(SKKN mới NHẤT) hướng dẫn giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT CẨM THỦY - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VEC TƠ Người thực hiện: Lê Trung Hưng Chức vụ: Hiệu trưởng SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn THANH HỐ, NĂM 2020 MỤC LỤC TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com NỘI DUNG I Mở đầu …………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài ………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………… II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……………………………… 2.1 Cơ sở lý luận……………………………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề…………………………………… 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề …………… 2.3.1 Kiến thức trang bị.………………………………… 2.3.2 Phương pháp chung để giải tốn hình học khơng gian phương pháp vec tơ ………………………… 2.3.3 Các dạng toán … 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục ………………………………………………………… III Kết luận, kiến nghị ………………………………………… 3.1 Kết luận ………………………………………………… 3.2 Kiến nghị ………………………………………………… TRANG 2 2 2 3 16 17 17 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com I MỞ ĐẦU: 1.1 Lí chọn đề tài: Hình học khơng gian chiếm vị trí quan trọng chương trình tốn cấp trung học phổ thơng, việc tìm kiếm đường tổ chức dạy học cho phần hình học khơng gian ln quan tâm, tìm hiểu nghiên cứu Dạy học kiến thức hình học phương pháp khác nhằm tạo cho học sinh tính linh hoạt, đa dạng tiếp cận một bài toán hình học Phương pháp vec tơ kết hợp chương trình Hình học giải tích lớp 12 Hình học khơng gian, cụ thể xây dựng hệ trục tọa độ Đề vng góc hình vẽ tồn hình học khơng gian Trong q trình giảng dạy nghiên cứu tơi nhận thấy phương pháp véc tơ tỏ hữu hiệu số tốn hình học khơng gian mà giải phương pháp tổng hợp tương đối vất vả, là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi Để giúp học sinh định hướng cách làm dạng toán này, hiểu sâu hơn, tự tin gặp tốn hình học khơng gian, phát triển tư duy, hướng học sinh tới niềm say mê sáng tạo, tơi chọn đề tài: "Hướng dẫn giải số tốn hình học khơng gian phương pháp vec tơ" 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đưa phương pháp giúp học sinh định hướng dạng tốn hình học khơng gian giải phương pháp vec tơ, đồng thời rèn luyện kỹ giải toán, nâng cao khả tư duy, giúp học sinh có hướng nhìn dạng tốn 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu số dạng tốn hình học khơng gian giải phương pháp vec tơ cách vận dụng phương pháp vec tơ để giải toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu đề tài xây dựng sở lí thuyết, vận dụng vào tập thơng qua hệ thống ví dụ II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 2.1 Cơ sở lí luận: Khi đứng trước tốn, học sinh cần định hướng tốn thuộc dạng nào? Có thể áp dụng phương pháp để giải tốn đó? Vậy tốn hình học khơng gian giải phương pháp vec tơ? TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Học sinh cấp THPT nói chung, học sinh khối 12 nói riêng q trình phát triển, bồi dưỡng chọn lọc trình độ khác học sinh vậy, nội dung phương pháp dạy học phải linh hoạt phù hợp với điều kiện cụ thể thầy trò, việc tổ chức dạy học Vì việc cung cấp nội dung phương pháp dạy phần cần thiết 2.2 Thực trạng vấn đề: Trong trình giảng dạy, nhận thấy phần tập liên quan đến tốn hình học khơng gian phần tập khó, học sinh tương đối gặp khó khăn cách tư duy, định hướng cách giải, lúng túng gặp phải tình Vì vậy, dạng tập trở thành vấn đề khó vượt qua học