SỜ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI MÃ SKKN SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM Ị HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 8 GIẢI DẠNG TOÁN I TÌM NGHIỆM HỮU TỶ CỦA ĐA THỨC MỘT BIÉN Ý V V Lĩnh Vực Toán học Cấp học Trung học cơ sở Tài liệu[.]
SỜ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI MÃ SKKN: SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM Ị HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP GIẢI DẠNG TỐN: I TÌM NGHIỆM HỮU TỶ CỦA ĐA THỨC MỘT BIÉN Ý V V Lĩnh Vực : Toán học Cấp học : Trung học sở Tài liệu kèm theo: Đĩa CD minh họa cho SKKN NĂM HỌC 2016- 2017 SKKN.vn MỤC LỤC PHẦNI: ĐẶT VẮN ĐẺ Trang 1/ Lí chọn đề tài Trang 2/ Mục đích nghiên cứu Trang 3/ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Trang 4/ Nhiệm vụ nghiên cứu Trang Trang 5/ Phương pháp nghiên cứu PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐÊ Trang I Cơ SỜ LÝ LUẬN Trang II TÌM HIỂU VÀ PHÂN TÍCH THựC TRANG Trang III GIAI PHÁP Trang PHẦN III: KÉT LUẬN VÀ KHUYÊN NGHỊ Trang 17 I KÉT QUẢ Trang 17 II CÁC VẨN ĐÈ CẨN LƯU Ý KHI THựC HIỆN ĐỀ TÀI Trang 17 Tài lệu tham kháo Trang 19 PHẤNI: ĐẠT VẤN ĐÈ Lý chọn đề tài: Trong chương trình Tốn THCS, toán đa thức chiếm số lượng nhiều Trong việc tìm nghiệm ngun nghiệm hừu tỷ cùa đa thức có ý nghía thực tiễn lớn mang lại nhiều điều thú vị Tuy nhiên, lí khung chương trình nên thời lượng kiến thức đtra vào chương trình sách giáo khoa nghiệm cùa đa thức tương đối hạn chế vấn đề tìm nghiệm cùa đa thức chi trình bày gọn (Bài 9: Nghiệm cùa đa thức biến), nội dung toàn bải yếu tập trung vảo định nghía mà khơng sâu phân tích , hướng dẫn phương pháp tìm nghiệm Do em học sinh gặp toán hèn quan đến tìm nghiệm cùa đa thức biến thi đa số lúng túng, chưa định hướng cách giài toán Như vậy, giảng dạy bồi dường mịn Tốn cho học sinh địi hỏi giáo viên phải có phương pháp phù họp nhăm giúp em tháo gờ vướng mac nêu trên.Hơn góp phần hướng dẫn cho em khâ tự học, đê tiến tới đáp ứng nhu cầu cùa mơn Tốn mòn học khác xu hướng học tập Qua thực tế giảng dạy học tập, bàn thân tịi đà tích luỳ số kiến thức phương pháp hướng dẫn học sinh tìm nghiệm cùa da thức tương đối hiệu quà Vì tịi chọn trình bảy đề tài "Hướng dân học sinh lớp giãi dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến" Mục đích nghiên cứu: Đê tải không nhùng trang bị cho học sinh số kiến thức nham nâng cao lực học mịn tốn cho em giúp em có cách suy nghi đan đè giài bải toán tìm nghiệm cùa đa thức biến mà cịn nham góp thêm phương pháp bồi dường kiến thức tốn cho học sinh THCS nói chung Khi em thành thạo việc tìm nghiêm cũa đa thức thi việc giài dạng hên quan sè dễ dàng hơn, tránh sai lầm thường mac phải Từ em vừng vàng tự tin làm toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình tốn THCS hành, khái niệm nghiệm cũa đa thức đưa vào chương III phần Đại số lớp Các van đe khác đa thức tiếp 1101 lớp tiếp tục vận dụng lớp Vì tốn tìm nghiêm đa thức xem xét chù yếu áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 7, 8( học sinh giỏi) Nhiệm vụ nghiên cứu: Đê tài tập trung nghiên cứu kiến thức hên quan đến nghiệm cùa đa thức biến