Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z

Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ: Lý chọn đề tài: Toán học là một những môn khoa học bản mang tính trừu tượng, mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng Toán học là mợt mơn học giữ mợt vai trị quan trọng suốt bậc học phổ thông Tuy nhiên, nó là mợt mơn học khó, khơ khan và địi hỏi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, đối với giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học Để từ đó tìm những biện pháp dạy học có hiệu quả việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên Dạy học sinh học Toán nói chung, tính chất của dãy tỉ số nói riêng không là cung cấp những kiến thức bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách của mình Giải toán là một những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán Chính vì những lý trên, để đào tạo nên những học sinh giải thành thạo các dạng toán dãy tỉ số thì người giáo viên không đổi phương pháp dạy học lớp học cho học sinh lĩnh hội tri thức một cách chủ động thông qua các hình thức tổ chức dạy học dạy học theo nhóm, dạy học theo lớp để các em có điều kiện trao đổi kiến thức, học hỏi lẫn và có tinh thần đoàn kết tập thể Khi lớp giáo viên là người cố vấn, hướng dẫn, suy nghĩ đặt câu hỏi mợt cách có hệ thớng, S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z phù hợp với từng loại bài, từng đối tượng, kích thích học sinh phát huy hết khả tư duy, khao khát tiến tới thắc mắc để tìm vấn đề Từ đó học sinh hình thành và khắc sâu kiến thức một cách chủ động dễ nhớ và khó có thể phai mờ Không những vậy, giáo viên cần phải có phương pháp để hướng dẫn học sinh tự học nhà để tái lại những tri thức đã rút lớp cách giải bài tập và tìm lời giải, phát triển và mở rộng cho bài toán Buộc học sinh không những hoạt động tích cực lớp mà tích cực, ham mê giải toán nhà Từ đó giúp các em sẽ đạt kết quả cao học tập Trong những năm qua, được sự phân công của chuyên môn nhà trường, giảng dạy môn toán Trong những năm qua, qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán thấy phần kiến thức dãy tỉ số hết sức bản chương trình Đại số lớp Trong chương II, học đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch ta thấy tính chất của dãy tỉ số là một phương tiện quan trọng giúp ta giải toán những loại toán Trong phân môn Hình học, để học sinh giải được một số bài phần định lý Talet, tam giác đồng dạng ( Hình học lớp 8) thì thiếu kiến thức dãy tỉ số Mặt khác, học tính chất của dãy tỉ sớ cịn rèn tư cho học sinh rất tốt giúp các em có khả khai thác bài toán, lập bài toán Bên cạnh đó, tơi nhận thấy học sinh cịn nhiều vướng mắc giải bài các dạng toán vè tính chất của dãy tỉ số Đa số học sinh giải thiếu logic, chặt chẽ, thiếu trường hợp Lý bản là các em vận dụng tính chất của dãy tỉ số nhau, tính chất bản của phân số chưa Các em chưa phân biệt được các dạng toán và áp dụng tương tự vào bài toán khác Mặt khác nội dung kiến thức lớp những dạng này để áp dụng cịn hạn chế nên khơng thể đưa đầy đủ các phương pháp giải một cách có hệ thống và phong phú được Mặc dù chương trình sách giáo khoa xếp rất hệ thống và logic, có lợi thế dạy học đặt vấn đề dạng toán này Chính vì vậy, để khắc phục cho học sinh những sai lầm giải bài toán dãy tỉ số Bản thân đã nhiều năm suy nghĩ, tìm tịi và áp dụng vào giảng S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z dạy thấy có hiệu quả cao Do đó, mạnh dạn nghiên cứu chuyên đề “Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z” với mục đích giúp cho học sinh tự tin làm toán Mục đích, nhiệm vụ đối tượng nghiên cứu: a Mục đích nghiên cứu: Thực mục tiêu giáo dục: “Nâng cao dân trí – Đào tạo nhân lực – Bồi dưỡng nhân tài” góp phần đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục, yêu cầu của công cuộc CNH - HĐH đất nước phù hợp với nội dung