sinh Để giải vướng mắc học sinh tốn hình học khơng gian, ngồi cách giải bẳng phương pháp hình học tổng hợp túy, ta dùng phương pháp vectơ để giải số tốn hình học khơng gian Lời giải phương pháp khắc phục số khó khăn mà học sinh thường gặp, giúp học sinh dễ tiếp thu vận dụng cách dễ dàng, nhanh chóng việc làm tập 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề: 2.3.1 Kiến thức trang bị Học sinh cần nắm số định lý: Định lý hai véctơ phương; Định lý phân tích vectơ theo hai vectơ không phương mặt phẳng; Định lý phân tích vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng khơng gian Học sinh cần có kỹ biến đổi biểu thức véc tơ, phân tích véc tơ theo hệ véc tơ cho trước ghi nhớ số toán KIẾN THỨC CƠ BẢN a) Định nghĩa véctơ: +) Véctơ đoạn thẳng có hướng điểm A điểm đầu; B điểm cuối +) Cho điểm A, B ta có véctơ B +) Khi A trùng B ta có véctơ khơng A b) Tính chất: D C 1) 2) Với điểm A, B, C ta có: 3) ABCD hình bình hành: 4) M AB  M, A, B thẳng hàng  O A B với điểm O bất kì: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 5) M trung điểm AB  với điểm O bất kì: 6) G trọng tâm tam giác ABC  7) G trọng tâm tứ giác ABCD tứ diện ABCD ta có: 8) 9) 10) Nếu 11) 12) cho khơng phương tồn cho không đồng phẳng khơng gian tồn 13) Góc hai đường thẳng AB CD tính theo cơng thức: 14) Khoảng cách hai điểm A B : 2.3.2 Phương pháp chung để giải toán hình học khơng gian phương pháp vec tơ: Khi gặp tốn hình học khơng gian, học sinh nhận dạng định hướng giải phương pháp vec tơ: - Lựa chọn số véctơ mà ta gọi “ hệ véctơ sở’’; “phiên dịch” giả thiết, kết luận tốn hình học không gian cho “ngôn ngữ” véctơ - Thực u cầu tốn thơng qua việc tiến hành phép biến đổi hệ thức véctơ theo hệ vectơ sở - Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học khơng gian tương ứng 2.3.3 Các dạng toán TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Để giúp học sinh giải tốt tốn hình học khơng gian thường gặp tơi đúc kết thành dạng tốn sau: Dạng Các toán liên quan đến quan hệ song song: Ví dụ [1] Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Giả sử M, N, P, Q trọng tâm tam giác AA’B’, A’B’C’, ABC, BCC’ Chứng minh : MN // PQ Định hướng: Để giải toán ta cần ghi nhớ kiến thức: Hai đường thẳng phân biệt AB CD song song với Lời giải: Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở, biểu diễn kiện tốn sang ngơn ngữ vec tơ: B1 N A1 Theo ra: +M trọng tâm tam giác AA’B’: C1 M (1) F +N trọng tâm tam giác A’B’C’: B (2) E +P trọng tâm tam giác ABC: C A (3) +Q trọng tâm tam giác BCC1: (4) + Bước 2: Biến đổi biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu toán Từ (1), (2): (5) Từ (3), (4): (6) Từ (5), (6): (7) Bước 3: Chuyển kết luận ngơn ngữ hình học tổng hợp Từ (7) : MN // PQ Ví dụ [1] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 M điểm chia đoạn AD theo tỉ số , N điểm chia đoạn A1C theo tỉ số Chứng minh: MN//(BC1D) Định hướng: Để giải toán ta cần ghi nhớ kiến thức: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Cho hai vé tơ Khi :AB//(P) khơng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) Lời giải: Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn kiện tốn sang ngơn ngữ vec tơ: { , , N J , D (1) M A + N điểm chia đoạn A1C theo tỉ số nên C1 B1 A1 } + M điểm chia đoạn AD theo tỉ số nên D1 I C O B (2) Bước 2: Biến đổi biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu tốn Ta có : , = Suy ra: (3) Bước 3: Chuyển ngơn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học