Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải chuyên đề hệ phương trình ôn thi học sinh giỏi thpt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI TRƯỜNG THPT THỊ XÃ NGHĨA LỘ BÁO CÁO SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Lĩnh vực Giáo dục) Tên sáng kiến Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải chuyên đề “Hệ phương trình” ôn thi học sinh[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI TRƯỜNG THPT THỊ XÃ NGHĨA LỘ BÁO CÁO SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Lĩnh vực: Giáo dục) Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải chun đề “Hệ phương trình”- ơn thi học sinh giỏi THPT Tác giả: Nguyễn Thị Hằng Trình độ chun mơn: Thạc sỹ Chức vụ: GIÁO VIÊN - TTCM Đơn vị công tác: Trường THPT thị xã Nghĩa Lộ Yên Bái, tháng 11 năm 2021 I.THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải chun đề Hệ phương trình - Ơn thi học sinh giỏi THPT” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục Đào tạo Phạm vi áp dụng sáng kiến: Dạy ơn đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn trường THPT Thị xã Nghĩa Lộ 4.Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ năm học 2019-2020 5.Tác giả: Họ tên tác giả sáng kiến NGUYỄN THỊ HẰNG Ngày, tháng, năm sinh: 15/9/1975 Trình độ chun mơn: Thạc sỹ chun ngành Lí luận Phương pháp dạy học mơn Tốn Chức vụ công tác: Giáo viên – TTCM Nơi công tác: Trường THPT Thị xã Nghĩa Lộ Địa liên hệ: Trường THPT Thị xã Nghĩa Lộ Điện thoại lên hệ: 0915659391 Đồng tác giả ( có) : Khơng II MƠ TẢ GIẢI PHÁP SÁNG KIẾN Tình trạng giải pháp biết Qua kinh nghiệm 23 năm giảng dạy trường Trung học phở thơng, có nhiều năm trực tiếp tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp Tỉnh Bản thân nhận thấy phương pháp dạy học có nhiều thay đổi so với trước Các phương pháp dạy học tích cực dần thay cho cách dạy học thầy đọc, trò chép, học sinh dần thay đởi cách học bớt thụ động, tự chủ động khám phá chiếm lĩnh tri thức Tuy nhiên, nhà trường phở thơng cịn có phận giáo viên dạy học theo kiểu thuyết trình tràn lan, thầy truyền đạt kiến thức, trị tiếp nhận ghi nhớ Đơi cịn xuất kiểu dạy nhồi nhét, dạy chay, dạy cách hình thức xa rời thực tiễn Với cách dạy học làm cho học sinh thụ động tiếp thu giảng, hạn chế lớn đến nhận thức tư sáng tạo học sinh, không phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh Nhìn chung giáo viên quan tâm dạy cho đúng, đủ nội dung quy định chương trình, sách giáo khoa chưa khuyến khích phát triển tối đa khả sáng tạo người học Trong dạy học mơn Tốn ở đa số trường phổ thông đặc biệt dạy chun đề tập có ơn thi học sinh giỏi, giáo viên thường chữa luyện cho học sinh theo tập mẫu, dừng lại ở bước trình bày lời giải mà chưa quan tâm đến việc nghiên cứu sâu lời giải Chính học sinh thường quen với việc giải tập theo cách giải mẫu có cách máy móc mà khơng có sáng tạo, tìm tịi lời giải Một thực tiễn nữa thông thường học sinh thường thỏa mãn tìm cách giải mà khơng trọng việc tìm hiểu xem tốn có cịn cách giải khác nữa hay khơng? Cách giải tối ưu chưa? Bài tốn cịn khai thác theo cách khác theo hướng nào? Hoặc đứng trước tốn khó, dạng tốn lạ học sinh lúng túng gặp nhiều khó khăn việc giải tốn Để giải phần những khó khăn