ĐƯỜNG CONG SPLINE bậc BA

NHÓM 2 – ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC BA  Nguyễn Việt Huy G0800800  Nguyễn Văn Giáp Nhỏ G0804467  Cao Tấn Công G0804079  Ngô Hoàng Sang G0801780  Dương Mười G0801290 ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:  ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:  Hai phương trình thu được từ tọa độ 2 điểm đầu và cuối của mỗi phân đoạn.  Hai phương trình còn lại được xác định bằng các véctơ tiếp tuyến tại một điểm đầu và cuối của mỗi phân đoạn. (H.4.13) ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:  ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:  Giải hệ phương trình (4.26) và (4.28) ta thu được hệ số đại số a i : P(t)=(2t 3 -3t 2 +1)P(0)+(-2t 3 +3t 2 )P(1)+(t 3 -2t 2 +t)P’(0)+(t 3 - t 2 )P’(1) (4.29) 4.5.3 BIỂU DIỄN DẠNG MA TRẬN Các phương trình (4.24) và (4.30) có thể viết lại như sau: với Suy ra Hoặc ở dạng rút gọn: P(t)=[t].[A] dạng đại số P(t)=[t].[M].[G] dạng hình học [t] và [M] không thay đổi với mọi đường cong bậc ba [G] có thể thay đổi để tạo ra đường cong tham số bậc ba mới [M] 4x4 là ma trận Hermit.Ký hiệu và khi đó:P(t)=[t]. .   M H   H G   M H   H G 4.5.3 BIỂU DIỄN DẠNG MA TRẬN  Ma trận [A] và có mối liên hệ [A]= . Và biến đổi ngược lại: = .[A]  Trong đó   = và =  VD:Cho P(0)=(1,1) ,P(1)=(3,2) ,P’(0)=(1,1) và P’(1)=(1,0).Xđ:  a.Pt tham số đường cong  b.Tọa độ điểm với t=0,5  Giải: Pt tham số đường cong có dạng:    H G   H G   M H   H G   1 M H  2 2 1 1 3 3 2 1 0 0 1 0 1 0 0 0                   M H   1 M H  0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 3 2 1 0             3 2 2 2 1 1 (0) 3 3 2 1 (1) ( ) [ 1] 0 0 1 0 '(0) 1 0 0 0 '(1) P P Pt t t t P P                        3 2 2 2 1 1 3 3 2 1 ( ) [ 1] 0 0 1 0 1 0 0 0 P t t t t                  1 1 3 2 1 1 1 0             4.5.4.ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3  Đường nối giữa 2 điểm liên tiếp là đường cong tham số bậc 3(với tham số t thay đổi từ 0 đến 1)  Đường cong Spline bậc 3 được biểu diễn bằng đa thức bậc 3 có đạo hàm bậc 2 liên tục tại các điểm nối chung giữa các phân đoạn  Phương trình bậc k sẽ liên tục tai bậc k-1  Liên tục tham số được biểu diễn bằng chữ C in hoa có chỉ số trên đầu  Tính liên tục C 0 , không có sự gián đoạn hoặc bước nhảy trên đường cong  Liên tục C 1 , đường cong sẽ có độ dốc hoặc đạo hàm cấp 1 liên tục  Ở mức độ C 2 , đường cong sẽ bị uốn cong hoặc có đạo hàm bậc 2 liên tục và tương tự như vậy ở mức độ cao hơn  Trong Autodesk Inventer, để đảm bảo tính liên tục thường sử dụng các ràng buộc sau:  Ràng buộc nối tiếp C 0 (coincident):chọn lần lượt các điểm cuối của đoạn thẳng và cung tròn để chúng trùng nhau  Ràng buộc tiếp xúc , liên tục C 1 (tangent):tiếp tuyến 2 đối tượng trùng nhau tại điểm nối, trong trường hợp ít nhất 1 đối tượng chọn là đường cong bậc 2  Ràng buộc độ cong, liên tục C 2 (smooth):độ cong 2 đối tượng trùng nhau tại đểm nối, trong trường hợp ít nhất 1 đối tượng chọn là đường con bậc 3 spline  Phương trình tham số của đường con spline bậc 3 cho mỗi phân đoạn, có dạng  Hoặc P(t)=[t].