ĐƯỜNG CONG SPLINE bậc BA

ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:... ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA: Hai phương trình thu được từ tọa độ 2 điểm đầu và cuối của mỗi phân đoạn..  Hai phương trình còn lại được xác định bằng cácvéc

N HÓM 2 – ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC BA

 Nguyễn Văn Giáp Nhỏ G0804467

ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:



ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:

 Hai phương trình thu được từ tọa độ 2 điểm đầu

và cuối của mỗi phân đoạn

 Hai phương trình còn lại được xác định bằng cácvéctơ tiếp tuyến tại một điểm đầu và cuối của mỗiphân đoạn (H.4.13)

ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:



ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:

 Giải hệ phương trình (4.26) và (4.28) ta thu được

hệ số đại số ai:

P(t)=(2t 3 -3t 2 +1)P(0)+(-2t 3 +3t 2 )P(1)+(t 3 -2t 2 +t)P’(0)+(t 3

-t 2 )P’(1) (4.29)

[G] có thể thay đổi để tạo ra đường cong tham số bậc ba mới

[M] 4x4 là ma trận Hermit.Ký hiệu M và khi đó:P(t)=[t]

H  G H  M

H  G H

 a.Pt tham số đường cong

 b.Tọa độ điểm với t=0,5

 Giải: Pt tham số đường cong có dạng:

0 0 1 0 '(0)

1 0 0 0 '(1)

P P

P t t t t

P P

4.5.4.ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3

 Đường nối giữa 2 điểm liên tiếp là đường cong

tham số bậc 3(với tham số t thay đổi từ 0 đến 1)

 Đường cong Spline bậc 3 được biểu diễn bằng đathức bậc 3 có đạo hàm bậc 2 liên tục tại các điểmnối chung giữa các phân đoạn

 Phương trình bậc k sẽ liên tục tai bậc k-1

 Liên tục tham số được biểu diễn bằng chữ C in hoa

 Ở mức độ C2, đường cong sẽ bị uốn

cong hoặc có đạo hàm bậc 2 liên tục

và tương tự như vậy ở mức độ cao hơn

 Trong Autodesk Inventer, để đảm bảo tính liên tục thường sử dụng các ràng buộc sau:

 Ràng buộc nối tiếp

C 0 (coincident):chọn lần lượt các điểm cuối của đoạn thẳng và cung tròn để chúng trùng nhau

 Ràng buộc tiếp xúc , liên tục

C 1 (tangent):tiếp tuyến 2 đối tượng

trùng nhau tại điểm nối, trong trường hợp ít nhất 1 đối tượng chọn là đường cong bậc 2

 Ràng buộc độ cong, liên tục

C 2 (smooth):độ cong 2 đối tượng trùng nhau tại đểm nối, trong trường hợp ít nhất 1 đối tượng chọn là đường con bậc 3 spline

 Phương trình tham số của đường con spline bậc 3 cho mỗi phân đoạn, có dạng

XÁC ĐỊNH T I ẾP TUYẾN TẠI CÁC Đ I ỂM

ĐƯỜNG SPLINE

 Đường cong spline phải thỏa mãn tính liên tục của đạo hàm bậc 2.Do đó tại mỗi điểm p i của phân đoạn đạo hàm bậc hai:

 Thay biểu thức 4.40 vào 4.38

 Thay các giá trị a 2 và a 3 từ pt 4.31 vào pt 4.41

XÁC ĐỊNH T I ẾP TUYẾN TẠI CÁC Đ I ỂM

ĐƯỜNG SPLINE

 Sử dụng phương pháp lặp nhiều lần phương trình 4.43

 Biết các vectơ tiếp tuyến p’ 0 và p’ m-1 tại các điểm cuối.

 Đạo hàm bậc hai tại hai điểm cuối p 0 và p m-1 đều bằng 0 (đường cong spline bậc 3 tự nhiên)

TRƯỜNG HỢP 1 :

BIẾT CÁC VÉCTƠ TIẾP TUYẾN P’0 VÀ P’M-1

 Khi biết các véctơ tiếp tuyến P’0 và P’m-1 tại cácđiểm cuối ta có hệ phương trình :

TRƯỜNG HỢP 1 :

BIẾT CÁC VÉCTƠ PHÁP TUYẾN P’0 VÀ P’M-1

 Hoặc biểu diễn dạng ma trận như sau :

(4.45)

TRƯỜNG HỢP 1 :

BIẾT CÁC VÉCTƠ PHÁP TUYẾN P’0 VÀ P’M-1

 Giải phương trình ma trận này sẽ tính được tất cảcác véctơ tiếp tuyến :

(4.46)

 Hoặc [P’i]=[M]-1[G] (4.47)

TRƯỜNG HỢP 2 :

 Phương trình (4.44) được sử dụng lần nữa và đạohàm bậc 2 được gán bằng 0 tại 2 điểm đầu và cuốicủa đường cong spline bậc 3

TRƯỜNG HỢP 2 :

 Tại điểm đầu tiên, P0 (tham số t=0), đạo hàm bậc 2 theo phương trình (4.40) trở thành:

2a2i=0 hoặc a2i=0 (4.48)Thay giá trị a2i từ phương trình (4.31) vào phươngtrình (4.48):

3(P1 – P0) – 2P’0 – P’1 = 0 (4.49a)Hoặc 2P’0 – P’1 = 3(P1 – P0) (4.49b)

TRƯỜNG HỢP 2 :

 Gán giá trị của đạo hàm bậc 2 tại điểm cuối, P’’m-1(tham số t=1), bằng 0, sau đó thay vào phương

trình (4.40):

6a3(m-1) + 2a2(m-1) = 0Hoặc 3a3(m-1) + a2(m-1) = 0Thay a3 và a2 từ phương trình (4.31) và rút gọn ta thu được:

P’m-2 + 2P’m-1 = 3(Pm-1 – Pm-2) (4.50)

TRƯỜNG HỢP 2 :

 Do đó tiếp tuyến của đường cong tại các điểm xácđịnh theo hệ phương trình:

(4.51)

TRƯỜNG HỢP 2 :

 Hệ m phương trình với m ẩn số có thể biểu diễn ởdạng ma trận:

(4.52)

TRƯỜNG HỢP 2 :

 Từ đây suy ra:

(4.53)

TÓM TẮT

