Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 7: Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z nhằm khắc phục cho học sinh những sai lầm khi giải bài toán về dãy tỉ số bằng nhau; giúp các em có những phương pháp học tập hiệu quả hơn.

Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z Phần thứ nhất:  ĐẶT VẤN ĐỀ: 1. Ly do chon đê tai ́ ̣ ̀ ̀: Toan hoc la mơt trong nh ́ ̣ ̀ ̣ ưng môn khoa hoc c ̃ ̣  ban mang tinh tr ̉ ́ ưù   tượng, nhưng mô hinh  ̀ ưng dung cua no rât rông rai va gân gui trong moi ́ ̣ ̉ ́ ́ ̣ ̃ ̀ ̀ ̃ ̣  linh v ̃ ực cua đ ̉ ơi sông xa hôi, trong khoa hoc li thuyêt va khoa hoc  ̀ ́ ̃ ̣ ̣ ́ ́ ̀ ̣ ứng dung ̣   Tốn học là một mơn học giữ  một vai trị quan trọng trong suốt bậc học  phổ  thơng. Tuy nhiên, nó là một mơn học khó, khơ khan và địi hỏi   mỗi  học sinh phải có một sự  nỗ  lực rất lớn để  chiếm lĩnh những tri thức cho   mình. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy tốn việc tìm hiểu cấu trúc   của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp  dạy học. Để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc   truyền thụ các kiến thức Tốn học cho học sinh là cơng việc cần phải làm  thường xun Day hoc sinh hoc Toan  ̣ ̣ ̣ ́ nói chung, tính chất của dãy tỉ  số  bằng nhau  nói riêng khơng chi la cung câp nh ̉ ̀ ́ ưng kiên th ̃ ́ ức cơ  ban, day hoc sinh giai ̉ ̣ ̣ ̉  bai tâp sach giao khoa, sach tham khao ma điêu quan trong la hinh thanh cho ̀ ̣ ́ ́ ́ ̉ ̀ ̀ ̣ ̀ ̀ ̀   hoc sinh ph ̣ ương phap chung đê giai cac dang toan, t ́ ̉ ̉ ́ ̣ ́ ừ đo giup cac em tich ́ ́ ́ ́   cực hoat đông, đôc lâp sang tao đê dân hoan thiên ki năng, ki xao, hoan thiên ̣ ̣ ̣ ̣ ́ ̣ ̉ ̀ ̀ ̣ ̃ ̃ ̉ ̀ ̣   nhân cach ́  của mình Giai toan la mơt trong nh ̉ ́ ̀ ̣ ưng vân đê trung tâm  ̃ ́ ̀ của phương phap giang ́ ̉   day, b ̣ ởi le viêc giai toan la môt viêc ma ng ̃ ̣ ̉ ́ ̀ ̣ ̣ ̀ ươi hoc lân ng ̀ ̣ ̃ ười day th ̣ ương ̀   xuyên phai lam, đăc biêt la đôi v ̉ ̀ ̣ ̣ ̀ ́ ơi nh ́ ưng hoc sinh bâc THCS thi viêc giai ̃ ̣ ̣ ̀ ̣ ̉  toan la hinh th ́ ̀ ̀ ức chu yêu cua viêc hoc toan ̉ ́ ̉ ̣ ̣ ́ Chính vì những lý do trên, để  đào tạo nên những học sinh giải thành  thạo các dạng tốn về  dãy tỉ  số  bằng nhau thì người giáo viên khơng chỉ  đổi mới phương pháp dạy học  ở trên lớp học sao cho học sinh lĩnh hội tri  thức một cách chủ động thơng qua các hình thức tổ chức dạy học như dạy   S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z học theo nhóm, dạy học theo lớp để  các em có điều kiện trao đổi kiến  thức, học hỏi lẫn nhau và có tinh thần đồn kết trong tập thể. Khi   trên  lớp giáo viên chỉ  là người cố  vấn, hướng dẫn, suy nghĩ đặt câu hỏi một   cách có hệ  thống, phù hợp với từng loại bài, từng đối tượng, kích thích   học sinh phát huy hết khả năng tư duy, khao khát tiến tới thắc mắc để tìm   ra vấn đề mới. Từ đó học sinh hình thành và khắc sâu kiến thức mới một  cách chủ động dễ nhớ và khó có thể phai mờ. Khơng những vậy, giáo viên  cần phải có phương pháp để hướng dẫn học sinh tự học ở nhà để tái hiện   lại những tri thức đã rút ra trên lớp bằng cách giải bài tập và tìm lời giải,   phát triển và mở rộng cho bài tốn. Buộc học sinh khơng những hoạt động  tích cực ở trên lớp mà cịn tích cực, ham mê giải tốn ở nhà. Từ đó giúp các   em sẽ đạt kết quả cao trong học tập Trong     năm   qua,       phân   công     chun   mơn   nhà  trường, tơi giảng dạy mơn tốn 7. Trong những năm qua,  qua q trình  giảng dạy bộ  mơn Tốn tơi thấy phần kiến thức về  dãy tỉ  số  bằng nhau  hết sức cơ bản trong chương trình Đại số lớp 7. Trong chương II, khi học   về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch ta thấy tính chất của dãy tỉ  số  bằng   nhau là một phương tiện quan trọng giúp ta giải tốn những loại tốn trên   Trong phân mơn Hình học, để  học sinh giải được một số  bài trong phần   định lý Talet, tam giác đồng dạng ( Hình học lớp 8) thì khơng thể  thiếu  kiến thức về dãy tỉ số bằng nhau. Mặt khác, khi học tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau cịn rèn tư duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai  thác bài tốn, lập ra bài tốn mới. Bên cạnh đó, tơi nhận thấy học sinh cịn  nhiều vướng mắc khi giải bài các dạng tốn vè tính chất của dãy tỉ  số  bằng nhau. Đa số học sinh khi giải cịn thiếu logic, chặt chẽ, thiếu trường   hợp. Lý do cơ  bản là các em vận dụng tính chất của dãy tỉ  số  bằng nhau,  tính chất cơ bản của phân số chưa chắc. Các em chưa phân biệt được các   S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z dạng tốn và áp dụng tương tự vào bài tốn khác. Mặt khác nội dung kiến  thức ở lớp 7 những dạng này để  áp dụng cịn hạn chế nên khơng thể đưa   ra đầy đủ các phương pháp giải một cách có hệ thống và phong phú được.  