đồng thời tìm hiên phương pháp tìm nghiệm cúa đa thức biến mối hên hệ giừa dạng toán VỚI số dạng toán khác Mặt khác dề tài sâu tìm hiên thực tế khả giải dạng tốn tìm nghiệm cũa đa thức biến học sinh, từ phân tích tìm chọn hướng di phù hợp đối tượng học sinh mà giăng dạy thừ nghiệm đè lút thành còng , thất bại tòng hợp kinh nghiệm trinh giảng dạy bồi dường toán cho học sinh THCS nhăm lựa chọn đường dẫn dat học sinh học tập dạng toán đà nêu cho đạt hiệu quà cao Phương pháp nghiên cứu: Đè tài hoàn thành thơng qua phương pháp nghiên cứu lý hiận(tìm hiên, nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu bồi dường, sách tham khảo ) đê xác định nội dung kiến thức cần thiết phục vụ cho đề tải Ngoài ra, đề tải đà sử dụng phương pháp thực nghiệm sư phạm tông kết kinh nhgiệm lớp trước đè áp dụng tốt cho lớp sau khoá sau PHẦN II: GIÃI QUYÉT VẨN ĐÈ I Cơ SỞ LÝ LUẬN Trong chương trình tốn khái niệm Nghiệm cùa đa thức biến phát biểu sau: Nen X = a, đa thức P(x)có già trị bang ta nói rang athoặc X =a) ìà nghiệm cùa đa thức Như vậy, mặt lý luận, đê tìm nghiệm đa thức P(x) cần tìm giá trị X cho P(x) = O.Tuy nhiên đê tìm nghiệm cùa đa thức P(x) có nhiều cách khác tuỳ thuộc vào toán cụ thê Từ toán tim nghiệm cùa đa thức ta có thè áp dụng đê giãi tốn phân tích đa thức thành nhân tử, giãi phương trình đa thức II TÌM HIẺU VÀ PHÂN TÍCH THựC TRẠNG Trong thực tế giảng dạy nhiều năm tòi thay phần lớn giáo viên dạy nghiệm cùa đa thức biến chi dừng lại phạm vi nội dung kiến thức cùa sách giáo khoa, số giáo viên có cung cấp cho học sinh cách tìm nghiệm số đa thức cụ thê chưa khái qưát thành phương pháp Một số khác đà quan tàm đến cung cấp phương pháp giãi cho HS song qưá trình học tập không thường xuyên sừ dụng nên học sinh mau qn phương pháp có nhờ GV cung cấp tự em khám phá được.Cũng em khơng hứng thú khám phá kiến thức, phương pháp nên khó kích thích lịng hăng say VỚI mịn cừa em phía học sinh gặp loại tốn mà đa thức biến có bậc lớn đềư gặp khó khăn lững túng Học sinh lớp 8, mặc dừ đà học phân tích đa thức thành nhân từ song gặp khơng khó khăn việc phàn tích thành nhân từ đê tìm nghiệm, hầu hết em cịn mị mẫm máy móc Khi chưa hướng dẫn phương pháp đề tải này, phần lớn HS mà tòi tiực tiếp bồi dường nhiều năm học khác chi tìm nghiệm da thức có tính chất đặc biệt dề nhận thấy dễ nhàm nghiệm(Đa thức có nghiệm ±1:0 ; đa thức có hệ số cao bang 1, hệ số tự bé ), cịn đối tốn tìm nghiệm đa thức có hệ số cao khác 1, đa thức mà hệ số ựr có nhiều ước số, da thức hệ số nguyên có nghiệm hữu tỷ đặc biệt đa thức hệ số hừu tỷ có nghiệm hữu tỷ lả tốn khó địi hỏi HS phải nam vững phương pháp giài thành cịng Trong qưá trình bồi dường học S11111 giỏi, tơi đà cố gang tìm kiếm sưư tầm tài liệu song tài liệu hướng dẫn HS giài loại tốn "Tìm nghiệm hừu tỷ cừa đa thức" thấy Một số tải liệu chi đề cập đến định lý hệ quà Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỹ cùa đa thức biến liên quan mà kliông vào hướng dẫn phương pháp tìm nliư đối VỚI dạng đa thức hay yêu cầu cụ thê nghiệm Trước thực trạng đó, tịi đà tìm tịi, suy nghi, phân tích phương pháp hướng dẫn học sinh tháo gờ nhừng vướng mac nêu tiến hành