[M] H [G] H  Đối với các phân đoạn thì ma trận [t] và [G] H không đổi  Ma trận hình học [G] H khác nhau trong từng phân đoạn của đường con Spline bậc 3 [...]... các véctơ tiếp tuyến : (4.46)  Hoặc [P’i]=[M]-1[G] (4.47) TRƯỜNG HỢP 2 : ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN  Phương trình (4.44) được sử dụng lần nữa và đạo hàm bậc 2 được gán bằng 0 tại 2 điểm đầu và cuối của đường cong spline bậc 3 TRƯỜNG HỢP 2 : ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN Tại điểm đầu tiên, P0 (tham số t=0), đạo hàm bậc 2 theo phương trình (4.40) trở thành: 2a2i=0 hoặc a2i=0 (4.48) Thay giá... TIẾP TUYẾN TẠI CÁC ĐIỂM ĐƯỜNG SPLINE Đường cong spline phải thỏa mãn tính liên tục của đạo hàm bậc 2.Do đó tại mỗi điểm pi của phân đoạn đạo hàm bậc hai:    Thay biểu thức 4.40 vào 4.38 Thay các giá trị a2 và a3 từ pt 4.31 vào pt 4.41 XÁC ĐỊNH TIẾP TUYẾN TẠI CÁC ĐIỂM ĐƯỜNG SPLINE  Sử dụng phương pháp lặp nhiều lần phương trình 4.43 XÁC ĐỊNH TIẾP TUYẾN TẠI CÁC ĐIỂM ĐƯỜNG SPLINE  Hoặc dạng ma trận:... TRƯỜNG HỢP 2 : ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN Gán giá trị của đạo hàm bậc 2 tại điểm cuối, P’’m-1 (tham số t=1), bằng 0, sau đó thay vào phương trình (4.40): 6a3(m-1) + 2a2(m-1) = 0 Hoặc 3a3(m-1) + a2(m-1) = 0 Thay a3 và a2 từ phương trình (4.31) và rút gọn ta thu được: P’m-2 + 2P’m-1 = 3(Pm-1 – Pm-2) (4.50)  TRƯỜNG HỢP 2 : ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN  Do đó tiếp tuyến của đường cong tại các... ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN  Do đó tiếp tuyến của đường cong tại các điểm xác định theo hệ phương trình: (4.51) TRƯỜNG HỢP 2 : ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN  Hệ m phương trình với m ẩn số có thể biểu diễn ở dạng ma trận: (4.52) TRƯỜNG HỢP 2 : ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN  Từ đây suy ra: (4.53) TÓM TẮT  ... ĐƯỜNG SPLINE  Hoặc dạng ma trận: Ta cần xác định m vectơ tiếp tuyến nên phải có thêm 2 ràng buộc:  Biết các vectơ tiếp tuyến p’0 và p’m-1 tại các điểm cuối  Đạo hàm bậc hai tại hai điểm cuối p0 và pm-1 đều bằng 0 (đường cong spline bậc 3 tự nhiên)  TRƯỜNG HỢP 1 : BIẾT CÁC VÉCTƠ TIẾP TUYẾN P’0 VÀ P’M-1  Khi biết các véctơ tiếp tuyến P’0 và P’m-1 tại các điểm cuối ta có hệ phương trình : TRƯỜNG HỢP .  4.5.4.ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3  Đường nối giữa 2 điểm liên tiếp là đường cong tham số bậc 3(với tham số t thay đổi từ 0 đến 1)  Đường cong Spline bậc 3 được biểu diễn bằng đa thức bậc 3 có. : ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN  Phương trình (4.44) được sử dụng lần nữa và đạo hàm bậc 2 được gán bằng 0 tại 2 điểm đầu và cuối của đường cong spline bậc 3. TRƯỜNG HỢP 2 : ĐƯỜNG CONG SPLINE. ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC BA  Nguyễn Việt Huy G0800800  Nguyễn Văn Giáp Nhỏ G0804467  Cao Tấn Công G0804079  Ngô Hoàng Sang G0801780  Dương Mười G0801290 ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:  ĐƯỜNG CONG