của Hội nghị lần thứ ban chấp hành trung ương Đảng khóa IX “Phát triển quy mơ giáo dục đại trà mũi nhọn” Sau nhận thấy những tồn phương pháp học, cách tiếp thu bài của học sinh lớp 7A và 7E, đã sâu nghiên cứu, khảo sát thực trạng học tập các em Thông qua đó đã tìm biện pháp khắc phục những tồn để hướng tới cho học sinh cách học tập có hiệu quả b Nhiệm vụ nghiên cứu: Trong quá trình công tác, bản thân không ngừng học tập, nghiên cứu và vận dụng lý luận đổi vào thực tế giảng dạy của mình Trong thời gian qua, được sự cộng tác của đồng nghiệp và sự đạo kịp thời của Ban giám hiệu nhà trường, đã tiến hành nghiên cứu và vận dụng quan điểm vào công tác giảng dạy của mình và thấy đạt hiệu quả khá cao - Nghiên cứu nội dung, chương trình và sách giáo khoa, sách tham khảo Toán 7, đó những phần liên quan đến cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số - Tìm hiểu sở thực tế thực trạng giảng dạy cho phù hợp với đối tượng học sinh - Nghiên cứu sở lý luận việc học toán và dạy toán c Đối tượng phạm vi nghiên cứu: S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng toán tìm số x, y z Về khách quan cho thấy lực học toán của học sinh rất nhiều thiếu sót đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập, tỷ lệ học sinh yếu cao Tình trạng phổ biến của học sinh là làm toán không chịu nghiên cứu kỹ bài toán, không chịu khai thác và huy động kiến thức để làm toán Trong quá trình giải thì suy luận thiếu cứ, trình bày cẩu thả, tùy tiện Trên sở nghiên cứu lý luận, chương trình số học lớp 7, xây dựng cách giải bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số Phương pháp nghiên cứu: Thông qua bài kiểm tra những năm học trước, kiểm tra vấn đáp những kiến thức bản, trọng tâm mà các em đã được học Qua đó giúp nắm được những ''lỗ hổng” kiến thức của các em tìm hiểu nguyên nhân và lập kế hoạch khắc phục Trong quá trình dạy học giải toán, giáo viên phải biết hướng dẫn, tổ chức cho học sinh tìm hiểu vấn đề, phát và phân tích mối quan hệ giữa các kiến thức đã học một bài toán để từ đó tìm được cho mình phương pháp giải quyết vấn đề tốt Chỉ quá trình giải toán thì tiềm sáng tạo của học sinh được bộc lộ và phát huy hết Các em có được thói quen nhìn nhận một sự kiện những góc độ khác nhau, biết đặt nhiều giả thiết lý giải một vấn đề, biết đề xuất những giải pháp khác xử lý một tình huống Phương pháp thống kê, khảo sát thực tế Phương pháp giao tiếp: Tìm hiểu học sinh việc nắm bắt kiến thức các em theo từng lớp Phương pháp so sánh đối chiếu, soạn giáo án dạy thực nghiệm vài tiết để so sánh chất lượng đạt hiệu quả thế nào? Phần thứ hai: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN Ở nước ta việc dạy học Toán nói chung và bồi dưỡng nhân tài nói riêng được trọng từ dựng nước vì Thân Nhân Trung đã nói “ Hiền tài nguyên khí quốc gia, nguyên khí thịnh nước lên nguyên khí suy nước xuống ” Trong bài phát biểu bế mạc Hội nghị lần thứ VI Ban Chấp hành Trung ương Đảng khoá XI, ngày 15 tháng 10 năm 2012, Tổng Bí thư Nguyễn Phú Trọng cho biết: “Ban Chấp hành Trung ương tiếp tục khẳng định, phát triển khoa học công nghệ quốc sách hàng đầu, động lực quan trọng nghiệp cơng nghiệp hố, đại hố” Nghị qút TW VIII "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học Bồi dưỡng lực tự học, lòng say mê học tập ý chí vươn lên" Ở nước ta cũng hầu hết các nước Thế giới, vấn đề dạy học và chất lượng dạy học nói chung, dạy học Toán nói riêng ngày càng trở thành mối quan tâm hàng đầu của toàn xã hội Như với kết luận “Phát triển quy mô giáo dục đại trà mũi nhọn” (Trích kết luận Hội nghị lần thứ Ban chấp hành Trung ương Đảng khóa 9) thì giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu là một những động lực quan trọng thúc đẩy sự nghiệp CNH–HĐH đất nước, là điều kiện phát huy nguồn lực người Đây là trách nhiệm của toàn Đảng, toàn dân đó nhà giáo và cán