Mặc dù chương trình sách giáo khoa sắp xếp rất hệ thống và logic, có lợi   về  dạy học đặt vấn đề  trong dạng tốn này. Chính vì vậy, để  khắc  phục cho học sinh những sai lầm khi giải bài tốn về dãy tỉ số bằng nhau   Bản thân đã nhiều năm suy nghĩ, tìm tịi và áp dụng vào trong giảng dạy   thấy   có   hiệu     cao   Do   đó,   tơi   mạnh   dạn   nghiên   cứu   chuyên   đề  “Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số   bằng nhau để  giải các dạng tốn tìm các số  x, y z”   với mục đích giúp  cho học sinh tự tin hơn trong làm tốn 2. Mục đích, nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu: a. Mục đích nghiên cứu: Thực hiện  mục tiêu giáo dục: “Nâng cao dân trí – Đào tạo nhân lực –   Bồi dưỡng nhân tài” góp phần đáp ứng u cầu đổi mới giáo dục, u cầu  của cơng cuộc CNH ­ HĐH đất nước phù hợp với nội dung của Hội nghị   lần thứ  6 ban chấp hành trung  ương Đảng khóa IX   “Phát triển quy mơ   giáo dục cả đại trà và mũi nhọn” Sau khi nhận thấy những tồn tại về phương pháp học, cách tiếp thu   bài của học sinh lớp 7A và 7E, tơi đã đi sâu nghiên cứu, khảo sát thực trạng   học tập  ở các em. Thơng qua đó tơi đã tìm ra biện pháp khắc phục những  tồn tại để hướng tới cho học sinh cách học tập có hiệu quả hơn b. Nhiệm vụ nghiên cứu: Trong q trình cơng tác, bản thân tơi khơng ngừng học tập, nghiên  cứu và vận dụng lý luận đổi mới vào thực tế giảng dạy của mình. Trong  thời gian qua, được sự  cộng tác của đồng nghiệp và sự  chỉ  đạo kịp thời   của Ban giám hiệu nhà trường, tơi đã tiến hành nghiên cứu và vận dụng   S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z quan điểm trên vào cơng tác giảng dạy của mình và thấy đạt hiệu quả khá  cao ­ Nghiên cứu nội dung, chương trình và sách giáo khoa, sách tham  khảo Tốn 7, trong đó những phần liên quan đến cách áp dụng tính chất   của dãy tỉ số bằng nhau ­ Tìm hiểu cơ  sở  thực tế  về  thực trạng giảng dạy sao cho phù hợp   với đối tượng học sinh ­ Nghiên cứu cơ sở lý luận về việc học tốn và dạy tốn 7 c. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học tốn của học sinh cịn  rất nhiều thiếu sót đặc biệt là q trình vận dụng các kiến thức đã học vào  bài tập, tỷ lệ học sinh yếu kém cịn cao. Tình trạng phổ biến hiện nay của   học sinh là khi làm tốn khơng chịu nghiên cứu kỹ bài tốn, khơng chịu khai  thác và huy động kiến thức để  làm tốn. Trong q trình giải thì suy luận  thiếu căn cứ, trình bày cẩu thả, tùy tiện Trên cơ sở  nghiên cứu lý luận, chương trình số  học lớp 7, xây dựng  cách giải bài tốn vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 2. Phương pháp nghiên cứu: Thơng   qua     kiểm   tra     năm   học   trước,   kiểm   tra   vấn   đáp   những kiến thức cơ  bản, trọng tâm mà các em đã được học. Qua đó giúp  tơi nắm được những ''lỗ  hổng” kiến thức của các em rồi tìm hiểu ngun  nhân và lập kế  hoạch khắc phục Trong q trình dạy học giải tốn, giáo viên phải biết hướng dẫn, tổ  chức cho học sinh tìm hiểu vấn đề, phát hiện và phân tích mối quan hệ  giữa các kiến thức đã học trong một bài tốn để  từ  đó tìm được cho mình  phương pháp giải quyết vấn đề  tốt hơn. Chỉ  trong q trình giải tốn thì  tiềm năng sáng tạo của học sinh mới được bộc lộ và phát huy hết. Các em   S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z có được thói quen nhìn nhận một sự  kiện dưới những góc độ  khác nhau,  biết đặt ra nhiều giả thiết khi lý giải một vấn đề, biết đề xuất những giải   pháp khác nhau khi xử lý một tình huống Phương pháp thống kê, khảo sát thực tế Phương pháp giao tiếp: Tìm hiểu   học sinh về  việc nắm bắt kiến   thức ở các em theo từng lớp Phương pháp so sánh đối chiếu, soạn giáo án dạy thực nghiệm vài  tiết để so sánh chất lượng đạt hiệu quả như thế nào? Phần thứ hai: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI Chương I:  CƠ SỞ LÝ LUẬN  Ở  nước ta việc dạy học Tốn nói chung và bồi dưỡng nhân tài nói  riêng được chú trọng ngay từ  khi dựng nước vì như  Thân Nhân Trung đã   nói  “ Hiền tài là ngun khí quốc gia, ngun khí thịnh thế  nước lên   ngun khí suy thế nước xuống ”. Trong bài phát biểu bế mạc Hội nghị  lần thứ  VI Ban Chấp hành Trung  ương Đảng khố XI, ngày 15 tháng 10  năm 2012, Tổng Bí thư  Nguyễn Phú Trọng cho biết:  “Ban Chấp hành   Trung  ương tiếp tục khẳng định, phát triển khoa học và cơng nghệ  là   quốc sách hàng đầu, là một động lực quan trọng trong sự nghiệp cơng   nghiệp hố, hiện đại hố” Nghị  quyết TW VIII  "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính   tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học. Bồi dưỡng   năng lực tự học, lịng say mê học tập và ý chí vươn lên" Ở nước ta cũng như hầu hết các nước trên Thế giới, vấn đề dạy học   và chất lượng dạy học nói chung, dạy học Tốn nói riêng ngày càng trở  thành mối quan tâm hàng đầu của tồn xã hội S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z Như  vậy với kết luận “Phát triển quy mơ giáo dục cả  đại trà và   mũi nhọn” (Trích kết luận của Hội nghị  lần thứ 6 Ban chấp hành Trung   ương Đảng khóa 9) thì giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu là một       động   lực   quan   trọng   thúc   đẩy     nghiệp   CNH–HĐH   đất  nước, là điều kiện phát huy nguồn lực con người. Đây là trách nhiệm của   tồn Đảng, tồn dân trong đó nhà giáo và cán bộ giáo dục là lực lượng nịng  cốt có vai trị quan trọng.  Hiện nay cùng với các nhà trường thuộc các cấp học bên cạnh việc  chú trọng nâng cao chất lượng giáo dục đại trà cịn quan tâm đúng mức   đến chất lượng giáo dục mũi nhọn. Đó là cơng tác phát hiện và bồi dưỡng  học sinh giỏi các bộ mơn, trong đó có bộ mơn Tốn Và cịn có khả  năng to lớn trong việc bồi dưỡng học sinh thế  giới   quan khoa học và những quan điểm nhận thức đúng đắn, khả  năng hình   thành cho học sinh nhân cách con người mới trong xã hội Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới như  hiện nay,  mỗi giáo viên cần giúp học sinh chuyển từ thói quen hiện có ở các em đó là  “Thầy đọc, trị chép”,“Thầy nói, trị ngồi nghe” sang thói quen chủ động.  Để đạt được mục tiêu của bài dạy theo hướng tích cực giáo viên cần chỉ ra  cho học sinh cách học, biết cách suy luận, biết cách xâu chuỗi kiến thức,  biết tìm tịi để phát hiện kiến thức mới. Học sinh cần được rèn luyện thao  tác tư  duy cao như  phân tích, tổng hợp, khái qt hóa, quy những điều lạ  thành điều quen. Việc nắm vững các phương pháp nói trên tạo điều kiện  cho học sinh có thể đọc hiểu được nội dung của bài tốn, tự làm được bài   tập, nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản. Đồng thời phát huy được  tiềm năng sáng tạo của bản thân và từ  đó học sinh thấy được niềm vui  trong học tập, giúp các em tìm hiểu nhiều, càng khám phá nhiều thì việc  học tập ở các em sẽ đạt kết quả khả quan hơn S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z   Chương II: THỰC TRẠNG KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP 1. Đặc  điểm tình hình: Trường tơi tuy mới được thành lập vào ngày 23 tháng 08 năm 2005,  mặc dầu là một ngơi trường có thời gian thành lập chưa lâu so với các  trường bạn trong huyện. Song dưới sự chỉ đạo, quan tâm của Phịng Giáo   dục và Đào tạo, sự  lãnh đạo sát sao, sáng tạo của Ban giám hiệu nhà  trường đã tạo ra được thương hiệu cho ngơi trường của mình trong việc   đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi trường có những thuận lợi và khó khăn   sau : 2. Thuận lợi: S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 7 Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z ­ Nhà trường có lực lượng giáo viên giảng dạy bộ  mơn Tốn tương  đối đầy đủ, đạt trình độ trên chuẩn, giáo viên trẻ khỏe, nhiệt tình có trách  nhiệm cao trong cơng tác ­   Hầu   hết   giáo   viên   có   có   nhiều   kinh   nghiệm     công   tác   bồi  dưỡng học sinh giỏi, có bề  dày thành tích trong cơng tác bồi dưỡng học  sinh giỏi nhiều năm liền có học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh ­ Có năng lực chun mơn, phương pháp dạy tốt ­ Được sự quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ của các cấp lãnh đạo: Ban  giám hiệu nhà trường  tổ chun mơn, ủng hộ của bạn bè đồng nghiệp ­ Học sinh ngoan có ý thức phấn đấu, quyết tâm 3. Khó khăn: a. Đối với nhà trường: Một số  phụ  huynh chưa có sự  quan tâm đến việc học hành của con  cái, để các em tự do ngồi giờ lên lớp dẫn đến tình trạng mê trị chơi điện   tử. Điều đó có  ảnh hưởng lớn đến thái độ  học tập của các em và chất  lượng giảng dạy của giáo viên.  