thứ nghiệm thực tế đối VỚI học sinh giịi trường Sau nhiều lần rút kinh nghiệm tòi đà chọn giải pháp hiệu quâ sau: III GIẢI PHẤP Xác định kiến thức liên quan 1.1 Định nghía: Neu X = c đa thức f(x)có giã trị bang ta nói rang c (hoặc X =c) nghiệm cùa đa thức 1.2 Một đa thức (khác đa thức khơng ) có thê có nhiều nghiệm khơng có nghiệm 1.3 Một đa thức bậc 11 có nhiều lả 11 nghiệm phàn biệt Đa thức bậc khơng có nghiệm Đa thức khơng (khơng có bậc) có vị số nghiệm 1.4 Neu đa thức f(x) có tịng hệ số bang X = nghiệm Neu đa thức f(x) có tịng hệ số cùa hiỳ thừa chẵn bang tịng luỳ thừa lẻ X = - nghiệm * Từ định nghía ta thấy f(c) = chi kill f(x) : (x - c) * Định lý Bêzu: Dư cùa phép chia đa thức f(x) cho X -c giá trị f(c) Bô sung: 1.5 Cho đa thức f(x) = anxn T an-iX11’1 T + aiX + ao- ( hệ số nguyên) Nếu phân số —(tối giàn) nghiệm cùa f(x) p ước cùa ao; q ước cùa a n q 1.6 Mọi nghiệm nguyên (nếu có) cùa đa thức VỚI hệ số nguyên phải ước cùa số hạng tự 1.7 Mọi nghiệm hừư tỷ cùa đa thức VỚI hệ số nguyên hệ số cao bang nghiệm nguyên 1.8 Nêu ơ.^±l nghiệm nguyên cùa đa thức f(x) VỚI hệ sị ngun —— 1-a phải sổ nguyên 1+a 1.9 Sư đồ Hoocne Giã sữ f(x) = anxn T an-ix11’1 + + 31X T ao Chia f(x) cho X - c ta thương q(x) có bậc 11 - là: q(x) = bnxn4 + bn 1X11'2 T + b2x + bL dư số r Khi ta có sơ đồ sau gọi sơ đồ Hoocne: an bn= n an_i Nhâ bn-l Cộng/* lật / bk-1 bk bi ao r Ọuy tắc cùa sơ đồ: Mồi phần ừr dịng dirới tích c VỚI phân tử đứng trước cộng VỚI phân ừr tương ứng dòng Những giải pháp tiến hành Trên sở xác định rò phạm vi kiến thức hên quan mà giáo viên đà nam bắt Đàn tiên cần giúp em nam vững kiến thức theo qưy trình phù hợp VỚI mức độ nhận thức từ thấp đến cao cừa em.Cụ thê chứng ta có thê tiến hành sau: 2.1 Giáo viên (GV) cho học sinh (HS) co kiến thức hiên biết nghiệm đa thức học qua sách giáo khoa(SGK) Trước het GV cho HS vận dụng kiến thức bàn đê giãi toán cụ thê Chăng hạn: Bài toán 1: Tim nghiệm đa thức san: a 5x - b (x - 3)(2+x) d X2 + e X2 T 2x c X2 - Đa số HS hiên vận dụng kiến thức bân vảo giãi tập đà cho.Những bải tập giúp HS củng cố lại kiến thức bân đà học nội dung khoá Đáp so toán 1: a X = — b X = X = -2 c x = ±2 d.vô nghiệm e X = X = -2 Trong tập dạng đơn giàn HS dễ dàng dùng kiến thức học SGK đê giải Nhưng kin gặp toán san: Tim nghiệm đa thức f(x) = 8x2 - 6x - Nen không bô sung thêm kiến thức HS sè gặp khó khăn Do bước tiếp theo: 2.2 GV hướng dân HS bô sung kiến thức bân khác liên quan cần thiết đến nghiệm đa thức Chăng hạn đối VỚI tiên mục 1.4 GV có thê cưng cấp cho HS Tuy nhiên, dạy Toán dáng quý làm cách đê HS tự rút nhận xét, kết luận cần thiết nham hình thành dần em khả khái quát hoá vấn đề, tịng họp hố kiến thức Như khơng chi dừng lại việc giãi toán cụ thê mà em cịn có ý thức tìm tịi phương pháp giãi cho toán loại từ tốn cụ thê xem xét tốn tịng qưát Vi GV cần giúp HS hình thành, phát kiến thức có liên quan ư'r nhùng tốn mang tính chất tình : Bài tốn 2: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c; Chứng tị rằng: a Neua-rb + c = O đa thức f(x) có nghiệm X = Áp dụng để tìm nghiệm cùa đa thức f(x) = 8x2 - 6x - b Neu a - b T c = đa thức f(x) có nghiệm X = -1 