bợ giáo dục là lực lượng nịng cớt có vai trị quan trọng Hiện với các nhà trường thuộc các cấp học bên cạnh việc trọng nâng cao chất lượng giáo dục đại trà quan tâm mức đến chất lượng giáo dục mũi nhọn Đó là công tác phát và bồi dưỡng học sinh giỏi các bộ môn, đó có bợ mơn Toán Và cịn có khả to lớn việc bồi dưỡng học sinh thế giới quan khoa học và những quan điểm nhận thức đắn, khả hình thành cho học sinh nhân cách người xã hợi S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi nay, giáo viên cần giúp học sinh chuyển từ thói quen có các em đó là “Thầy đọc, trị chép”,“Thầy nói, trị ngồi nghe” sang thói quen chủ động Để đạt được mục tiêu của bài dạy theo hướng tích cực giáo viên cần cho học sinh cách học, biết cách suy luận, biết cách xâu chuỗi kiến thức, biết tìm tòi để phát kiến thức Học sinh cần được rèn luyện thao tác tư cao phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, quy những điều lạ thành điều quen Việc nắm vững các phương pháp nói tạo điều kiện cho học sinh có thể đọc hiểu được nội dung của bài toán, tự làm được bài tập, nắm vững và hiểu sâu các kiến thức bản Đồng thời phát huy được tiềm sáng tạo của bản thân và từ đó học sinh thấy được niềm vui học tập, giúp các em tìm hiểu nhiều, càng khám phá nhiều thì việc học tập các em sẽ đạt kết quả khả quan S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z Chương II: THỰC TRẠNG KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP Đặc điểm tình hình: Trường tơi được thành lập vào ngày 23 tháng 08 năm 2005, mặc dầu là một trường có thời gian thành lập chưa lâu so với các trường bạn huyện Song sự đạo, quan tâm của Phòng Giáo dục và Đào tạo, sự lãnh đạo sát sao, sáng tạo của Ban giám hiệu nhà trường đã tạo được thương hiệu cho trường của mình việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi trường có những thuận lợi và khó khăn sau : Thuận lợi: - Nhà trường có lực lượng giáo viên giảng dạy bộ môn Toán tương đối đầy đủ, đạt trình độ chuẩn, giáo viên trẻ khỏe, nhiệt tình có trách nhiệm cao công tác - Hầu hết giáo viên có có nhiều kinh nghiệm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, có bề dày thành tích công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm liền có học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh - Có lực chuyên môn, phương pháp dạy tốt - Được sự quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ của các cấp lãnh đạo: Ban giám hiệu nhà trường tổ chuyên môn, ủng hộ của bạn bè đồng nghiệp - Học sinh ngoan có ý thức phấn đấu, quyết tâm Khó khăn: a Đối với nhà trường: Mợt sớ phụ huynh chưa có sự quan tâm đến việc học hành của cái, để các em tự ngoài giờ lên lớp dẫn đến tình trạng mê trò chơi điện tử Điều đó có ảnh hưởng lớn đến thái độ học tập của các em và chất lượng giảng dạy của giáo viên Ia Grai là huyện biên giới nằm địa bàn Tây Nguyên được thiên nhiên ưu đãi nhiều mặt Song trình độ dân trí chưa đồng đều, tình hình kinh tế xã hội của tỉnh chưa tương xứng với tiềm mà thiên nhiên ban tặng S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 7 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z b Đối với học sinh: Nhà trường đã chọn lọc những học sinh khá, giỏi lập thành mợt lớp, các lớp cịn lại là đối tượng học sinh đại trà Bởi vậy, việc học tập của các em gặp không ít khó khăn - Một số học sinh chưa có sự ham mê học toán, vẫn lười học, coi việc giải toán là một gắng lặng đó chưa biết cách giải toán bên cạnh đó cũng có một số học sinh mặc dù chăm học, nắm được kiến thức bài học nắm kiến thức một cách mờ nhạt nên không biết cách làm bài tập hoặc có làm được thì lại làm sai - Chưa đọc kỹ đề bài, chưa hiểu rõ bài toán đã lao vào giải Bởi vậy, làm thì không biết bắt đầu từ đâu, gặp khó khăn thì không biết làm cách nào để tháo gỡ - Không chịu đề cập bài toán theo nhiều cách khác nhau, không chịu nghiên cứu, khảo