trên, với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi THPT cấp Tỉnh, mạnh viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm “Hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải chun đề Hệ phương trình - Ôn thi học sinh giỏi THPT” Đồng thời từ giúp học sinh phát triển tư sáng tạo học mơn tốn nói chung chun đề hệ phương trình nói riêng Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến a Thực trạng : Sau nhiều năm tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi qua tìm hiểu em học sinh ở trường trung học phổ thông Thị xã Nghĩa Lộ, nhận thấy học chuyên đề hệ phương trình học sinh gặp phải số vấn đề sau: + Thứ nhất, hệ phương trình mảng kiến thức phong phú khó, địi hỏi người học phải có tư sâu sắc, có kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có nhìn nhận nhiều phương diện Hơn nữa nhiều năm gần đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp Tỉnh mơn tốn ln có hệ phương trình + Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần đơn giản, tài liệu tham khảo đề cập đến phần nhiều song phân loại chưa dựa gốc toán nên học, học sinh chưa có liên kết, định hình chưa có nhìn tởng qt hệ phương trình Hầu hết em học sinh giải tập dạng đơn giản cách nhớ dạng tổng quát hệ phương trình bản, biết phương pháp giải theo mẫu +Thứ ba, đa số học sinh học cách máy móc, chưa có thói quen tởng qt tốn tìm tốn xuất phát, chưa biết toán đề thi đâu mà có nên người đề cần thay đởi chút gây khó khăn cho em Sáng kiến kinh nghiệm tơi mặt hình thức khơng Cái ở phân loại có tính chất xun suốt chương trình bám vào kĩ thuật quen thuộc, phù hợp với tư học sinh Thêm vào đó, với tốn có phân tích lơgic, có tổng quát điều đặc biệt giúp học sinh tìm gốc tốn, tốn từ đâu mà có, người ta tạo chúng cách Thơng qua học sinh thích nghi cách tự nhiên, có tư sáng tạo, có lực làm tốn tạo toán Học sinh hiểu sâu học tập có hiệu chuyên đề b Giải pháp thực : Để khắc phục những khó khăn trên, thực số giải pháp sau : + Bước đầu phân dạng tập cách có hệ thống, trình bày phương pháp giải dạng cho học sinh, nhằm giúp học sinh có cách nhìn tởng qt dạng tốn “Hệ phương trình” từ học sinh tự giải tốt dạng tốn + Rèn luyện kỹ tính tốn cho học sinh, phân tích kỹ, hướng dẫn cách tình bày tốn tự luận để đảm bảm tính hợp lí, logic, đặc biệt hướng dẫn học sinh phát ‘‘nút thắt ’’ tốn để ‘‘cởi’’ từ khuyến khích học sinh chủ động, tích cực đứng trước tốn + Thực nghiệm sư phạm Nội dung cụ thể sáng kiến là: NỘI DUNG Trong trình tìm tịi, nghiên cứu, giảng dạy tơi tởng hợp số dạng tập mẫu “Hệ phương trình” có nhiều cách giải khác nhau, phù hợp với phạm vi khiến thức mà em học sinh giải q trình tham gia ơn tập đội tuyển học sinh giỏi cấp lớp 10 I Hệ phương trình   x  y  xy  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  * x, y  R    x 1  y 1  Phân tích: Ta nhận thấy thay đởi vị trí x y cho hệ phương trình khơng thay đởi trật tự phương trình khơng thay đởi nên từ kết luận hệ phương trình đối xứng loại Mặt khác, phương trình có dạng tởng tích nên ta quan tâm đến việc biến đởi phương trình thứ hai Lời giải 1: Sử dụng kỹ thuật giải hệ phương trình dạng đối xứng loại I  xy  Điều kiện:   x  1, y  1   x  y  xy  Khi *   **   x  y  x  y  xy   14 S  x  y , S  4P hệ phương trình (**) trở thành Đặt  P  xy    S  S  P   3  S  14   P   S  3   3S  8S  156  S  S  P   14  2 S  5S  10  14  S S   x  y   nên x, y nghiệm phương trình X  X     P   xy  x  Phương trình có nghiệm X    thỏa mãn điều kiện ban đầu y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    3;3 Lời giải 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy  xy  Điều kiện:   x  1, y  1   x  y  xy  31    x   y    2 * x, y  R  Từ (1), suy : x  y   xy  x  y  Mặt khác ta có xy  nên x  0, y  3 Khi ta có 1  x  y   xy   x y  x  y   4 Đồng thời ta có  2   x   y   2 x  y  2  2  2  Nhận thấy nghiệm hệ phương trình giá trị làm cho dấu đẳng thức x  y   x y 3  3 ,  4 đồng thời xảy ra, tức  x  y    x 1  y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    3;3 Lời giải 3: Đưa tổng số không âm  xy  Điều kiện:   x  0, y  1 Thực nhân hai vế phương trình 1 với hai vế phương trình  2 với ta được: x  y  xy  x   y   10        x  xy  y  x   2.2 x    y   2.2 y      x y       2 x 1   y 1    x y  x    x 1    thỏa mãn điều kiện ban đầu y     y   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    3;3  x2   x   y 1  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:   x, y  R   y   y   y   Phân tích: Dễ dàng nhận hệ phương trình đối xứng loại II, có chứa thức phương pháp giải trừ tương ứng hai vế Khi ta có hai hướng xử lí thường gặp: Một nhân liên hợp để đưa dạng  x  y  f  x   , hai xác định hàm đặc trưng dùng tính đơn điệu hàm số để chứng minh f  x   f  y   x  y , sau khẳng định hàm đặc trưng đơn điệu Điều kiện x; y  , x  y  khơng nghiệm hệ phương trình nên ta xét x; y  Lấy 1     x2   y    Lời giải 1: Thực nhân liên hợp Ta có *  x2  y x2   y    x  y  * 3 x  y  0 x y   x y   x  y   0 x y  x2   y   x  y   Vì x y x2   y    0, x, y  x y Thay x=y vào (1) ta phương trình: x2   x  3 Đến phương trình (3), học sinh lớp 10 lớp 11 giải phương trình (3) theo cách sau:  u  x2  u  x    Đặt    u  v2  v  x   v  x  u  v  u   x2      x 1 Từ ta có hệ phương trình:  2 u  v  v   x  Thử lại ta thấy x  nghiệm phương trình (3) So với điều kiện kết luận hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   1;1 Đối với học sinh lớp 12 giải phương trình (3) theo cách sau: Xét hàm số f  x   x2   x  0;  ta có: f  x   x x2   x  0, x  , hàm số đồng biến khoảng  0;  Mặt khác f 1   VP  3 nên phương trình (3) có nghiệm x  So với điều kiện kết luận hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   1;1 Lời giải 2: Sử dụng tính đơn điệu hàm số *  x2   x  y   y  f  x   f  y  Xét hàm số f t   t   t  0;  , ta có; f  x  t t 3  t , t   0;   hàm số đồng biến khoảng  0;  Suy f  x   f  y   x  y , đến giải tương tự ta x  y  So với điều kiện kết luận hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   1;1 II Hệ phương trình đưa dạng tích số Giải hệ phương trình phép biến đởi dạng tích số dạng tốn thường gặp đề thi học sinh giỏi Trong kỹ thuật thường dùng q trình biến đởi là:  Kỹ thuật tách, ghép, nhóm dùng tam thức bậc 2( số biến thiên)  Kỹ thuật liên hợp  Kỹ thuật dùng phương pháp cộng 2 x2  y  3xy  3x  y   1 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  2 4x  y  x   x  y  x  y   Phân tích: Nhìn nhận thấy phương trình (1) có dạng tam thức bậc hai hai ẩn x, y nên từ ta có hướng giải