Áp dụng đê tìm nghiệm cùa đa thức f(x) = 7x2 T Ix + Lươc giãi: a VỚI X = ta có: f(l) = a T b + c; mà a T b T c = nên f(l) = Điều chứng tó x= nghiệm cùa đa thức f(x) Áp dụng: Ta có 8+(-6) T (-2) = nên đa thức f(x) = 8x - 6x - có nghiệm X = b VỚI X = -1 ta có: f(-l) = a - b + c; mà a - b + c = nên f(-l) = Điều chứng tò x= -1 nghiệm cùa đa thức f(x) Áp dụng: Ta có - (+11) + = nên đa thúc f(x) = 7x2 T Ix + có nghiệm X = -1 Qua việc giãi tập GV cho HS nêu buớc mà em đà tiến hành giãi đê lút phương pháp: - Tính f(l); f(-l) theo a, b, c - Căn vào đề bải đê suy f(l) =0 : f(-l) =0 - Dựa vào định nghía nghiệm cùa đa thức đè kết luận x = 1; X = -1 nghiệm cùa đa thức f(x) Như vậy, sau rút phương pháp giãi HS hoàn toàn tự lực hoàn thành tốt tập sau: Bài toán 2.1: Cho đa thức f(x) = ax3 T bx2 T cx + d.Chứng tò rằng: a Neu a + b + c + d = đa thức f(x) có nghiệm X = b Neu - a+ b- c + d = o đa thức f(x) có nghiệm X = -1 Đêu đày, GV u càu HS phát biêu tốn tịng qt HS hồn tồn có thè thực tốt u cầu này: Bài toán 2.2: Cho đa thức f(x) = anxn + an.iXn_1 T + aiX T ao- Chứng tò răng: a Neu tòng hệ số hạng từ đa thức bang X = nghiệm cùa f(x) b Neu tòng hệ số hạng từ hiỳ thừa chằn bang tòng hệ số hạng từ luỳ thừa lẻ X = - nghiệm f(x) VỚI đối tượng HS GV yêu cầu HS giãi tốn tịng qt vừa nêu 2.3 HS áp dụtig kiến thức vào tập đơn giản: GV cho HS rèn luyện kỳ thông qua hệ thống tập đê HS nam nhớ lâu nliừng vấn đề đà học Bài tập áp dụng : Tim nghiệm cùa đa thức sau: a f(x) = X3 - X2 + X - 1; b g(x) = llx3 + 5x2 + 4x+10; c h(x) = -17x3 + 8x2 - 3x + 12 Trong số sau: 1; -1; 5; -5 sổ nghiệm cùa đa thức f(x) = X4 + 2x3 - 2x2 -6x + Cho đa thức: a f(x) = X4 + 5x3 + 3x2 + 2x + 3; b g(x) = 3x4 + X3 + X2 -7x - 10; c h(x) = 4x3 + 2x2 - X + Nghiệm lại rang X = -1 lả nghiệm đa thức đà cho Trong thực hành tìm nghiệm cùa đa thức HS khơng chi gặp đa thúc có nhùng tính chất đặc biệt yêu cầu cùa toán không dừng lại việc kiêm tra số cho trước có phải nghiệm hay khơng chi can tìm nghiệm cùa đa thức.Chăng hạn tốn: Tim nghiệm cùa đa thức: f(x) = X5 - 3x4 - 5x3 +15x2 + 4x - 12 Rò ràng, chi VỚI kiến thức bân đà nam HS đà gặp vướng mac việc tìm phương pháp giâi VỚI học sinh lớp 8, sau nam chác phương pháp phàn tích đa thức thành nhàn từ em có thê thêm bớt hay tách hạng tử đira tích đa thức có bậc thấp đê tìm nghiệm Song lả dễ dàng Vi vậy, GV cần phải bô sung thêm nhùng kiến thức mới, phương pháp đê HS có thê giãi toán đà nêu cách nhẹ nhàng 2.4 GV hướng dân HS bô sung vận dụng kiến thức nâng cao liên quan cần thiết đến nghiệm đa thức Cũng VỚI cách làm trên, GV hướng dẫn HS bô sung kiến thức Bài toán Cho đa thức f(x) = anxn + an-ix”’1 + + aix + ao (Hệ số nguyên) Già sử phân số tối giàn £ nghiệm cùa f(x) p lả irớc cùa ao; q ước cùa q an GVhướng dẫn HSgiãi toán: GV(?) Theo định nghía nghiệm cùa đa thức, phân số tối giản — q nghiệm cùa f(x) suy điều gi? HS: Theo định nghía nghiệm đa thức, nến phân số tối giãn — nghiệm q f(x) ta có: f(—) = an^jj- + an.i^-j- + + ai— T ao = (*) q q q n’ q GV(?) Quy đồng mẫu số suy điều gì? HS: Ta có (*) a0qn + a1pqn_1 + a2p2qn“2 + + anpn = (1) GV(?) Từ (1) chứng tò p lả ước ao: q ước a n? HS: Từ (1) sưy ra: aoq" = -(aiPqn_1 + a2p2qn’2 + + anpn) aoqn = -pCajq”-1 + a2pqn-2 + + anpn-') ->aoqnỉp Mà (p,q) = => qn\p => a0 :p hay p ước ao Tương tự từ (1) suy ra: anpn = -(aoqn + a^q”’1 + + a^p^q) => anpn = -q(aoqn_1 + a^q"-2 + + aI1_1pR’1) ^anpnỉq Mà (p.q) = => pn\q => an íq hay q ước cùa aa Sau giãi toán HS dễ dàng rút kết luận tiêu mục 1.5 là: Cho đa thức f(x) = anxn T an-ix11’1 T + X + ao ( hệ số nguyên) Nen phân sổ —(tối giàn) lả nghiệm cùa f(x) p lả ước cùa ao; q ước cùa a n q Ket luận cơng cụ hừu ích giúp HS tìm nghiệm hừu tỷ cùa đa thức VỚI hệ số nguyên Ngoải ra, từ kết luận trên, GV hướng dẫn HS đặc biệt hoá toán đê lút nhận xét mới: GV(?) Trong toán 3, hệ số cao bang có thê suy điều gì? HS: (Xem xét trường họp an = 1) Khi ta có đa thức là: g(x) = x n + an-ix”’1 T + X + ao ( hệ số nguyên) Nen — (tối giãn) nghiệm cùa f(x) theo kết luận ta có p lả ước q ao q ước cừa Vi q = ±1 nên — số nguyên q Đen đày, HS hoàn toàn tự rút kết luận 1.6 1.7 là: 1.6 Mọi nghiệm nguyên (nếu có) cùa đa thức VỚI hệ số nguyên phải ước số hạng tự 1.7 Mọi nghiệm hừu tỷ đa thức VỚI hệ số nguyên mà hệ số cao bang nghiệm nguyên Bây giờ, GV cho HS rèn luyện số toán đê vừa áp dụng vừa cố kiến thức mà em đà khám phá Bài toán 4: Tim nghiệm cùa đa thức: f(x) = X3 - X2 -4x + Bài tập GV có thê yêu cầu HS tìm cách khác đê giải Lươc giãi: Cách 1: Dề thấy đa thức đà cho có tịng hệ số bang nên nhận X = làm nghiệm.Chia f(x) cho X - ta thu đa thức X - có nghiệm X = ±2 Như đa thức đà cho có nghiệm là: X = 1; X = ±2 Cách 2: Ta có f(x) = X3 - X2 -4x T = (x3 - X2) - (4x - 4) = = X2 (x -1) - 4(x -1) = (x -l)(x2 - ) = (x -l)(x - )(x + 2) Vậy nghiệm cừa f(x) X = 1; X = ±2 cách 3: Đa thức đà cho có hệ số đềư nguyên hệ số cao bang Do nghiệm (nếu có) cừa f(x) lả ước cừa hệ số tự Hay xeư(4)ư'rc xe{±l;±2;±4} Kiêm tra ta có: f(l) = f(-l) = *0 nên X = nghiệm nênx = -l không nghiệm, nên X = f(-2) = f(2) = -2 nghiệm f(-4) = - 60 nên X = nghiệm nên X = - không nghiệm f(4) =36^0 nên X = không nghiệm Các cách giài khác giúp học sinh có so sánh chọn lựa phương pháp cho nhanh gọn, dễ hiêu Tuy nhiên, VỚI đa thức bậc cao cách cách khơng dễ thực Lúc nên dừng cách 3, song rị ràng việc kiêm tra nghiệm khơng dễ hệ số cao có giá trị lớn Đê việc kiêm tra giá trị ước số có phải lả nghiệm khơng trờ nên đơn giãn cần giúp HS tiếp cận VỚI sơ đồ Hoocne Một thực tế lả chi cung cấp cho HS lược đồ mả không hướng dẫn em tự xày dựng thi em dễ quên không sử dụng thường xuyên, qn khơng biết cách tìm lại Như vậy, còng việc cùa GV hướng dẫn HS xây dựng sơ đồ Hoocne Bài toán: Tim dư phép chia đa thức f(x ) = anxn T an-ix11’1 + T aix T ao cho X -c GV ? Neu gọi thương cùa phép chia q(x) bậc cùa đa thức q(x) dư phép chia nào? Từ biên diễn đăng thức hên hệ giừa f(x); q(x) dư nào? HS: Nen gọi thương cừa phép chia q(x) bậc cừa da thức q(x) 11 - q(x) = bnX 11’1 + bn-ixn’2 T + b2x + bi dư số r Tức là: anxn + an.iXn_1 + + 31X + a0 = (x - c) (bnx11’1 + bn_iXn’: + + b2x + bl) T r (I) GV ? Áp dụng phương pháp hệ số bất định từ (I) ta lập hệ HS: Áp dụng phương pháp hệ số bất định, ta có: an b n a n bn bn-i = cbn+an.i n-l _ bn-l * cbn an_2 — bn_2 - cbn_i a