sát kỹ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết của bài toán theo nhiều cách, không sử dụng hết các dữ kiện bài toán - Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp suy luận giải Toán, vận dụng một cách máy móc thiếu linh hoạt - Không chịu kiểm tra lại lời giải tìm được, có thể tính toán nhầm hay vận dụng kiến thức một cách nhầm lẫn, không biết cách sửa lại - Không chịu suy nghĩ tìm các cách giải khác cho một bài toán hay mở rộng bài Toán Do đó học sinh bị hạn chế việc rèn luyện lực giải Toán Vì vậy, sau một thời gian giảng dạy trường trăn trở, suy nghĩ là làm thế nào để các em nắm bắt kiến thức Toán một cách có hệ thống nhằm giúp các em phần nào yêu thích học môn Toán nhiều để làm tảng mai này các em có điều kiện học cao S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z Chương III: NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA ĐỀ TÀI Lý thuyết: * Tính chất dãy tỉ số thức nhau: Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức a c a a+c = suy các tỉ lệ thức sau: = = b d b b+d a −c , (b ≠ ± d) b−d Tính chất 2: Từ a c e a a +c+e a −c+e = = suy = = (giả thiết các b d f b b+d+f b−d+f tỉ số có nghĩa) Tính chất 3: Khi có dãy tỉ số a b c = = , ta nói các số a; b; c tỉ lệ với các số 2; 3; ta cũng viết a:b:c = 2:3:5 và ngược lại 2.Chú ý: Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức Do đó, từ tỉ lệ thức a c = b d 2 a c a c suy  ÷ =  ÷ = ; b d b d a c k = k ( k ≠ ) ; b d 3 k1a k 2c a c e a c e a c e       = (k1 ,k ≠ 0) ; từ = = suy  ÷ =  ÷ =  ÷ = × × ; k1b k 2d b d f b d f  b d f a c e ữ = ì b d f Qua vic giải các bài tập đa dạng và phong phú các em đã nắm chắn và giải các bài toán áp dụng tính chất của dãy tỉ số Biến đổi từ một tỉ lệ thức một tỉ lệ thức rất linh hoạt Thông qua việc giảng dạy học sinh xin đưa một số dạng bài tập sau: Các dạng tập: S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z Dạng Tìm x, y, biết x y = và x + y = m Trong đó a + b ≠ và a; b và a b m là các số cho trước Phương pháp: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số ta dễ dàng tính được x; y Bài tập 1: Tìm x; y biết x y = và x + y = – 70 Giải: Đặt vấn đề: Làm thế nào để giải được bài toán trên? ? Em hãy nhắc lại tính chất của dãy tỉ số nhau? Áp dụng tích chất của dãy tỉ số nhau, ta có: x y x + y −70 = = = = −5 + 14 Do đó: x = −5 Suy ra: x = –25 y = −5 Suy ra: y = – 45 Vậy: x = –25 và y = – 45 Bài tập 2: Tìm x; y biết x −3 = và x – y = – y Bài này đã thuộc dạng chưa? Làm thế nào đưa được dạng trên? Từ x −3 x y = = Từ đó ta sẽ tính được x = –0,6 và y = 1,4 suy y −3 Bài tập 3: Tìm x; y biết 5x = 9y và x – y = 20 Làm thế nào đưa đẳng thức dãy tỉ số nhau? Hướng dẫn học sinh đưa bài toán dạng bài toán giải Từ đó ta sẽ tính được x = 45 và y = 25 Dạng 2: Tìm nhiều số chưa biết a) Xét bài toán bản thường gặp sau: S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 10 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z ? Em hãy nhắc lại tính chất bản của phân số Từ x y z x y z 2y 3z x − 2y + 3z 35 = = ta suy = = = = = = = 3,5 5 15 − + 15 10 Do đó: x = 3,5 ⇒ x = 3.3,5 = 10,5 y = 3,5 ⇒ y= 4.3,5 = 14 z = 3,5 ⇒ z = 5.3,5 = 17,5 Dạng Tìm x; y; z biết x y y z = ; = và x + y + z = m Điều kiện a; a b c d b; c; d ≠ Phương pháp: - Tìm BCNN(b; c) - Chia BCNN(b; c) lần lượt cho b; c Giả sử BCNN ( b; c ) = k; b BCNN ( b; c ) = k1 b - Nhân vế của x y y z = và = lần lượt với và Ta được: k1 a b c d k y z x y z x y = = = = ; (Với bk = ck1) Từ đó ta suy được: ak bk dk1 ak bk ck1 dk1 - Áp dụng tính chất của dãy tỉ số ta tìm được các giá trị cần tìm Bài tập 1: Tìm x; y; z cho: x y y z = và = và x + y − z = 69 Giải: Đưa bài này dạng bài cách nào? Hãy nêu phương pháp giải (BCNN (6; 8)=?) S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 13 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z Ta có: x y x y = ⇒ = 20 24 y z y z = ⇒ = 24 21 x y z = = 20 24 21 Sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số ta tính được: x = 60; y ⇒ = 72; z = 63 Bài tập 2: Tìm x; y; z biết 2x = 3y = 5z (1) và x + y – z = 95 (*) Làm thế nào đưa bài toán dạng 2? Cách 1: Từ 2x = 3y ⇒ 3y = 5z ⇒ x y = ; y z = Đưa cách giải giớng bài tập và cách này dài dịng Cách 2: + Nếu có tỷ lệ của x; y; z tương ứng ta sẽ giải được (*) + Làm thế nào để (1) cho ta (*) + Hướng dẫn học sinh cách giải dạng toán này là ta tìm BCNN của các mẫu Sau đó chia các tích cho BCNN ta được dãy tỉ số + Cụ thể, chia cả hai vế của (1) cho BCNN (2; 3; 5) = 30 2x 3y 5z x y z x + y − z 95 = = = = = = = =5 30 30 30 15 10 15 + 10 − 19 Từ đó ta giải được: x = 75; y = 50; z = 30 2x = 3y = 5z ⇒ Bài tập 3: Tìm x; y; z biết: x = y = z ( 1) và x – y = 15 Giải: Theo em, làm thế nào giải được bài toán này? BCNN(1; 2; 3) = S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 14 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z x y z x − y 15 = = = = =5 12 12 − Từ đó ta giải được: x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40 Chia các vế của (1) cho ta được: Bài tập 4: Tìm x; y; z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27 * Hướng dẫn: Bài toán thuộc cả dạng toán và Do đó, việc đầu tiên từ đẳng thức em đưa tỉ lệ thức Từ tỉ lệ thức em đưa dãy tỉ số giải Giải: x y = x z Từ 4x = 2z ⇒ = x y z = = sau đó giải dạng Suy Từ 3x = 2y ⇒ Bài tập 5: Tìm x; y; z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = –21 * Hướng dẫn: Bài toán này việc đầu tiên em tìm BCNN(6; 4; 3) Sau đó em chia các vế cho BCNN đó đưa dãy tỉ số băng giải Giải: Từ 6x = 4y = 3z ⇒ 6x 4y 3z x y z = = ⇒ = = 12 12 12 Sau đó giải tiếp bài tập Bài tập 6: Tìm các số x; y; z biết 6x − 3z 4y − 6x 3z − 4y = = và 2x +3y – 5z = –21 Giải: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số ta có: 6x − 3z 4y − 6x 3z − 4y 6x − 3z + 4y − 6x + 3z − 4y = = = =0 5+7+9 ⇒ 6x = 3z; 4y = 6z; 3z = 4y Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp bài tập Bài tập 4: Tìm x; y; z biết: a) x −1 y − z − = = ( 1) và x + y +z = 24 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 15 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z 2x y z = = ( ) và 2x – y + 3z = 95 Giải: b) a) Với giả thiết phần a) ta có cách giải tương tự bài nào? Từ (1) ta có: x − y − z − ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = = = 1+ + = Do đó: x + y + z − 18 = =3 6 x −1 = 3⇒ x = y−2 = 3⇒ y =8 z −3 = ⇒ z = 12 2x y z = = ( ) 2x – y + 3z = 95 Đối với câu b) tử số các tỉ số khác Liệu ta có tìm BCNN của các b) mẫu các bài trước không? Hướng dẫn học sinh từ (2) để đến kết quả: 2x y z 2x − y + 3z 95 = = = = =5 − + 18 Do đó, 2x = 5.3=15 ⇔ x = 15 ; y = 5.2=10; z = 5.6=30 Ngoài cách đó ra, ta cũng có thể tìm BCNN không tìm BCNN của các mẫu mà ta tìm BCNN của các tử chia các vế cho BCNN đó Tóm lại, với dạng toán Nếu tử các tỉ số thì ta tìm BCNN của các mẫu chia các vế cho BCNN đó Tiếp theo ta áp dụng tính chất của dãy tỉ số sẽ tìm được kết quả bài toán Nếu tử các tỉ số khác thì ta có thể tìm BCNN của các tử hoặc các mẫu thực tương tự Dạng Tìm x; y biết x y = và x.y = m Điều kiện a và b ≠ a b S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 16 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z Phương pháp: - Đặt x y = = k Suy ra: x = a.k; y = b.k a b - Do đó: x.y = (a.k).(b.k)=a.b.k2=m - Suy ra: k = ± m ab - Xét hai trường hợp của k ta tìm được x và y Bài tập 1: Tìm x; y biết rằng: a) x y = và xy = 240 (2) x y = và x + y = (x, y > 0) Giải: ? Làm thế nào xuất xy để sử dụng giả thiết x y a) Đặt = = k Ta có: x = 3k; y = 5k Theo giả thiết, ta có: xy=240 Hay (3k).