Ia Grai là huyện biên giới nằm trên địa bàn Tây Ngun được thiên   nhiên ưu đãi về nhiều mặt. Song trình độ dân trí chưa đồng đều, tình hình  kinh tế xã hội của tỉnh chưa tương xứng với tiềm năng mà thiên nhiên ban  tặng.  b. Đối với học sinh: Nhà trường đã chọn lọc những học sinh khá, giỏi lập thành một lớp,  các lớp cịn lại là đối tượng học sinh đại trà. Bởi vậy, việc học tập của   các em gặp khơng ít khó khăn ­ Một số học sinh chưa có sự ham mê học tốn, vẫn cịn lười học, coi  việc giải tốn là một gắng lặng do đó chưa biết cách giải tốn nhưng bên  cạnh đó cũng có một số  học sinh mặc dù chăm học, nắm được kiến thức   S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z bài học nhưng nắm kiến thức một cách mờ  nhạt nên khơng biết cách làm  bài tập hoặc có làm được thì lại làm sai ­ Chưa đọc kỹ đề bài, chưa hiểu rõ bài tốn đã lao ngay vào giải. Bởi   vậy, khi làm thì khơng biết bắt đầu từ đâu, khi gặp khó khăn thì khơng biết  làm cách nào để tháo gỡ ­ Khơng chịu đề  cập bài tốn theo nhiều cách khác nhau, khơng chịu  nghiên cứu, khảo sát kỹ  từng chi tiết và kết hợp các chi tiết của bài tốn  theo nhiều cách, khơng sử dụng hết các dữ kiện bài tốn  ­ Khơng biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương  pháp suy luận trong giải Tốn, vận dụng một cách máy móc thiếu linh  hoạt ­ Khơng chịu kiểm tra lại lời giải tìm được, bởi vậy có thể  tính tốn  nhầm hay vận dụng kiến thức một cách nhầm lẫn, khơng biết cách sửa  lại ­ Khơng chịu suy nghĩ tìm các cách giải khác nhau cho một bài tốn   hay mở rộng bài Tốn. Do đó học sinh ln bị hạn chế trong việc rèn luyện   năng lực giải Tốn Vì vậy, sau một thời gian giảng dạy tại trường tơi trăn trở, suy nghĩ  là làm thế  nào để  các em nắm bắt kiến thức Tốn một cách có hệ  thống   nhằm giúp các em phần nào u thích học mơn Tốn nhiều hơn để làm nền   tảng mai này các em có điều kiện học cao hơn Chương III: NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA ĐỀ TÀI  1 . Lý thuy   ết :  * Tính chất của dãy tỉ số thức bằng nhau: S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức  a c a a+c =  suy ra các tỉ lệ thức sau:  = =  b d b b+d a −c , (b ≠ ± d) b−d Tính chất 2:  Từ   a c e a a +c+e a −c+e = =   suy ra   = =   (giả  thiết  b d f b b+d+f b−d+f các tỉ số đều có nghĩa) a b c Tính chất 3: Khi có dãy tỉ số   = = , ta nói các số  a; b; c tỉ lệ với  các số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c = 2:3:5 và ngược lại 2.Chú ý: Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức. Do  2 a c a c �a � �c � a c đó,     từ   tỉ   lệ   thức   =   suy     � �= � �= ;   k = k   ( k b d b d �b � �d � b d k1a k 2c = (k ,k k1b k 2d 3 0) ;   a c e a � �c � �e � a c e 0) ; từ   = =   suy ra   � � �= � �= � �= �� ;   b d f �b � �d � �f � b d f �a � c e � �= �b � d f Qua việc giải các bài tập đa dạng và phong phú các em đã nắm chắc  chắn và giải các bài tốn áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Biến  đổi từ một tỉ lệ thức ra một tỉ lệ thức rất linh hoạt Thơng qua việc giảng dạy học sinh tơi xin đưa ra một số dạng bài tập  sau: 3. Các dạng bài tập: S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 10 Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z Bài tập 1: Tìm x; y; z cho:  x y y z = và  = và  x + y − z = 69 Giải:  Đưa bài này về dạng bài trên bằng cách nào?  