Từ sưy ra: bn-2 = cbn.i+ an.2 k bk • cbk+1 bk = cbk4-i+ ak ao = r - cbi r = ebl T ao a Từ ta thành lập sơ đồ san gọi lả sơ đồ Hoocne: 31 ao bi r VỚI sơ đồ Hoocne, HS dễ dàng kiêm tra giá trị ước số hệ số tự có phải nghiệm không cách đơn giãn đồng thời dễ dàng tìm đa thức thương số dư phép chia f(x) cho X - c Chăng hạn VỚI Bài tốn nên ta có thê làm saư: Đa thức đà cho có hệ số đềư nguyên hệ số cao bang Do nghiệm (nếu có) cùa f(x) lả ước cừa hệ số tự Hay xeư(4)ĩức xe{±l;±2;±4} Dùng sơ đồ Hoocne ta có: -1 -4 -1 -2 -2 -2 -3 -4 -60 36 Từ sơ đồ ta có X = 1; X = ±2 nghiệm cùa đa thức đà cho Mặc dù sơ đồ Hoocne công cụ kiêm tra nghiệm tirơng đối quà VỚI đa thức có hệ số tự lớn có nhiêu ước việc dùng sơ đồ chưa tối ưu Vi vậy, đê tiêp tục bô sung phương pháp GV có thê cho HS làm tập sau: Bài tốn: Cho đa thức f(x) = Xn + an-ix11’1 + T X T ao ( hệ số nguyên) f(i) f(-D Gọi a Tí ±1 nghiệm cùa f(x) Chứng minh: -4VỈ e Z; v J e z 1-a Hướng dẫn: 1+a GV: Do # =1 nghiệm f(x) có thê biêu diễn f(x) dạng tích hai đa thức nào? Từ biêu diễn q(x) dạng thương tiến hành chứng minh? HS: Do a *±1 nghiệm cùa f(x) nên theo định lý Bêzu ta có thê viết: f(x) = q(x)(x-a) (1) Vi f(x) đa thức VỚI hệ số nguyên, X - a Cling đa thức hệ số nguyên nên /XI' 41 fix) q(x) đa thức hệ sơ ngun Từ (1) ta có:q(x) = v ' r Khi X = q(l) = e z; Khi X = -1 q(-l) = e z 1-a X-a -(1 + a) Như sau hoàn thành việc chứng minh bải tốn HS có thêm phương pháp thừ nghiệm hiệu lả kết luận 1.8 đà nêu Bây GV cho HS áp dụng vào toán cụ thê đê áp dụng kiên thức mà em vừa khám phá nham so sánh thay lợi ích cùa việc tìm tịi phương pháp giãi tốn nì tốn khác đà giải Bài toán 5: Tim nghiệm cùa đa thức: f(x) = X5 - 8x4 T 20x3 - 20x2 + 19x -12 Lươc giãi toán 5: Đa thức đà cho có hệ số nguyên hệ số cao bang Do nghiệm (nếu có) cùa f(x) lả uớc cùa hệ số tự Hay xeư(12)tức X e {±1;±2;±3;±4;±6;±12} Xét thấy đa thức có tơng hệ số bang nên có nghiệm bang Dùng sơ đồ Hoocne ta suy được: f(x) = (x - l)(x4 - 7X3+ 13X2 - 7x + 12) Ta tìm X để g(x) = X4 - 7x3+ 13x2 - 7x + 12 = Dễ thấy hạng từ bậc lẻ có hệ số âm VỚI x g(x) khơng có nghiệm âm.Ta chi xét ước dương 12 Tacó:g(l)= 12 1-a g(-l) = 40 1+a 12 „40 VỚI a = A = — =-12 e z : B = — =Ể z (loại) -1 VỚI a = A = -6eZ;B = 10eZ z, -X VỚI a = A = - e z ; B = e z 12 VỚI a = A= — ỂZ (loại) -15 z, VỚI a = 12 A =-yj-Ể z (loại) Vậy g(x) có nghiệm X e {3:4} Dùng sơ đồ Hoocne thừ nghiệm: -7 13 -7 12 -4 -4 -3 -3 Vậy g(x) có nghiệm X = 3; Suy f(x) có nghiệm X e{1:3:4} Các tập đê HS tự cố rèn luyện: Bài tập: Tim nghiệm cùa đa thức sau: a X3-6X2+15X -14 c X5 - 7x3 - 12x2 + 6x +36 b X4-2X3-8X2+ 13X -24 Nhận xét: VỚI kiến thức đà học, HS đà vận dụng giài tập cầu Sau GV đưa tình hương: Tìm nghiệm cùa đa thức san: f(x) = 2x + 3x2 + 6x - VỚI tình nhiêu em cịn lúng lúng vi hệ số cao khác Do GV có thê đặt câu hịi gợi ý tìm phương pháp giải đối VỚI đa thức tòng quát sau: GV? VỚI đa thức có hệ số cao khác có thê tồn nghiệm hừu tỷ Vậy có thê chuyên tốn tìm nghiệm hừu tỷ đa thức VỚI hệ số ngun tốn tìm nghiệm ngun cùa đa thức tương ứng không? chuyên bang cách nào? Gợi ý: Chăng hạn từ việc tìm nghiệm cùa đa thức f(x ) = anxn + an-iX11’1 T + 31X + ao (hệ số ngun) nghía tìm X đê anxn + an-iX11’1 T + ape + ao = O.