(5k) = 240 b) Suy ra: k2 = 16 ⇒ k = ± Với k = thì x = 3k = 12 và y = 5k = 20 Với k = – thì x = 3k = –12 và y = 5k = –20 Vậy: x = 12 và y = 20 hoặc x = –12 và y = –20 *Chú ý: Ở đây, học sinh thường mắc sai lầm suy k = mà phải suy k= ± Ngoài cách giải ta có thể giải bài toán cách khác sau: x y x x y x x xy 240 = ⇒ = ⇒ = = = 16 3 15 15 Hay: x = 9.16 = ( 3.4 ) = 122 = ( −12 ) ⇒ x = ±12 2 Thay vào (2) ta được: x = 12 ⇒ y = 240 = 20 12 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 17 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z x = −12 ⇒ y = 240 = −20 −12 Vậy: x = 12 và y = 20 hoặc x = –12 và y = –20 x y x y2 x − y2 ⇒ = = = = b) = 25 25 − 16 ⇒ x2 = 25 ⇒x=± ⇒ y2 = ⇒x=± Đối với câu b) giải theo cách khác cũng tương tự câu a) Bài tập 2: Tìm x, y, z biết rằng: x y z = = và xyz = 810 Giải: Cách 1: x y z = = =k Suy ra: x = 2k; y = 3k; z = 5k Đặt Do đó: xyz = 2k.3k.5k = 30k3 Hay: 30k3 = 810 ⇒ k3 = 27 ⇒ k = ⇒ x = 2k = 2.3 = y = 3k = 3.3 = z = 5k = 3.5 = 15 Cách 2: x y z x x x x y z xyz = = ⇒ × × = × × = 2 2 30 x3  x  810 ⇒ ÷ = = 27 ⇒ = 27 30   ⇒ x = 8.27 = 23.33 = ( 2.3) S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 18 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z ⇒x=6 Mà và x y x.3 3.6 = ⇒y= = =9 2 y z y.5 9.5 = ⇒z= = = 15 3 Bài tập Tìm x; y; z biết x y z = = và 2x + 3y − 5z = −405 Giải: Cách 1: Đặt Cách 2: Từ x y z = = =k x y z = = x y2 z2 Suy ra: = = 16 2x 3y 5z ⇒ = = 27 90 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số ta có: 2x 3y 5z 2x + 3y − 5z −405 = = = = =9 27 90 + 27 − 90 −45 x2 Do đó: = ⇒ x = 36 ⇒ x = ±6 y = ⇒ y = 81 ⇒ y = ±9 z2 = ⇒ z = 144 ⇒ z = ±12 16 Vậy x = 6; y = 9; z = 12 hoặc x = –6; y = –9; z = –12 Dạng 5: Toán chia tỉ lệ Phương pháp giải Bước 1: Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết Bước 2: Thành lập dãy tỉ số và các điều kiện Bước 3: Tìm các số hạng chưa biết Bước 4: Kết luận S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 19 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z *Bài tập điển hình: Bài tập 1:(Bài 76 SBT-Tr14): Tính đợ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2; 4; Giải: Gọi độ dài cạnh của tam giác là a; b; c (cm) (a; b; c > ) Vì chu vi của tam giác 22 nên ta có a + b + c = 22 Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 4; nên ta có a b c = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c a + b + c 22 = = = = =2 + + 11 a Do đó: = Suy ra: a = b = Suy ra: b = c = Suy ra: c = 10 Thử lại các giá trị ta thấy thoả mãn Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm, 8cm, 10cm Có thể thay điều kiện (2) sau: Biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất Khi đó ta có được c – a = Bài tập 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C tham gia lao động trồng cây, số lớp trồng được tỉ lệ với các số 2; 4; và lần số của lớp 7A cộng với lần số của lớp 7B thì số của lớp 7C là 119 Tính số lớp trồng được Giải: Gọi số trồng được của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là a; b; c (cây) (a; b; c∈ ¥ * ) Theo bài ta có a b c 2a 4b c 2a + 4b − c 119 = = = = = = = =7 16 + 16 − 17 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 20 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z Do đó: a = ⇒ a = 21 b = ⇒ b = 28 c = ⇒ c = 35 Thử lại các giá trị ta thấy thoả mãn Vậy số trồng được của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 21 cây, 28 cây, 35 Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7; 8; chuyển được 912 m đất, trung bình học sinh khối 7; 8; theo thứ tự làm được 1,2 m 3; 1,4 m3; 1,6 m3 Số học sinh khối và khối tỉ lệ với và 3; số học sinh khối và khố tỉ lệ với và Tính số học sinh của khối Giải: Gọi số học sinh của khối 7; 8; lần lượt là x; y; z (học sinh)( x; y; z là số nguyên dương) Số đất khối chuyển được là 1,2x Số đất khối chuyển được là 1,4y Số đất khối chuyển được là 1,6z Theo bài, ta có x y y z = ; = Và 1,2x + 1,4y + 1,6z = 912 Giải ta được x = 80, y = 240, z = 300 Thử lại các giá ta thấy thoả mãn Vậy số học sinh của khối 7; 8; lần