài Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA1=h Tính cosin góc: 1.Giữa AB1 BC1 2.Giữa AB B1C Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân Bài Cho tứ diện SABC cạnh BD đường cao tam giác ABC Tam giác BDE nằm mặt phẳng tạo với cạnh AC góc , biết điểm S E nằm phía mặt phẳng (ABC) Tính SE Dạng Phần quan hệ vng góc Bài tốn Hai đường thẳng phân biệt AB CD vng góc với Bài toán 10 Cho hai không phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) Khi :AB (P) Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 M N điểm thuộc đường chéo BA1 CB1 cho: Chứng minh rằng: Lời giải: C1 D1 Chọn hệ véc tơ sở Khi đó: A1 B1 Theo : N M D C A B Mặt khác: Do đó: Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có mặt hình thoi Các góc phẳng góc tam diện đỉnh A1 Chứng minh rằng: Lời giải: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân Chọn hệ véc tơ sở D1 C1 O1 Theo giả thiết : Gọi m độ dài cạch hình hộp Ta có: B1 A1 D C Từ (1) (2) suy A B Bài tập vân dụng Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M,N trung điểm cạnh AD BB’ Chứng minh : MN A’C Bài Cho hình chóp S.ABC, SA (ABC), SA=a , AC=2a, AB=a, Gọi M N hai điếm cho: Chứng minh: SC (AMN) Bài Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC tam giác cân A Vẽ SO (ABC), D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh: DC (SOE)) 3.3 Hiệu sáng kiến Kiểm tra: 45 phút Đề bài: Đề 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=4 Điểm D nằm cạnh SC, CD=3, khoảng cách từ A đến đường thẳng BD Tính chiều cao hình chóp Đề 2: Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC cạnh , cạnh bên SC vng góc với đáy có độ dài M,N trung điểm BC, AB.Hãy tìm số đo góc khoảng cách SM CN Đáp án 10 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân Lời giải đề 1: Chọn hệ véc tơ sở S Đặt góc phẳng đỉnh hình chóp N hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng BD Do AN DB D C A N B Mặt khác: Từ (1) (2) ta Vì : Ta tính độ dài đường cao hình chóp SO.Vì O trọng tâm tam giác ABC nên Lời giải đề 2: Ta chọn hệ véc tơ sở +Ta tìm góc Ta có: S SM CN? P A C Khi đó: N M B +Tính khoảng cách SM CN? 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân Gọi P thuộc SM Q thuộc CN Khi đó: Do PQ đoạn vng góc chung SM CN nên: KẾT QUẢ Sau dạy số tiết lớp số buổi bồi dưỡng tơi cho tiến hành kiểm tra khả tiếp thu kiến thức học sinh lớp dạy thu kết sau: Lớp 11M 11C 11D Năm học 2018-2019 2018-2019 2018-2019 Số học sinh đạt yêu cầu 25/35 (71,42 %) 32/42(76,19%) 30/42(71,42 %) 3.4 Điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Thực phạm vi số buổi chữa tập với tập mức độ vừa phải Giáo viên đưa phương pháp giải, ví dụ mẫu hệ thống tập, học sinh nêu lời giải có tốn Sau cho học sinh tìm tịi, phát số vấn đề xung quanh giải mức độ đơn giản Thực số buổi công tác bồi dưỡng học sinh mức độ tốn cao Hình thức cần thực liên tục trình học tập học sinh, làm cho khả tư duy, tính sáng tạo học sinh ngày tăng lên 3.5 Cam kết không chép hay vi phạm quyền: Tôi xin cam kết không chép vi phạm quyền tác giả KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT Cần tăng cường hệ thống ví dụ giải tốn hình học khơng gian phương pháp véctơ hệ thống tập sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để học sinh tự nghiên cứu vận dụng véctơ trình giải tốn hình học khơng gian KẾT LUẬN 12 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV: Dương Công Huân Trong đề tài này, chủ yếu đưa số phương pháp phân tích, đánh giá để có lời giải tốn hình học khơng gian phương pháp véctơ Tuy nhiên trình thực đề tài chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong muốn có đóng góp ý kiến đồng nghiệp bạn đọc nội dung đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn ! Vĩnh yên, ngày 25 tháng năm 2020 CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Dương Công Huân 13 ... tốn hình học khơng gian học sinh dùng phương pháp hình học tổng hợp (lớp 11) để giải mà chưa nghĩ đến việc dùng phương pháp véctơ để giải chúng Vì lí chọn đề tài : “GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC... TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ” 3.1.2 Cơ sở lý luận: Các yêu cầu giải tốn hình học khơng gian phương pháp véc tơ Học sinh cần nắm số định lí: Định lí hai véctơ phương; Định lí... 9) khơng phương và khơng đồng phẳng khơng gian 3.2 Nội dung giải pháp: 3.2.1.Quy trình chung để giải tốn hình học khơng gian phương pháp véctơ Bước 1.Lựa chọn số véctơ mà ta gọi “ hệ véctơ sở’’;