không gian Từ (3) : MN // (BC1D) Ví dụ [6] Cho hình hộp Chứng minh: Gọi trung điểm Định hướng: Để giải toán ta cần ghi nhớ kiến thức: Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) (MNP) Khi đó: Lời giải: Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com kiện tốn sang ngơn ngữ vec tơ: + Ta có , + Bước 2: Biến đổi biểu thức vec tơ phù hợp với u cầu tốn Ta có: (1) , (2) Bước 3: Chuyển ngơn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học không gian Từ (1) (2) : Vậy Bài tập vận dụng Bài Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Giả sử I tâm mặt ABB 1A1; E, F trung điểm CC1 CD Chứng minh : IE//AF Bài Cho hình hộp Gọi trung điểm Gọi trọng tâm tứ diện Chứng minh : Bài Cho tứ diện ABCD Gọi trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD Chứng minh // (BCD) Dạng Các tốn liên quan đến tính góc khoảng cách Định hướng: Để sử dụng phương pháp vec tơ dạng toán ta cần nhớ kiến thức: + Góc hai đường thẳng AB CD tính theo cơng thức: + Khoảng cách hai điểm A B : TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com + Cho điểm M đường thẳng l có véctơ phương khoảng cách từ M đến l Đặt , gọi N hình chiếu M lên l Khi đó: , điểm A thuộc l Tính Khoảng cách cần tìm : + Cho (ABC), điểm M khơng thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) góc MA (ABC) Đặt , , gọi N hình chiếu M lên (ABC) Khi : Do nên Khi cho biết x,y ta tìm khoảng cách từ M đến (ABC) Nếu góc AM (ABC) góc AM (ABC) + Cho đường thẳng chéo nhau, d1 qua A1 có véc tơ phương thẳng d2 qua A2 có véc tơ phương Tính khoảng cách góc hai đường thẳng , cịn ; đường - Góc hai đường thẳng : - Đoạn vng góc chung P1P2 ( P1 thuộc d1, P2 thuộc d2), đó: Do Khoảng cách cần tìm: Ví dụ [2] Cho hai tia Ax1 By1 hợp với góc 600 Đường thẳng AB vng góc với hai Ax1 By1 AB = a Hai điểm M, N nằm hai tia Ax1 By1sao cho AM = m, BN = n Tính cosin góc hai đường thẳng MN AB theo a, m ,n Lời giải: Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn kiện sang ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc : , , ;khi Bước 2: Biến đổi biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu toán TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ta có: ; ; ; Vậy Ví dụ [6] Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC với cạnh 1, cạnh SA vuông góc vng góc với đáy, Mặt phẳng song song với đường thẳng SB AC, mặt phẳng song song với đường thẳng SC AB Tính giá trị góc hai mặt phẳng Lời giải: Chon hệ véc tơ sở S Giả sử véc tơ khác , tương ứng vng góc hai mặt phẳng , cịn góc hai mặt phẳng Thế thì: C A Đặt B Ta có: Số phương trình bé số ẩn, điều chứng tỏ khơng xác định Chọn nên véc tơ vng góc với TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tương tự : Chọn : Khi : Ví dụ [1] Cạnh đáy lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 a, điểm O O1 tương ứng trọng tâm dáy ABC A1B1C1.Độ dài hình chiếu đoạn thẳng AO1 đường thẳng B1O Hãy tính đường cao lăng trụ Lời giải: Chọn hệ véc tơ sở Giả sử Ta có: C1 A1 O1 N B1 Suy ra: A C O Vì: M B nên Ví dụ [3] Cho hình chóp tứ giác có đáy E điểm đối xứng qua trung điểm điểm Tính khoảng cách Lời giải: M Đặt : Ta có : hình vng cạnh trung S P c A D a B b O N C TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 10 Gọi đường vng góc chung , ta có: Bài tập vân dụng Bài Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c Tính cosin góc cạnh đối diện Bài Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA1=h Tính cosin góc: 1.Giữa