lượt là 80 học sinh, 240 học sinh, 300 học sinh S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 21 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z Bài tập 4: Tổng các lũy thừa bậc ba của ba số là –1009 Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là ; giữa số thứ hai và số thứ ba là Tìm ba số đó? Giải: Gọi x; y; z là ba số cần tìm Ta có: x + y3 + z = −1009 và Từ: x x y x y x x z = ⇒ = ⇒ = và = ⇒ = y 3 z 9 Suy ra: Đặt x x = ; = y z x y z = = x y z = = = k ⇒ x = 4k, y = 6k,z = 9k Do đó: x + y3 + z3 = ( 4k ) + ( 6k ) + ( 9k ) 3 = 64k + 216k + 729k = 1009k = −1009 Nên: k = −1 ⇒ k = −1 Suy ra: x = −1.4 = −4 ; y = −1.6 = −6 ; z = −1.9 = −9 Vậy: x = – 4; y = – 6; z = – Kết đạt được: Qua một thời gian thực thấy không khí giờ học thay đổi, các em có hứng thú học tập, việc trao đổi tranh luận sôi nổi, mạnh dạn trình bày ý kiến của mình trước lớp Bản thân sau nghiên cứu xong đề tài này đã thấp mình hiểu sâu sắc tỷ lệ thức và dãy tỷ số Tôi giảng dạy chuyên đề này cho đối tượng học sinh trung bình, khá, giỏi, tuỳ từng đối tượng mà chọn bài cho phù hợp thì thấy đa số các em tiếp thu nội dung chuyên đề một cách dề dàng, các em rất hứng thu tự mình có thể lập các bài toán Chất lượng bài giảng và khả giải bài tập loại này được nâng cao rõ rệt Cụ thể qua lần khảo sát lần thứ hai sau: S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 22 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z Lớp/Sĩ sớ học Giỏi Số Tỷ lệ lượng sinh 7A/43 18 42% 7E/36 17% Qua đề tài này Khá Số Tỷ Trung bình Yếu Kém Số Số Tỷ Số Tỷ Tỷ lệ lượng lệ lượng lượng lệ lượng lệ 19 44% 14% 0% 0% 11 31% 17 47% 6% 0% nhận thấy muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng một vấn đề nào đó trước hết người thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc vì người thầy phải học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, không ngừng nâng cao trình độ cho bản thân Phần thứ ba: KẾT LUẬN Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép rút một số kinh nghiệm sau: Đối với học sinh: Cần có một quá trình liên tục được củng cố và sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện các kỹ để học sinh có khả nắm được phương pháp, vận dụng tốt các phương pháp phân tích bản vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, từ đơn giản đến phức tạp Giáo viên cần ý cho học sinh nắm các phương pháp bản, kỹ biến đổi, kỹ suy luận, kỹ thực hành và việc vận dụng từng phương pháp đa dạng vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi sự say mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tịi, chủ đợng chiếm lĩnh kiến thức Ngoài việc nắm các phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác, các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải toán ngày một tốt tốt Qua đó tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 23 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z toán khác nhằm phát triển tư một cách toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em Đối với giáo viên: Thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng của học sinh quá trình cung cấp các thông tin có liên quan chương trình đã đề cập Giáo viên phải định hướng và vạch những dạng toán mà học sinh phải liên hệ và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đã đề cập, giúp học sinh nắm vững các dạng toán và được rèn luyện những kỹ phân tích một cách tường minh dạng bài tập để tìm hướng giải sau đó biết áp dụng và phát triển nhanh các bài tập tổng hợp, kỹ vận dụng kiến thức đã học giải toán một cách thành thạo Đồng thời tạo điều kiện để học sinh được phát triển tư một cách toàn diện, gợi sự say mê hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo, kích thích và khơi dậy khả tự học của học sinh, chủ động học tập và học toán Để học sinh học tốt, qua đó có điều kiện nâng cao kiến thức của mình