HÌNH HỌC 9 HÌNH HỌC 9 I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG a) Bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền AB2 = HB BC AC2 = HC BC b) Bì[.]
HÌNH HỌC I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG a) Bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền với hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền AB2 = HB.BC AC = HC.BC b) Bình phương đường cao tích hai hình chiếu cạnh góc vng c.huyền AH2 = HB.HC c) Tích cạnh góc vng tích cạnh huyền đường cao tương ứng AB AC = AH BC d) Nghịch đảo bình phương đường cao tổng nghịch đảo bình phương cạnh góc vng: II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN 1) Định nghĩa: ; ; ; 2) Tính chất : a) ; ; ; b) Nếu hai góc B,C phụ sin góc cossin góc kia, tang góc cơtang góc kia: , , tg B = cotgC, cotgB = tg C c) ; III ĐƯỜNG TRỊN 1) Tâm đường trịn ngoại, nơi tiếp tam giác : -Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vng trung điểm cạnh huyền -Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác giao điểm ba đường trung trực cạnh tam giác -Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm ba đường phân giác góc tam giác 2) Cách chứng minh tam vng : * DABC nội tiếp đường trịn (O) có BC đường kính Û DABC vng A 3) Quan hệ đường kính dây đường trịn: * Định lý: a)Trong đường trịn đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây A * AB ^ DC I Þ IC = ID O C I D B b)Trong đ.trịn đường kính qua trung điểm dây (khơng qua tâm) vng góc với dây * AB cắt DC I IC = ID (CD khơng qua tâm O) Þ AB ^ CD 4) Tính chất dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn: * a tiếp tuyến (O;R) a ^ OC OC = R 5) Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: * Định lý: Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì: - Điểm cách hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm đến tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến - Tia kẻ từ tâm đến điểm tia phân giác góc tạo hai hai bán kính qua tiếp điểm 6) Vị trí tương đối hai đường tròn: Với hai đường tròn (O; R) (O’; r) (R ≥ r) a/ Hai đường tròn (O; R) (O’; r) cắt nhau: R - r < OO’ < R + r b/ Hai đường tròn (O;R) (O’;r) tiếp xúc nhau: *Tiếp xúc ngoài: OO’ = R + r ; *Tiếp xúc trong: OO’ = R – r c/ Hai đường tròn (O;R) (O’;r) khơng giao nhau: * Ở ngồi nhau: OO’ > R + r ; * Đựng nhau: OO’ < R - r IV GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN 1) Góc tâm: góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn Số đo góc tâm số đo cung bị chắn 2) Góc nội tiếp: góc có đỉnh nằm đường tròn, hai cạnh chứa dây cung đường trịn Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn 3) Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung: góc có đỉnh nằm đờng tròn, cạnh góc tia tiếp tuyến đờng tròn, cạnh chứa dây cung đờng tròn S o ca gúc tạo tia tiếp tuyến dây cung bng nửa số đo cung bị chắn x A B y O 4) Góc có đỉnh bên đường trịn Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn Góc AEB góc có đỉnh bên đường tròn, chắn hai cung nhỏAB CD 5) Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn n m Hình F= sđ CD - sđ AB V TỨ GIÁC NỘI TIẾP Hình F= Hình sđ BC – sđ AB F= sđ AmB – sđ AnB 1) Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn gọi tứ giác nội tiếp 2) Định lí : - Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện 1800 - Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường trịn 3) Một số dấu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng số o hai góc đối diện 1800 - Tứ giác có góc ®Ønh b»ng gãc cđa ®Ønh ®èi diƯn - Tø giác có bn đỉnh cách điểm (mà ta xác định đc) Điểm tâm đng tròn ngoại tiếp tứ giác - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh l¹i dưíi mét gãc VI ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN, CUNG TRỊN 1) Diện tích hình trịn : 2) Diện tích hình quạt trịn có bán kính R, sđ cung 3) Độ dài đường tròn : chu vi đường tròn 4) Độ dài cung tròn : Trên đường trịn bán kính R, độ dài cung có sđ 5) - Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông : R = cạnh huyền : - Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác vng : r = (Tổng cạnh góc vng - cạnh huyền): - Tam giác có độ dài cạnh a độ dài đường cao - Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác : R = độ dài đường cao - Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác : r = độ dài đường cao VII HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN- HÌNH CẦU S xung quanh S tồn phần V thể tích Hình trụ Hình nón Hình cầu ĐẠI SỐ CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ I Hàm số bậc nhất: Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số cho cơng thức: y = ax + b; a, b số cho trước a ≠ - Hàm số bậc y = ax + b xác định với x thuộc - Đồng biến R a > 0, nghịch biến R a < Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax+b (a≠0): - Khi b = đồ thị hàm số y = ax đường thẳng qua gốc tọa độ O (0; 0) điểm A( 1; a) - Khi b ≠ đồ thị hàm số y = ax + b đường thẳng cắt trục tung điểm C(0; b) cắt trục hoành điểm D( *Gọi (d): y = ax + b (a ≠ 0) (d’): y = a’x + b’ (a’≠ 0), ta có: + (d) (d’) cắt a ≠ a’ + (d) (d’) song song a = a’ b ≠ b’ + (d) (d’) trùng a = a’ b = b’ + (d) vng góc với (d’) a a’ = -1 * Gọi α góc tạo đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox + Nếu a > α góc nhọn + Nếu a < α góc tù Ta nói: a hệ số góc đường thẳng y = ax + b II Hệ phương trình: Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng: + Hệ có nghiệm Û + Hệ vô nghiệm Û + Hệ vô số nghiệm Û a b c a ' b ' c' III Hàm số y = ax2 ( a ≠ ) Đồ thị hàm số y = ax2 ( a ≠ ) đường cong Parabol qua gốc toạ độ O + Với a >0 hàm số y = ax2 đồng biến x> nghịch biến x phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = * Nếu = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 0) ; x2 = * Nếu < phương trình vơ nghiệm II- Công thức nghiệm thu gọn : Trong trường hợp hệ số b số chẵn giải phương trình công thức nghiêm thu gọn : ( b’ = ) * Nếu ' > phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = * Nếu ' = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = * Nếu ' < phương trình vơ nghiệm III- Hệ thức Vi - Et ứng dụng : ;x2 = ' = b – ac Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình : Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : (Điều kiện để có u v ) Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm : Nếu a - b + c = phương trình có hai nghiệm : IV: Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước: Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = (a 0) có: Hai nghiệm trái dấu P < Hai nghiệm dương Hai nghiệm âm V: QUAN HỆ GIỮA PRABOL y = ax2 đường thẳng y = mx + n Lập phương trình hoành độ giao điểm ( P) (d) ax2 = mx + n ax2 - mx - n = (1) Lập = b2 - 4ac = (- m)2 - 4(-n) = m + 4n * Nếu > phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt (d) cắt (P) diểm phân biệt * Nếu = phương trình (1) có nghiệm kép (d) tiếp xúc với (P) * Nếu < phương trình (1) vô nghiệm (d) không cắt (P) * Chú ý: A2 + B2 = ( A+ B)2 – 2AB A3 + B3 = ( A+ B)3 – 3AB (A + B) ĐẠI SỐ - NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (A+B)2) = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2- B2 = (A + B)(A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A – B)3 = A3 - 3A2B + 3A B2 - B3 A3 + B3 = (A + B) ( A2 – AB + B2) A3 - B3 = (A - B) ( A2 + AB + B2) HÌNH HỌC 8- PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CÁC TỨ GIÁC ĐẶC BIỆT 1 Hình thang: Tứ giác có hai cạnh song song 2,.Hình thang cân: Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân Hình thang có hai đường chéo hình thang cân 3.Hình thang vng: Hình thang có góc vng 4 Hình bình hành: *Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có cạnh đối hình bình hành *Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có góc đối hình bình hành *Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành 5.Hình chữ nhật: *Tứ giác có góc vng hình chữ nhật Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật *Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật *Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật 6.Hình thoi: Tứ giác có cạnh hình thoi 2 Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi Hình bình hành có đường chéo tia phân giác góc hình thoi Hình vng: Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc hình vng Hình chữ nhật có đường chéo tia phân giác hình vng Hình thoi có góc vng hình vng Hình thoi có hai đường chéo hình vng HÌNH HỌC ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG 1/ Đường trung bình tam giác: *Định nghĩa: Đường trung bình tam giác * Định lí 1: Đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba GT KL A ABC, AE=EB , EF//BC (F є AC) FA = FC E B F C * Định lí 2: Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh GT: ABC, AE=EB , FA = FC KL: EF đường trung bình tam giác EF//BC, 2/ Đường trung bình hình thang: *Định nghĩa: Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang * Định lí 3: Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai GT: Hình thang ABCD (AB//CD), AE=ED, EF//AB//CD (F є BC) KL: FB = FC A E D B F C * Định lí 4: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy GT: Hình thang ABCD (AB//CD), AE=ED, FB = FC KL: EF đường trung bình hình thang EF//AB//CD, 3/ Đối xứng truc, đối xứng tâm: * Đối xứng truc: Hai điểm A B gọi đối xứng với qua đường thẳng d d đường trung trực đoạn thẳng AB * Đối xứng tâm: Hai điểm A B gọi đối xứng với qua điểm O O trung điểm đoạn thẳng AB 4/ Định lí đường trung tuyến ứng với cạnh tam giác: a)Thuận: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền b) Đảo: Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng Tính chất tứ giác đặc biệt: AD = BC AC = BD A B O C D A = C, B = OA=OC, OB=OD D Có tất tính chất hbh; OA=OC=OB=OD Có tất tính chất hbh; AC BD; BD AC, BD đường B phân giác góc hình thoi A D AB=DC,AD=BC O C A B Có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi D C Nếu hai tam giác đồng dạng với thì: Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng tỉ số đồng dạng Tỉ số hai đường phân giác tương ứng tỉ số đồng dạng Tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ số đồng dạng Tỉ số chi vi hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, biết AB = cm, AC = cm, AH đường cao Chứng minh: a/ ∆ABC ∆ HBA b/ ∆ABC ∆HAC c/ ∆HBA ∆HAC d/ AB2 = BC.BH; AC2 = BC.CH; AH2 = BH.CH; AB.AC = AH.BC e/ Tính BC, BH, CH, AH Biểu thức A2 – AB + B2 gọi bình phương thiếu hiệu A - B Biểu thức A2 + AB + B2 gọi bình phương thiếu tổng A + B