Hãy nêu phương pháp giải (BCNN (6; 8)=?) Ta có:  x y x y = � = 20 24 y z y z = � = 24 21 � x y z = = 20 24 21 Sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta tính được: x = 60;   y = 72; z = 63 Bài tập 2: Tìm x; y; z biết 2x = 3y = 5z  (1) và x + y – z = 95 (*) Làm thế nào đưa bài tốn trên về dạng 2? Cách 1:  Từ 2x = 3y  � 3y = 5z  � x y = ; y z = Đưa về cách giải giống bài tập 1 và cách này dài dịng Cách 2:  + Nếu có tỷ lệ của x; y; z tương ứng ta sẽ giải được (*) + Làm thế nào để (1) cho ta (*) + Hướng dẫn học sinh cách giải dạng tốn này là ta đi tìm BCNN của  các mẫu. Sau đó chia các tích cho BCNN ta được dãy tỉ số bằng nhau + Cụ thể, chia cả hai vế của (1) cho BCNN (2; 3; 5) = 30 2x = 3y = 5z   � 2x 3y 5z x y z x + y − z 95 = = = = = = = =5 30 30 30 15 10 15 + 10 − 19 Từ đó ta giải ra được:  x = 75; y = 50; z = 30 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 15 Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z Bài tập 3: Tìm x; y; z biết: x = y = z  ( 1)  và x – y = 15 Giải:  Theo em, làm thế nào giải được bài toán này? BCNN(1; 2; 3) = 6 Chia các vế của (1) cho 6 ta được:  x y z x − y 15 = = = = =5 12 12 − Từ đó ta giải ra được:  x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40 Bài tập 4: Tìm x; y; z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27 * Hướng dẫn: Bài tốn trên thuộc cả 2 dạng tốn 1 và 3. Do đó, việc   đầu tiên từ 2 đẳng thức em đưa về 2 tỉ lệ thức. Từ 2 tỉ lệ thức em đưa về  dãy tỉ số bằng nhau rồi giải Giải:  x y = x z Từ   4x = 2z � = x y z = =  sau đó giải như dạng 1  Suy ra  Từ  3x = 2y � Bài tập 5: Tìm x; y; z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = –21 * Hướng dẫn: Bài tốn này việc đầu tiên em tìm BCNN(6; 4; 3). Sau  đó em chia các vế cho BCNN đó rồi đưa về dãy tỉ số băng nhau rồi giải Giải: Từ 6x = 4y = 3z   � 6x 4y 3z x y z = = � = = 12 12 12 Sau đó giải tiếp như bài tập 4 Bài tập 6: Tìm các số  x; y; z biết  6x − 3z 4y − 6x 3z − 4y = =  và 2x  +3y – 5z = –21 Giải: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 6x − 3z 4y − 6x 3z − 4y 6x − 3z + 4y − 6x + 3z − 4y = = = =0 5+7+9 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 16 Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z � 6x = 3z;  4y = 6z;  3z = 4y Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp như bài tập 5 Bài tập 4: Tìm x; y; z biết: a)  x −1 y − z − = = ( 1) và x + y +z = 24 b)  2x y z = = ( ) và 2x – y + 3z = 95  Giải: a) Với giả thiết phần a) ta có cách giải tương tự bài nào? Từ (1) ta có:  x − y − z − ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = = = 1+ +                                             = Do đó:  b)  x + y + z − 18 = =3 6 x −1 = 3� x = y−2 = 3� y =8 z −3 = � z = 12 2x y z = = ( ) 2x – y + 3z = 95 Đối với câu b) tử số các tỉ số khác 1. Liệu ta có đi tìm BCNN của các  mẫu như các bài trước khơng? Hướng dẫn học sinh đi từ (2) để đến kết quả: 2x y z 2x − y + 3z 95 = = = = =5 − + 18 Do đó, 2x = 5.3=15.  x =  15 ; y = 5.2=10; z = 5.6=30 Ngồi cách đó ra, ta cũng có thể đi tìm BCNN nhưng khơng tìm BCNN   của các mẫu mà ta đi tìm BCNN của các tử rồi chia các vế cho BCNN đó S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 17 Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z Tóm lại, với dạng tốn trên. Nếu tử  các tỉ  số  bằng 1 thì ta đi tìm   BCNN của các mẫu rồi chia các vế  cho BCNN đó. Tiếp theo ta áp dụng  tính chất của dãy tỉ số bằng nhau sẽ tìm được kết quả bài tốn. Nếu tử các   tỉ số khác 1 thì ta có thể tìm BCNN của các tử hoặc các mẫu rồi thực hiện   tương tự như trên  Dạng 4.   Tìm x; y biết  x y =  và x.y = m. Điều kiện a và b  a b Phương pháp:  ­ Đặt  x y = = k. Suy ra: x = a.k; y = b.k a b ­ Do đó:  x.y = (a.k).(b.k)=a.b.k2=m ­ Suy ra: k =  m ab ­ Xét hai trường hợp của k ta tìm được x và y Bài tập 1: Tìm x; y biết rằng: a)  x y =  và xy = 240 (2) b)  x y = và  x + y =  (x, y > 0) Giải:  ? Làm như thế nào xuất hiện xy để sử dụng giả thiết a) Đặt  x y = = k. Ta có: x = 3k; y = 5k.  Theo giả thiết, ta có: xy=240. Hay (3k).(5k) = 240 Suy ra: k2 = 16  k =  Với k = 4 thì x = 3k = 12 và y = 5k = 20 Với k = – 4 thì x = 3k = –12 và y = 5k = –20 Vậy: x = 12 và y = 20 hoặc x = –12 và y = –20 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 18 Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z *Chú ý: Ở đây, học sinh thường mắc sai lầm suy ra k = 4 mà phải suy   ra k= Ngồi cách giải trên ta có thể  giải bài tốn trên bằng cách khác như  sau: x y = x x y x = 3 x xy 240 = = = 16 15 15 Hay:  x = 9.16 = ( 3.4 ) = 122 = ( −12 ) � x = �12 2 Thay vào (2) ta được:  240 = 20 12 240 x = −12 � y = = −20 −12 x = 12 � y = Vậy: x = 12 và y = 20 hoặc x = –12 và y = –20 x y x y2 x − y2 