trước tiên giáo viên phải giúp các em nắm vững những kiến thức bản một cách có hệ thống Làm tốt được điều đó người giáo viên phải thường xuyên trau dồi kiến thức, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp, xây dựng kế hoạch giảng dạy khoa học sở hiểu rõ đối tượng học sinh Đặc biệt phải hiểu rõ mục tiêu của việc đổi phương pháp dạy học Khi nghiên cứu đề tài này thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất có hiệu quả, học sinh dễ hiểu và hứng thú quá trình tiếp thu kiến thức, các em đã biết khai thác sâu bài toán, biết tự đặt các bài toán mới, tránh được những sai lầm mà mình hay mắc phải Do đó, chất lượng bài kiểm tra cũng bài tập của học sinh được nâng cao, theo không hoàn toàn là việc áp dụng đề tài này vào bài giảng, song chính những tác động này làm cho các em thay đổi rất nhiều cách suy nghĩ, cách làm việc một cách chủ động tích cực nó tác động trực tiếp đến chất lượng giải loại toán Quan trọng là đã góp phần giúp học sinh tiếp cận gần với công cuộc đổi khoa học kỹ thuật S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 24 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z thời đại mới, thời đại của những người động dám nghĩ dám làm Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của Ban Giám hiệu trường, của đồng nghiệp để giúp hoàn thành đề tài Trong trình bày đề tài của mình sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, kính mong quý đồng nghiệp góp ý để bản thân dần dần được hoàn thiện lực chuyên môn của mình.Xin chân thành cảm ơn ! Ia Grai, ngày 04 tháng 01 năm 2019 XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG Người viết Phạm Thanh Thuận S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 25 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z MỤC LỤC  Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ trang 1 Lý chọn đề tài trang Mục đích, nhiệm vụ đối tượng nghiên cứu trang a Mục đích nghiên cứu trang b Nhiệm vụ nghiên cứu trang c Đối tượng phạm vi nghiên cứu trang Phương pháp nghiên cứu trang Phần thứ hai: NỘI DUNG .trang Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN trang Chương II: THỰC TRẠNG KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP……………………………………………………………… trang Đặc điểm tình hình trang Thuận lợi trang Khó khăn trang a Đối với nhà trường trang b Đối với học sinh trang Chương III NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA ĐỀ TÀI trang Lý thuyết trang Chú ý trang Các dạng tập trang Kết đạt trang 22 Phần thứ ba: KẾT LUẬN .trang 23 Đối với học sinh trang 23 Đối với giáo viên trang 23 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 26 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z TÀI LIỆU THAM KHẢO -Vũ Hữu Bình, Toán nâng cao Đại số 7, NXB Đà Nẵng, 2001 -Võ Đại Mau, Bài tập Toán nâng cao Đại số 7, NXB Đại học sư phạm, 2003 -Tôn Thân (Chủ biên)-Nguyễn Anh Hoàng-Huỳnh Quang Lâu- Nguyễn Đức Tấn-Nguyễn Vũ Thanh-Nguyễn Đoàn Vũ, Bài tập Toán nâng cao Toán 7, tập 1, NXB Giáo dục, 2011 -Nguyễn Vĩnh Cận, Toán Đại số nâng cao THCS 7, NXB Đại học sư phạm, 2003 -Vũ Ngọc Đạm – Vũ Dương Thụy, Ôn tập Đại số 7, NXB Giáo dục, 2003 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 27 ... To¸n Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất d? ?y tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z d? ?y thâ? ?y có hiệu quả cao Do đó, mạnh dạn nghiên cứu chuyên đề ? ?Hướng dẫn học sinh lớp biết cách. .. Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất d? ?y tỉ số để giải dạng toán tìm số x, y z ? Em ha? ?y nhắc lại tính chất bản của phân số Từ x y z x y z 2y 3z x − 2y + 3z 35 = = ta suy... Tìm x; y; z biết: a) x −1 y − z − = = ( 1) và x + y +z = 24 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 15 Hướng dẫn học sinh lớp biết cách vận dụng tính chất d? ?y tỉ số để giải dạng tốn tìm số x, y z 2x y z =