tốn sau Hướng 1: Phân tích cụm đẳng cấp x2  y  3xy   x  y  2x  y  sau viết cụm cịn lại theo hai biểu thức này, tức x2  y  3xy  3x  y     x  y  2x  y    x  y    2x  y  1    x  y  2x  y  1   2x  y  1    2x  y  1 x  y  1  Hướng 2: Khi nhận phương trình (1) có dạng phương trình bậc hai ẩn x, nên ta biến đởi phương trình sau: 1  2x2  3 y  1 x  y  y    x  9 y 1  8 y 1   y 1  0, y 2 Suy phương trình có hai nghiệm x  y 1 , x  y 1 Từ hai hướng suy nghĩ dẫn đến lời giải hệ phương trình sau: Lời giải : Điều kiện 2x  y  0, x  y   y  2x  Ta có : 1   2x  y  1 x  y  1     y  x 1  Với y  2x  vào phương trình (2) ta phương trình:  3x  4x   9x   3 Nhận thấy phương trình  3 có nghiệm x  nên sử dụng kỹ thuật ghép số liên hợp ta có:  3x  4x   9x      4x     9x    3x  4x 9x   3x  4x   9x      x   3  9x     4x     x   y  (Vì    0, x   ) 4x   9x    Với y  x  vào phương trình  2 ta phương trình: 3x  x   3x   5x    Nhận thấy phương trình  4 có nghiệm x  nghiệm x  nên sử dụng kỹ thuật ghép ax  b liên hợp ta có: 13 b   b  a  b  a  b     a  b       2 2 b   b  2b  a  b    b2  4b   a     56  7x+y  7x  y  81  x    Suy  2x+y=25 2x+y    y  13    56 13  Thử lại ta thấy hệ phương trình cho có tập nghiệm S   x; y    ;   5 a  x  y   Lời giải 2: Đặt b  2x+y   c  5x+8  Khi hệ phương trình cho tương đương với hệ phương trình sau: a  b  a   7x  y   x  56      b    2x  y    2b  c  a  b   c c    y  13    5x     56 13  Thử lại ta thấy hệ phương trình cho có tập nghiệm S   x; y    ;   5 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:    2x  y  1 x   xy  x  x 1    x   xy  xy  x   x       Phân tích: Khi nhìn vào hệ phương trình mà khơng tìm mối liên hệ giữa hạng tử để đặt ẩn phụ cần hướng dẫn học sinh thực phép biến đổi làm xuất hạng tử giống hoặc có liên quan đến kỹ thuật đặt ẩn phụ Cụ thể ở chia hai vế phương trình 1 cho x chia hai vế phương trình  2 cho x ta nhận hạng tử giống ở hai phương trình 14 Lời giải: Điều kiện x, y  , ta thấy x  nghiệm hệ phương trình nên ta có:   x3  2x  y   y      8  2x  y  1 x   xy  x  x x        2   x   xy  xy  x   x   x    y   y  26  x   x          x3   y  1   2x  y  1  x       x   y   2x  y  12  x   Đặt a  2x  y, b  x3  y  hệ phương trình cho tương đương x   a  1 b  1   a  12  b , b  với hệ phương trình sau:   b  a  12 b  b  11b       a  a  12  b , b     b3 b  b  b          2x  y   y   2x a     x3  x3 Với   y 3    2x    3 b    x  x Giải phương trình Xét hàm số f  x   f  x    x3   2x   3 phương pháp hàm số x x3  3   2x  3, x   0;  ta có x  2 x  3   x   0;  nên hàm số f  x  nghịch biến 2x x3  2x  2  3  0;   2 15 Mặt khác ta thấy f 1  nên phương trình  3 có nghiệm x 1 y 1 So sánh với điều kiện thử lại ta thấy hệ phương trình cho có tập nghiệm S   x; y   1;1 Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: 2   x  y  xy  1  x, y  R   2   x  x   y  y   2 Phân tích: Nhìn vào phương trình  2 dễ thấy x, y độc lập ở vế nên nghĩ đến cách giải phương pháp hàm số, nhiên học sinh bị mắc khơng tìm hàm đặc trưng ở hai vế Nếu để ý ta biến đởi phương trình  2  x  y2   y  x2  , đến giải tiếp tốn theo hai hướng: Hướng 1: Đặt điều kiện bình phương hai vế tìm mối liên hệ giữa x, y sau sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Hướng 2: Sử dụng kỹ thuật liên hợp làm xuất nhân tử x2  y  1 sau kết hợp với phương trình 1 để đặt ẩn phụ giải hệ phương trình Lời giải: Điều kiện y  Ta có  2  x  y   y  x2    x2  ( y2  1) x  y2  x2  y  x  y2    y2  ( x2  1) y  x2  x2  y  y  x2  0   1   x2  y  1   0  x  y  y  x2     2 2  x  y    x  y  1 16   x  y  x  y   1 3 Đồng thời 1   x  y   3 x  y    4 2   x  y  x  y   1 Từ  3 ,   ta có hệ phương trình sau  2   x  y   3 x  y   Đến dễ dàng giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ, tức  a2  3b2  a   ,  a, b  0 a  x  y Đặt  ta có hệ phương trình   b b  x  y ab  1 3b  4b2    b   hoặc a  1   3 b  1 b  b   hoặc  hoặc   a  a   a    x  y  Suy  hoặc  x  y  1  x  y  1 hoặc  x  y   x  y  hoặc  x  y     x  y    x  y     3 x   x   x  x    3 Khi ta có  hoặc  hoặc  hoặc   y  1 y 1 x  y   x  y    3 So sánh với điều kiện y  thử lại hệ phương trình có tập nghiệm   3    S   x; y    0;1 ;  ;     3   IV Giải hệ phương trình phương pháp đánh giá Đối với dạng hệ phương trình giải phương pháp đánh giá, phạm vi kiến thức học sinh đội tuyển ôn thi học sinh giỏi có học sinh lớp 10 đến lớp 12, chủ yếu sử dụng hai phương pháp đánh giá là:  Phương pháp đánh giá hàm số 17  Phương pháp đánh giá cách sử dụng bất đẳng thức Tuy nhiên sử dụng phương pháp đánh giá cách có nhiều kỹ thuật hướng phân tích tốn, địi hỏi học sinh phải sáng tạo nhạy bén gặp hệ phương trình dạng phương pháp  2 y  y  x  x   x 1 Ví dụ 8: Giải hệ phương trình:  2    y  2x  y    Phân tích: Ở phương trình 1 chuyển vế rút  x làm nhân tử 1 có dạng bản, cụ thể ta có: 1  y3  y  3  2x  1 x   y3  y  2  x      1  x   y3  y   x   x Khi hai vế phương trình xuất hàm đặc trưng f  t   t  t hàm số đơn điệu R Lời giải: Điều kiện x  1,    x  y  y  2  x  1  y3  y  3  2x   3  y 2   y3  y   x   x  f  y   f   1 x  1  x   Xét hàm số f  t   t  t , t  R  f   t   6t   0, t  R Do hàm số f  t   t  t đồng biến R nên f  y  f    x  y   x   y   x,0  y  Thế vào phương trình  2 ta    4x   2x  6x   3 18 Đến thấy phương trình  3 dạng ax  b  cx +dx+e giải nhiều cách khác sử dụng kỹ thuật liên hợp, lũy thừa, đặt ẩn phụ hoặc biến đổi phương trình dạng A2  B Lời giải 1: Sử dụng kỹ thuật tách ghép liên hợp 4x   2x  6x  1  x2  4x+1   2x  3  4x      x  4x+1   x  4x+1  2x  3  4x  0     x  4x+1 1  0   2x  3  4x    x2  4x+1      1   5   2x  3  4x   x   Giải phương trình  4 : x  4x+1    thử lại vào phương trình  x    3 hai nghiệm khơng thỏa mãn Giải phương trình  5 :    4x    2x  2x  3  4x   1  2x  x     4x    4x  4x  4x  4x    x      x 1 x 1   x    Thử lại ta thấy x   thỏa mãn phương trình  3 ta có y   19 So sánh với điều kiện thử lại hệ phương trình cho có tập nghiệm   S   x; y    2; ;  2;   Lời giải 2: Sử dụng kỹ thuật lũy thừa hai vế biến đổi dạng tích 2x  6x   4x   2x  6x     x  6x  8x  2x   2x  6x   2x  6x       x  4x    x    y   2  x  4x  1 x  2x  1   x2  2x    So sánh với điều kiện thử lại hệ phương trình cho có tập nghiệm   S   x; y    2; ;  2;   Lời giải 3: Sử dụng kỹ thuật đặt ẩn phụ khơng hồn tồn  4 y  12 y   4x  Đặt: y   x     2x  6x   y   y  y   x   x2  y   x  y    x  3x   y y  x   x  y  x  y      y   x  Với y  x suy  3 4x   2x-3 : phương trình vơ nghiệm với x  0;   2  Với y   x suy  x  x    2x   2  x  2x    x      x 1  y   x 1   x   