(*)Ta có thề nhân hai vế cùa (*) VỚI a”’ ta có phương trình ? HS: Nhân hai vế cùa (*) VỚI a”’1 ta có phương trình: (anx)n+ an.i(anx)n’1 + + aia“-‘x + aoa“-' = GV? Nen đặt y = anx ta phương trình nào? HS: Nen đặt y = anx ta phương trình: yn+an-iyn’1+ aiann'2y+ aoa”’1 = 0(**) GV? Nhận xét phương trình (**) ? HS: Là phương trình mà vế trái đa thức có hệ số cao bang có nghiệm hữu tỷ nghiệm nghiệm ngun Như , ta chuyên việc tìm nghiệm hừu tỷ cùa đa thức VỚI hệ số nguyên việc tìm nghiệm nguyên cùa đa thức tương ứng Đối VỚI tốn tình đà nêu ta có thê giúp HS giài sau: f(x) = 2x + 3x2 + 6x GV?: Đa thức f(x) đà cho có hệ số cao bang 2.Hãy xác định số cần nhàn vào (a nn’Ấ) để đưa đa thức tương ứng VỚI hệ số cao 1? HS xác định ann'1 = 22 = tiến hành thực hiện: Ta có: 2x3 + 3x2 + 6x - = o 23 X3 + 22 X2+ 22 X - 4.22 = o (2x)3 + 3.(2x)2 + 12.2x -16 = Đặt y = 2x ta có: f(y) = y3 + 3y2 + 12y -16 = Xét thay tòng hệ số cùa f(y) + + 12-16 = nên f(y) có nghiệm Do ta có: f(y) = (y - 1) (y2 + 4y + 16) = Suy y = y2 + 4y + 16 = (1) Do (1) vơ nghiệm (có A' = -12 < 0) nên f(y) chi có nghiệm y = Suy f(x) chi có nghiệm X = — 2.5 GV hướng dân HS tông hợp kiến thức khải quát thành phương pháp Như thế, HS đà biết phương pháp tìm nghiệm hừn tỷ đa thức VỚI hệ số ngun qưa bải tốn, ví dụ Khi GV có thê yên can HS : Hày tịng hợp thành bước tìm nghiệm hữu tỷ đa thức VỚI hệ số nguyên? HS nêu bước thực GV tòng kêt thành phương pháp: Thuật tốn tìm nghiệm hữu tỷ đa thức với hệ so nguyên: Bước 1: Chuyên đa thức tương ứng có hệ so cao nhat bang Từ đa thức f(x) = anxn + an-iX11’1 T + aiX T ao (hệ số nguyên) đà cho chuyển tìm nghiệm cùa đa thức: f(y) = yn + bn-1 yn l+ +biy T bo = (nhàn f(x) VỚI ann’1 đặt y = anx) Bước 2: Tìm tất cá ước cùa bo Già sử tập ước cùa bo M = |a1;a2.a3 i Bước 3: Loại bớt ước cùa bo Xét A = e Zvà B = e z (*) VỚI giá trị a e M 1-a 1+a chọn irớc a e M thoà (*); hạn p = Bước 4: Kiêm tra nghiệm sơ đồ Hoocne Kiêm tra phan từ p bang sơđồ Hoocne đê tìm nghiệm (của f(y)) Bước 5: Ket luận nghiệm cùa f(x) Từ y = anx ta có X = — n a Mớ rơng: Đối VỚI HS giịi GV có thê nên vấn đề tìm nghiệm cùa đa thức có hệ số hữu tỷ đê HS nghiên cứu nàng cao thêm GV: Cho đa thức g(x) = £2.+£kx+^1x2+ +^s-xn (pịi qi eZ; qi *0) Qo ^11 ^2 ’In Làm đê tìm đirợc nghiệm hừư tỷ cùa đa thức trên? Gợi ý: Suy nghi tìm cách đira tốn tìm nghiệm hừư tỷ cùa đa thức hệ số nguyên không? HS: Quy đồng mẫn số phân số đưa dạng g(x) = — f(x) f(x) Ợi B đa thức có hệ số nguyên tiếp ựic giãi theo thuật tốn đê tìm nghiệm cùa f(x) f(x) = chi kill g(x) = Khi ta có: Thuật tốn tìm nghiệm hữu tỷ đa thức với hệ so hữu tỳ: Trước hết: Quy đồng mầu hệ so đưa tốn tìm nghiệm hữu tỷ đa thức hệ sổ ngun Sau đó: Tìm nghiệm hữu tỷ cúa đa thức với hệ số nguyên 2.6 Một so tập cho HS tự giải: Tim nghiệm cùa đa thức sau: a 4x4 - 7x2 - 5x - b X + 7X4+ 163 T 8x2 - 16x - 16 c 6X2-7X-3 (ĐS;xe {-;—}) 23 d X4 - X4-ịx3 7X2 +6x-2 2 (ĐS; X e {1; ±2;-ị-} ) 2.7 Khai thác so ứng dụng dạng tốn: GV nên giúp HS phàn tích số ứng dụng cùa loại toán đối VỚI toán dạng khác hạn như: toán giãi phương trình