AB1 BC1 2.Giữa AB B1C Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ Bài Cho tứ diện SABC cạnh BD đường cao tam giác ABC Tam giác BDE nằm mặt phẳng tạo với cạnh AC góc , biết điểm S E nằm phía mặt phẳng (ABC) Tính SE Dạng Các tốn liên quan đến quan hệ vng góc Định hướng: Để sử dụng phương pháp vec tơ dạng toán ta cần nhớ kiến thức: + Hai đường thẳng phân biệt AB CD vng góc với + Cho hai không phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) Khi : AB (P) 11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 M N điểm thuộc đường chéo BA1 CB1 cho: Chứng minh rằng: Lời giải: Khi đó: Theo : C1 D1 Chọn hệ véc tơ sở A1 B1 N M D C A B Mặt khác: Do đó: Ví dụ [4] Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có mặt hình thoi Các góc phẳng góc tam diện đỉnh A1 Chứng minh rằng: Lời giải: 12 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chọn hệ véc tơ sở D1 C1 O1 B1 A1 Theo giả thiết : Gọi m độ dài cạch hình hộp Ta có: D C A B Từ (1) (2) suy Ví dụ 10 [3] Cho hình chóp , , ó đáy trung hình chữ nhật , điểm Chứng minh , : Lời giải: Đặt : S Ta có : (1) c A b M D a (2) Từ (1) (2) B C Bài tập vân dụng Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M,N trung điểm cạnh AD BB’ Chứng minh : MN A’C Bài Cho hình chóp tam giác có đáy hình vng cạnh điểm đối xứng qua trung điểm trung điểm Chứng minh Bài Cho hình chóp S.ABC, SA (ABC), SA=a , AC=2a, AB=a, Gọi M N hai điếm cho: Chứng minh: SC (AMN) 13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC tam giác cân A Vẽ SO (ABC), D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh: DC (SOE)) Bài Cho hình lăng trụ tam giác Gọi M, N trung điểm G trọng tâm a) Chứng minh b) Chứng minh: Nhận xét chung: Qua ví dụ, ta thấy thuận lợi khả áp dụng phong phú phương pháp vec tơ việc giải tốn hình học khơng gian Đây phần kiến thức thiếu học sinh học hình học khơng gian Phương pháp học sinh tiếp nhận học chương trình hình học giải tích lớp 12 Tuy nhiên, không nên lạm dụng phương pháp mà quên phương pháp tổng hợp phương pháp giải hay phát triển tư tốt Cũng phải ý phận tốn hình khơng gian giải phương pháp vec tơ Trên thực tế, có toán giải phương pháp vec tơ hay phương pháp tổng hợp Nói chung, Phương pháp vec tơ để giải tốn hình khơng gian phương pháp hay, thể vượt trội số trường hợp, cơng cụ cần thiết hành trang học sinh, trang bị công cụ này, học sinh dễ dàng ứng phó với dạng tốn áp dụng 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục: Để kiểm tra tính hiệu đề tài, tiến hành kiểm tra hai đối tượng hai lớp có lực học tương đương: lớp 12A4 12A5 Lớp 12A4 hướng dẫn sử dụng phương pháp vec tơ giải tốn hình học không gian, lớp 12A5 chưa hướng dẫn Với hình thức kiểm tra làm tự luận, thời gian tiết học (45 phút), với đề bài: Câu Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Tam giác ABC vuông A, Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)? Câu Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N trung điểm AB, CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A’C MN? Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM DN? Kết thu sau: 14 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lớp Số HS Giỏi SL % Khá Trung bình SL % SL % 12A4 Lớp thực nghiệm 46 15 32,61 16 34,78 15 12A5 Lớp đối chứng 45 11,11 11 24,44 19 Yếu SL % 32,61 0 42,23 10 22,22 Từ bảng kết quả nêu cho thấy rằng lớp dạy thực nghiệm có kết quả học tập đạt được cao Như vậy cách sử dụng phương pháp vectơ việc giải số tốn hình học khơng gian học sinh giải yêu cầu đề tốt hơn, gọn hơn, hiệu Điều phản ánh kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt Đồng thời qua việc rèn luyện cho học sinh sử dụng phương pháp vào giải tốn, các em có tư tích cực, độc lập tạo cho em mạnh dạn, tự tin , yêu thích, ham mê với mơn tốn III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: 3.1 Kết luận: Phương pháp vectơ ứng dụng nhiều vào tốn hình học khơng gian, tốn chứng minh, tốn tính góc, tính khoảng cách, tốn tính diện tích, tính thể tích khối đa diện,… Nhưng với khuôn khổ đề tài có hạn tơi nêu phần ví dụ số tốn điển hình, chủ yếu tính khoảng cách góc, phù hợp với trình độ nhận thức lực tư phận học sinh trung bình Qua đề tài tơi nhận thấy, phải cho học sinh làm nhiều toán với cách giải khác nhau, giúp em khơng cịn thấy phương hướng đứng trước dạng tập dạng khác Đồng thời thấy ưu điểm việc sử dụng phương pháp vectơ việc giải số tốn hình học khơng gian biết cách vận dụng tốt phương pháp Thơng qua rèn luyện kỹ trình bày ngắn gọn, chặt chẽ, logic Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh Kết áp dụng đề tài vào giảng dạy thể qua phần 2.4 Trong thời gian tới, thân tiếp tục đưa đề tài vào giảng dạy học sinh trung bình trở lên với mong muốn em đạt kết tốt học tập, đặc biệt kì thi 3.2 Đề xuất: Việc dạy hình học khơng gian cần phải kiên trì, uốn nắn kiểm tra thường xuyên liên tục Mỗi tốn thường có nhiều cách giải, u cầu học sinh phải thành thạo quy trình giải dạng Do tập yêu cầu học sinh cần bước quy trình giải Học sinh làm thành thạo cách 15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com cho tiến hành sử dụng cách khác cần phân tích rõ ưu điểm hạn chế từ chọn cách giải tối ưu Q trình tìm hiểu khó khăn học sinh giải tốn hình học khơng gian Bản thân tơi suy nghĩ nghiên cứu tìm giải pháp tháo gỡ khó khăn cho học sinh , Do tơi xây dựng đề tài cho học sinh lớp 12 Định hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo, khả vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại say mê, hứng thú học tập cho em Tuy vậy, trình viết, thời gian kinh nghiệm giảng dạy có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót, hạn chế định Rất mong nhận góp ý Hội đồng khoa học nhà trường đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Trung Hưng TÀI LIỆU THAM KHẢO ********* [1] Đào Tam, Giáo trình hình học sơ cấp 2007, NXB Đại học Sư phạm 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com [2] Nguyễn Văn Lộc, Phương pháp vec tơ giải tốn hình học phẳng, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Lộc, Phương pháp vec tơ giải tốn hình học khơng gian, NXB Giáo Dục [4] Tuyển chọn theo chuyên đề toán học tuổi trẻ , NXB Giáo Dục [5] Sách giáo khoa Hình học 11 Hình học 12 [6] Sách tập Hình học 11 Hình học 12 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... dụng phong phú phương pháp vec tơ việc giải tốn hình học không gian Đây phần kiến thức thiếu học sinh học hình học khơng gian Phương pháp học sinh tiếp nhận học chương trình hình học giải tích lớp... nhiên, không nên lạm dụng phương pháp mà quên phương pháp tổng hợp phương pháp giải hay phát triển tư tốt Cũng phải ý phận tốn hình khơng gian giải phương pháp vec tơ Trên thực tế, có toán giải phương. .. hình học khơng gian, phát triển tư duy, hướng học sinh tới niềm say mê sáng tạo, tơi chọn đề tài: "Hướng dẫn giải số tốn hình học khơng gian phương pháp vec tơ" 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đưa phương