b)  =   � = = = = 25 25 − 16 � x2 = 25 �x=� � y2 = �x=� Đối với câu b) giải theo cách khác cũng tương tự như câu a) Bài tập 2: Tìm x, y, z biết rằng:  x y z = = và xyz = 810 Giải:  Cách 1:  Đặt  x y z = = = k Suy ra: x = 2k; y = 3k; z = 5k Do đó: xyz = 2k.3k.5k = 30k3 Hay: 30k3 = 810 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 19 Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z k3 = 27  k = 3 x = 2k = 2.3 = 6 y = 3k = 3.3 = 9 z = 5k = 3.5 = 15 Cách 2: x y z x x x x y z xyz = =   ��� = �� = 2 2 30 x3 �x � 810 � � �= = 27 � = 27 �2 � 30 � x = 8.27 = 23.33 = ( 2.3) �x =6 Mà  và  x y x.3 3.6 =  �y= = =9 2 y z y.5 9.5 =  � z = = = 15 3 Bài tập 3. Tìm x; y; z biết  x y z = =  và  2x + 3y − 5z = −405 Giải: Cách 1: Đặt  Cách 2: Từ  x y z = = =k x y z = =   x y2 z2 Suy ra:  = = 16 � 2x 3y 5z = = 27 90 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:  2x 3y 5z 2x + 3y − 5z −405 = = = = =9 27 90 + 27 − 90 −45 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 20 Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z x2 Do đó:  = � x = 36 � x = �6 y = � y = 81 � y = �9 z2 = � z = 144 � z = �12 16 Vậy x = 6; y = 9; z = 12 hoặc x = –6; y = –9; z = –12  Dạng 5:    Toán chia tỉ lệ  Phương pháp giải Bước 1: Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết Bước 2: Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện Bước 3: Tìm các số hạng chưa biết  Bước 4: Kết luận  * Bài t   ập điển hình:   Bài tập 1 :  (Bài 76 SBT­Tr14): Tính độ dài các cạnh một tam giác biết  chu vi là 22 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2; 4; 5 Giải: Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a; b; c (cm) (a; b; c > ) Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a + b + c = 22 a b c Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 4; 5 nên ta có  = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a b c a + b + c 22 = = = = =2 + + 11 a Do đó:  =  Suy ra: a = 4 b =  Suy ra: b = 8 c =  Suy ra: c = 10 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 21 Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z Thử lại các giá trị trên ta thấy thoả mãn Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm, 8cm, 10cm Có thể  thay điều kiện (2) như  sau: Biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và  cạnh nhỏ nhất bằng 3. Khi đó ta có được c – a = 3 Bài tập 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia lao động trồng cây, số  cây mỗi lớp   trồng được tỉ  lệ với các số  2; 4; 5 và 2 lần số  cây của lớp 7A cộng với 4  lần số  cây của lớp 7B thì hơn số  cây của lớp 7C là 119 cây. Tính số  cây   mỗi lớp trồng được  Giải: Gọi số cây trồng được của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là a; b; c (cây) (a;  b; c ﾥ * ) a b c 2a 4b c 2a + 4b − c 119 = = = = =7 Theo bài ra ta có  = = = 16 + 16 − 17 Do đó: a = � a = 21                   b = � b = 28 c = � c = 35 Thử lại các giá trị trên ta thấy thoả mãn Vậy số  cây trồng được của 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 21 cây, 28   cây, 35 cây Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7; 8; 9 chuyển được 912   m3 đất, trung bình mỗi học sinh khối 7; 8; 9 theo thứ tự làm được 1,2 m3;  1,4 m3; 1,6 m3.  S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 22 Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z Số  học sinh khối 7 và khối 8 tỉ  lệ  với 1 và 3; số  học sinh khối 8 và   khố 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh của mỗi khối  Giải: Gọi số học sinh của khối 7; 8; 9 lần lượt là x; y; z (học sinh)( x; y; z   là số ngun dương) Số đất khối 7 chuyển được là 1,2x Số đất khối 8 chuyển được là 1,4y Số đất khối 9 chuyển được là 1,6z Theo bài, ta có  x y y z = ; = Và 1,2x + 1,4y + 1,6z = 912. Giải ra ta được x = 80, y = 240, z = 300 Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy số  học sinh của khối 7; 8; 9 lần lượt là 80 học sinh, 240 học   sinh, 300 học sinh Bài tập 4: Tổng các lũy thừa bậc ba của ba số  là –1009. Biết tỉ  số  giữa số thứ nhất và số thứ hai là  ; giữa số thứ hai và số thứ ba là   Tìm  ba số đó? Giải:  Gọi x; y; z là ba số cần tìm Ta có:  x + y3 + z = −1009 và  Từ:  x x y x y x x z = � = � =  và  = � = y 3 z 9 Suy ra:  Đặt  x x = ;  = y z x y z = = x y z = = = k  � x = 4k, y = 6k,z = 9k S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 23 Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z Do đó:  x + y3 + z3 = ( 4k ) + ( 6k ) + ( 9k ) 3                                 = 64k + 216k + 729k = 1009k = −1009 Nên:  k = −1 � k = −1 Suy ra:  x = −1.4 = −4 ;   y = −1.6 = −6 ;  z = −1.9 = −9 Vậy: x = – 4; y = – 6; z = – 9 4. Kết quả đạt được: Qua một thời gian thực hiện tơi thấy khơng khí giờ học thay đổi, các  em có hứng thú học tập, việc trao đổi tranh luận sơi nổi, mạnh dạn trình  bày ý kiến của mình trước lớp. Bản thân tơi sau khi nghiên cứu xong đề tài  này đã thấp mình hiểu sâu sắc hơn về tỷ lệ thức và dãy tỷ  số bằng nhau   Tơi giảng dạy chun đề  này cho 3 đối tượng học sinh trung bình, khá,  giỏi, tuỳ từng đối tượng mà tơi chọn bài cho phù hợp thì thấy đa số các em  tiếp thu nội dung trong chun đề một cách dề dàng, các em rất hứng thu  khi tự  mình có thể  lập ra các bài tốn. Chất lượng bài giảng và khả  năng  giải bài tập loại này được nâng cao rõ rệt. Cụ thể qua lần khảo sát lần thứ  hai như sau:  Lớp/Sĩ  Giỏi Yếu Kém Số  Số  số học  Số  Số  Tỷ  Tỷ  Tỷ  Tỷ lệ lượn Tỷ lệ lượn lượn sinh lượng lượng lệ lệ lệ g g g 7A/43 18 42% 19 44% 14% 0% 0% 7E/36 17% 11 31% 17 47% 6% 0% Qua đề  tài này tơi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và   Khá Trung bình Số  vận dụng một vấn đề nào đó trước hết người thầy phải hiểu vấn đề  một  cách sâu sắc vì vậy người thầy phải ln học hỏi, tìm tịi, đào sâu suy nghĩ  từng bài tốn, khơng ngừng nâng cao trình độ cho bản thân S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 24 Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z Phần thứ ba: KẾT LUẬN Thơng qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn   giảng dạy, cho phép tơi rút ra một số kinh nghiệm sau: 1. Đối với học sinh:  Cần có một q trình liên tục được củng cố và sửa chữa sai lầm, cần  rèn luyện các kỹ  năng để  học sinh có khả  năng nắm được phương pháp,  vận dụng tốt các phương pháp phân tích cơ bản vào giải tốn, cho học sinh   thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, từ đơn giản đến phức tạp Giáo viên cần chú ý cho học sinh chỉ  nắm chắc các phương pháp cơ  bản, kỹ  năng biến đổi, kỹ  năng suy luận, kỹ  năng thực hành và việc vận  dụng từng phương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ  thể, luyện tập   khả năng tự học, gợi sự say mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm   tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức. Ngồi việc nắm chắc các phương pháp  cơ bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng  cao khác, các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ  thể  hố vấn đề, tương tự  hố vấn đề  để  việc giải tốn ngày một tốt hơn  tốt hơn. Qua đó tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khai  thác cách giải, khai thác bài tốn khác nhằm phát triển tư duy một cách tồn  diện cho q trình tự nghiên cứu của các em 2. Đối với giáo viên:  Thường xun kiểm tra mức độ  tiếp thu và vận dụng của học sinh   trong q trình cung cấp các thơng tin mới có liên quan trong chương trình  đã đề  cập   trên. Giáo viên phải định hướng và vạch ra những dạng tốn  mà học sinh phải liên hệ và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý như đã đề  cập, giúp học sinh nắm vững chắc hơn về  các dạng tốn và được rèn  luyện về  những kỹ  năng phân tích một cách tường minh trong mỗi dạng   bài tập để tìm hướng giải sau đó biết áp dụng và phát triển nhanh trong các   S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 25 Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z bài tập tổng hợp, kỹ  năng vận dụng kiến thức đã học giải tốn một cách   thành thạo. Đồng thời tạo điều kiện để  học sinh được phát triển tư  duy  một cách tồn diện, gợi sự say mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo, kích   thích và khơi dậy khả năng tự học của học sinh, chủ động trong học tập và   trong học tốn Để  học sinh học tốt, qua đó có điều kiện nâng cao kiến thức của  mình trước tiên giáo viên phải giúp các em nắm vững những kiến thức cơ  bản một cách có hệ  thống. Làm tốt được điều đó người giáo viên phải  thường xun trau dồi kiến thức, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp,  