đa thức, phân tích đa thức thành nhàn từ Chi cần thay đòi chút yêu cần cừa đề ta có thê chun tốn tìm nghiệm cùa đa thức sang dạng khác Chăng hạn thay vi : "Tìm nghiệm cùa đa thức" a 4x4 - 7x2 - 5x - b X 5+7x4+163 + 8x2 - 16x - 16 bang yêu cầu "phân tích đa thức đà cho thành nhàn tử” PHẦN III: KÉT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ I KÉT QUẢ Trong thực tế giảng dạy bồi dường học sinh giòi trường, tòi nhận thấy thực đề tải đà bước đầu đem lại kết quà tiến tương đối rị • Các em tự tin trước tốn tìm nghiệm hừu tỷ cùa đa thức biến(trong kiêm tra, thi, thực hành giãi toán gặp dạng toán em đà vận dụng tốt) • Trước tốn khác em đà ý đến việc chọn lựa kiến thức hên quan tìm cách giài tối ưu • Khà tự học sáng tạo tốn học nâng lên rồ rệt Phương pháp học tập HS ý đến HS bước đầu biết cách tự nghiên cứu tài liệu đê tìm hiên chun đề Từ tốn mang tính tịng qt em đà biết tìm hiên khai thác phương pháp giãi cho dạng hên quan Từ kết quà tốn cụ thê em hình thành dần thói quen xem xét, phát biêu tốn tịng qt tốn tương tự Đây ìà thói quen tích cực cần thiết người học tốn • khố học sinh mà tịi trực tiếp giảng dạy, ôn tập bồi dường kỳ thi có nhiều HS đạt kết quâ cao Hơn nữa, em học lên THPT học môn Tốn tốt dó khố học sinh trường năm học 2014-2015, 2015-2016 • Thành cơng cùa đề tài thúc tòi mạnh dạn đem cách làm vào giăng dạy khai thác dạng tốn khác cho hiệu q tốt • Đe tải góp thêm tài liệu, phương pháp bồi dường học sinh giòi đê đồng nghiệp tham kháo, lút kinh nghiêm giăng dạy cho bân thân II CÁC VẤN ĐẺ CẦN LƯU Ý KHI THựC HIỆN ĐẺ TÀI • Tim hiên năm vừng khung chương trình Tốn THCS đê từ dưa cho học sinh tập, ví dụ phù họp đàm bão khả tiếp thu cùa đối tượng học sinh • Khơng "rót” kiến thức phương pháp cho em khiến em thụ động, thiếu tìm tịi sáng tạo.Cần kiên tri tìm chọn cách xây dựng kiến thức cìing phương pháp đê em có hội tự khám phá • Nam vừng khà thực tế cùa học sinh vấn đề tư Từ có điều chinh nâng dần họp lý mức độ khó cùa tập phù hợp VỚI trình phát triên tư cùa học sinh nham mang lại hiệu quà cao ♦ Nen điều kiện cho phép có thê thực chuyên đề bồi dường Tốn cho học sinh Trên đày tịi đà trình bày phương pháp hướng dẫn HS ỉớp giãi dạng tốn tìm nghiệm hữu tỷ cùa đa thức biên Các chun đê khác hồn tồn có thê làm tương tự VỚI kinh nghiệm ỏi cịng tác chun mịn nhiệt tình vi chất lượng học tập cùa học sinh thân yêu, tòi đà viết cách làm, hướng suy nghi cùa bàn thân không thê tránh khơi thiếu sót Vì tịi mong có nhiêu đồng nghiệp cấp chun mơn quan tàm đến vấn đề đồng thời góp ý bị sung đê tịi có hướng tốt cịng tác giảng dạy bồi dường tốn cho học sinh Tôi xỉn chân thành câm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Vù Him Bình - Nàng cao phát triên toán 7,8 - NXB Giáo dục - 2003 2) BÙI Văn Tuyên - Bài tập nàng cao số chuyên đề toán - NXB Giáo dục - 2004 3) Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Ngọc Đạm - Toán nâng cao chuyên đề đại số - NXB Giáo dục 4) Sách giáo khoa toán - NXB Giáo dục - 2007 5) Vũ Him Bình - Toán bồi dường học sinh lớp 7,8 - NXB Giáo dục - 2004 6) Hoàng Kỳ - Đại số sơ cấp - Nhà xuất bân giáo dục 2001 7) Các đề thi học sinh giòi năm học