xây dựng kế hoạch giảng dạy khoa học trên cơ  sở  hiểu rõ đối tượng học   sinh. Đặc biệt phải hiểu rõ mục tiêu của việc đổi mới phương pháp dạy  học. Khi nghiên cứu đề tài này tơi thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất có   hiệu quả, học sinh dễ hiểu và hứng thú trong q trình tiếp thu kiến thức,   các em đã biết khai thác sâu bài tốn, biết tự đặt ra các bài tốn mới, tránh  được những sai lầm mà mình hay mắc phải. Do đó, chất lượng bài kiểm  tra cũng như bài tập của học sinh được nâng cao, theo tơi khơng hồn tồn  là do việc áp dụng đề tài này vào bài giảng, song chính những tác động này  làm cho các em thay đổi rất nhiều về  cách suy nghĩ, cách làm việc một   cách chủ  động tích cực cho nên nó tác động trực tiếp đến chất lượng khi  giải loại tốn trên. Quan trọng là đã góp phần giúp học sinh tiếp cận gần  hơn với cơng cuộc đổi mới khoa học kỹ thuật trong thời đại mới, thời đại  của những con người năng động dám nghĩ dám làm.  Tơi xin chân thành cảm  ơn sự  giúp đỡ  q báu của Ban Giám hiệu   trường, của đồng nghiệp để giúp tơi hồn thành đề tài trên. Trong khi trình  bày đề  tài của mình chắc sẽ  khơng tránh khỏi những khiếm khuyết, kính  mong q đồng nghiệp góp ý để bản thân tơi dần dần được hồn thiện hơn  về năng lực chun mơn của mình.Xin chân thành cảm ơn !  S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 26 Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z           Ia Grai, ngày 04 tháng 01 năm 2019 XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG               Người viết                                                                                    Phạm Thanh Thuận MỤC LỤC ﾥ  Phần thứ nhất:  ĐẶT VẤN ĐỀ trang 1 1. Lý do chọn đề tài trang 1 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 27 Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z 2. Mục đích, nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu trang  a. Mục đích nghiên cứu trang 3 b. Nhiệm vụ nghiên cứu trang 3 c. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu trang 4 2. Phương pháp nghiên cứu trang 4 Phần thứ hai: NỘI DUNG .trang 5 Chương I:  CƠ SỞ LÝ LUẬN  trang 5 Chương   II:   THỰC   TRẠNG   KHI   SỬ   DỤNG   PHƯƠNG   PHÁP……………………………………………………………… trang 7 1. Đặc điểm tình hình   trang 7 2. Thuận lợi   trang 7 3. Khó khăn trang 7 a. Đối với nhà trường   trang 7 b. Đối với học sinh .  trang 8 Chương III. NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA ĐỀ TÀI trang 9 1. Lý thuyết trang 9 2. Chú ý trang 9 3. Các dạng bài tập trang 9 4. Kết quả đạt được.  trang 22 Phần thứ ba: KẾT LUẬN  .trang 23 1. Đối với học sinh  trang 23 2. Đối với giáo viên trang 23 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 28 Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số  bằng nhau để giải các dạng tốn tìm các số x, y z TÀI LIỆU THAM KHẢO ­Vũ Hữu Bình,  Tốn cơ  bản và nâng cao Đại số  7,  NXB Đà Nẵng,  2001.  ­Võ Đại Mau,  Bài tập Tốn nâng cao Đại số  7,  NXB Đại học sư  phạm, 2003 ­Tơn   Thân   (Chủ   biên)­Nguyễn   Anh   Hồng­Huỳnh   Quang   Lâu­  Nguyễn Đức Tấn­Nguyễn Vũ Thanh­Nguyễn Đồn Vũ, Bài tập Tốn nâng   cao Tốn 7, tập 1, NXB Giáo dục, 2011 ­Nguyễn Vĩnh Cận, Tốn Đại số  nâng cao THCS 7, NXB Đại học sư  phạm, 2003 ­Vũ Ngọc Đạm – Vũ Dương Thụy, Ơn tập Đại số  7, NXB Giáo dục,  2003   S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 29 ... To¸n 14 Hướng? ?dẫn? ?học? ?sinh? ?lớp? ?7? ?biết? ?cách? ?vận? ?dụng? ?tính? ?chất? ?của? ?d? ?y? ?tỉ? ?số? ? bằng? ?nhau? ?để? ?giải? ?các? ?dạng? ?tốn? ?tìm? ?các? ?số? ?x,? ?y? ?z Bài tập 1:? ?Tìm? ?x;? ?y; ? ?z? ?cho:  x y y z = và  = và  x + y − z = 69 Giải:  .. .Hướng? ?dẫn? ?học? ?sinh? ?lớp? ?7? ?biết? ?cách? ?vận? ?dụng? ?tính? ?chất? ?của? ?d? ?y? ?tỉ? ?số? ? bằng? ?nhau? ?để? ?giải? ?các? ?dạng? ?tốn? ?tìm? ?các? ?số? ?x,? ?y? ?z học? ?theo nhóm, d? ?y? ?học? ?theo? ?lớp? ?để ? ?các? ?em có điều kiện trao đổi? ?kiến? ?... 12 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm To¸n 13 Hướng? ?dẫn? ?học? ?sinh? ?lớp? ?7? ?biết? ?cách? ?vận? ?dụng? ?tính? ?chất? ?của? ?d? ?y? ?tỉ? ?số? ? bằng? ?nhau? ?để? ?giải? ?các? ?dạng? ?tốn? ?tìm? ?các? ?số? ?x,? ?y? ?z x y z = = và  x − 2y + 3z = 35 Giải:  Giả thiết cho